2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

2．2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 学习目标 1.依据双曲线的方程、图象研究双曲线的几何性质．　2.依据几何条件求出双曲线的标准方程，并利用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题． 一　双曲线的几何性质 1．双曲线的几何性质 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图象 性质焦点 ______________ ______________ 焦距 ________________ 范围 __________，且y∈R ____________ ________，且x∈R 对称性 对称轴：________； 对称中心：______ 顶点 ______________ ______________ 性质 轴 实轴：线段________，长：________；虚轴：线段______，长：______，实半轴长：________，虚半轴长：________ 离心率 e＝∈____________ 渐近线 ______________ ______________ 2.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率e＝. 点拨　(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置． (2)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然． (3)双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． [答案自填] F1(－c，0)，F2(c，0)　F1(0，－c)，F2(0，c)　|F1F2|＝2c　x≤－a或x≥a　y≤－a或y≥a　坐标轴　原点　A1(－a，0)，A2(a，0)　A1(0，－a)，A2(0，a)　A1A2　2a B1B2　2b　a　b　(1，＋∞)　y＝±x y＝±x 　求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图． 【解】　将4x2－y2＝4变形为x2－＝1，所以a＝1，b＝2，c＝. 因此顶点坐标为A1(－1，0)，A2(1，0)；焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)；实半轴长a＝1，虚半轴长b＝2；离心率e＝＝＝；渐近线方程为y＝±x＝±2x，草图如图所示． 【变式探究】 (条件变式)若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m>0，n>0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． 解：把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c＝，焦点坐标为(－，0)，(，0)，离心率e＝＝＝，顶点坐标为(－，0)，(，0)，所以渐近线方程为y＝± x，即y＝±x. 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式； (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值； (3)由c2＝a2＋b2求出c的值； (4)写出双曲线的几何性质． [注意]　求性质时一定要注意焦点的位置． [跟踪训练1] 求双曲线25y2－16x2＝400的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 解：把方程25y2－16x2＝400化为标准方程为－＝1.由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝5；c＝＝＝，焦点坐标是(0，－)，(0，)；离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x. 二　由双曲线的几何性质求标准方程 　根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程． (1)过点P(3，－)，离心率e＝； (2)F1，F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12，且离心率e＝2. 【解】　(1)若双曲线的实轴在x轴上，则设－＝1(a＞0，b＞0)为所求双曲线的标准方程．由e＝，得＝，① 由点P(3，－)在双曲线上，得－＝1，② 由a2＋b2＝c2，结合①②得a2＝1，b2＝.若双曲线的实轴在y轴上，则设－＝1(a＞0，b＞0)为所求双曲线的标准方程．同理有＝，－＝1，a2＋b2＝c2，解得b2＝－(不符合题意).综上，所求双曲线的标准方程为x2－＝1. (2)设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由题意知|F1F2|＝2c，e＝＝2，由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c.由余弦定理得(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos ∠F1PF2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|·(1－cos ∠F1PF2)，所以4c2＝c2＋|PF1|·|PF2|.又S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝12，所以|PF1|·|PF2|＝48.所以3c2＝48，所以c2＝16，所以a2＝4，b2＝12.故所求双曲线的标准方程为－＝1. 求双曲线的标准方程的方法 (1)解决此类问题的常用方法是先定型(焦点在哪个轴上)，再定量(确定a2，b2的值).要特别注意a2＋b2＝c2的应用，并注意不要与椭圆中的关系相混淆． (2)如果已知双曲线的方程为标准式，但不知焦点所处的位置，也可把双曲线方程设为mx2－ny2＝1(m，n同号)，然后由条件求m，n. [跟踪训练2] 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； (2)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分； (3)焦点在x轴上，离心率为，且过点(5，4). 解：(1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则2b＝8，e＝＝，从而b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为－＝1. (2)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分，可得2c＝4a＝12，即c＝6，则b2＝c2－a2＝62－32＝27.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. (3)方法一：因为e＝＝，所以c＝a，b2＝c2－a2＝a2.又焦点在x轴上，故可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0).把(5，4)代入方程得－＝1，解得a2＝9.故所求双曲线的标准方程为－＝1. 方法二：由离心率为知，所求双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为x2－y2＝k(k≠0)，把点(5，4)的坐标代入方程得k＝9，故所求双曲线的标准方程为－＝1. 三　双曲线简单实际问题的应用 　(2024·江西联考)3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6 cm，下底直径为9 cm，喉部的直径为8 cm，则该塔筒的高为(　　) A． cm B．18 cm C． cm D．18 cm 【解析】　该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点O为原点，建立平面直角坐标系，设A与B分别为上，下底面对应点．设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，因为双曲线的离心率为＝，所以b2＝9a2.又喉部的直径为8 cm，所以2a＝8，a＝4，所以双曲线的方程为－＝1.由题意可知xA＝3，xB＝，代入双曲线方程，得yA＝3，yB＝－，所以该塔筒的高为yA－yB＝.故选C． 【答案】　C 双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程或几何性质的问题．特别要注意在实际意义下隐含着的变量范围． [跟踪训练3] 景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷花瓶，它的颈部(图2)外形上下对称，基本可看作是离心率为的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所成的曲面，若该颈部中最细处直径为16 cm，颈部高为20 cm，则瓶口的直径为(　　) A．20 cm B．30 cm C．40 cm D．50 cm 解析：选A．如图，作出截面图．点M(x0，y0)是双曲线与截面的一个交点．设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)， 则所以所以b＝＝，所以双曲线的标准方程为－＝1，将y0＝10代入得－＝1，解得x0＝10，所以瓶口的直径为20 cm. 1．若椭圆＋＝1和双曲线－＝1有相同的焦点，则实数n的值是(　　) A．±5 B．±3 C．5 D．9 解析：选B．由题意知，34－n2＝n2＋16，所以2n2＝18，n2＝9，所以n＝±3. 2．(多选)下列关于双曲线Γ：－y2＝1的判断，正确的是(　　) A．顶点坐标为(±2，0) B．焦点坐标为(±，0) C．实轴长为4 D．虚轴长为2 解析：选ACD．对于双曲线Γ，a＝2，b＝1，则c＝＝＝，对于A，双曲线Γ的顶点坐标为(±2，0)，A正确；对于B，双曲线Γ的焦点坐标为(±，0)，B错误；对于C，双曲线Γ的实轴长为2a＝4，C正确；对于D，双曲线Γ的虚轴长为2b＝2，D正确．故选ACD． 3．以椭圆＋＝1的焦点为焦点，且过点(2，) 的双曲线的方程为________________． 解析：由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x轴上．设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0).根据题意得解得或 (舍去)，所以所求双曲线的方程为－＝1. 答案：－＝1 4．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1，2)； (2)与椭圆＋＝1有公共焦点，离心率为. 解：(1)由题意可设所求双曲线方程为－＝1(mn>0)，由题意，得解得 故所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)由椭圆方程可得焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，即c＝3，且焦点在x轴上．设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，因为e＝＝，所以a＝2，则b2＝c2－a2＝5.故所求双曲线的标准方程为－＝1. 1．已学习：双曲线的几何性质． 2．须贯通：用待定系数法求双曲线方程． 3．应注意：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错． 学科网（北京）股份有限公司 $