第3章 秘题加练29 单项式与多项式相乘的几何背景（课件PPT）-【全效学习】2024-2025学年七年级下册数学（浙教版·新教材）

该初中数学课件聚焦单项式与多项式相乘的几何背景，以小学“周长一定长方形中正方形面积最大”结论导入，通过图形割补（如长方形割补成正方形推导面积差等量关系）搭建支架，衔接几何直观与代数运算。 其亮点在于以几何直观（数学眼光）和推理意识（数学思维）为核心，结合长方形割补推导x(6-x)=9-(3-x)²、正方形边长变化作差比较S1与S2等实例，采用数形结合教学。助力学生发展几何直观与推理能力，为教师提供具象化教学模型，提升教学效率。

秘题加练29　单项式与多项式相乘的几何背景 3.2　单项式的乘法 七年级下册 ZJ 全效学习 让天下学子共享优质教育！ 返回 通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大。此结论可以利用图形的割补加以说明。 (1)【方法理解】填空：已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是(6－x)。 例 29 返回 当0＜x＜3时，如图1，将此长方形进行如下割补：如图2，长 方形B的一边长是x，相邻一边长是__________。如图3，将长 方形B割补到长方形A的右侧，则MN＝_______。阴影部分是 一个边长为________的正方形。通过上述割补，图1中长方形 的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式x(6 －x)，9，(3－x)2满足的等量关系是___________________。  当3＜x＜6时，割补过程与上述类似。 当x＝3时，该长方形即为正方形。 综上所述，周长是12的长方形的最大面积是_______。  3－x 3 3－x x(6－x)＝9－(3－x)2 9 返回 (2)【方法迁移】当－2＜x＜6时，仿照上述割补过程，求代数式(6－x)(2＋x)的最大值。 返回 解：(1)∵原来长方形的边长分别为x，6－x，长方形B的一边长是x， ∴长方形B相邻一边长＝6－x－3＝3－x， ∴阴影部分是一个边长为3－x的正方形，MN＝x＋3－x＝3。 ∵图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差， ∴x(6－x)＝9－(x－3)2。 当3＜x＜6时，用类似的方法进行割补，如答图1， 答图1 返回 也可以得到x(6－x)＝9－(x－3)2。 当x＝3时，该长方形即为正方形，面积是9。 综上所述，周长是12的长方形的最大面积是9。 (2)当－2＜x＜2时，如答图2，阴影部分是边长为2－x的正方形， 答图2 ∴(6－x)(2＋x)＝42－(2－x)2＝16－(2－x)2。 返回 当2＜x＜6时，如答图3，阴影部分是边长为x－2的正方形， 答图3 ∴(6－x)(2＋x)＝42－(x－2)2＝16－(x－2)2。 当x＝2时，该长方形为边长是4的正方形，面积是16， ∴边长是6－x和2＋x的长方形的最大面积是16。 ∴(6－x)(2＋x)的最大值为16。 返回 [解题秘籍] (1)根据图形面积列出等式即可得到答案。 (2)仿照(1)中图形面积的求法画出相应的图形，求出图形面积的最大值，进而求出(6－x)(2＋x)的最大值。 返回 阅读理解：我们通常用作差法比较代数式大小，例如：已知M＝2x＋3，N＝2x＋1，比较M和N的大小。先求M－N，若M－N＞0，则M＞N；若M－N＜0，则M＜N；若M－N＝0，则M＝N。本题中因为M－N＝2x＋3－(2x＋1)＝2＞0，所以M＞N。 强化训练 29 返回 类比探究：(1)如图1所示为边长是a的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图2所示的新长方形，设此长方形的面积为S1；将图1中正方形相邻两边的长度各增加2得到如图3所示的新正方形，设此正方形的面积为S2。 ①用含a的代数式分别表示S1和S2(结果需化简)。 ②请用作差法比较S1与S2大小。 返回 (2)若M＝a2，N＝(a＋1)2－4，且M＝N，求a的值。 返回 解：(1)①S1＝a(a＋4)＝a2＋4a， S2＝a2＋2a＋2a＋2×2＝a2＋4a＋4。 ②∵S1－S2＝(a2＋4a)－(a2＋4a＋4)＝a2＋4a－a2－4a－4＝－4＜0， ∴S1＜S2。 返回 (2)如答图，将边长为a的正方形相邻两边的长度各增加1，得到边长为a＋1的新正方形，则由M＝N得到a·1＋a·1＋1×1＝4，解得a＝1.5。 返回 $