1.1 第1课时 对顶角（配套word）-【全效学习】2024-2025学年七年级下册数学（浙教版·新教材）

本初中数学讲义聚焦相交线中对顶角这一核心知识点，从直线相交的基本概念出发，系统梳理对顶角的定义、性质及相关计算，为后续平行线中的角关系学习搭建基础支架。 资料通过图形辨析、推理计算及规律探究等多样化题型，如第1题培养几何直观，第10题强化推理能力，第14题建立模型意识，助力学生发展数学眼光、思维与语言。课中辅助教师突破重难点，课后帮助学生巩固练习，查漏补缺。

第1章　相交线与平行线 1.1　直线的相交 第1课时　对顶角 1.下列图形中，∠1与∠2属于对顶角的是(　C　) 2.如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝140°，则∠AOC的度数为(　A　) 第2题图 A.40° B.50° C.60° D.70° 3.如图，直线AB与CD相交于点O，则∠BOD＝(　B　) 第3题图 A.40° B.50° C.55° D.60° 4.如图，AB，CD相交于点O，∠BOE＝90°，则∠1与∠2一定满足的关系是(　D　) 第4题图 A.是对顶角 B.相等 C.互补 D.互余 5.下列说法中，正确的是(　B　) A.有公共顶点的角是对顶角 B.如果两个角不相等，那么它们一定不是对顶角 C.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 D.对顶角可能不相等 6.如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝80°，∠2＝30°，则∠AOE的度数为(　B　) 第6题图 A.30° B.50° C.60° D.80° 7.如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线。若∠AOC＝136°，则∠BOD的度数为　22　°。　  第7题图 【解析】 ∵∠AOC＝136°， ∴∠BOC＝180°－136°＝44°。 又∵OD是∠BOC的平分线， ∴∠BOD＝∠BOC＝22°。 8.如图，直线AB，CD，EF相交于一点O。 第8题图 (1)∠BOE的对顶角是　∠AOF　；  (2)　∠BOF　是∠AOE的对顶角；  (3)若∠AOC＝76°，则∠BOD＝　76　°。  9.如图，直线AB，CD相交于点O。 (1)若∠2∶∠3＝4∶1，则∠2＝　144　°；  (2)若∠2－∠1＝100°，则∠3＝　40　°。  第9题图 【解析】 (2)由图易知∠2＝180°－∠1。 又∵∠2－∠1＝100°， ∴180°－∠1－∠1＝100°， ∴∠1＝40°，∴∠3＝∠1＝40°。 10.如图，AB，CD相交于点O，OE是∠AOD的平分线，∠AOC＝30°，求∠BOE的度数。 第10题图 解：∵∠AOC＝30°， ∴∠AOD＝180°－∠AOC＝150°。 又∵OE是∠AOD的平分线， ∴∠DOE＝∠AOD＝75°。 又∵∠DOB＝∠AOC＝30°， ∴∠BOE＝∠DOB＋∠DOE＝105°。 11.如图，直线AB，CD，EF相交于一点O，∠AOF＝3∠BOF，∠AOC＝90°，则∠DOF的度数为(　C　) 第11题图 A.30° B.40° C.45° D.60° 【解析】 ∵∠AOF＝3∠BOF， ∴可设∠BOF＝x°，则∠AOF＝3x°。 又∵∠AOF＋∠BOF＝180°， ∴3x°＋x°＝180°， ∴x＝45，即∠BOF＝45°。 又∵∠BOD＝∠AOC＝90°， ∴∠DOF＝∠BOD－∠BOF＝45°。 12.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE。若∠AOC＝80°，求∠BOF的度数。 第12题图 解：∵∠AOC＝80°， ∴∠BOD＝∠AOC＝80°。 又∵OE平分∠BOD， ∴∠BOE＝∠DOE＝∠BOD＝40°， ∴∠COE＝180°－∠DOE＝140°。 又∵OF平分∠COE， ∴∠EOF＝∠COE＝70°， ∴∠BOF＝∠EOF－∠BOE＝30°。 13.如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOD和∠AON互余，∠AON＝∠COM。 (1)求∠MOB的度数。 (2)若∠COM＝∠BOC，求∠BOD的度数。 第13题图 解：(1)∵∠BOD和∠AON互余， ∴∠BOD＋∠AON＝90°。 又∵∠AON＝∠COM， ∴∠BOD＋∠COM＝90°， ∴∠MOB＝180°－(∠BOD＋∠COM)＝90°。 (2)设∠COM＝x°，则∠BOC＝5x°， ∴∠BOM＝4x°。 又∵∠BOM＝90°， ∴4x＝90，解得x＝22.5， ∴∠BOD＝90°－∠COM＝90°－22.5°＝67.5°。 14.如图，各图中直线都相交于一点，请探究相交于一点的直线的条数与所形成的对顶角的对数之间的规律。 第14题图 (1)请观察上图并填写下表： 相交于一点的直线的条数 2 3 4 对顶角的对数 2 6 12 (2)若n条直线相交于一点，则共有多少对对顶角(用含n的代数式表示)? (3)若50条直线相交于一点，则共有　2 450　对对顶角。  解：(2)根据规律可得，n条直线相交于一点，共有n(n－1)对对顶角。 (3)当n＝50时，n(n－1)＝50×49＝2 450， 即50条直线相交于一点，共有2 450对对顶角。 15.[推理能力]如图，直线CD，EF相交于点O，射线OA在∠COF的内部，∠DOF＝∠AOD。 第15题图 (1)如图1，若∠AOC＝120°，求∠EOC的度数。 (2)如图2，若∠AOC＝α(60°＜α＜180°)，将射线OA绕点O逆时针旋转60°到OB，求∠EOB的度数(用含α的式子表示)。 (3)如图3，0°＜∠AOC＜120°，将射线OA绕点O顺时针旋转60°到OB，请直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系。 解：(1)∵∠AOC＝120°， ∴∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－120°＝60°， ∴∠DOF＝∠AOD＝20°， ∴∠EOC＝∠DOF＝20°。 (2)∵∠AOC＝α， ∴∠AOD＝180°－α， ∴∠DOF＝∠AOD＝60°－α， ∴∠EOC＝∠DOF＝60°－α。 由题意，得∠AOB＝60°， ∴∠BOC＝α－60°， ∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－α＋α－60°＝α。 (3)①当0°＜∠AOC≤90°时，如答图1。 第15题答图1 ∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝∠AOC＋60°， ∴∠DOF＝∠AOD＝60°－∠AOC， ∴∠EOC＝∠DOF＝60°－∠AOC， ∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－∠AOC＋∠AOC＋60°＝∠AOC＋120°； ②当90°＜∠AOC＜120°时，如答图2。 第15题答图2 ∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝∠AOC＋60°， ∴∠DOF＝∠AOD＝60°－∠AOC， ∴∠EOC＝∠DOF＝60°－∠AOC， ∴∠EOC＋∠BOC＝60°－∠AOC＋∠AOC＋60°＝∠AOC＋120°， ∴∠EOB＝360°－(∠EOC＋∠BOC)＝360°－∠AOC－120°＝240°－∠AOC。 综上所述，当0°＜∠AOC≤90°时，∠EOB＝∠AOC＋120°；当90°＜∠AOC＜120°时，∠EOB＝240°－∠AOC。 学科网（北京）股份有限公司 $