第08讲 平行线分线段成比例 暑假预习讲义-2026年 沪教版（五四制）九年级数学上册

学科网 第08讲 平行线分线段成比例（知识详解+6典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：三角形一边平行线定理1 知识点02：三角形一边平行线定理2 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：A字型模型计算 题型02：8字型模型 题型03：三线平行比例计算 题型04：多层平行/梯形平行培优题型 题型05：A字+8字综合模型 题型06：平行线分线段成比例作图题 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（11） 三、解答题（7） 【知识点01】三角形一边平行线定理1 定理内容：平行于三角形一边的直线，截三角形其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 模型1：A字型（三角形内部平行） 在中，，直线分别交于点，可得三组比例式： 模型2：8字型（X型，延长线平行） 直线，交的延长线于，上述三组比例式依然成立，比例关系不变。 拓展核心结论： 平行于三角形一边的直线截三角形两边，截得的小三角形的三边与原三角形三边对应成比例： 【知识点02】三角形一边平行线定理2 定理内容：两条直线被三条或多条互相平行的直线所截，截得的对应线段成比例。 图示设定：设，三条平行线分别截直线于三点，截直线于三点。 几何符号语言： 如图，直线////，直线与直线被直线、、所截，那么． 特殊推论：平行线等分线段定理 若一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的对应线段也相等。即：若，则（常用于证明中点、线段相等、中位线相关题型）。 平行线分线段成比例速记口诀！！！ 平行线分线段，成比例是关键。 先找出平行线，再找出上、下、全，对应之比均相等，代入数值求线段。 易错分析！！！ 易错点1在求两条线段的比时忽略了要统一单位 易错点2判断线段是否成比例时，局限于字母的顺序而出错 易错点3解题时漏掉一个黄金分割点 易错点4判断三角形中线段平行时，判断线段成比例时，比例式中不能有要证明的平行线 【题型01】A字型模型计算 【典例1-1】如图，在ABC中，D，E分别是AB,AC上的点，且DE// BC，若AE： EC=1： 4，那么的值为（ ） A．1∶16 B．1∶18 C．1∶20 D．1∶24 【典例1-2】（25-26九年级上·上海·期中）如图，点，都在格点上（网格小正方形的边长为1），点是线段与网格线的交点，则的长为__________. 【典例1-3】（25-26九年级上·上海·阶段检测）在中，点D、E分别在边上，，如果，AD：：3，那么的长为________． 【变式1-1】（25-26九年级上·上海·期中）如图，点、分别在的边、上，，且，，则______________． 【变式1-2】（24-25九年级上·上海·自主招生）如图，为边上一点，，则_____________． 【变式1-3】（24-25九年级上·上海青浦·期中）在中，点和分别在直线和上，且，如果，，那么的长等于______． 【题型02】8字型模型 【典例2-1】（25-26九年级上·上海黄浦·期中）已知点、分别在的边和的反向延长线上，．当时，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，点分别在边延长线上，，如果，，那么的长是__________．    【典例2-3】（25-26九年级上·上海金山·阶段检测）已知点D、E分别在的边、的延长线上，，，，则_______． 【变式2-1】如图，在平行四边形中，点在边上，若，则 ． 【变式2-2】如图，为对角线上任意一点．求证：． 【变式2-3】如图，在平行四边形中，的延长线上有一点，交于点，交 于点． 求证：． 【题型03】三线平行比例计算 【典例3-1】（2025·上海嘉定·一模）如图，已知直线分别与直线交于点，与直线交于点，如果，那么___________． 【典例3-2】（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）如图所示，已知直线，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例3-3】（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，，如果，那么___________． 【变式3-1】（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，，则________． 【变式3-3】（25-26九年级上·上海虹口·期中）如图，直线、、分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且．已知． (1)求的长； (2)点O是直线与的交点，如果，求的长． 【题型04】多层平行/梯形平行培优题型 【典例4-1】如图，在中，，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）如图，，，那么__________． 【典例4-3】（25-26九年级上·上海青浦·期末）如图，已知，，，________． 【变式4-1】（24-25九年级上·上海·期中）在中，点D、E、F分别在边上，联结DE、DF，如果，，且，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，在梯形中，，对角线交于点，过点作，分别交于点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26九年级上·上海虹口·期中）定义：如果一条直线把一个图形的周长等分成两个部分,称这条直线为“绝美分割线”．如图,在梯形中,, ,一条与平行的“绝美分割线”分别交边、边于点E、F,那么的长是_______． 【题型05】A字+8字综合模型 【典例5-1】如图，已知E是AC的中点，C是BD的中点，那么＝___． 【典例5-2】如图，在梯形中，，对角线、交于点，点在上， 且，已知，．求的长． 【典例5-3】如图，在中，，且，求的值． 【变式5-1】如图，平行四边形中，点、分别在、上，交于点， 若，，求的值． A D B C E F G 【变式5-2】如图，在中，设、是、上的两点，且，延长交 的延长线于点，，，求的长． A B C D E F 【变式5-3】如图，已知中，点、分别在边、上，且， ，直线和的延长线交于点，求． A B C D E F 【题型06】平行线分线段成比例作图题 【典例6】（24-25九年级上·上海黄浦·期中）已知线段、、，求作第四比例线段，则以下正确的作图是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】）已知，求作x，那么下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知线段，求作线段，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24九年级上·上海·阶段检测）已知线段a，b，c，作线段x，使，那么正确的作法是（   ） A． B． C． D． 1. 熟练识别A字、8字基础几何模型，快速精准书写三组标准比例式； 2. 线段计算优先采用方程思想，通过比例关系列等式求解； 3. 证明直线平行，必须严格使用比例判定定理，规范推理逻辑。 一、单选题 1．（25-26九年级上·上海·期中）已知，线段，求作线段，使得，那么下列作法中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点、都在横线上，如果线段的长为6，那么的长是（    ） A．8 B．9 C．11 D．12 3．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，已知，那么下列比例式中错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）如图，已知直线、被三条互相平行的直线、、所截，其中点A、B、C在直线上，点D、E、F在直线上．下列四个结论①，②，③，④中，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2025·上海嘉定·一模）如图，两条不平行的直线与直线相交于点，四条平行线分别交直线于点、、、，分别交直线于点、、、，则有．如果，，，那么在下列结果中，线段之差最大的是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·上海普陀·二模）如图1，在矩形中，，．正方形的顶点E在的延长线上，，点G在边上，O为正方形的中心，如果过点O的一条直线平分这个组合图形的面积，且这条直线分别交、于点M、N，那么线段的长为（   ） A． B． C． D．13 二、填空题 7．（2025·上海青浦·一模）如图，，如果，那么______． 8．（2026·上海长宁·一模）如图，两条直线被三条平行线、、所截，分别相交于点、、、、、，若，那么当时，的长为___________． 9．（24-25九年级上·上海宝山·阶段检测）如图，已知在中，点D、E分别是边、上的点，，，且，则__________． 10．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，那么的长为_______cm． 11．（25-26九年级上·上海金山·阶段检测）已知分别在梯形的边上，，，，______． 12．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，已知，它们依次交直线和于点和点，如果，，那么___________． 13．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，中，，若，，求等于___________ 14．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）如图，在四边形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点，如果，，那么_______．（用含有字母a的代数式表示） 15．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F．如果，，那么______． 16．（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，在中，D为边上的中点，点E为边上一点，交于点G，当时，则_____． 17．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在等腰中，，点在的延长线上，，点在边上，，则的值是___________． 三、解答题 18．（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，点D在边上，，．求证：． 19.如图，在中，点D在线段上，，，，，求的长．    20.已知，如图，AB＝3，BC＝5，DF＝16，求DE和EF的长． 21．（25-26九年级上·北京·期中）已知：中，是边上的中线，过作一直线交于，交于．求证：． 22．（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知，且．求：线段的长． 23.如图，已知，它们依次交直线、、于点A、B、C和点D、E、F和点Q、H、P，与相交于的中点G，若． (1)如果，求的长； (2)在（1）的条件下，如果，求的长． 24．（25-26九年级上·上海金山·阶段检测）在不等式领域中有一个重要结论叫“均值不等式”，表述如下：对于任意的正数a，b，都有，当且仅当“”时，等号成立．这个结论是解决最值问题的有力工具．例如：若时，则有，即，当且仅当，即时，等号成立，从而有最小值为2． (1)填空：若，则的最小值为_______，此时_______； (2)现有一个面积为的锐角三角形，按照如图所示的方式裁剪正方形，正方形面积S的最大值是多少？某学习小组对该问题做了如下探索： 设，，边上的高，最终推导出． ①请你补充该小组的推导过程； ②该小组发现要使得内接正方形面积S最大，也就是求x的最大值，只需使分母最小即可．由为定值，即，可得．请结合以上信息，求底边长a为多少时，内接正方形面积S最大，最大值为多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $。 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未一 第08讲平行线分线段成比例（知识详解+6典例精讲+课后作业） 目标导航 知识详解核心内容 知识点01：三角形一边平行线定理1 知识点02：三角形一边平行线定理2 题型01：A字型模型计算 题型02：8字型模型 典例精讲·例题解析 (举三反三) 题型03：三线平行比例计算 题型04：多层平行/梯形平行培优题型 题型05：A字+8字综合模型 题型06：平行线分线段成比例作图题 课后作业·巩固延伸 一、 单选题(6) 二、填空题(11) 三、解答题(7) ☆2 知识详解·核心内容 【知识点01】三角形一边平行线定理1 定理内容：平行于三角形一边的直线，截三角形其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 模型1：A字型（三角形内部平行） 在△ABC中，DE‖BC,直线DE分别交AB、AC于点D、E,可得三组比例式： AD AE AD AE DB EC DB EC'AB AC'ABAC 模型2：8字型(X型，延长线平行) 直线DE‖BC,交AB、AC的延长线于D、E,上述三组比例式依然成立，比例关系不变。 拓展核心结论 平行于三角形一边的直线截三角形两边，截得的小三角形的三边与原三角形三边对应成比例： DE BC AD-AE-DE AB AC BC 1 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 B 【知识点02】三角形一边平行线定理2 定理内容：两条直线被三条或多条互相平行的直线所截，截得的对应线段成比例。 图示设定：设L3‖l415,三条平行线分别截直线l,于A、B、C三点，截直线l于D、E、F三点。 几何符号语言： DF EG 如图，直线/1乃/1乃，直线m与直线n被直线、马、马所截，那么FBGC G 特殊推论：平行线等分线段定理 若一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的对应线段也相等。即：若AB=BC,则 DE=EF(常用于证明中点、线段相等、中位线相关题型)。 平行线分线段成比例速记口诀！！！ 平行线分线段，成比例是关键。 先找出平行线，再找出上、下、全，对应之比均相等，代入数值求线段。 易错分析！！！ 易错点1在求两条线段的比时忽略了要统一单位 易错点2判断线段是否成比例时，局限于字母的顺序而出错 2 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 易错点3解题时漏掉一个黄金分割点 易错点4判断三角形中线段平行时，判断线段成比例时，比例式中不能有要证明的平行线 典例精讲·例题解析 【题型01】A字型模型计算 【典例l-l1】如图，在ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且DE∥BC,若AE:EC-=l:4,那么S△De:SAc的 值为() A D A.1:16 B.1:18 C.1:20 D.1:24 【答案】C AE 1 【详解】解：：EC4: SAENC 4' 4 .DE BC, AD AE1 ·DBEC4' 3 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 SMDE =1 SABDE 4 .S△BDE=4S△ADE, 又S△BDES△ABE-SAADE, 4SAADE=4SAEBC-SAADE SADE =1 SAERC 20 故选：C 【典例1-2】(25-26九年级上上海期中)如图，点A,B都在格点上（网格小正方形的边长为1），点C是线段AB 与网格线的交点，则AC的长为 【答案】 4W13 3 【详解】解：如图：CD⊥BE,AE⊥BE D .CD∥AE 4 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 在Rt△AEB中，AE=4,BE=6 则：AB=V42+62=23, CD∥AE, AC_DE_4_2 ·AB=BE63 4C=4B=2×2B-4 2 3 3 3: 故答案为： 4v3 3 【典例1-3】(25-26九年级上·上海阶段检测)在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC,如果AC=6 AD:DB=1:3,那么CE的长为 【答案】2 【详解】解：，DE∥BC, AD AE ·ABAC ,AD:DB=1:3, ∴.设AD=k,DB=3k,则AB=AD+DB=k+3k=4k, AD_k=1 ·AB4k4 .AC4 ,AC=6, 5 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 AE 1 .64 :AE=63 42 CE=AC-AE=6-3-12_39 2-222 9 故答案为：2 B 【变式1-1】(25-26九年级上·上海·期中)如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC,且S△AD=4 SABCE=24,则SBDE= 【答案】8 【详解】解：，DE∥BC, AD AE ·DBEC' S△4DE=AD SABDE BD· 6 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉二 S.ABEAE ·S.CEC, SADESABE S.BDE SBCE 设S△BDE=x,又S△ADE=4,SABCE=24, 44+x x24, “解方程并检验得：=8，七=12（舍）， ∴.S.BDE=8 【变式1-2】(2425九年级上：上海自主招生)如图，∠B=90°，D为BC边上一点，∠ADB=3∠C,BD=l,DC=3,则 AB= D 【塔灯合而 【详解】解：作DC的中垂线交BC于点F,交AC于点E, B D 故DE=CE,∠EDC=∠C, ∠AED=∠C+∠EDC=2∠C, 7 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 又∠ADB=∠C+∠DAE=3∠C, ∴.∠DAE=2∠C, .∠DEA=∠AED, .AD DE .AD=DE=EC, 由∠B=90°， EF‖AB EF:AB=CF:CB=1.5:4=3:8, 设AB=8x, 则EF=3x 根据勾股定理，得AB+BD2=AD=DE2=DF2+EF2, 9 64x2+1=2+9x2, 4 解得xs 22, 故AB=8x= 4W11 11 4 故答案为：1 【变式1-3】(2425九年级上：上海青浦期中)在△ABC中，点D和E分别在直线AB和AC上，且ED∥BC,如果 AD:DB=5:2,AC=21,那么AE的长等于 【答案】15或35 8 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【详解】解：当D,E在边AB和AC上时，如图， B ED∥BC, .AE EC=AD:DB=5:2. .AE:AC=5:7, 4c=4c-x21=15 当D,E在边AB和AC的延长线上时，如图： B E ,ED∥BC, .AE:EC=AD:DB=5:2. .AE:AC=5:3, 46=4C-×21=35, 3 9 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 故答案为：15或35. 【题型02】8字型模型 【典例2-1】(25-26九年级上：上海黄浦期中)己知点D、E分别在△ABC的边AB和AC的反向延长线上， BD=3AB.当AC=kCE时，DE∥BC,那么k的值是() 1 A.3 3 C.z 3 B.3 D.2 【答案】A 【详解】解：如图， 当DE∥BC时， BD_EC=3, 则ABAC c-tc 1 .k=- 3 故选：A 【典例2-2】(2025·上海徐汇·一模)如图，在△ODC中，点A,B分别在边C0,D0延长线上，AB‖CD,如果D0=6, A0:C0=2:3,那么B0的长是 10 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 【答案】4 【详解】解：AB∥CD。 AO BO 2 C0D0=3 D0=6, B0=2」 631 .BO=4: 故答案为：4. 【典例2-3】(25-26九年级上·上海金山阶段检测)已知点D、E分别在△ABC的边BA、CA的延长线上，DE∥BC, ED:BC=3:5,AD=6,则AB= 【答案】10 【详解】解：如图， E .DE∥BC, 11 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期蛛 AD ED 3 ·ABBC5' 3D :AB 3 ×6=10 故答案为：10 【变式2-1】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，若DE:EC=1:2,则BF:BE= 【答案】3：5 CE CE 2 【解析】DE:EC=1:2,可知CDAB3, BF AB3 由CEIIAB,可知EFCE2,故BF:BE=3:5. 【变式2-2】如图，P为ABCD对角线BD上任意一点.求证：POPI=PRPS 【解析】证明：：四边形ABCD为平行四边形， :AB//CD,AD//BC, 12 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 ∴.RB//DI,SD//BO PI PD PS 根据三角形一边平行线的性质定理，则有PR PB PO, PQ·PI=PR.PS 【变式2-3】如图，在平行四边形ABCD中，CD的延长线上有一点E,BE交AC于点F,交AD于点G. 求证：BF2=FGEF, E D G 【解析】证明：四边形ABCD为平行四边形， .AB//CD,AD//BC. .AB//CE,AG//BC. 根据三角形一边平行线的性质定理， EF CF BF 则有：BF AF FG, ..BF2=FG.EF 【题型03】三线平行比例计算 【典例3-1】(2025上海嘉定一模)如图，已知直线←44分别与直线m交于点ABC,与直线n交于点 D、E、F,如果II3AB=2BC,DE=6,那么DF= 13 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 m B E 13 【答案】15 【详解】解：∥∥， AB DE ·BCEF, .3AB=2BC, AB 2 ·BC3 DE 2 EF3 .DE=6. 62 ·EF=3 ∴EF=9, .'DF=DE+EF=15. 故答案为：15。 【典例3-2】(2425九年级上：上海虹口阶段检测)如图所示，己知直线a∥b∥c,下列结论中，正确的是() 14 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味二 D AB BC CD BC CE AD AF AD A.EFCE B. EF BE C.DF-BC D.BEBC 【答案】D 【详解】a∥b∥c, AD BC DF CE, 故A选项不正确，不符合题意： AD BC AF BE,故B选项不正确，不符合题意： CE BC DF AD, 故C选项不正确，不符合题意： AF AD BE BC, 故D选项正确，不符合题意： 故选：D 【典例3-3】(25-26九年级上·上海阶段检测)如图，Il21凸，如果AF=4,FB=5,CD=18,那么CE= D 【答案】8 15 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味三 【详解】解：AF=4,FB=5, AB=9, ✉4l2, CEAF CD AB' CE 4 189 ∴.CE=8 故答案为：8 【变式3-1】(25-26九年级上·上海宝山期末)如图，AD∥BE∥CF,直线12与这三条平行线分别交于点A、B、 C和点D、E、F,则下列结论不正确的是() A D E AB DE ABBE BC EF AB AC A. BC EF B.ACCF C.ACDF D. DEDE 【答案】B 【详解】解：，AD∥BE∥CF, AB DE BC EF AB DE ·BC=EF,ACDF,ACDF 16 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 AB AC DE DF' 故A、C、D正确，不符合题意； 而B选项结论不能证明，故错误，符合题意， 故选：B 【变式3-2】(24-25九年级上上海青浦期中)如图，∥4∥，AB=2,AC=5,DF=10,则FE= 【答案】6 【详解】解：川， FE BC DFAC AB=2,AC=5,DF=10, .BC=5-2=3, FE BC 3 则DF=AC5 ÷FE=DF=6 故答案为：6 17 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件讲义、单元、月考、期中期味 【变式3-3】(25-26九年级上上海虹口期中)如图，直线、2、1分别交直线4于点A、B、C,交直线'于点D、 E、F,且l∥4∥%.己知AB=5,BC=3,DF=12. 5、D B (1)求DE的长： (2)点O是直线l4与5的交点，如果BE=2,DA=3,求CF的长. 【详解】(1)解：AB=5,BC=3,DF=12, ∴AC=AB+BC=8 4∥4∥3， AB DE AC DF· 5 DE 8=12 解得DE=7.5. 答：DE的长为7.5 (2):BE=2,DA=3,4∥1∥4， DO AD 3 DO AD ·OE=BE-2,OFCF, 18 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 :D0=2DB=2x7.5=45 5 .0F=DF-D0=12-4.5=7.5, 4.53 75CF’ 解得CF=5 答：CF的长为5. 【题型04】多层平行梯形平行培优题型 【典例4-1】如图，在△4BC中，MN1IBC,DNIIMC,下列结论正确的是(） D AM AM AD DN C.MB AM AN DN MN NC AB B.DMMC AC D.MC-BC 【答案】D 【详解】·MNBC AN MN 4C= C· .DNI/MC ANDN AC MC 19 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味三 DN MN .MC BC 故选：D 【典例4-2】(23-24九年级上：上海金山阶段检测)如图，AD∥EF∥BC,BE=2AE,DF=3cm,那么DC= cm E B 【答案】9 【详解】解：：AD∥EF∥BC, AE DF :AB DC' .BE =2AE, AE1 AB3' AE DF 1 ·ABDC3' .DF =3cm, .DC =9cm, 故答案为：9. 【典例4-3】(25-26九年级上上海青浦期末)如图，己知AC∥EF∥DB,AF:BF=2:3,CD=10,CE= 20 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【答案】4 【详解】解：，AC∥EF∥DB, .CE:DE=AF:BF=2:3. .CE:CD=2:5, ,CD=10, .CE=4; 故答案为：4. 【变式4-1】(2425九年级上：上海期中)在△ABC中，点D、E、F分别在边BC.AB AC上，联结DE、DF,如果 DE∥AC,DF∥AB,且AE:EB=2:3,那么AF:FC的值是() A.5 B. 2 3 C. 【答案】C 【详解】解：DE∥AC,AE:EB=2:3, .CD:DB=AE:EB=2:3. 则DB:CD=3:2, DF∥AB, .AF:FC=DB:CD=3:2. 21 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 B D 故选：C 【变式4-2】(25-26九年级上：上海普陀阶段检测)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,对角线ACBD交于点O, 过点O作EF∥AD,分别交AB、CD于点E、F.下列结论不一定正确的是() AE DF A.EBFC B.OE=OF 0E0E=1 C.AD BC D.OA=OD 【答案】D 【详解】解：A:AD∥BC,EF∥AD, AEDF EBFC' 该选项正确： B.:AD∥BC,EF∥AD, OE BE CF OF AD AB CD AD' .OE=OF: 该选项正确： 22 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 C.AD∥BC,EF∥AD, OE BE OE AE AD-AB'BC AB' OEOE BE AE :.AD X BC ABAB =1. 该选项正确： D根据给出条件无法得出OA=OD 该选项不一定正确： 故选：D 【变式43】(25-26九年级上·上海虹口期中)定义：如果一条直线把一个图形的周长等分成两个部分，称这条直线为 “绝美分割线”.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AD=1,AB=2,DC=3,BC=4,一条与AD平行的“绝美分割线” 分别交边AB、边DC于点E、E那么AE的长是一 D B 【答案】1.6 【知识点】平行公理的应用、利用平行四边形性质和判定证明、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，平行线间线段成比例，平行公理的推论，掌握知识点是解题的关键： 过点D作DM∥AB,交BC于点M交EF于点N,先证明四边形ABMD,AEDN是平行四边形，得到BM=AD=L, DN_DE DN_DF=k,则 DM=AB=2'CM=BC-BM=4-1=3,推导出EF∥BC,得到DMDC,设2 3 AE=DN=2k,DF=3kBE=AB-AE=2-2k,CF=CD-DF=3-3k,再由C梯形FD=C梯形BCPE,得到 23 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 AD+AE+DF=BE+BC+CF,列方程求出k的值即可 【详解】解：如图所示，过点D作DM∥AB,交BC于点M,交EF于点N, D N B M ,DM∥AB,AD∥BC ∴.四边形ABMD是平行四边形， BM AD=1,DM=AB=2, ∴.CM=BC-BM=4-1=3, ,AD∥EF,AD∥BC, .EF∥BC, DN DF …DM DC四边形AEND是平行四边形， DN DF .2=3,AE=DN' DN_DF-k, 设23 则DN=2k,DF=3k, ·AE=2k,即BE=AB-AE=2-2k,CF=CD-DF=3-3k, ,EF是在梯形ABCD“绝美分割线”，AD∥EF, 24 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 .AD+AE+DF BE+BC+CF, 即1+2k+3k=2-2k+4+3-3, 解得k=0.8, ∴.AE=2×0.8=1.6 故答案为：1.6 【题型05】A字+8字综合模型 FE 【典例5-1】如图，己知B是AC的中点，C是BD的中点，那么ED=一· 【答案】3 【详解】解：如图，过点C作CG∥BF,交DF于点G, :CGIIBF,E是AC的中点， FE =AE=1, ·GECE 25 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 .FE=GE, ..GF =2FE, CGIIBF,C是BD的中点， DG DC GF BC =1, ..DG=GF=2FE. ∴.DE=DG+GE=3FE, FEFE 1 ·DE3FE3 故答案为：3 【典例5-2】如图，在梯形ABCD中，ADIIBC,对角线AC、BD交于点O,点E在AB上，且EO1IBC,己知 AD=3,BC=6.求EO的长. D B 【答案】2. A0 AD 3 1 【解析】由AD1/BC,可得：COBC62, A0 1 EO AO 1 故AC3,由EO1IBC,BCAC3,求得EO=2 【典例5-3】如图，在△ABC中，DE1IBC,且AD:AB=2:3,求EO:EB的值. 26 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 D E 【答案】2：5」 DE AD 2 EO DE 2 【解析】由DE/1BC,可得BCAB3,则B0BC3,根据比例的合比性，可得EO:EB=2:5, 【变式5-1】如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、AD上，EF交AC于点G,若AE:EB=2:3, AF:AD=1:2,求AG:AC的值. A E 、G H-- 【答案】2：9 【解析】延长FE交CB的延长线于点H. AF AE 2 .AF //BH,..BH EB 3. AF AF 2 又AF:AD=1:2,故可得：C72AF+BH7, AG AF 2 .AF //CH GC CH 7,AG:AC=2:9 【变式5-2】如图，在△ABC中，设D、E是AB、AC上的两点，且BD=CE,延长DE交BC的延长线于点F, AB:AC=3:5,EF=12Cm,求DF的长 27 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期蛛 A D E F H 【答案】20cm. 【解析】过点D作DH/IAC交BC于H, BD AB 3 则有DHAC5,又BD=CE, CE 3 则有DH5,由CE/IDH, EF CE 3 得DFDH5,代入计算得：DF=12×5÷3=20cm. 【变式5-3】如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且AD:DB=3:2,AE:EC=1:2,直线ED 和CB的延长线交于点F,求FB:FC. A D G 【答案】1：3. 【解析】过点B作BG/IFE交AC于G, 根据三角形一边平行线的性质定理，可得： AE AD 3 EG 1 EGDB2,又AE:EC=1:2,故EC3, 由BGIIFE,可得：FB:FC=EG:EC=1:3. 28 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【题型06】平行线分线段成比例作图题 【典例6】(24-25九年级上·上海黄浦期中)已知线段a、b、C,求作第四比例线段x,则以下正确的作图是() 【答案】D 【详解】解：，线段x为线段ab、c的第四比例线段， a c …6x a x A、根据作图可知方。，故本选项错误： a c B、根据作图可知。)，故本选项错误： a b C、根据作图可知。。，故本选项错误： a c D、根据作图可知方x,故本选项正确。 故选：D 【变式6-1】)已知x=bC,求作x,那么下列作图正确的是() 29 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 B 【答案】C 【详解】，ar=bc, a c a b 小6x或。x ,0=a+x A,作出的为方6+C,故不符合题意： B.该情况无法作图，故不符合题意： a c C,作出的为方x,故符合题意： a D.作出的为x方，故不符合题意： 故选C 【变式6-2】已知线段a,6c,求作线段x,使x=g ,下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是()· 30 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【答案】D 【详解】解：x= b, cb xa 。,即x=bc bc A.根据平行线分线段成此例定理可得- ，故本选项错误： B根据平行线分线段成比例定理可得。即1三0 a，故本选项错误； C.根据平行线分线段成比例定理可得。- bc a，即x= a，故本选项错误； D。根据平行线分线段成比例定理可得。一分，即x= x a 方，故本选项正确。 【变式6-3】(23-24九年级上·上海阶段检测)已知线段a,b,c,作线段x,使a:b=C:x,那么正确的作法是() B 31 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味。 b 【答案】B 【详解1解：A由平行线分线段成比例可得分。，故A选项错误： a b B、由平行线分线段成比例可得。x,即a:b=c:x:故B选项正确： C、由平行线分线段成比例可得。=b,故C选项错误； a c D、由平行线分线段成比例可得x方，故D选项错误： 故选：B 课堂小结·知识梳理 1.熟练识别A字、8字基础几何模型，快速精准书写三组标准比例式； 2.线段计算优先采用方程思想，通过比例关系列等式求解； 3.证明直线平行，必须严格使用比例判定定理，规范推理逻辑。 ☆8 ☆ 课后作业·巩固延伸 一、单选题 a c 1.（25-26九年级上·上海期中)已知，线段a、6c,求作线段d,使得方d,那么下列作法中正确的是（) 32 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 B. b 【答案】B 【详解】根据平行线分线段成比例作图： 第一步：任意做∠MON: 第二步：在边OM上依次取OA=a,AB=b,在ON上取OC=c: 第三步：连接AC,过点B作BD∥AC,交ON于点D: 则线段CD即为所求作线段d, DN d aA bB M 故选B 2.(25-26九年级上·上海阶段检测)如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点 A、B、C都在横线上，如果线段AB的长为6，那么AC的长是() 33 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 A.8 B.9 C.11 D.12 【答案】B 【详解】解：如图，过点A作AF⊥CF于点F,交过点B的平行线于点E,交点A所在直线的邻近平行线于点D,根 据题意，AD=DE=EF=h, D ,:五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的， ∴AD=DE=EF=h, ABAE2h 26 ACAF-3h3 AC 解得AC=9. 故选：B 3.(25-26九年级上·上海阶段检测)如图，己知DE∥BC,EF∥AB,那么下列比例式中错误的是() 34 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 D E B F ADAE A.AB AC CECF B.AEBF DE AE C.BC-EC EF CF D.ABCB 【答案】C 【详解】解：，DE∥BC,EF‖AB ∴四边形BDEF是平行四边形，∴DE∥BC, AD AE DE AB AC BC AD AE DE AE 即ABAC,BCAC 故A不符合题意； DE AE 若BC EC,AC=EC,与已知条件不符， DE AE 故BCEC不成立，C符合题意： B、EF AB CE CF EF CF AE BF'AB CB' 故B、D选项不符合题意： 35 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 故选：C 4.(25-26九年级上·上海宝山阶段检测)如图，已知直线1、2被三条互相平行的直线、14、1所截，其中点A、 AB DE AB DE AB BE B、C在直线上，点D、E、F在直线L上.下列四个结论①G=EF,②4CDF,③EFBC，④BCCF中， 正确的个数有() 3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【详解】解：4， AB DE BC=EF 故①正确： AB DE AC DF,故②正确： AB DE EF BC, 故③错误： AB BE BC CF 故④错误， 正确的个数2个， 故选：B 5.(2025上海嘉定·一模)如图，两条不平行的直线与直线2相交于点O,四条平行线分别交直线马于点A、B、 36 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 C、D,分别交直线于点A、B、C、D,则有AA∥BB∥CC∥DD.如果AO=3,OB,=BC=2,CD=4, 那么在下列结果中，线段之差最大的是() B B C D D A.BD-AB B.OC-OA C.OC-CD D.CD-OB 【答案】D 【详解】解：：A0=3,OB=BG=2,CD=4,A4∥BB∥CC∥DD, 品品股股-%器， 40-0a,C=0R.c0=2aC=2DB. AB=0A+OB-2OB.OC=OB+BC=20B.BD=BC+CD=30B BD-AB=30B-90B=)0B,0C-OA=20B-30B=50B, 2 2 2 2 OC-CD=0,CD-OB=OB」 BSOB30B≥0 CD-OB的差最大： 37 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 故选D 6.(2026:上海普陀·二模)如图1，在矩形ABCD中，AB=6,BC=10.正方形AEFG的顶点E在BA的延长线上， AE=AB,点G在边AD上，O为正方形AEFG的中心，如果过点O的一条直线平分这个组合图形的面积，且这条直 线分别交EF、BC于点M、N,那么线段MN的长为() E B A.217 B.410 C.65 D.13 【答案】B 【详解】解：如图，连接AC,BD交于点H,过点O和点H的直线MN平分该组合图形的面积，交AD于S,取AE 中点P,取AB中点Q,连接OP,H0,过点O作OT1QH于T, M 四边形 是矩形， ABCD .AH=HC, :Q是AB中点， .OH-BC-5.OH/BC.AQ-BQ=3 :四边形AEFG是正方形，AE=AB, 38 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉二 ..AG=AE=AB=6. 同理可求P0=,AG=3,p0/4G'P=P=3 ∴.PO∥AD∥BC∥EF∥QH,EP=AP=AQ=BQ, ∴.MO=OS=SH=NH,∠OPQ=∠POH=90°、 .0T⊥QH, .四边形POTQ是矩形， ∴.P0=QT=3.OT=PQ=6. .TH=OH-OT=2. ..OH =OT2+TH2=210, ∴.MN=2OH=4V10 二、填空题 7.(2025上海青浦一模)如图，AB∥CD∥EF,如果AD:DF=3:2,那么BE:CE=一 【答案】5：2 【详解】解：ABIICD‖EF, BC AD3 CE DF 2 39 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 ⊙ 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 BE 5 CE 2 故答案为：5：2」 8.(2026上海长宁一模)如图，两条直线被三条平行线m、n、I所截，分别相交于点A、B、C、D、E、F, 若BBC,那么当F号时，D的长为 B 5 【答案】4 【详解】m‖nl, .AB_3 又BC2 EF BC 2 EF=3 3 2=2 DE 5 解得DP=15 15 故答案为：4· 40 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 9.(2425九年级上上海宝山阶段检测)如图，已知在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，DE∥BC, EF∥AB,且AD:DB=3:4,则CF:BF= 【答案】4：3 【详解】解：AD:DB=3:4,DE∥BC, AD 3 AE ·DB4EC' EF∥AB, BF AE 3 ·CFEC4 CF 4 4=4:3, :BF3 故答案为：4：3 10.(25-26九年级上·上海闵行·期中)如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知 AB∥CD∥EF,AC=50cm,CE=30cm,BD=45cm,那么BF的长为 cm 41 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【答案】72 【详解】解：：AB∥CD∥EF, CE DF ·ACBD' ...AC=50cm,CE=30cm,BD=45cm, 30 DF 50=45,解得：DF=27cm ∴.BF=BD+DF=72cm. 故答案为：72. 11.(25-26九年级上上海金山阶段检测)已知E、F分别在梯形ABCD的边AB、CD上，AD∥EF∥BC, AE:EB=2:3,CD=10,DF= 【答案】4 【详解】解：如图， :AD∥EF∥BC, AE DF 2 小EBCF3' .CF-3DF 21 42 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 .CD=DF+CF=10 ÷DF+DF=10. .DF=4, 故答案为：4. 12.(25-26九年级上·上海普陀阶段检测)如图，已知AB∥DC∥EF,它们依次交直线l和2于点A、C、E和点 B、D、F,如果CE AC2,BE=12,那么DE B D F 【答案】4 AC 【详解】解：：C正 2, AE :CE 3, :AB∥DC∥EF, BF AE=3, ·DFCE BF=12, .DF=4, 故答案为：4. 43 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 AD 2 13.(25-26九年级上·上海阶段检测)如图，△ABC中，DE∥BC,若8D=3,S,E=6,求S.4Bc等于 D E B 【答案】25 【详解】解：，DE∥BC, AD-AE_2 ·BDCE3, 、=3 S.BDE =6. .S△MDE=4, .S4BE=10 AE 2 CE-3 SABE ·ScE3 .S.ABE =10 S.BCE =15 ∴.SABc=SABE+SBCE=25 44 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 故答案为：25. 14.(25-26九年级上·上海宝山阶段检测)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,对角线AC、BD相交于点O,如 果SAMo8=2a,Saoc=4,那么S△Mc=—· (用含有字母a的代数式表示) D 【详解】解：：S△4o8=2a,S△oc=4a, OA SAOB=1 :.OC SABOC 2, AD∥BC, OA OD 1 ·0C=0B2 SAOD OD1 SAOB 0B2, :SAAOD SA408 =d. 1 同理可得：Sacm=2S△0c=2a, .∴S△4Dc=SA4op+SACOD=a+2a=3a」 故答案为：3a. 15.(25-26九年级上·上海阶段检测)已知AD∥BE∥CF,它们依次交直线4、12于点A、B、C和点D、E、F.如 果DE:EF=3:5,AC=24,那么AB= 【答案】9或36 45 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【详解】解：如图所示，：AD∥BE∥CF, AB DE 3 BC EF=5, AB 3 …AC8 .AC=24, ∴.AB=9: A D E 12 如图所示，：AD∥BE∥CF, AB DE AC DE DE:EF=3:5, DE:DF=3:2, AB DE 3 AC DF 2 ,AC=24, .AB=36: 46 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 A D B E 2 综上所述，AB的长为9或36. 故答案为：9或36 16.(25-26九年级上·上海青浦期中)如图，在△ABC中，D为BC边上的中点，点E为AC边上一点，BE交AD于 点G,当怨r,则 AG G 【跨案1号 【详解】解：如图，取CE的中点F,连接DF, B D为BC边上的中点， ∴DF是△BCE的中位线， 47 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 .DF∥EG AG AE ADAF’ 装 .'CE=3AE, EF=CE=3 2 2 AF=AE+EF=5 E, AG AE 2 ·ADAF5 17.(25-26九年级上·上海阶段检测)如图，在等腰△ABC中，AB=AC,点P在BA的延长线上，AB=V3PA,点 CD D在BC边上，PD=PC,则BC的值是 【答案】1-3 3 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，以及全等三角形的判定，解题关键是正确作出 辅助线，列出比例式. 过点P作PE‖AC交DC延长线于点E,根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证PB=PE,再证 48 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 PA CE △PE≌△PDB'可得BD=CE, 再利用平行线分线段成比例得ABBC, 结合线段的等量关系及比例的性质即可得 到结论. 【详解】解：如图：过点P作PE‖AC交DC延长线于点E, B D E AB=AC ,.∠B=∠ACB, .ACl PE .∠ACB=∠E, ∠B=∠E, ∴PB=PE, .PC=PD. ∴.∠PDC=∠PCD ∴.∠BPD=∠EPC, .在△PCE和△PDB中 PC=PD ∠EPC=∠BPD PE=PB 49 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 ·.△PCE≌△PDB .BD=CE, ..ACII PE, PA CE ·ABBC AB=3PA, CE 13 BC3 3' BD BC 3' 2-351- BC 3 31 故答案为：1- 3 三、解答题 AFCE 18.(24-25九年级上·上海期中)如图，AABC中，点D在边BC上，DE‖AB,DF∥AC·求证：FB=AE· E B 【答案】证明：DE∥AB, 50 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉二 CE_CD AE BD' DF∥AC, AF CD BFBD AF CE FB AE 19.如图，在△MBC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2,BD=2DC,求AC的长. B D 【答案】3 【详解】证明：过点D作DM∥AB交AC于点M M B D DM∥AB, .∠BAD=∠ADM=75: 又.'∠ADM+∠AMD+∠DAM=180°，∠CAD=30° .∠AMD=75°， .∠AMD=∠ADM, 51 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉二 .AD=AM=2」 DM∥AB, AM BD .ACBC· 又BD=2DC, BD AM 2 .BC AC 3 .AC=3 20.已知，如图Il,I,AB=3,BC=5,DF=16,求DE和EF的长. A D/1 B E F 【答案】DE=6,EF=10 【详解】解：：4☑， .'.AB:BC=DE:EF, AB=3,BC=5,DF=16, 3:5=DB:(16-DE), .DE=6, ∴.EF-16-6-10 52 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期蛛 21.(25-26九年级上：北京期中)已知：△ABC中，AD是BC边上的中线，过C作一直线交AD于E,交AB于F. AE 2AF 求证：ED=FB· B D 【答案】解：如图，过点D作ON IICF,交AB于点N, A F N D :AD是BC边上的中线， ..DC=DB, .DN ICF, NB DB FN-DC-1. FN-NB-7FB DN II CF, AE AF AE_AE,即EDFB' ED FN 2 AE2AF EDFB· 53 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 22.(23-24九年级上：上海金山阶段检测)如图，己知DE∥BC,DF∥AC,且DE=4cm,AD=3cm,BD=6cm.求： 线段BF的长 【答案】BF=8cm 【详解】解：：DE∥BC,DF∥AC, ∴.四边形CEDF是平行四边形， ∴.CF=DE=4cm: :DF∥AC, BF BD BF 6 “CF=AD,即4=3 ∴.BF=8cm 23.如图，已知AD∥BE∥CF,它们依次交直线、，、于点A、B、C和点D、E、F和点O、HP,2与马相交于 AB 2 DE的中点G,若AC气 54 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 3 D B H E F (I)如果EF=I0,求DE、DF的长： (2)在(1)的条件下，如果G=3,求PH的长. 【详解】(I)·AD∥BE∥CF, h B H E P AB DE 2 AC DF 7 DE_2 ·DE+107’ ∴.DE=4, .DF=DE+EF=4+10=14: (2):点G是DE的中点，AD∥BE,QG=3 55 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 DG OG 1 .DE OH 2' .0H=6 AD∥BE∥CF :p面 OH DE 64 ·pH10 ∴.PH=15 24.(25-26九年级上·上海金山阶段检测)在不等式领域中有一个重要结论叫“均值不等式”，表述如下：对于任意 的正数a,b,都有a+b≥2√ab,当且仅当“a=b”时，等号成立.这个结论是解决最值问题的有力工具.例如：若 30时，则有x+2:2,即x2,当组仅当此时，等号成立，从而有最小值为2 G H (①)填空：若>0，则x+的最小值为一，此时x= (②)现有一个面积为1.5的锐角三角形ABC,按照如图所示的方式裁剪正方形DEFG,正方形面积S的最大值是多少？ 某学习小组对该问题做了如下探索： 设DE=x'4C=a'4C边上的高BH=A:授终推号出=3 ath 56 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 ①请你补充该小组的推导过程： ②该小组发现要使得内接正方形面积S最大，也就是求x的最大值，只需使分母a+h最小即可.由S4c为定值，即 ah=3,可得h=二.、 请结合以上信息，求底边长a为多少时，内接正方形面积S最大，最大值为多少？ 9 【详解】(1)解：，x>0,一>0 9 ÷x+22x 9 =6,当且仪当x},即=3时，等号成立。 9 x+的最小值为6，此时x=3” 故答案为：6,3； (2)解：①设DE=x,4C=a,AC边上的高BH=h,则M=DE=X, ,锐角三角形ABC的面积为1.5， 24CB明=)a-h=15, 1 2 ∴.ah=3, .DEll AC, DE BM …AC=BH, 即=-x a h, ..= ah 3 athath: ②，ah=3, ..h=3 Q, 57 ,⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味。 a>030 a 3. 3 0+h=Q+22a吧E23,当组仅当a即a=5时，等号成立 a a 即当a=3时，a+h有最小值为2V3, 33 当，=5时，=方有大慎5号 ath 3 S=x2有最大值为4， 即当底边长a为√5时，内接正方形面积s最大，最大值为4： 58