青海海东市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

高一数学试卷参考答案 1.D因为24=16<30,25=32>30，所以A∩B={5,7). 2.Az=1 则1-√+- 5 5(3+i) 3D由斜二测直观图可知5C=4,0A=25,且OA1BC,则△ABC的面积S=号×4X25 =45, 4.Cf(f()=f(-3)=(-3)2-(-3)+1=13 5B晾-时-E=号AC-币-号AC-(店+是A)=-店+好AC 6C对于选项A,得到函数y=sin(分一)的图象：对于选项B,得到函数y=sn(2x-）) 的图象；对于选项C,得到函数y=sim2x一牙）的图象：对于选项D,得到函数y=sin(2x 受)的图象 7.A如图，由题可知∠ACB=15°+45°=60°，∠BAC=75°，BC=20米，由A BC 正弦定理可得sin/ACB sin/BAC:则AB、0 20sin60°10√5 sin75° √2+G 4 (302-10√6)米. 8.C依题意，可用(x,y)表示掷两枚骰子得到的点数，则2={(x,y)|x,y∈{1,2,3,4,5， 6}. 对于A,A={(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)}, 而B={(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)} 显然事件A与事件B互斥但不对立，如(1,2)∈2，但(1,2)任A,(1,2)庄B,故A错误； 对于B,易得C=AUB,放P(C)=18-1」 362, 因为B=D,所以P(D)=P(B)=, 而CD=D,则P(CD)=P(D)=子则P(CD)≠P(C)P(D),即事件C与事件D不相互独 立，故B错误； 对于C.PA)品，而cUD-C,则P(CUD)=P(C)=, 因为An(CUD)=A,所以P[An(CUD]=PA)=子，而PA)·P(CUD)=×号 【高一数学·参考答案第1页（共5页）】 =g,P[An(cUD]≠PA·P(cUD. 所以事件A与事件CUD不相互独立，故C正确； 对于D,由以上分析可知C∩D=B=D,那么事件B与事件C∩D不互斥，故D错误 9AC因为。≥b0,所以（分》°<（兮》广A正确。-方-b,B不正确。年1产 a十1)+D>0,所以+1>6车1C正确a>b,D不正确 a-b 10.ABD因为a=(2,-3),b=(2,1),所以a·b=4-3=1,a=√22+(-3)2=/13，A,B 都正确. 因为cos(a,b)=a·b >0,所以a与b的夹角为锐角，C错误 1al川b√3×5 口在6上酸设影有量为0-2,1=（号》.D正确 11.ABD如图，设正方形ABCD的中心为G,连接PG.在 △PAC中，E,F,G分别为PA,PC,AC的中点，设PG∩EF =H,则H为PG的中点.在PD上取点J,连接GJ,使得G) 0期P0-dJ且J=D.所以器专A正疏由正西 棱锥P-ABCD可得AC⊥平面PBD,PG⊥平面ABCD,则 3+ EFL平面PBD,连接DH,则VE=SAmm·EF A 专BD·GH,EF,Vm=号×BD·AC·G=VEmB正确 考治-今不妨设AB=2,PA=5,正四棱锥P-A5CD内切球的半径为，外接球的半 为R,则PG=√PA-AG=3,R2=(2)2+(3-R)2,解得R= 5 6.正四棱锥 P-ABCD的体积为写×2X2X5-4后，表面积为2X2+1X名×2X厅可=12，则片× 3,解得，=，一2 12r4 VP-BEQF 号，反号C不正确.因为 VP-BEQ VE-BPQ ,且 VP-ABD VA-BDP SABDP 3,所 VP-BEOE VE8Q-1 以VFAID VA ，从而正四棱锥P-ABCD被平面BEF分成的上、下两部分的体积之 比为1：5，D正确. 12.-2因为之1=1一5i,之2=2+3i,所以之1十之2=3-2i,虚部为-2. 1 因为角a的终边经过点P(3,5)所以tama=子，则sim2a十eos(a+受) 2sin acos a+sin'a 2tan a+tan'a 55 sin a+cos a tan'a+1 34 【高一数学·参考答案第2页（共5页）】 14.(0,1)由题可知，f(x)是R上的增函数，则不等式∫(log3x)<f(1一x)等价于log3x<1 一x,即log3x十x一1<0，显然函数g(x)=logx十x一1在(0，十o∞)上单调递增，且g(1) =0,所以不等式log3x十x一1<0的解集为(0,1)，从而不等式f(1og3x)<f(1-x)的解集 为(0,1). 15.解：记甲袋中的红球为R1,R2,黄球为Y1,乙袋中的红球为R3,黄球为Y2,Y3.…1分 (1)从这两个袋中各随机地取出一个球，样本空间21={(R,R),(R,Y2),(R,Y3),(R2, R3),(R2,Y2),(R2,Y3),(Y1,R3),(Y1,Y2),(Y1,Y3)},共有9个样本点.…4分 记事件A=“取出的球颜色相同”，则A={(R,R3),(R2,R3),(Y1,Y2),(Y1,Y3)},共有 4个样本点，… …6分 故P(A)=,即取出的球颜色相同的概率为； …7分 (2)将甲袋中的球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出两个球，样本空间22={(R,,R2), (R1,R3),(R,Y1),(R1,Y2),(R1,Y3),(R2,R3),(R2,Y1),(R2,Y2),(R2,Y3),(R3,Y1), (R3,Y2),(R3,Y3),(Y1,Y2),(Y1,Y3),(Y2,Y3)},共有15个样本点.…10分 记事件B=“取出的球颜色相同”，则B={(R1,R2),(R1,R3),(R2,R),(Y1,Y2),(Y, Y3),(Y2,Y3)},共有6个样本点，…12分 62 故P(B)=号一号，即取出的球颜色相同的概率为号 13分 16.解：(1)f(x)是偶函数， …1分 证明如下： 由e+1+1>0,可得x∈R, 2分 则f(x)的定义域为R,关于原点对称. 3分 F-z)-In(cw+D)h(+D) …6分 所以∫(x)是偶函数。…7分 (2)令函数h(x)=(x3十x)f(x),由(1)可知f(x)是偶函数，…9分 因为函数y=x3十x是奇函数，… …10分 所以h(x)是奇函数，从而h(x)十h(x)=0,…12分 则g(）+g(-)=h()+h(-）-cosπ-cos(-元)=2.…15分 17.证明：(1)因为△ABC为正三角形，D为AB的中点，所以CD⊥AB. …1分 因为BB1⊥平面ABC,CDC平面ABC,所以BB1⊥CD.…2分 因为ABC平面ABB1A,BB,C平面ABB1A1,AB∩BB,=B,所以CD⊥平面ABB1A1· …3分 因为AEC平面ABB1A1,所以CD⊥A,E. …4分 (2)连接AC1,设AC,与A,C交于点F,则F为AC1的中点.…5分 连接DF,因为D为AB的中点，所以DF为△ABC1的中位线，…6分 则DF/BC1.…7分 又DFC平面A1CD,BC1吐平面A,CD,…8分 所以BC1/平面A,CD.… …9分 【高一数学·参考答案第3页（共5页）】 (3)易得A1D=25,DE=√5，A,E=5,则A,D+DE=A1E2,所A B 以A1D⊥DE.…11分 由(1)可知CD⊥平面ABB1A1,所以AD⊥CD.…13分 因为CDC平面CDE,DEC平面CDE,CD∩DE=D, 所以AD⊥平面CDE.…15分 18.解：(1)由图可知4×(2×0.025十a十2×0.05十0.0625)=1， ……1分 解得a=0.0375.…2分 在样本中，运动时长在[0,4)内的频率为4×0.025=0.1，运动时长在[12,16)内的频率为4a =0.15,…3分 则0.15m—0.1m=10,解得m=200.…4分 (2)因为4×(0.025+0.05)=0.3<0.5,4×(0.025+0.05+0.0625)=0.55>0.5，… …6分 所以样本学生运动时长的中位数在[8,12)内.设中位数为x小时，…7分 则0.0625X(.x一8)=0.2，解得x=11.2,…8分 即样本学生运动时长的中位数为11.2小时. …9分 (3)由图可知，在[8,12)，[12,16)内的样本学生的频率分别为0.25和0.15，·10分 则在[8,16)内的样本学生运动时长的平均数为 10×0.25+14×0.15 0.25+0.15 =11.5.…12分 因为在[8,12)，[12,16)内的样本学生运动时长的方差分别为5和1， 1 所以在[8,16)内的样本学生运动时长的方差s2 0.25+0.15×0.25×[5+(10-11.5)2] 十0.15X[1+(14-11.5)2]}………15分 =7.25.…17分 19.解：1)由余弦定理知c2=a2+b2-2abc0sC=a2+62-号b=25.…1分 因为a2十b2+c2=4ab,所以a2+b2ab,则ab=15.… 2分 由c0sC-号，可得sinC-V-cosC_22 ……3分 3 则△ABC的面积为，absin C-=5√2， …4分 a2+b2>c2, (2)因为△ABC为锐角三角形，所以a2+c2>b2, …5分 b2+c2>a2, [c2=4ab-a2-b2<2ab, 代入a2+b2+c2=4ab,可得b2<2ab, …6分 a2<2ab, 整理得2←分<2，且号1 …7分 【高一数学·参考答案第4页（共5页）】 cosC-a+1c-2+2-2b=只+6-2 2ab ab b 8分 由双勾函数f(x)=x+的单调性可知，(x)在（分，1）上单调递减，在(1,2)上单调递增， 且r()=f2-号f)-2. 9分 从而0<cosC<2: 1 10分 则C∈(，牙 g……………11分 11 1 1cos A cos Bcos C ③)因为an A+tan B tan C sin A sin7nC …12分 _cos Asin B+sin Acos Bcos C sin(A+B)cos C sin C cos C sin C sin Asin B'sin C sin Asin B sin C …13分 sin Asin B sinC+sin Asin Bcos Cabcos C sin Asin Bsin C absin C …14分 2c2+a2+b2-c2a2+b2+c22 2absin C 2absin C sin C 15分 由2可知C∈（停受），所以mCc(,. 16分 则，1十1+1 17分 回回 【高一数学·参考答案第5页（共5页）】高一数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.问答选择题时，选出每小题答笨后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案与在 答题卡上。写在木试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册、第二册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合A={2,3,4.5,7,B={x2>30},则A∩B= A.{4,5,7} B.2,3,4} (.{4,7} D.{5,7} 2.已知复数z满足(3一i)z=5,则|z= 4.10 2 B.√2 c n倍 3.如图所示，一个水平放置的△ABC的斜二测直观图是△A'B'C',若)A'=3,OB=O'C =2,则△ABC的面积是 A.√3 B.2v3 .3v3 D.4/3 4.已知函数f(x)={ 2-z+10 in z,>0, 则(f()》- A.7 B.10 C.13 D.16 5.如图，在△ABC中，Bi=3DC,A京=2F心，E是AD的中点，则E克= &一+Ad C8A店+}AC D.-AB+3AG 【高一数学第1页{共4页)】 6.以下对函数y=sinx的图象的变换中，可以得到函数y=i(2x一)的图象的是 A.先将y=sx的图象王所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，冉将所得的图象向 右平移。个单位长度 B,先将y=smx的图象上所有点的横坐标变为原来的？，纵坐标不变，再将所得的图象向右 平移个单位长度 C.先将y=six的图象向h平移个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原 来的？，纵坐标不变 先将y一snx的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原 来的2倍，纵坐标不变 7.已知点A在点B的正西方向，为了测量A,B两点之间的距离，在观测点C处测得A在C的 北偏西15方向，B在的北偏东45°方向，且B,C两点之间的距离为20米，则A,B两点之 间的距离为 A.(30V2-10v6)米 B.(302+10v6)米 C.(30-10v3)米 D.(30+10v3)米 8.掷两枚均匀的骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件A,“两个点数都是奇数+为 事件B,“两个点数之和是偶数”为事件C,“两个点数之积是奇数”为事件D,则 A.事件A与事件B互为对立事件 B.事件C与事件D相互独立 C.事件A与事件CUD不相互独立 D.事件B与事件C∩D互开 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知u>b>0,则 A(2)》°<(2)” B.a2>b-2 c。9m> D.a2ab 10.已知向量4=(2，一3)，b=(2,1),则下列结论正确的是 A.a·b=1 B.a=13 C.a与b的夹角为钝角 D0在b上的投膨向星的坐标为号，) 【高一数学第2页（共4页）】 11.如图，在正四棱锥P-ABCD中，E,F分别是PA,PC的中点，则下列结论止确的是 A.设PDn平面BEF=Q,则pD3 PQ 1 B.三棱锥E-BDF与正四棱锥P-ABCD的体积之比为1：4 C若是-则正四棱锥P-ABCD内切球与外接球的半径之 比为1：6 ID.正四棱锥P-ABCD被平面BEF分成的上、下两部分的体积 之比为1：5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知复数x:=1一5i,之2=2+3i,则z1十之2的虚部为▲ 13.已知角a的终边经过点P(3,5),则sin2a:cos2(a1)=▲ 14.已知函数f(x)满足对于任意的x,y∈R,当x≠y时，(x-y)[f(x)一f(y)门]>0恒成立， 则不等式f(l0gx)<f(】一x)的解集为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 甲袋中装有两个红球和一个黄球，乙袋中装有一个红球和两个黄球，这些球除颜色外完全 相同. (1)从这两个袋中各随机地取出一个球，求取出的球颜色相同的概率； (2)将甲袋中的球放人乙袋中，再从乙袋中随机地取出两个球，求取出的球颜色相同的概率. 16.(15分) 已知周教f)=l(g+)-多 (1)判断f(x)的奇偶性并证明； (2)若函数g(x)=(x+x)(x)-c0s2x,求g(受)+g(-罗)的值 【高一数学第3负{共4页)】 17.(15分) 如图，在正二棱柱ABC-A.BC1中，D为AB的中点，AA1=AB=4,B,龙=35 (1)证明：CDAE (2)证明：BC1平面A,CD (3)证明：A1D⊥平面CDE. 18.(17分) 为了解学生的身体素质，学校随机地抽取了名学生作为样本，将他每周的运动时长（单 位：小时)分成[0,4)，[4,8)，[8,12)，[12,16)，16,20)，[20,24]六组.根据他们的运动时长 绘制了如图所示的频率分布直方图，在样本中，运动时长在[0,4)内的学生比在[12,16)内的 学生少10人. (1)求a,m的值； (2)求样本学生运动时长的中位数： ↑频率/组距 0.0625 (3)若在[8,12)，[12,16)内的样本学生运动时长的平均数 0.05 分别为10和14，方差分别为5和1，求在[8,16)内的样 本学生运动时长的方差. 0.025 04812162024时长/小时 19.(17分) 已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+b2十c=4ab. (1若(=5,0sC=专，求△ABC的面积： (2)求C的取值范围； 《③求日AadB十的泉值范回 【高一数学第4（共4页）】