(第二章)2.1-2.2 双曲线及标准方程 简单几何性质 讲义-2026-2027学年高二上学期 数学 北师大版 选择性必修第一册

2.1双曲线及其标准方程BS 2.2双曲线简单几何性质BS 目录 考点一 双曲线的定义及其应用 2 考点二 双曲线的标准方程 8 考点三 双曲线几何性质及其应用 16 考点四 与渐近线相关 30 考点五 离心率 39 考点六 与双曲线最值相关 52 考点一 双曲线的定义及其应用 知识点： 1、定义:平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 集合:. ①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． 【例1】到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹为(　　) A．椭圆 B．两条射线 C．双曲线 D．线段 【答案】B 【解析】∵到两定点F1(﹣3，0)、F2(3，0)的距离之差的绝对值等于6， 而|F1F2|＝6，∴满足条件的点的轨迹为两条射线．故选B． 典例： 1．设圆与两圆，中的一个内切，另一个外切，则圆的圆心轨迹的方程为______. 【答案】 【详解】设、的圆心分别为，圆的半径为. 当圆与圆内切，与圆外切时， 这时有，圆的圆心轨迹是以为焦点的双曲线的左支； 当圆与圆外切，与圆内切时， 这时有，圆的圆心轨迹是以为焦点的双曲线的右支，因此圆的圆心轨迹是以为焦点的双曲线， ，所以方程为：.故答案为： 2．一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：已知圆：圆心，半径为4， 动圆圆心为，半径为， 当两圆外切时：，所以； 当两圆内切时：，所以； 即，表示动点P到两定点的距离之差为常数4，符合双曲线的定义， 所以P在以M、N为焦点的双曲线上，且，， ， 所以动圆圆心的轨迹方程为：， 故选：C. 3．已知定点是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，当点在轴左侧时，连接，，则，所以． 结合为线段的垂直平分线，可得， 所以．同理，当点在轴右侧时，． 故点的轨迹是双曲线，其方程为．故选：B 4．已知双曲线的离心率为分别是的左、右焦点，是上一点，且，则__________. 【答案】9 【详解】由题知：，解得. 由双曲线定义知：，，，或， 又，故不满足，.故答案为：9. 5．在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； 【答案】(1) 【详解】（1）解：由题设得，即， 整理得； 6．设点是椭圆的左、右顶点，动点P使得直线与的斜率之积为2，记点P的轨迹为． (1)求的方程； 【答案】(1) 【详解】（1）由题意得，设动点，则动点P不与点相同，即， ∴直线的斜率为，直线的斜率， 由题意得，即，， 即动点P的轨迹的方程为：； 变式训练： 1．已知，则动点的轨迹是(　) A．一条射线 B．双曲线右支 C．双曲线 D．双曲线左支 【答案】A 【解析】因为，故动点的轨迹是一条射线，其方程为：，故选A. 2. 已知平面中的两点，则满足的点M的轨迹是 ( ) A．椭圆 B．双曲线 C．一条线段 D．两条射线 【答案】B 【解析】由题意得：，且=4,因为，因此符合双曲线的定义，故点M的轨迹是双曲线，故选：B. 3．平面内，一个动点，两个定点，，若为大于零的常数，则动点的轨迹为( ) A．双曲线 B．射线 C．线段 D．双曲线的一支或射线 【答案】D 【解析】两个定点的距离为, 当时，点的轨迹为双曲线的一支； 当时，点的轨迹为射线； 不存在的情况.综上所述，的轨迹为双曲线的一支或射线.故选：D 4、已知点为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【详解】由于为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点， 所以，故， 由于， 所以， 故选：A 5、设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．5或13 【答案】B 【详解】双曲线的， 由双曲线的定义可得． 因为，所以，得或17， 若，则在右支上，应有，不成立； 若，则在左支上，应有，成立． 故选：B． 6、已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（    ） A．20 B．22 C．28 D．36 【答案】C 【详解】由题意知，， 所以， 又， 所以， 所以的周长为． 故选：C． 7.双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；是双曲线上的一点，且，则 ． 【答案】9 【详解】由题意得：焦距，在双曲线中有， 因为，解得， 由双曲线的定义：， 解得或， 由图可知，可知被舍去， 所以. 故答案为：. 8.已知点P在双曲线C：上，，别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则点P到x轴的距离为 且 ． 【答案】 4 【详解】由已知得双曲线的实半轴长为，虚半轴长为， 则右焦点的横坐标为，设点， 则，所以，点P到x轴的距离为4， 由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得， 由双曲线的定义，得， 所以． 故答案为： 9．已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点M在双曲线的右支上，且，则 ． 【答案】 【详解】由题意可得，由双曲线的定义得， 而，解得，， 由余弦定理得 ，所以． 故答案为： 考点二 双曲线的标准方程 标准方程 （） （） 图形 间的关系 【例1】在下列条件下求双曲线标准方程 (1)经过两点； (2)，经过点，焦点在轴上. (3)过点(3，－)，离心率e＝； (4)中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－)． 【答案】(1);(2)(3) ； (4). 【解析】(1)由于双曲线过点，故且焦点在轴上，设方程为，代入得，解得，故双曲线的方程为. (2)由于双曲线焦点在轴上，故设双曲线方程为.将点代入双曲线方程得，解得，故双曲线的方程为. (3)若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为(a＞0，b＞0)． 因为双曲线过点(3，－)，则.① 又e＝，故a2＝4b2.② 由①②得a2＝1，b2＝，故所求双曲线的标准方程为. 若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为 (a＞0，b＞0)． 同理可得b2＝－ ，不符合题意． 综上可知，所求双曲线的标准方程为. (4)由2a＝2b得a＝b，所以 e＝，所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点P(4，－ )，所以 16－10＝λ，即λ＝6. 所以 双曲线方程为x2－y2＝6.所以 双曲线的标准方程为. 【例2】过点，且与圆外切的动圆圆心P的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】点，且圆的圆心，半径为2， 由题意，即， 所以点P的轨迹为以A，B为焦点的双曲线的左支，且，， 得，故圆心P的轨迹方程为． 故答案为：. 典例： 1．经过两点、的双曲线的标准方程为_________________. 【答案】 【详解】设双曲线的方程为，因为所求双曲线经过点、， 所以解得，故所求双曲线方程为. 故答案为： 2．已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为____________________. 【答案】 【详解】依题意，设所求的双曲线的方程为. 点为该双曲线上的点， . 该双曲线的方程为：，即. 故本题正确答案是. 变式训练： 1．焦点在轴上，实轴长为4，虚轴长为的双曲线的标准方程是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为双曲线的实轴长是，虚轴长是所以，所以 所以双曲线的标准方程是故选：A 2．已知离心率为2的双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】双曲线与椭圆有公共焦点由椭圆可得双曲线离心率， 双曲线的方程为：故选：C 3．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得：，则实轴长为：，虚轴长为， 由题意有：，解得：，代入可得双曲线方程为. 4. 双曲线经过点，焦点分别为、，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，，所以，所以双曲线的方程为.故选：D. 5. 以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由椭圆方程可知椭圆的焦点坐标为，上下顶点坐标为， 所以双曲线的顶点为，，焦点为，，，所以双曲线方程为. 6. 与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意不妨设所求双曲线的标准方程为， 则，即椭圆与所求双曲线的公共焦点为， 由双曲线的定义可知 所以，所以所求双曲线的标准方程为.故选：C. 7．过双曲线：的左焦点作斜率为的直线，恰好与圆相切，的右顶点为，且，则双曲线的标准方程为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设左焦点为，则直线方程， 即，因为直线恰好与圆相切， 所以圆心到直线的距离等于半径， 即，得，则. 则， 解得，.则.所以双曲线的标准方程为.故选:B. 8．已知双曲线的一条渐近线方程为，为该双曲线上一点，为其左、右焦点，且，，则该双曲线的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则由渐近线方程为，， 又， 所以 两式相减，得， 而，所以， 所以，所以，， 故双曲线的方程为. 故选：D 9．已知是双曲线的左焦点，过作一条渐近线的垂线与右支交于点，垂足为，且，则双曲线方程为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设双曲线右焦点为，连接， 左焦点到渐近线的距离为， 故， 在中，，由双曲线定义得， 在中，由余弦定理得， 整理得，即， 又，解得，， 双曲线方程为.故选：D. 10.已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设动圆的半径为r， 则，， 则， 根据双曲线的定义知，动圆的圆心的轨迹为双曲线的左半支． 故选：C． 11.已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】设，由题意可知，， 整理可得动点的轨迹方程为. 故答案为：. 12.双曲线C：的两个焦点为、，点在双曲线C上，且满足，则双曲线C的标准方程为 ． 【答案】 【详解】解：由题，设，，因为， 所以， 因为， 所以，解得， 因为，解得， 所以，双曲线的标准方程为． 故答案为：． 考点三 双曲线几何性质及其应用 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 【例1】(1)已知双曲线，直线l过其左焦点，交双曲线左支于A、B两点，且，为双曲线的右焦点，的周长为20，则m的值为 ( ) A．8 B．9 C．16 D．20 (2)设分别是双曲线的两个焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】(1)B(2)D 【解析】(1)由已知，|AB|+|AF2|+|BF2|＝20，又|AB|＝4，则|AF2|+|BF2|＝16． 据双曲线定义，2a＝|AF2|﹣|AF1|＝|BF2|﹣|BF1|，所以4a＝|AF2|+|BF2|﹣(|AF1|+|BF1|)＝16﹣4＝12， 即a＝3，所以m＝a2＝9，故选B． (2)设，则由双曲线的定义可得 故，又， 故，故， 所以的面积为.故选：D. 【例2】方程表示双曲线的充分不必要条件是( ) A． 或 B． C． D． 或 【答案】C 【解析】方程表示双曲线，可得，解得或； 记集合或；所以方程表示双曲线的充分不必要条件为集合的真子集， 由于，故选：． 典例： 1、（2016 新课标一卷）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是 A．(–1,3) B．(–1,) C．(0,3) D．(0,) 【答案】A 【详解】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A． 2．（2022 新高考二卷）（多选）已知曲线.（    ） A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m=n>0，则C是圆，其半径为 C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D．若m=0，n>0，则C是两条直线 【答案】ACD 【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线. 【详解】对于A，若，则可化为， 因为，所以， 即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则可化为， 此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确； 对于C，若，则可化为， 此时曲线表示双曲线， 由可得，故C正确； 对于D，若，则可化为， ，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确； 故选：ACD. 3．已知是双曲线：的左焦点，、为右支上的点，若的长等于虚轴长的2倍，且点在线段上，则的周长为（    ） A．22 B．28 C．38 D．44 【答案】D 【详解】∵双曲线的左焦点， ∴点是双曲线的右焦点，则，即虚轴长为， 双曲线图象如图： ∵ ①，②，而， ∴①+②得：， ∴周长为，故选：D. 变式训练： 1．已知是双曲线的两个焦点，点为该双曲线上一点，若，且，则( ) A．1 B． C． D．3 【答案】A 【解析】双曲线化为标准方程可得即 由双曲线定义可知,所以, 又因为,所以, 由以上两式可得,由得, 所以,解得,故选:A. 2．已知双曲线:的左右焦点分别为,为的右支上一点,且,则的面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵双曲线中∴ ∵∴ 作边上的高，则∴ ∴的面积为故选C 3．已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是 A．(–1,3) B．(–1,) C．(0,3) D．(0,) 【答案】A 【解析】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A． 4． “”是“方程表示双曲线”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】可以直接求出方程表示双曲线的充要条件，即为 ，因此可知条件和结论之间的关系是充要条件，因此选C. 5．方程表示双曲线，则k的取值范围是( ) A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】方程表示双曲线，则，解得或.故选：D. 6.已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以，解得. 故选：A. 7.（多选）对于曲线，下面说法正确的是（    ） A．若，曲线的长轴长为2 B．若曲线是椭圆，则的取值范围是 C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为，则值为3 【答案】CD 【详解】A选项，为椭圆方程，故长轴长为，A错误； B选项，，解得或，B错误； C选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，故，解得，C正确； D选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为， 故，解得， 又，解得，D正确. 故选：CD 8.（多选）已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线是椭圆 B．当或时，曲线是双曲线 C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 【答案】BC 【详解】对A，当曲线是椭圆时，则，解得或，故A错误； 对B，当曲线是双曲线时，，解得或，故B正确； 对C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确； 对D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则解得，故D错误． 故选：BC． 9.（多选）若方程表示的曲线为E，则下列说法正确的是（    ） A．曲线E可能为抛物线 B．当时，曲线E为圆 C．当或时，曲线E为双曲线 D．当时，曲线E为椭圆 【答案】BC 【详解】曲线E的方程为：，显然且， 对于A，因为不论取符合条件的任何实数，曲线E的方程都不符合抛物线方程的特征，因此曲线E不可能为抛物线，A错误； 对于B，当时，曲线E的方程为：，曲线E为圆，B正确； 对于C，当时，曲线E的方程为：，曲线E为焦点在y轴上的双曲线， 当时，曲线E的方程为：，曲线E为焦点在x轴上的双曲线， 因此当或时，曲线E为双曲线，C正确； 对于D，因为当时，曲线E为圆，因此当时，曲线E不一定为椭圆，D错误. 故选：BC 10.若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】将双曲线方程化为焦点在轴上的标准方程为 则，解得：. 故答案为： 11．方程表示双曲线的一个充分不必要条件是( ) A．－3＜m＜0 B．－3＜m＜2 C．－3＜m＜4 D．－1＜m＜3 【答案】A 【解析】由题意知，，则C，D均不正确，而B为充要条件，不合题意，故选A. 12．已知曲线的方程为，则下列结论正确的是( ) A．当时，曲线为椭圆，其焦距为 B．当时，曲线为双曲线，其离心率为 C．存在实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线 D．当时，曲线为双曲线，其渐近线与圆相切 【答案】B 【解析】对于，当时，曲线的方程为，轨迹为椭圆， 焦距，错误； 对于，当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线， 则，，离心率，正确； 对于，若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，解集为空集， 不存在实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线，错误； 对于，当时，曲线的方程为，其渐近线方程为， 则圆的圆心到渐近线的距离， 双曲线渐近线与圆不相切，错误.故选：. 13．若m为实数，则“”是“曲线C：表示双曲线”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若方程表示双曲线， 则，得， 由可以得到，故充分性成立； 由推不出，故必要性不成立； 则“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，故选：． 14．若，则是方程表示双曲线的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为方程表示双曲线， 所以，解得， 因为， 所以是方程表示双曲线的必要不充分条件， 故选：B 15．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】把曲线转化为， 因为曲线表示焦点在轴上的双曲线， 所以，即，解得. 故选：B. 16.设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于__________． 【答案】12 【解析】由于，因此，，故，由于即，而，所以，，，所以，因此. 17．已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为_______． 【答案】 【解析】因为 , 所以， 18.已知，为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，，则 ． 【答案】 【详解】，，则，，， . 故答案为：. 19.已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于，两点，若，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【详解】双曲线的实半轴长， 由双曲线的定义，可得 所以， 则三角形的周长为. 故选：B 20．设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【答案】 【详解】 由题意，，不妨设， 则，由余弦定理， 所以，， 所以，. 故答案为：. 21. 若是双曲线的两个焦点，P是双曲线左支上的点，且的面积是16，则______ 【答案】32 【解析】由，得，即， 所以，即 ， 根据已知条件做出图形如图所示 设， 则由双曲线的定义知，①，②， 由余弦定理得③， 联立①②③，得 ，即， 又，所以，，所以，即. 所以为直角三角形， 所以，解得. 故答案为：. 22. 已知双曲线，是它的两个焦点，为坐标原点，是双曲线右支上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点坐标为，由题意可知，，，则，，，.在中，由余弦定理可得： ， 即，解得．因为，则． 因为，所以，解得． 又因为点P在双曲线，所以， 则.故选：A 23.（多选）已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线上点，且的内切圆圆心为，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线PF1的斜率为 C．的周长为 D．的外接圆半径为 【答案】ACD 【详解】如图1，由条件，点应在双曲线的右支上， 设圆分别与的三边切于点，则由题， 且，， 又 ，A选项正确； 由选项A得，连接、、，则， 所以，B选项错误； 同理，， ， ， 所以由焦三角面积公式得， 又，故得， 的周长为，选项正确； 由， 由正弦定理得，D选项正确. 故选：ACD. 考点四 与渐近线相关 【例1】已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则双曲线的渐近线方程为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，、分别为双曲线的左、右焦点，点在上， 且满足，可得，，， 由双曲线的定义可知，即， 又由，所以双曲线的渐近线方程为.故选：C. 典例： 1．若为双曲线：上异于，的动点，且直线与的斜率之积为5，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，即， 则，则，故的渐近线方程为.故选：C 2．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：∵椭圆和双曲线有公共焦点，∴，整理得， ∴双曲线的渐近线方程为y=，故选D． 考点：本题主要考查双曲线、椭圆的标准方程及几何性质． 3．（2023甲卷）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则， 解得， 所以双曲线的渐近线为， 当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 故选：D 4．（2023天津）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案. 【详解】如图，    因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以， 所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为 故选：D 5．已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为．若为直角三角形，则 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】不妨假设点在第一象限、点在第四象限，.则易知，，∴，在中，，， ∴. 故选C 6．已知为双曲线的左､右焦点，过作的垂线分别交双曲线的左､右两支于两点(如图).若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由，设，由得，，所以， ，又得， ，令，化简得：，得，所以渐近线方程为， 故选：C. 变式训练： 1． 双曲线的渐近线方程为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】双曲线的渐近线方程满足，整理可得.故选：A. 2．双曲线的顶点到渐近线的距离是__________. 【答案】 【解析】双曲线的标准方程为，故双曲线顶点为，渐近线方程为.点到直线的距离为.故填. 3. 已知双曲线，则其渐近线方程为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】双曲线方程为，则渐近线方程为：即．故选：A． 4．设焦点在x轴上的双曲线的虚轴长为2，焦距为，则该双曲线的渐近线方程( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为焦点在轴上的双曲线虚轴长为，焦距为，所以， 则有，，则，则双曲线的标准方程为： ， 该双曲线的渐近线方程为为：故选：C． 5．设双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知，，解得，所以双曲线的渐近线方程为：，选B. 6．已知双曲线以椭圆的焦点为顶点，左右顶点为焦点，则的渐近线方程为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知的焦点坐标为，顶点为，故渐近线方程为.故选:A. 7．设双曲线的左、右顶点分别为、，若点为双曲线左支上的一点，且直线、的斜率分别为，，则双曲线的渐近线方程为______________. 【答案】 【解析】的方程为，的方程为，则， 将点的坐标，代入双曲线，则，则，则， 则双曲线渐近线方程为.故答案为：. 8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，点．若周长的最小值为，则双曲线的渐近线方程为________． 【答案】 【解析】的周长为 ， 故，而，故，所以双曲线的渐近线方程为． 故答案为： 9.若双曲线的一条渐近线与直线垂直，且直线过双曲线的一个焦点，则双曲线实轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由双曲线的一条渐近线与直线垂直且可得， 由直线过双曲线的一个焦点可得， 又， 解得，， 所以双曲线实轴长， 故选：C 10.已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知双曲线的实轴长为，则，解得，所以该双曲线的渐近线方程为． 故选：A. 11.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角小于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得的渐近线方程为，则． 故选：B. 12.已知双曲线（）的两条渐近线为，，过双曲线右焦点且垂直于轴的直线交，分别于点，，为坐标原点，若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由双曲线方程得其渐近线方程为， 由题知轴且过右焦点，令，得，. 则的面积，解得. 双曲线（），，解得. 故选：. 13.已知双曲线的实轴比虚轴长2，且焦点到渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设双曲线焦点为，一条渐近线方程为， 所以该焦点到渐近线的距离为， 又双曲线实轴比虚轴长2，故，即， 故双曲线的方程为； （2）当直线的斜率不存在时，若动直线与双曲线恰有1个公共点， 则直线经过双曲线的顶点，不妨设，又渐近线方程为， 将代入，得，将代入，得， 则，； 当直线的斜率存在，设直线，且， 联立，消去并整理得， 因为动直线与双曲线恰有1个公共点， 所以，得， 设动直线与的交点为，与的交点为， 联立，得，同理得， 则， 因为原点到直线的距离， 所以， 又因为，所以，即， 故的面积为定值，且定值为. 考点五 离心率 【例1】若实数满足：，则圆锥曲线的离心率是( ) A．或 B．或 C． D．或10 【答案】A 【解析】由，所以，当时，方程为，表示焦点在y轴的椭圆， 其中，，故离心率；当时，方程为，表示焦点在x轴的双曲线，其中，，故离心率,故选择A. 【例2】 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线：与交于，两点.若，则双曲线的离心率为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】联立解得，不妨设，， 而，则，即， 即，整理可得， 解得.故选：A. 【例3】设是双曲线C：的右焦点，O为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点P，N，直线PO交双曲线C于另一点M，若，且，则双曲线C的离心率为( ) A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】设双曲线的左焦点为F1，由双曲线的对称性可知四边形MF2PF1为平行四边形． ∴．设，则， ∴，即．∵， 又，在△MF1F2中，由余弦定理可得：， 即，∴双曲线的离心率e．故选D． 典例： 1．（2020 新课标一卷）已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________. 【答案】2 【详解】联立，解得，所以. 依题可得，，，即，变形得，, 因此，双曲线的离心率为. 故答案为：． 2．已知双曲线 （，），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且，则E的离心率是（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】令x＝c，代入双曲线的方程可得y＝±b±， 由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，），C（c，），D（c，）， 由2|AB|＝3|BC|，可得 2•3•2c，即为2b2＝3ac， 由b2＝c2﹣a2，e，可得2e2﹣3e﹣2＝0， 解得e＝2（负的舍去）．故选A． 3．（2024 新高考一卷）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 【答案】 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 4．设是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则的离心率为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分析：利用双曲线的定义和已知条件，即可求得，进而确定三角形的最小内角，再利用余弦定理和离心率计算公式即可求得结果. 详解：不妨设，则， 又，解得， 则是的最小内角为， 所以， 所以， 化简得，解得，故选D. 5．（2023 新高考一卷）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 【答案】/ 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 变式训练： 1．在平面直角坐标系xOy中，若点P(，0)到双曲线C：的一条渐近线的距离为6，则双曲线C的离心率为( ) A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【解析】双曲线C：的一条渐近线为，则，解得，.故选：A. 2．已知、为双曲线：的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，，，则双曲线的离心率为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意作图如下： 设.∵ ∴ ∵由双曲线焦半径公式知，∴ ∴故选C. 3．已知，为双曲线的焦点，为与双由线的交点，且有，则该双曲线的离心率为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知， 在中，，可设，则， 由勾股定理得，， 又由得，所以.故选：C 4．若双曲线(，)的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】双曲线的一条渐近线经过点， 点在直线上， ． 则该双曲线的离心率为. 故选：． 5. 已知双曲线与椭圆的焦点相同，则该双曲线的离心率为( ) A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】椭圆的焦点坐标为，， 所以，解得， 所以双曲线方程为，离心率，故选：A. 6.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，虚轴长为，离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由双曲线，可得，所以， 所以双曲线的左顶点，右焦点，故AB错误； 虚轴长，故C错误； 离心率，故D正确. 故选：D. 7．已知双曲线E：（）的右焦点F到其一条渐近线的距离为1，则E的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由题意可知，双曲线焦点在轴，，右焦点到渐近线的距离， 所以，，. 故选：A 8.已知双曲线的左焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】根据双曲线的几何性质可知，左焦点， 其到渐近线的距离为， 因为，所以. 故选：C． 9.设，是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，可得， 由双曲线定义可知， 所以，，， 由勾股定理可得，可得， 故， 故选:B. 10．已知双曲线的左右焦点分别为，曲线上存在一点，使得为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，为等腰直角三角形，且， 运用勾股定理，知道根据．由双曲线定义，知道， 即，解得，故离心率为：. 故选：C. 11．设双曲线的左、右两焦点分别为，P是双曲线右支上一点，且三角形为正三角形(O为坐标原点)，则双曲线的离心率是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，三角形为正三角形，则，连接 可得，又，即，所以 故选：B 12．已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，那么该双曲线的离心率是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于双曲线的渐近线为，所以， 所以.故选：D 13.（多选）设O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，离心率为2，焦点到渐近线的距离为，点为双曲线上一点，则（　　） A．若，则 B．若的面积为，则 C．若线段的中点在y轴上，则 D．内切圆的圆心到轴的距离为1 【答案】BCD 【详解】渐近线方程为， 由题意可得，焦点到渐近线的距离为，结合，解得，则双曲线的方程为 ， ，所以 或，选项A错； 记，则， 由，可得，即有，所以，选项B对： 因为的中点在轴上，所以,故轴，故，选项C对； 取点在双曲线的右支上，如图所示， ， 又因为，解得，， 所以切点是双曲线的右顶点，从而内切圆圆心的横坐标为1，选项D对． 故选：BCD． 14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，若过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且.又以双曲线的顶点为圆心，半径为的圆恰好经过双曲线虚轴的端点，则双曲线的离心率为 . 【答案】2 【详解】令，依题意，，解得， 显然，，， 而，于是， 在中，由余弦定理， 得，解得，即， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：2 15.双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线左支上一点，，直线交双曲线的另一支于点，，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则，，由双曲线定义得，故，由勾股定理得，即①， 连接，则，故，由勾股定理得，即②，由②得，代入①得，故.故选：C 考点六 与双曲线最值相关 【例1】已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若C为双曲线右焦点C(3,0)，则，|AC|=5, 而，仅当共线且在之间时等号成立， 典例： 1．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【详解】由，得，则， 所以左焦点为，右焦点， 则由双曲线的定义得， 因为点在双曲线的两支之间， 所以， 所以，当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为9，故选：A 2．已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得双曲线焦点在轴上，，，， 所以下焦点，设上焦点为，则， 根据双曲线定义：，在上支， ，, 在中两边之差小于第三边，， ,  .故选：D. 变式训练： 1.已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【解析】由双曲线，则，即，且， 由题意，，，当且仅当共线时，等号成立.故选：C. 2. 已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（    ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【解析】依题意，下焦点，设上焦点，双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为，所以延长时，与双曲线没有交点，，设延长，交双曲线上支于，依题意，是双曲线上支上的动点，根据双曲线的定义可知，，当在点时等号成立，则，所以，所以，所以，所以的最大值不存在.故选：A 3. 已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在双曲线中，，， ，， 设双曲线的右焦点为，则， 在双曲线的右支上， ，即， 由题知，圆心，半径，在圆上，， 则， 当，，三点共线且Q位于另两点之间时，取得最小值为， 此时， 的最小值为.故选：D. 4.过双曲线的右支上的一点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【详解】设双曲线的左、右焦点分别为， ． 故选：B 5.已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【答案】B 【详解】由圆可化为，则，半径为1， 因为是的下焦点，则， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是. 故选：B. 6.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点A在双曲线C的右支上，若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】依题意，，即. 所以,解得， 所以，， 因为点A在双曲线C的右支上， 所以，即， 所以. 当且仅当点在线段上时等号成立. 故答案为：. 7.设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点P是C右支上的一点，则的最小值为 ． 【答案】8 【详解】，， ， 而函数在上单调递增， 所以当且仅当时，. 故答案为：8. 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1双曲线及其标准方程BS 2.2双曲线简单几何性质BS 目录 考点一 双曲线的定义及其应用 2 考点二 双曲线的标准方程 4 考点三 双曲线几何性质及其应用 8 考点四 与渐近线相关 13 考点五 离心率 17 考点六 与双曲线最值相关 21 考点一 双曲线的定义及其应用 知识点： 1、定义:平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 集合:. ①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． 【例1】到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹为(　　) A．椭圆 B．两条射线 C．双曲线 D．线段 典例： 1．设圆与两圆，中的一个内切，另一个外切，则圆的圆心轨迹的方程为______. 2．一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知定点是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的离心率为分别是的左、右焦点，是上一点，且，则__________. 5．在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； 6．设点是椭圆的左、右顶点，动点P使得直线与的斜率之积为2，记点P的轨迹为． (1)求的方程； 变式训练： 1．已知，则动点的轨迹是(　) A．一条射线 B．双曲线右支 C．双曲线 D．双曲线左支 2. 已知平面中的两点，则满足的点M的轨迹是 ( ) A．椭圆 B．双曲线 C．一条线段 D．两条射线 3．平面内，一个动点，两个定点，，若为大于零的常数，则动点的轨迹为( ) A．双曲线 B．射线 C．线段 D．双曲线的一支或射线 4、已知点为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5、设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．5或13 6、已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（    ） A．20 B．22 C．28 D．36 7.双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；是双曲线上的一点，且，则 ． 8.已知点P在双曲线C：上，，别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则点P到x轴的距离为 且 ． 9．已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点M在双曲线的右支上，且，则 ． 考点二 双曲线的标准方程 标准方程 （） （） 图形 间的关系 【例1】在下列条件下求双曲线标准方程 (1)经过两点； (2)，经过点，焦点在轴上. (3)过点(3，－)，离心率e＝； (4)中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－)． 【例2】过点，且与圆外切的动圆圆心P的轨迹方程为 ． 典例： 1．经过两点、的双曲线的标准方程为_________________. 2．已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为____________________. 变式训练： 1．焦点在轴上，实轴长为4，虚轴长为的双曲线的标准方程是( ) A． B． C． D． 2．已知离心率为2的双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为( ) A． B． C． D． 3．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为( ) A． B． C． D． 4. 双曲线经过点，焦点分别为、，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 5. 以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6. 与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 7．过双曲线：的左焦点作斜率为的直线，恰好与圆相切，的右顶点为，且，则双曲线的标准方程为( ) A． B． C． D． 8．已知双曲线的一条渐近线方程为，为该双曲线上一点，为其左、右焦点，且，，则该双曲线的方程为( ) A． B． C． D． 9．已知是双曲线的左焦点，过作一条渐近线的垂线与右支交于点，垂足为，且，则双曲线方程为( ) A． B． C． D． 10.已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 11.已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为 . 12.双曲线C：的两个焦点为、，点在双曲线C上，且满足，则双曲线C的标准方程为 ． 考点三 双曲线几何性质及其应用 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 【例1】(1)已知双曲线，直线l过其左焦点，交双曲线左支于A、B两点，且，为双曲线的右焦点，的周长为20，则m的值为 ( ) A．8 B．9 C．16 D．20 (2)设分别是双曲线的两个焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A． B． C． D． 【例2】方程表示双曲线的充分不必要条件是( ) A． 或 B． C． D． 或 典例： 1、（2016 新课标一卷）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是 A．(–1,3) B．(–1,) C．(0,3) D．(0,) 2．（2022 新高考二卷）（多选）已知曲线.（    ） A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m=n>0，则C是圆，其半径为 C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D．若m=0，n>0，则C是两条直线 3．已知是双曲线：的左焦点，、为右支上的点，若的长等于虚轴长的2倍，且点在线段上，则的周长为（    ） A．22 B．28 C．38 D．44 变式训练： 1．已知是双曲线的两个焦点，点为该双曲线上一点，若，且，则( ) A．1 B． C． D．3 2．已知双曲线:的左右焦点分别为,为的右支上一点,且,则的面积等于（ ） A． B． C． D． 3．已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是 A．(–1,3) B．(–1,) C．(0,3) D．(0,) 4． “”是“方程表示双曲线”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．方程表示双曲线，则k的取值范围是( ) A． B． C． D．或 6.已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7.（多选）对于曲线，下面说法正确的是（    ） A．若，曲线的长轴长为2 B．若曲线是椭圆，则的取值范围是 C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为，则值为3 8.（多选）已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线是椭圆 B．当或时，曲线是双曲线 C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 9.（多选）若方程表示的曲线为E，则下列说法正确的是（    ） A．曲线E可能为抛物线 B．当时，曲线E为圆 C．当或时，曲线E为双曲线 D．当时，曲线E为椭圆 10.若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 . 11．方程表示双曲线的一个充分不必要条件是( ) A．－3＜m＜0 B．－3＜m＜2 C．－3＜m＜4 D．－1＜m＜3 12．已知曲线的方程为，则下列结论正确的是( ) A．当时，曲线为椭圆，其焦距为 B．当时，曲线为双曲线，其离心率为 C．存在实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线 D．当时，曲线为双曲线，其渐近线与圆相切 13．若m为实数，则“”是“曲线C：表示双曲线”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．若，则是方程表示双曲线的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D． 16.设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于__________． 17．已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为_______． 18.已知，为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，，则 ． 19.已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于，两点，若，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 20．设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 21. 若是双曲线的两个焦点，P是双曲线左支上的点，且的面积是16，则______ 22. 已知双曲线，是它的两个焦点，为坐标原点，是双曲线右支上一点，，则（    ） A． B． C． D． 23.（多选）已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线上点，且的内切圆圆心为，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线PF1的斜率为 C．的周长为 D．的外接圆半径为 考点四 与渐近线相关 【例1】已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则双曲线的渐近线方程为( ) A． B． C． D． 典例： 1．若为双曲线：上异于，的动点，且直线与的斜率之积为5，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D． 3．（2023甲卷）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023天津）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为．若为直角三角形，则 A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知为双曲线的左､右焦点，过作的垂线分别交双曲线的左､右两支于两点(如图).若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 变式训练： 1． 双曲线的渐近线方程为( ) A． B． C． D． 2．双曲线的顶点到渐近线的距离是__________. 3. 已知双曲线，则其渐近线方程为( ) A． B． C． D． 4．设焦点在x轴上的双曲线的虚轴长为2，焦距为，则该双曲线的渐近线方程( ) A． B． C． D． 5．设双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A． B． C． D． 6．已知双曲线以椭圆的焦点为顶点，左右顶点为焦点，则的渐近线方程为( ) A． B． C． D． 7．设双曲线的左、右顶点分别为、，若点为双曲线左支上的一点，且直线、的斜率分别为，，则双曲线的渐近线方程为______________. 8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，点．若周长的最小值为，则双曲线的渐近线方程为________． 9.若双曲线的一条渐近线与直线垂直，且直线过双曲线的一个焦点，则双曲线实轴长为（    ） A． B． C． D． 10.已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 11.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角小于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12.已知双曲线（）的两条渐近线为，，过双曲线右焦点且垂直于轴的直线交，分别于点，，为坐标原点，若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 13.已知双曲线的实轴比虚轴长2，且焦点到渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 考点五 离心率 【例1】若实数满足：，则圆锥曲线的离心率是( ) A．或 B．或 C． D．或10 【例2】 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线：与交于，两点.若，则双曲线的离心率为( ) A． B． C． D． 【例3】设是双曲线C：的右焦点，O为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点P，N，直线PO交双曲线C于另一点M，若，且，则双曲线C的离心率为( ) A．3 B．2 C． D． 典例： 1．（2020 新课标一卷）已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________. 2．已知双曲线 （，），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且，则E的离心率是（　　） A．2 B．3 C． D． 3．（2024 新高考一卷）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 4．设是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则的离心率为 A． B． C． D． 5．（2023 新高考一卷）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 变式训练： 1．在平面直角坐标系xOy中，若点P(，0)到双曲线C：的一条渐近线的距离为6，则双曲线C的离心率为( ) A．2 B．4 C． D． 2．已知、为双曲线：的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，，，则双曲线的离心率为( ) A． B． C． D． 3．已知，为双曲线的焦点，为与双由线的交点，且有，则该双曲线的离心率为( ) A． B． C． D． 4．若双曲线(，)的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为( ) A． B． C． D． 5. 已知双曲线与椭圆的焦点相同，则该双曲线的离心率为( ) A． B． C． D．3 6.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，虚轴长为，离心率为，则（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线E：（）的右焦点F到其一条渐近线的距离为1，则E的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 8.已知双曲线的左焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 9.设，是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．已知双曲线的左右焦点分别为，曲线上存在一点，使得为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 11．设双曲线的左、右两焦点分别为，P是双曲线右支上一点，且三角形为正三角形(O为坐标原点)，则双曲线的离心率是( ) A． B． C． D． 12．已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，那么该双曲线的离心率是( ) A． B． C． D． 13.（多选）设O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，离心率为2，焦点到渐近线的距离为，点为双曲线上一点，则（　　） A．若，则 B．若的面积为，则 C．若线段的中点在y轴上，则 D．内切圆的圆心到轴的距离为1 14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，若过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且.又以双曲线的顶点为圆心，半径为的圆恰好经过双曲线虚轴的端点，则双曲线的离心率为 . 15.双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线左支上一点，，直线交双曲线的另一支于点，，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 考点六 与双曲线最值相关 【例1】已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 典例： 1．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 2．已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 变式训练： 1.已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 2. 已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（    ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 3. 已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4.过双曲线的右支上的一点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 5.已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 6.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点A在双曲线C的右支上，若，则的最小值为 ． 7.设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点P是C右支上的一点，则的最小值为 ． 16 学科网（北京）股份有限公司 $