3.1 抛物线及其标准方程-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．抛物线y＝x2的焦点坐标为(　　) A．(，0) B．(0，) C．(，0) D．(0，) 解析：选B．抛物线y＝x2化为标准方程x2＝y，所以抛物线的焦点在y轴的正半轴上，且2p＝，＝，所以焦点坐标为(0，).故选B． 2．(2024·江西吉安三中期末)若抛物线C：x2＝4ay过点(－2，1)，则C的准线方程为(　　) A．y＝1 B．y＝－1 C．x＝1 D．x＝－1 解析：选B．抛物线C：x2＝4ay过点(－2，1)，则(－2)2＝4a，解得a＝1，则抛物线C方程为x2＝4y，则C的准线方程为y＝－1.故选B． 3．已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 解析：选C．方程5＝|3x＋4y－12|可化为＝，它表示点M到坐标原点O的距离等于它到直线3x＋4y－12＝0的距离，由抛物线的定义，可知动点M的轨迹是抛物线．故选C． 4．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　　) A．2 B．2 C．3 D．3 解析：选B．由题意得，F(1，0)，则|AF|＝|BF|＝2，即点A到准线x＝－1的距离为2，所以点A的横坐标为－1＋2＝1，不妨设点A在x轴上方，代入得，A(1，2)，所以|AB|＝＝2.故选B． 5．(2024·广西桂林期中)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，且l过点(－3，2)，点M在抛物线C上，若点N(2，4)，则|MF|＋|MN|的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选D．由题可得，准线l的方程为x＝－3.由抛物线的定义可知，|MF|＝xM＋3，|MN|＋|MF|＝|MN|＋xM＋3≥xN＋3＝2＋3＝5.故选D． 6．(多选)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点M在C上且|MF|＝5，则直线MF的方程可能为(　　) A．3x＋4y－3＝0 B．4x＋3y－4＝0 C．3x－4y－3＝0 D．4x－3y－4＝0 解析：选BD．抛物线C：y2＝4x的焦点坐标为F(1，0)，准线为x＝－1，设M(x0，y0)，因为|MF|＝5，所以x0－(－1)＝5，解得x0＝4，所以y＝4×4，解得y0＝±4，所以M(4，4)或(4，－4)，则kMF＝＝或kMF＝＝－，所以直线MF的方程为y＝(x－1)或y＝－(x－1)，即4x－3y－4＝0或4x＋3y－4＝0.故选BD． 7．(2024·陕西西安期末)若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为____________． 解析：由题意可得，p＝2，|yP|＝2，由其解析式可得点P的横坐标为xP＝＝3，由抛物线定义知|PF|＝xP＋＝4. 答案：4 8．(2024·江西贵溪市第一中学检测)若抛物线y2＝8x上一点(x0，y0)到焦点的距离是该点到y轴距离的4倍，则x0＝____________． 解析：抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，准线方程为x＝－2，所以抛物线y2＝8x上一点(x0，y0)到焦点的距离为x0＋2，若抛物线y2＝8x上一点(x0，y0)到焦点的距离是该点到y轴距离的4倍，则x0＋2＝4x0，则x0＝. 答案： 9．(2024·陕西宝鸡联考)若双曲线－＝1的一个焦点在抛物线y2＝2px(p>0)的准线上，则抛物线的标准方程为____________． 解析：由双曲线－＝1的方程可得c2＝10＋6＝16，解得c＝4，所以双曲线的焦点坐标为(±4，0)，抛物线的准线方程为x＝－，由题意可得－＝－4，解得p＝8，所以抛物线的标准方程为y2＝16x. 答案：y2＝16x 10．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上两点A，B，且AB⊥y轴，OA⊥OB，△ABO的面积为16，求抛物线C的标准方程． 解：不妨设点A在第一象限且A(m，n)，则B(－m，n)，可得m2＝2pn.因为AB⊥y轴，且OA⊥OB，所以△AOB为等腰直角三角形，则OA的斜率为1，即m＝n，由△AOB的面积为16，可得·2m·n＝16，解得m＝n＝4，所以p＝2，所以抛物线C的标准方程为x2＝4y. 11.为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示．集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点(　　) A．0.5 m B．1 m C．1.5 m D．2 m 解析：选B．若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处．如图， 画出抛物面的轴截面所在的抛物线，并建立坐标系，设抛物线方程x2＝2py (p>0)，集光板端点A(1，0.25) ，代入抛物线方程，得2p＝4，所以抛物线方程为x2＝4y，故焦点坐标是F(0，1).所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m．故选B． 12．已知抛物线C：x2＝6y的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝3，则|PF|＝(　　) A． B．3 C．5 D．6 解析：选D．如图所示，过点Q作QE⊥l交l于点E，因为＝3，所以|PQ|＝2|QF|＝2|QE|，所以sin ∠QPE＝＝，由C：x2＝6y可得焦点F(0，)，准线方程为y＝－，又焦点F到准线l的距离为3，所以|PF|＝2×3＝6.故选D． 13．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF⊥x轴，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________． 解析：方法一：由题易得|OF|＝，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan ∠OPF＝tan ∠PQF，所以＝，即＝，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－. 方法二：由题易得|OF|＝，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－. 答案：x＝－ 14.如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标． 解：(1)因为抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，于是4＋＝5，所以p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝4x. (2)由题意得A(4，4)，B(0，4)，M(0，2).又F(1，0)，所以kAF＝，则直线FA的方程为y＝(x－1).因为MN⊥FA，所以kMN＝－，则MN的方程为y＝－x＋2.联立 解得所以点N的坐标为. 15．(2024·江西联考)已知抛物线C：y2＝4x，F为抛物线焦点，P为抛物线上一点，M为x轴上一点，若△PFM为等边三角形，则S△PFM＝(　　) A． B．2或4 C．3 D．4或 解析：选D．不妨设点P(t，2)，由抛物线的定义可知|PF|＝t＋＝t＋1， 所以等边△PFM的边长为t＋1，若点M在焦点F的右侧，如图1，由题意可知点M(t＋2，0)，则kPM＝＝－＝－，所以t＝3，则△PFM的边长为4，所以△PFM的面积为×42＝4； 若点M在焦点F的左侧，如图2，由题意可知点M(－t，0)，则kPM＝＝＝，所以t＝，则△PFM的边长为，所以△PFM的面积为×()2＝.综上所述，△PFM的面积为4或.故选D． 16．有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD，按如图所示方式进行折叠，使每次折叠后点B都落在AD边上，此时将B记为B′(图中EF为折痕，点F也可落在边CD上).过点B′作B′T∥CD，交EF于点T，求点T的轨迹方程． 解：如图所示，以边AB的中点为原点，AB边所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(0，－2).连接BT，由题意可知|BT|＝|B′T|，B′T⊥AD，根据抛物线的定义，点T的轨迹是以点B为焦点，以直线AD为准线的抛物线的一部分．设T(x，y)，又|AB|＝4，即定点B到定直线AD的距离为4，所以抛物线的方程为x2＝－8y.由题意可知，|AB′|∈[0，4]，而x＝|AB′|，所以0≤x≤4.故点T的轨迹方程为x2＝－8y(0≤x≤4). 学科网（北京）股份有限公司 $