第11讲 相似多边形 【暑假预习】 讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第11讲 相似三多边形【知识精讲+典例+练习】 高效提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解相似多边形的定义，能判断两个多边形是否相似。 · 掌握相似多边形对应角相等、对应边成比例的性质。 · 掌握相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系。 · 能灵活运用相似多边形的性质求角、边长、周长和面积。 · 能运用相似多边形解决实际问题（如放大缩小、黄金矩形等）。 知识梳理 · 核心知识点 ☆知识点① 两个多边形相似的定义 对两个边数相同的多边形，如果将一个多边形的顶点同另一个多边形的顶点依次对应，使得对应角相等，对应边成比例，那么称这两个多边形相似。 两个多边形相似也可以表述为“两个多边形是相似多边形”或“一个多边形与另一个多边形相似”。 例如，如图，如果 ，，，，且 那么四边形 与四边形 相似。 这时 分别是 的对应点， 分别是 的对应边。 提醒 （1）两个多边形相似，必须同时满足： · ① 边数相同； · ② 各角分别相等； · ③ 各边对应成比例。 （2）判断两个多边形相似，要结合图形观察顶点、角、边之间的对应关系。 【典型例题1】 下列各说法，其中正确的是 ① 两个边长不等的等边三角形相似； ② 两个边长不等的正方形相似； ③ 两个边长不等的菱形相似； ④ 两个斜边长不等的等腰直角三角形相似； ⑤ 两个正多边形相似。 解析：要根据多边形相似的条件判断。两个菱形，各角不一定对应相等，不一定相似；两个正多边形，边数不一定相等，不一定相似。 答案：①②④ 温馨提示：说明两个多边形不相似，只需找到一种特殊情况即可。 ☆知识点② 相似多边形的性质 相似多边形的对应角相等、对应边成比例。 ☆知识点③ 相似比 两个相似多边形的对应边的比值叫作这两个多边形的相似比。 提醒：相似比与两个多边形的顺序有关。例如，若四边形 与四边形 的相似比为 3，则四边形 与四边形的相似比为。 【典型例题2】 如图，四边形 与四边形 相似，并且点 与点 、点 与点 、点 与点 、点 与点 分别是对应顶点。求： （1）未知边 的长度和角 的大小； （2）四边形 与四边形 的相似比。 解： （1）因为四边形 与四边形 相似，点 与 、 与 、 与 、 与 分别是对应顶点，所以 由 ，得 解得 在四边形 中， 由 ，得 （2）四边形 与四边形 的相似比为 总结 （1）运用相似多边形的性质求角、边，首先要找准对应角和对应边，然后根据相似多边形的对应角相等、对应边成比例求解； （2）求图形 与图形 的相似比时，相似比 图形 的边长 : 图形 的边长。 ☆知识总结表 核心概念 性质/判定 注意事项 相似多边形定义 对应角相等，对应边成比例 两者缺一不可 周长比 周长比 = 相似比 对应边成比例 面积比 面积比 = 相似比的平方 黄金矩形 宽:长 = 具有自相似性 判定方法 证对应角相等、对应边成比例 可连接对角线转化 核心考点 ·3大典型考点精讲 【考点1】判断多边形相似（第1–8题） ※ 方法总结 · 判断对应角是否相等，对应边是否成比例。 · 特殊多边形：所有圆、所有正方形一定相似。 · 矩形、菱形、等腰三角形不一定相似。 1．（2024秋•杨浦区期中）下列各组多边形中，一定相似的是（　　） A．两个矩形 B．两个等边三角形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 2．（2026•邯郸校级二模）图中，有三个矩形，其中相似的是（　　） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．没有相似的矩形 3．（2026•深圳校级模拟）下列说法中正确的有（　　） ①所有的圆都是形状相同的图形； ②所有的正方形都是形状相同的图形； ③所有的等腰三角形都是形状相同的图形； ④所有的矩形都是形状相同的图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025秋•内黄县月考）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，相似比为k，点B，F，C，G四点共线，则下列说法不一定正确的是（　　） A．∠A＝∠E B．DC∥HG C．BC⊥EF D．AD＝kEH 5．（2025秋•平江县期末）如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（　　） A．周长 B．面积 C．每个内角的度数 D．每条边的长度 6．（2025秋•苍梧县期末）两正方形的面积比为1：4，那么它们的边长比为　 　 ． 7．（2026春•南岗区校级期中）钱币岛上有一个很大的古代钱币模型，它是按照铜钱的实际样子同比例放大的（如图所示）．如果能让人轻松钻过模型中间的正方形洞，这个洞的边长至少需要1米．若一个古代钱币的中心正方形的边长为0.6厘米，那么目前这个模型中间的正方形洞，有人能轻松钻过去吗？（图中数据单位：cm） 8．（2025秋•任丘市校级期末）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD＝12，AB＝6，设AB与A′B′，BC与B′C′，CD与C′D′，DA与D′A′之间的距离分别为a，b，c，d，a＝b＝c＝d＝2，矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似吗？为什么？ 【考点2】运用相似多边形的性质求角、边长、面积（第9–22题） ※ 方法总结 · 利用对应角相等求角度。 · 利用对应边成比例求边长。 · 利用面积比等于相似比的平方求面积。 9．（2026春•绿园区校级期中）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB⊥BC，∠A＝80°，∠D′＝55°，则∠C的度数为（　　） A．115° B．120° C．125° D．135° 10．（2026•湘桥区模拟）如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，则B'C'的长度x和角β的大小分别是（　　） A．x＝2，β＝78° B．x＝2，β＝88° C．x＝4.5，β＝78° D．x＝4.5，β＝88° 11．（2026•天台县二模）如图，将矩形ABCD划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则的值为（　　） A． B． C． D． 12．（2025秋•贵港期末）如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点．若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝6，则AD的长为（　　） A． B． C． D．9 13．（2025秋•丰润区期末）若一个多边形的各边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 14．（2025秋•高新区期末）若两个相似矩形的周长比是1：4，则这两个相似矩形的面积比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 15．（2026•盐城三模）平行四边形ABCD与平行四边形A1B1C1D1相似，AB＝4，AB的对应边A1B1＝5，平行四边形ABCD的面积为8，则平行四边形A1B1C1D1的面积为　 　 ． 16．（2026•甘谷县校级二模）如图是两个形状相同的红绿灯图案，则根据图中给出的部分数值，得到x的值是 　 　 ． 17．（2026•滨江区二模）黄金矩形是指宽与长的比值为黄金分割比的矩形，它因视觉上极具和谐美感，被广泛应用于古希腊帕特农神庙、蒙娜丽莎构图等经典艺术与建筑中．若从一个黄金矩形中裁去一个以宽为边长的正方形，剩余部分仍为一个新的黄金矩形，这一特性被称为“黄金矩形的自相似性”．如图，若从原黄金矩形ABCD中依次裁去以宽为边长的正方形，设第n次裁去后剩余矩形的长为an（n≥2），则的值为 　 　 ． 18．（2025秋•渭南期末）已知两个相似六边形的相似比为3：5，较小的六边形的面积为18cm2，则较大的六边形的面积为　 　 cm2． 19．（2025秋•张家川县期末）如图，已知五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的面积比为9：16，若五边形ABCDE的周长为12，则五边形A′B′C′D′E′的周长为　 　 ． 20．（2026春•扶绥县校级期中）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，连接AE，BF，AE平分∠BAD，CE＝DF． （1）求证：AE⊥BF； （2）若AF＝4，四边形ABCD与四边形CEFD相似，求EC的长． 21．（2025秋•襄阳月考）如图，已知▱ABCD∽▱EMFC，点E在边CD的延长线上，点F在边BC的延长线上，AB＝4，BC＝6，且∠A＝130°． （1）求∠M的度数； （2）若ME＝3，求DE的长． 22．（2025秋•嘉定区校级月考）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形作相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”） （1）①三个角分别相等的两个凸四边形相似；（　 　 命题）②两个大小不同的正方形相似．（　 　 命题） （2）如图，在凸四边形ABCD和凸四边形A1B1C1D1中，∠B＝∠B1，∠D＝∠D1＝90°，， 求证：四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似． 【考点3】运用相似多边形解决实际问题（第23–32题） ※ 方法总结 · 将实际问题抽象为相似多边形模型。 · 建立比例关系，代入数据求解。 · 注意单位统一。 23．（2025•禄丰市模拟）如图，小康利用复印机将一张长为5cm，宽为3cm的矩形图片放大，其中放大后的长为10cm，则放大后的矩形的面积为（　　） A．60cm2 B．58cm2 C．56cm2 D．50cm2 24．（2025秋•益阳月考）在书香校园文化建设中，某班制作了一块1.8m×0.8m的长方形成果展板，其成本是a元．在每平方米制作成本相同的情况下，若将此展板的四边都扩大到原来的1.2倍，那么扩大后长方形展板的成本是（　　） A．2.4a元 B．1.2a元 C．1.44a元 D．1.728a元 25．（2025秋•庐阳区校级月考）如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（　　） A． B． C． D．2 26．（2024秋•北海期末）“碧波深处藏珍宝，珠城扇贝名远扬”，如图是两个形状相同的扇贝图案，则图中x的值为 　 　 cm． 27．（2025秋•海口期末）装裱一幅宽40cm、长60cm的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的部分的上下的宽都为15cm，若装裱上去的左右部分的宽都为xcm，则x＝　 　 ． 28．（2025春•同步）诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花．”秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪．如图是两张形状相同的枫叶图案，则x的值为　 　 ． 29．（2024秋•同步）如图，小明在一个一边靠墙，长、宽分别为6m，4m的矩形小花园的外围种植了一种蝴蝶花作为装饰，这种蝴蝶花的种植区域的宽均为20cm，此区域内、外边沿与墙所围成的两个矩形相似吗？请说明理由．如果要使这两个矩形相似，那么当蝴蝶花的种植区域一边的宽a＝20cm时，另一边的宽b为多少才合适呢？ 30．（2024•南岗区校级开学）画图题 （1）按1：3画出下面的三角形缩小后的图形； （2）按2：1画出下面的平行四边形放大后的图形． （3）图（1）缩小后图形的面积为 　 　 ． （4）图（2）放大后图形的面积为 　 　 ． 31．（2024春•单元）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等、四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比． （1）如图①，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似． （2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值． 32．（2025秋•衡阳期末）综合与实践 学校组织“数学文化节”，启航小组承担了校园宣传栏主题展板的设计任务，活动报告如下： 活动任务 设计数学文化节展板 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 基本信息 有两张标准矩形KT板（一种制作展板的常用材料），尺寸为120cm×240cm． 版面规划 用矩形ABCD（AB＜BC）表示整张KT板． 展板一：如图1，在展板上下边缘各留宽为acm的空白，左右边缘各留宽为bcm的空白，中间（即矩形EFGH）为图案区域． 展板二：如图2，在展板上下边缘各留宽为acm的空白，左右边缘各留宽为bcm的空白，中间部分纵向分割成四个全等的矩形图案区域，且每相邻两个矩形区域之间的间隔均为bcm． 问题解决 确定版面图案区域的具体信息，如下：… （1）根据版面规划，若展板一中a＝10，且图案区域与整块展板相似（即矩形EFGH∽矩形ABCD），求b的值； （2）根据版面规划，若展板二中的四个矩形图案区域都与整块展板相似（如矩形MNGH∽矩形ABCD），则的值为　 　 ． 随堂检测 · 精选练习 练习1：相似多边形求边长练习2：相似多边形求角度练习3：相似多边形周长面积比练习4：相似矩形求比值练习5：相似多边形周长比练习6：相似多边形求角度与边长 【练习1】（2026•成安县模拟）如图，四边形ABCD∽四边形GEFH，则x＝　 　 ． 【练习2】（2025秋•兴庆区校级期末）如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，若∠B＝50°，∠C＝80°，∠A'＝100°，则∠D'＝ 　 　 ． 【练习3】（2025秋•福建期末）两个相似多边形的周长之比为1：4，则它们的面积之比为 　 　 ． 【练习4】（2025秋•魏县期末）如图，矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形AFED与原矩形ABCD相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 　 　 ． 【练习5】（2025秋•横山区期末）已知四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，且四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积比为1：16，若四边形A1B1C1D1的周长为4，则四边形ABCD的周长为　 　 ． 【练习6】（2025秋•广阳区校级月考）如图，已知四边形ABCD∽四边形EMFC，AB＝4，BC＝6，且∠A＝130°． （1）∠E的度数为　 　 ； （2）若ME＝3，求MF的长． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：照片比例求实际长度作业2：相似多边形面积比作业3：相似多边形求角度 作业4：相似多边形求边长作业5：相似多边形周长比作业6：相似多边形求角度 作业7：黄金矩形求长作业8：相似多边形面积比求边长作业9：相似多边形周长比求对应边 作业10：相似多边形面积比求面积作业11：相似矩形求面积作业12：相似多边形求角度与边长 作业13：相似四边形求角度与边长作业14：相似四边形求对应边作业15：菱形相似综合 ❤ 复习建议 熟记定义与性质：相似多边形对应角相等、对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 灵活运用面积比：面积比是相似比的平方，常用于求面积或边长。 证明思路：证明多边形相似时，常连接对角线转化为三角形相似。 实际应用建模：将实际问题抽象为相似多边形，建立比例方程求解。 【作业1】（2026春•临淄区期中）嘉嘉周末到齐文化博物馆参观．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为7cm和13cm，笔的实际长度为14cm，则该古籍的实际长度为（　　） A．6.5cm B．13cm C．18cm D．26cm 【作业2】（2026•新兴县一模）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH．若AB＝5，EF＝3，则它们的面积之比为（　　） A．5：3 B．3：5 C．25：9 D．无法确定 【作业3】（2026•永川区校级模拟）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，则∠D的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【作业4】（2025秋•阜平县期末）如图，四边形ABCD∽四边形GEFH，则x＝（　　） A．10 B．12.5 C．20 D．50 【作业5】（2025秋•贵阳期末）两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 【作业6】（2025秋•梁溪区校级期末）如图，四边形ABCD和A1B1C1D1相似，已知∠A＝110°，∠B＝90°，∠C1＝80°，则∠D1＝　 　 ． 【作业7】（2026•临县模拟）如果一个矩形的宽与长之比等于黄金数，就称这个矩形为黄金矩形．若矩形ABCD为黄金矩形，矩形ABCD的周长为，则矩形的长为 　 　 ． 【作业8】（2025秋•兴平市期末）已知四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB＝2，若四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积比为4：5，则A1B1的长为　 　 ． 【作业9】（2025秋•礼泉县期末）已知五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的周长比为2：5，则AB：A′B′的值为　 　 ． 【作业10】（2025秋•府谷县期末）已知四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，且四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的相似比为1：3，若四边形ABCD的面积为5，则四边形A1B1C1D1的面积为　 　 ． 【作业11】（2025秋•庄浪县期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝4cm，点E、F分别在边AD、BC上，连接EF，若矩形CDEF∽矩形DABC，则矩形CDEF的面积是　 　 cm2． 【作业12】（2025秋•资阳月考）如图，多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1相似，其中A，B，C，D，E，F的对应点分别为和多边形A1，B1，C1，D1，E1，F1，∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°． （1）求∠F的度数； （2）如果多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1的相似比是1：1.5，且CD＝15cm，求C1D1的长度． 【作业13】（2025秋•新郑市期中）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，依据所标数据，解答下列问题． （1）求∠B的度数； （2）求边x、y的长． 【作业14】（2025春•同步）已知四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是相似的图形，并且点A与点A'、点B与点B'、点C与点C'、点D与点D'分别是对应顶点，其中AB、BC、CD、DA的长分别为12厘米、16厘米、16厘米、20厘米，A'B'的长为9厘米，求B'C'、C'D'、D'A'的长． 【作业15】（2024秋•驿城区期中）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD． （1）求证：EB＝GD； （2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 相似三多边形【知识精讲+典例+练习】 高效提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解相似多边形的定义，能判断两个多边形是否相似。 · 掌握相似多边形对应角相等、对应边成比例的性质。 · 掌握相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系。 · 能灵活运用相似多边形的性质求角、边长、周长和面积。 · 能运用相似多边形解决实际问题（如放大缩小、黄金矩形等）。 知识梳理 · 核心知识点 ☆知识点① 两个多边形相似的定义 对两个边数相同的多边形，如果将一个多边形的顶点同另一个多边形的顶点依次对应，使得对应角相等，对应边成比例，那么称这两个多边形相似。 两个多边形相似也可以表述为“两个多边形是相似多边形”或“一个多边形与另一个多边形相似”。 例如，如图，如果 ，，，，且 那么四边形 与四边形 相似。 这时 分别是 的对应点， 分别是 的对应边。 提醒 （1）两个多边形相似，必须同时满足： · ① 边数相同； · ② 各角分别相等； · ③ 各边对应成比例。 （2）判断两个多边形相似，要结合图形观察顶点、角、边之间的对应关系。 【典型例题1】 下列各说法，其中正确的是 ① 两个边长不等的等边三角形相似； ② 两个边长不等的正方形相似； ③ 两个边长不等的菱形相似； ④ 两个斜边长不等的等腰直角三角形相似； ⑤ 两个正多边形相似。 解析：要根据多边形相似的条件判断。两个菱形，各角不一定对应相等，不一定相似；两个正多边形，边数不一定相等，不一定相似。 答案：①②④ 温馨提示：说明两个多边形不相似，只需找到一种特殊情况即可。 ☆知识点② 相似多边形的性质 相似多边形的对应角相等、对应边成比例。 ☆知识点③ 相似比 两个相似多边形的对应边的比值叫作这两个多边形的相似比。 提醒：相似比与两个多边形的顺序有关。例如，若四边形 与四边形 的相似比为 3，则四边形 与四边形的相似比为。 【典型例题2】 如图，四边形 与四边形 相似，并且点 与点 、点 与点 、点 与点 、点 与点 分别是对应顶点。求： （1）未知边 的长度和角 的大小； （2）四边形 与四边形 的相似比。 解： （1）因为四边形 与四边形 相似，点 与 、 与 、 与 、 与 分别是对应顶点，所以 由 ，得 解得 在四边形 中， 由 ，得 （2）四边形 与四边形 的相似比为 总结 （1）运用相似多边形的性质求角、边，首先要找准对应角和对应边，然后根据相似多边形的对应角相等、对应边成比例求解； （2）求图形 与图形 的相似比时，相似比 图形 的边长 : 图形 的边长。 ☆知识总结表 核心概念 性质/判定 注意事项 相似多边形定义 对应角相等，对应边成比例 两者缺一不可 周长比 周长比 = 相似比 对应边成比例 面积比 面积比 = 相似比的平方 黄金矩形 宽:长 = 具有自相似性 判定方法 证对应角相等、对应边成比例 可连接对角线转化 核心考点 ·3大典型考点精讲 【考点1】判断多边形相似（第1–8题） ※ 方法总结 · 判断对应角是否相等，对应边是否成比例。 · 特殊多边形：所有圆、所有正方形一定相似。 · 矩形、菱形、等腰三角形不一定相似。 1．（2024秋•杨浦区期中）下列各组多边形中，一定相似的是（　　） A．两个矩形 B．两个等边三角形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 【答案】B 【分析】根据矩形、等边三角形、菱形、等腰三角形的性质、相似多边形的概念判断． 【解答】解：A、两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，不一定相似； B、两个等边三角形，三个角对应相等，对应边成比例，一定相似； C、两个菱形，对应角不一定相等，不一定相似； D、两个等腰三角形，对应角不一定相等，不一定相似； 故选：B． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质、菱形、矩形、等边三角形、等腰三角形的性质，掌握相似多边形的判定定理是解题的关键． 2．（2026•邯郸校级二模）图中，有三个矩形，其中相似的是（　　） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．没有相似的矩形 【答案】B 【分析】如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答． 【解答】解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为2：3，1.5：2.5＝3：5，1：1.5＝2：3， ∴甲和丙相似， 故选：B． 【点评】本题主要考查相似多边形的概念，一定要考虑对应角相等，对应边成比例． 3．（2026•深圳校级模拟）下列说法中正确的有（　　） ①所有的圆都是形状相同的图形； ②所有的正方形都是形状相同的图形； ③所有的等腰三角形都是形状相同的图形； ④所有的矩形都是形状相同的图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据相似多边形的定义，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、①所有的圆都是形状相同的图形，故①正确； ②所有的正方形都是形状相同的图形，故②正确； ③所有的等腰三角形不一定都是形状相同的图形，故③不正确； ④所有的矩形不一定都是形状相同的图形，故④不正确； 综上所述：上列说法中正确的有2个， 故选：B． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 4．（2025秋•内黄县月考）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，相似比为k，点B，F，C，G四点共线，则下列说法不一定正确的是（　　） A．∠A＝∠E B．DC∥HG C．BC⊥EF D．AD＝kEH 【答案】C 【分析】根据相似多边形对应角相等，对应边成比例，逐项判断即可． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，相似比为k， ∴∠A＝∠E，AD＝kEH，∠DCB＝∠HGF（相似三角形的性质）， ∴选项A，D说法正确，不合题意； ∵∠DCB＝∠HGF， ∴DC∥HG（同位角相等，两直线平行）， ∴选项B说法正确，不合题意； 现有条件不能得出BC⊥EF， ∴选项C说法不一定正确，符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查相似多边形的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 5．（2025秋•平江县期末）如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（　　） A．周长 B．面积 C．每个内角的度数 D．每条边的长度 【答案】C 【分析】根据相似多边形的性质即可得出答案． 【解答】解：由题意得，用放大镜看到的多边形与原多边形是相似的关系， 用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，周长、面积、每条边的长度的长度均增大了，每个内角的度数保持不变． 故选：C． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟记相关结论即可解答． 6．（2025秋•苍梧县期末）两正方形的面积比为1：4，那么它们的边长比为　1：2　 ． 【答案】1：2． 【分析】设两个正方形的边长分别为a和b，由题意可得a2：b2＝1：4，即可求解． 【解答】解：设两个正方形的边长分别为a和b，由正方形相似的性质可得， 则，即a：b＝1：2． 故答案为：1：2． 【点评】本题考查比例的性质，算术平方根的应用，熟练掌握以上知识点是关键． 7．（2026春•南岗区校级期中）钱币岛上有一个很大的古代钱币模型，它是按照铜钱的实际样子同比例放大的（如图所示）．如果能让人轻松钻过模型中间的正方形洞，这个洞的边长至少需要1米．若一个古代钱币的中心正方形的边长为0.6厘米，那么目前这个模型中间的正方形洞，有人能轻松钻过去吗？（图中数据单位：cm） 【答案】有人能轻松钻过去． 【分析】设这个模型中间的洞边长是xcm．得到2.5：750＝0.6：x，求出x＝180，即可得到答案． 【解答】解：设这个模型中间的洞边长是xcm． 由题意得到：0.6：x＝2.5：750 ∴2.5x＝750×0.6 ∴x＝180． 180cm＝1.8m，1.8m＞1m． 答：有人能轻松钻过去． 【点评】本题考查比的应用，关键是由题意得到关于x的比例式． 8．（2025秋•任丘市校级期末）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD＝12，AB＝6，设AB与A′B′，BC与B′C′，CD与C′D′，DA与D′A′之间的距离分别为a，b，c，d，a＝b＝c＝d＝2，矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似吗？为什么？ 【答案】不相似．理由见解析． 【分析】欲判断矩形A′B′C′D′和矩形ABCD是否相似，需判断的值和的值是否相等． 【解答】解：不相似． 当a＝b＝c＝d时， ∵AD＝12，AB＝6， ∴A′D′＝12﹣2×2＝8，A′B′＝6﹣2×2＝2． ∵， ∴3． ∵3， ∴矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似． 【点评】本题侧重考查相似图形的知识，熟练掌握相似图形的性质是关键． 【考点2】运用相似多边形的性质求角、边长、面积（第9–22题） ※ 方法总结 · 利用对应角相等求角度。 · 利用对应边成比例求边长。 · 利用面积比等于相似比的平方求面积。 9．（2026春•绿园区校级期中）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB⊥BC，∠A＝80°，∠D′＝55°，则∠C的度数为（　　） A．115° B．120° C．125° D．135° 【答案】D 【分析】先根据AB⊥BC得出∠B＝90°，再由四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′得出∠D的度数，根据四边形内角和定理即可得出结论． 【解答】解：∵AB⊥BC， ∴∠B＝90°， ∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∠A＝80°，∠D′＝55°， ∴∠D＝∠D′＝55°， ∴∠C＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D＝360°﹣80°﹣90°﹣55°＝135°． 故选：D． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应角相等是解题的关键． 10．（2026•湘桥区模拟）如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，则B'C'的长度x和角β的大小分别是（　　） A．x＝2，β＝78° B．x＝2，β＝88° C．x＝4.5，β＝78° D．x＝4.5，β＝88° 【答案】D 【分析】根据相似多边形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'， ∴∠D＝∠D′＝95°，∠C＝∠C′＝110°，， ∴∠β＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠D＝88°，， 解得：B′C′＝4.5， 故选：D． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 11．（2026•天台县二模）如图，将矩形ABCD划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可． 【解答】解：∵四个矩形全等，每一个矩形与原矩形相似， ∴， ∴AB2BC2， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应边成比例是解题的关键． 12．（2025秋•贵港期末）如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点．若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝6，则AD的长为（　　） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可． 【解答】解：∵矩形ABCD与矩形EABF相似， ∴，即， 解得，AD＝6， 故选：B． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键． 13．（2025秋•丰润区期末）若一个多边形的各边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可． 【解答】解：设这个多边形的最短边长为x， ∵两个多边形相似， ∴， 解得，x＝8， 故选：B． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键． 14．（2025秋•高新区期末）若两个相似矩形的周长比是1：4，则这两个相似矩形的面积比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 【答案】D 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据似三角形周长的比等于相似比得到答案． 【解答】解：∵这两个相似三角形的周长比是1：4， ∴这两个相似三角形的相似比为1：4， ∴两个相似三角形的面积比为1：16； 故选：D． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 15．（2026•盐城三模）平行四边形ABCD与平行四边形A1B1C1D1相似，AB＝4，AB的对应边A1B1＝5，平行四边形ABCD的面积为8，则平行四边形A1B1C1D1的面积为　12.5　 ． 【答案】12.5． 【分析】根据相似多边形的性质，相似多边形面积比等于相似比的平方，结合已知对应边长度和原平行四边形面积，即可求出目标平行四边形的面积． 【解答】解：∵平行四边形ABCD与平行四边形A1B1C1D1相似，AB＝4，AB的对应边A1B1＝5， ∴相似比为， ∴， ∵SABCD＝8， ∴， 解得． 故答案为：12.5． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，平行四边形的性质，熟知相似多边形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 16．（2026•甘谷县校级二模）如图是两个形状相同的红绿灯图案，则根据图中给出的部分数值，得到x的值是 　16　 ． 【答案】16 【分析】根据相似多边形对应边的比值相等列出比例式即可求解． 【解答】解：∵两个红绿灯的形状相同， ∴， ∴x＝16． 故答案为：16． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形对应边的比相等． 17．（2026•滨江区二模）黄金矩形是指宽与长的比值为黄金分割比的矩形，它因视觉上极具和谐美感，被广泛应用于古希腊帕特农神庙、蒙娜丽莎构图等经典艺术与建筑中．若从一个黄金矩形中裁去一个以宽为边长的正方形，剩余部分仍为一个新的黄金矩形，这一特性被称为“黄金矩形的自相似性”．如图，若从原黄金矩形ABCD中依次裁去以宽为边长的正方形，设第n次裁去后剩余矩形的长为an（n≥2），则的值为 　　 ． 【答案】． 【分析】设原黄金矩形ABCD的长为m，则宽为m，利用矩形相似的性质得到第1次裁去后剩余矩形的长为m，第2次裁去后剩余矩形的长为（）2m，第3次裁去后剩余矩形的长为（）3m，从而可得到的值． 【解答】解：设原黄金矩形ABCD的长为m，则宽为m， 第1次裁去后剩余矩形的长为m， 第2次裁去后剩余矩形的长为（）2m，即a2＝（）2m， 第3次裁去后剩余矩形的长为（）3m，即a3＝（）3m， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比．也考查了正方形的性质、矩形的性质和黄金分割． 18．（2025秋•渭南期末）已知两个相似六边形的相似比为3：5，较小的六边形的面积为18cm2，则较大的六边形的面积为　50　 cm2． 【答案】50． 【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【解答】解：两个相似六边形的相似比为3：5，则面积比为32：52＝9：25． 较小六边形的面积为18cm2，则18÷9×25＝50cm2，即较大六边形的面积为50cm2． 故答案为：50． 【点评】本题考查相似图形的性质，关键掌握相似多边形的面积比． 19．（2025秋•张家川县期末）如图，已知五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的面积比为9：16，若五边形ABCDE的周长为12，则五边形A′B′C′D′E′的周长为　16　 ． 【答案】16． 【分析】根据面积比求出相似比，再根据周长比等于相似比列出比例式解答即可求解． 【解答】解：设五边形A′B′C′D′E′的周长为x， ∵五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的面积比为9：16， ∴相似比为3：4， ∴五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的周长比为3：4， ∵五边形ABCDE的周长为12， ∴12：x＝3：4， 解得x＝16， ∴五边形A′B′C′D′E′的周长为16， 故答案为：16． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 20．（2026春•扶绥县校级期中）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，连接AE，BF，AE平分∠BAD，CE＝DF． （1）求证：AE⊥BF； （2）若AF＝4，四边形ABCD与四边形CEFD相似，求EC的长． 【答案】（1）证明详见解答； （2）EC的长为22． 【分析】（1）利用平行四边形的性质和角平分线的性质，先说明四边形ABEF是菱形，再利用菱形的性质得结论； （2）先利用菱形的性质和相似的性质得关于EC比例式，再解关于EC的一元二次方程得结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC． ∵CE＝DF， ∴AF∥BE，AF＝BE． ∴∠FAE＝∠BEA，四边形ABEF是平行四边形． ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠FAE． ∴∠BAE＝∠BEA． ∴AB＝BE． ∴▱ABEF是菱形． ∴AE⊥BF． （2）解：四边形ABEF是菱形， ∴AB＝EF＝AF＝BE＝4． ∵四边形ABCD与四边形CEFD相似， ∴． ∴． ∴EC2+4EC﹣16＝0． ∴EC＝22或EC＝﹣22（不合题意，舍去）． ∴EC的长为22． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的性质和判定及多边形相似，掌握平行四边形的性质和判定、菱形的性质和判定、相似多边形的性质及一元二次方程的解法是解决本题的关键． 21．（2025秋•襄阳月考）如图，已知▱ABCD∽▱EMFC，点E在边CD的延长线上，点F在边BC的延长线上，AB＝4，BC＝6，且∠A＝130°． （1）求∠M的度数； （2）若ME＝3，求DE的长． 【答案】（1）50°； （2）． 【分析】（1）根据平行四边形、相似多边形的性质回答即可； （2）根据平行四边形、相似多角形的性质回答即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣130°＝50°， ∵▱ABCD∽▱EMFC， ∴∠M＝∠B＝50°； 故答案为：50； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD ∵▱ABCD∽▱EMFC， ∴ ∵AB＝4，BC＝6，ME＝3， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似四边形的性质，正确理解相似多边形的性质是解题的关键． 22．（2025秋•嘉定区校级月考）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形作相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”） （1）①三个角分别相等的两个凸四边形相似；（　假　 命题）②两个大小不同的正方形相似．（　真　 命题） （2）如图，在凸四边形ABCD和凸四边形A1B1C1D1中，∠B＝∠B1，∠D＝∠D1＝90°，， 求证：四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似． 【答案】（1）假，真； （2）证明：连接AC、A1C1， ∵∠B＝∠B1，， ∴△ABC∽△A1B1C1， ∴∠BCA＝∠B1C1A1，∠BAC＝∠B1A1C1，， 又∵，∠D＝∠D1＝90°， ∴， ∴Rt△ACD∽Rt△A1C1D1， ∴∠DAC＝∠D1A1C1，∠DCA＝∠D1C1A1，， ∴∠DCB＝∠D1C1B1，∠DAB＝∠D1A1B1，∠B＝∠B1，∠D＝∠D1，， ∴四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似． 【分析】（1）根据相似多边形的定义即可判断； （2）根据相似多边形的定义证明四边成比例，四个角相等即可． 【解答】（1）解：根据相似多边形的定义可知： ①三个角分别相等的两个凸四边形不一定相似，原命题是假命题，边不一定成比例； ②两个大小不同的正方形四个角分别相等，四条边对应成比例，所以两个大小不同的正方形相似，是真命题； 故答案为：假，真； （2）证明：连接AC、A1C1， ∵∠B＝∠B1，， ∴△ABC∽△A1B1C1， ∴∠BCA＝∠B1C1A1，∠BAC＝∠B1A1C1，， 又∵，∠D＝∠D1＝90°， ∴， ∴Rt△ACD∽Rt△A1C1D1， ∴∠DAC＝∠D1A1C1，∠DCA＝∠D1C1A1，， ∴∠DCB＝∠D1C1B1，∠DAB＝∠D1A1B1，∠B＝∠B1，∠D＝∠D1，， ∴四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，正方形的性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解题的关键． 【考点3】运用相似多边形解决实际问题（第23–32题） ※ 方法总结 · 将实际问题抽象为相似多边形模型。 · 建立比例关系，代入数据求解。 · 注意单位统一。 23．（2025•禄丰市模拟）如图，小康利用复印机将一张长为5cm，宽为3cm的矩形图片放大，其中放大后的长为10cm，则放大后的矩形的面积为（　　） A．60cm2 B．58cm2 C．56cm2 D．50cm2 【答案】A 【分析】由相似多边形的对应边成比例，即可求解． 【解答】解：设放大后的宽是xcm， ∵放大前后的两个矩形相似， ∴5：10＝3：x， ∴x＝6， ∴放大后的宽是6cm， 放大后的矩形的面积＝10×6＝60（cm2）． 故选：A． 【点评】本题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形的性质． 24．（2025秋•益阳月考）在书香校园文化建设中，某班制作了一块1.8m×0.8m的长方形成果展板，其成本是a元．在每平方米制作成本相同的情况下，若将此展板的四边都扩大到原来的1.2倍，那么扩大后长方形展板的成本是（　　） A．2.4a元 B．1.2a元 C．1.44a元 D．1.728a元 【答案】C 【分析】直接利用相似多边形的性质进而得出答案． 【解答】解：∵将此展板的四边都扩大为原来的1.2倍， ∴面积扩大为原来的1.22＝1.44（倍）， ∵一块1.8m×0.8m的长方形成果展板，其成本是a元， ∴扩大后展板的成本为1.44a（元）， 故选：C． 【点评】此题考查的是相似多边形的性质，列代数式，掌握相似多边形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 25．（2025秋•庐阳区校级月考）如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，得出相似图形面积比是相似比的平方，进而得出的值． 【解答】解：∵矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍， ∵各种开本的矩形都相似， ∴（）2＝2， ∴． 故选：A． 【点评】此题主要考查了多边形的相似的性质，得出相似图形面积比是相似比的平方是解决问题的关键． 26．（2024秋•北海期末）“碧波深处藏珍宝，珠城扇贝名远扬”，如图是两个形状相同的扇贝图案，则图中x的值为 　5　 cm． 【答案】5． 【分析】根据相似多边形的性质求解即可． 【解答】解：∵如图是两个形状相同的扇贝图案， ∴两个图形相似， ∴， 解得：x＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 27．（2025秋•海口期末）装裱一幅宽40cm、长60cm的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的部分的上下的宽都为15cm，若装裱上去的左右部分的宽都为xcm，则x＝　10　 ． 【答案】10． 【分析】利用相似多边形的性质可得，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： ， 解得：x＝10， 故答案为：10． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 28．（2025春•同步）诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花．”秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪．如图是两张形状相同的枫叶图案，则x的值为　6　 ． 【答案】6． 【分析】根据两个枫叶图案的形状相同，可知两个图形相似，再根据相似多边形的对应边的比等于相似比可得结果． 【解答】解：∵两个枫叶图案相似， ∴， 解得x＝6， 即x的值为6． 故答案为：6． 【点评】此题考查的是相似多边形的性质，即两个多边形相似，其对应边、对角线的比等于相似比． 29．（2024秋•同步）如图，小明在一个一边靠墙，长、宽分别为6m，4m的矩形小花园的外围种植了一种蝴蝶花作为装饰，这种蝴蝶花的种植区域的宽均为20cm，此区域内、外边沿与墙所围成的两个矩形相似吗？请说明理由．如果要使这两个矩形相似，那么当蝴蝶花的种植区域一边的宽a＝20cm时，另一边的宽b为多少才合适呢？ 【答案】这种蝴蝶花的种植区域的宽均为20cm，此区域内、外边沿与墙所围成的两个矩形不相似，宽b为cm时这两个矩形相似． 【分析】表示出边框外缘所围成的矩形的长与宽，然后求出两个矩形的长与宽的比，再根据相似矩形的判定方法进行判断． 【解答】解：边框内外边缘所围成的两个矩形不相似．理由如下： 边框外缘所围成的矩形的长＝640cm，宽＝420cm， 长与宽的比为：640：420＝32：21， 小矩形的长与宽的比为：600：400＝3：2， ∵32：21≠3：2，即对应边不成比例， ∴边框内外边缘所围成的两个矩形不相似， 当640：（400+b）＝3：2时，这两个矩形相似， 解得：b， 答：宽b为cm时这两个矩形相似． 【点评】本题考查了相似多边形的对应边成比例的性质，求出两个矩形的长与宽的比是解题的关键． 30．（2024•南岗区校级开学）画图题 （1）按1：3画出下面的三角形缩小后的图形； （2）按2：1画出下面的平行四边形放大后的图形． （3）图（1）缩小后图形的面积为 　3　 ． （4）图（2）放大后图形的面积为 　24　 ． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）3； （4）24． 【分析】（1）找出三角形的两条直角边，数出有几个格，把它们分别除以3，然后画出即可； （2）找出形平行四边的底与高，数出有几个格，把它们分别乘以2，然后画出即可； （3）根据缩小后的底和高，利用三角形面积公式计算即可； （4）根据放大小后的底和高，利用三角形面积公式计算即可． 【解答】解：（1）如图所示，△ADE即为所求； （2）如图所示，平行四边形A1E1F1G1即为所求； （3）根据图可知△ADE的底为3，高为2， ∴△ADE的面积， 故答案为：3； （4）根据图可知：平行四边形A1E1F1G1的底为6，高为4， ∴平行四边形A1E1F1G1的面积6×4＝24， 故答案为：24． 【点评】本题考查了图形的放大与缩小，解答本题的关键是掌握比例尺的概念． 31．（2024春•单元）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等、四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比． （1）如图①，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似． （2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）1． 【分析】（1）连接BD，B1D1，应用相似三角形的性质，即可证明两个四边形的各边对应成比例，各角对应相等，从而证明问题． （2）由相似三角形的性质，平行线分线段成比例定理，推出OE＝OF，由相似多边形的性质得到AE＝DE，即可解决问题． 【解答】（1）证明：连接BD，B1D1， ∵∠BCD＝∠B1C1D1，， ∴△BDC∽△B1D1C1， ∴，∠DBC＝∠D1B1C1，∠CDB＝∠C1D1B1， ∵， ∴， ∵∠ABC＝∠A1B1C1， ∴∠ABD＝∠A1B1D1， ∴△ABD∽△A1B1C1， ∴，∠A＝∠A1，∠ADC＝∠A1D1C1， ∴∠ADC＝∠A1D1C1， ∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似． （2）解：∵EF∥AB， ∴△DEO∽△DAB， ∴OE：AB＝DE：DA， 同理：OF：AB＝CF：CB， ∵DC∥EF∥AB， ∴DE：DA＝FC：CB， ∴OE：AB＝OF：AB， ∴OE＝OF， ∵四边形ABFE与四边形EFCD相似， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴DE＝AE， ∴1． 【点评】本题考查相似多边形，关键是把相似多边形的问题转化成相似三角形来解决． 32．（2025秋•衡阳期末）综合与实践 学校组织“数学文化节”，启航小组承担了校园宣传栏主题展板的设计任务，活动报告如下： 活动任务 设计数学文化节展板 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 基本信息 有两张标准矩形KT板（一种制作展板的常用材料），尺寸为120cm×240cm． 版面规划 用矩形ABCD（AB＜BC）表示整张KT板． 展板一：如图1，在展板上下边缘各留宽为acm的空白，左右边缘各留宽为bcm的空白，中间（即矩形EFGH）为图案区域． 展板二：如图2，在展板上下边缘各留宽为acm的空白，左右边缘各留宽为bcm的空白，中间部分纵向分割成四个全等的矩形图案区域，且每相邻两个矩形区域之间的间隔均为bcm． 问题解决 确定版面图案区域的具体信息，如下：… （1）根据版面规划，若展板一中a＝10，且图案区域与整块展板相似（即矩形EFGH∽矩形ABCD），求b的值； （2）根据版面规划，若展板二中的四个矩形图案区域都与整块展板相似（如矩形MNGH∽矩形ABCD），则的值为　　 ． 【答案】（1）20； （2）． 【分析】（1）根据矩形EFGH∽矩形ABCD，可得，根据AB＝120cm，AD＝240cm，a＝10可得EF＝100，则EH＝（240﹣2b）cm，进而即可求解； （2）根据矩形MNGH∽矩形ABCD，可得，根据AB＝120cm，AD＝240cm，可得，由图可得，，进而即可求解； 【解答】解：（1）由题意得AB＝120cm，AD＝240cm． ∵矩形EFGH∽矩形ABCD， ∴， ∵a＝10， ∴EF＝AB﹣2a＝120﹣10×2＝100cm． ∵EH＝AD﹣2b＝（240﹣2b）cm， ∴， 解得b＝20． 答：b的值为20． （2）∵矩形MNGH∽矩形ABCD， ∴， ∴， ∵AD＝240cm，AB＝120cm， ∴， 由图可得，， ∴， ， ﹣4a＝﹣5b， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似图形的性质，理解题意是解决本题的关键． 随堂检测 · 精选练习 练习1：相似多边形求边长练习2：相似多边形求角度练习3：相似多边形周长面积比练习4：相似矩形求比值练习5：相似多边形周长比练习6：相似多边形求角度与边长 【练习1】（2026•成安县模拟）如图，四边形ABCD∽四边形GEFH，则x＝　20　 ． 【答案】20． 【分析】根据相似多边形的性质解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形GEFH， ∴， ∴， 整理得，40x＝800， 解得x＝20， 经检验，x＝20是原方程的解， ∴x＝20， 则x的值为20， 故答案为：20． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 【练习2】（2025秋•兴庆区校级期末）如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，若∠B＝50°，∠C＝80°，∠A'＝100°，则∠D'＝ 　130°　 ． 【答案】130° 【分析】根据相似多边形的对应角相等，以及四边形内角和为360度求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'， ∴∠A＝∠A'＝100°， 又∵∠B＝50°，∠C＝80°， ∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣100°﹣50°﹣80°＝130°， 故答案为：130°． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应角相等是解题的关键． 【练习3】（2025秋•福建期末）两个相似多边形的周长之比为1：4，则它们的面积之比为 　1：16　 ． 【答案】1：16． 【分析】根据相似多边形的周长比求出相似比，再根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方计算． 【解答】解：∵两个相似多边形的周长之比为1：4， ∴它们的相似比为1：4， 则它们的面积之比为1：16， 故答案为：1：16． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形的周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 【练习4】（2025秋•魏县期末）如图，矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形AFED与原矩形ABCD相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 　　 ． 【答案】． 【分析】设AF＝a，AD＝b，根据矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，可得EC＝2a，NCb，矩形AFED与原矩形ABCD相似列出比例式即可解答． 【解答】解：设AF＝a，AD＝b， ∵矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形， ∴EC＝2a，NCb， ∴CD＝3a， ∵矩形AFED∽矩形ABCD， ∴， 即， ∴ba， ∴原矩形的较长边与较短边的比值为：． 故答案为：． 【点评】本题考查相似多边形的性质，解答本题的关键是掌握相似图形的性质． 【练习5】（2025秋•横山区期末）已知四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，且四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积比为1：16，若四边形A1B1C1D1的周长为4，则四边形ABCD的周长为　1　 ． 【答案】1． 【分析】根据相似多边形的性质解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，且四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积比为1：16， ∴其相似比为1：4， ∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的周长比为1：4， ∵四边形A1B1C1D1的周长为4， ∴四边形ABCD的周长为1． 故答案为：1． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比是解题的关键． 【练习6】（2025秋•广阳区校级月考）如图，已知四边形ABCD∽四边形EMFC，AB＝4，BC＝6，且∠A＝130°． （1）∠E的度数为　130°　 ； （2）若ME＝3，求MF的长． 【答案】（1）130°； （2）． 【分析】（1）根据相似多边形对应角相等解答； （2）根据相似多边形对应边成比例解答． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD∽四边形EMFC，∠A＝130°． ∴∠E＝∠A＝130°． 故答案为：130°； （2）∵四边形ABCD∽四边形EMFC，AB＝4，BC＝6，ME＝3， ∴，即， ∴． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形对应角相等，对应边成比例是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：照片比例求实际长度作业2：相似多边形面积比作业3：相似多边形求角度 作业4：相似多边形求边长作业5：相似多边形周长比作业6：相似多边形求角度 作业7：黄金矩形求长作业8：相似多边形面积比求边长作业9：相似多边形周长比求对应边 作业10：相似多边形面积比求面积作业11：相似矩形求面积作业12：相似多边形求角度与边长 作业13：相似四边形求角度与边长作业14：相似四边形求对应边作业15：菱形相似综合 ❤ 复习建议 熟记定义与性质：相似多边形对应角相等、对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 灵活运用面积比：面积比是相似比的平方，常用于求面积或边长。 证明思路：证明多边形相似时，常连接对角线转化为三角形相似。 实际应用建模：将实际问题抽象为相似多边形，建立比例方程求解。 【作业1】（2026春•临淄区期中）嘉嘉周末到齐文化博物馆参观．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为7cm和13cm，笔的实际长度为14cm，则该古籍的实际长度为（　　） A．6.5cm B．13cm C．18cm D．26cm 【答案】D 【分析】根据照片中的物体长度与实际物体长度成比例（即比例尺固定），列出比例式求解即可． 【解答】解：设该古籍的实际长度为xcm， ∵照片上物体的长度与实际物体的长度成正比，照片上笔和古籍的长度分别为7cm和13cm，笔的实际长度为14cm， ∴， 解得x＝26， ∴该古籍的实际长度为26cm， 故选：D． 【点评】本题考查了比例线段的应用，掌握相似图形的性质是解题的关键． 【作业2】（2026•新兴县一模）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH．若AB＝5，EF＝3，则它们的面积之比为（　　） A．5：3 B．3：5 C．25：9 D．无法确定 【答案】C 【分析】相似多边形面积的比等于相似比的平方，由此即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH， ∴四边形ABCD的面积：四边形EFGH＝AB2：EF2＝52：32＝25：9． 故选：C． 【点评】本题考查相似多边形当性质，关键是掌握相似多边形面积的比等于相似比的平方． 【作业3】（2026•永川区校级模拟）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，则∠D的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【答案】C 【分析】先利用相似的性质得出∠A＝∠E＝80°，∠C＝∠G＝90°，再利用四边形的内角和为360°求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠B＝70°，∠E＝80°，∠G＝90°， ∴∠A＝∠E＝80°，∠C＝∠G＝90°， ∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣80°﹣70°﹣90°＝120°． 故选：C． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应角相等是解题的关键． 【作业11】（2025秋•庄浪县期末）如图，在矩形 A．10 B．12.5 C．20 D．50 【答案】C 【分析】根据相似多边形的对应边成比例求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形GEFH， ∴（相似多边形对应边成比例），即， 解得x＝20，经检验，x＝20符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 【作业5】（2025秋•贵阳期末）两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 【答案】A 【分析】根据相似多边形的性质求出相似比，根据相似多边形的性质求出周长比． 【解答】解：∵两个相似多边形的面积之比是1：4， ∴这两个相似多边形的相似比是1：2， 则这两个相似多边形的周长之比是1：2， 故选：A． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 【作业6】（2025秋•梁溪区校级期末）如图，四边形ABCD和A1B1C1D1相似，已知∠A＝110°，∠B＝90°，∠C1＝80°，则∠D1＝　80°　 ． 【答案】80°． 【分析】直接根据相似多边形的性质解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD和A1B1C1D1相似，已知∠A＝110°，∠B＝90°，∠C1＝80°， ∴∠A1＝∠A＝110°，∠B1＝∠B＝90°， ∴∠D1＝360°﹣∠A1﹣∠B1﹣∠C1＝360°﹣110°﹣90°﹣80°＝80°． 故答案为：80°． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应角相等是解题的关键． 【作业7】（2026•临县模拟）如果一个矩形的宽与长之比等于黄金数，就称这个矩形为黄金矩形．若矩形ABCD为黄金矩形，矩形ABCD的周长为，则矩形的长为 　8　 ． 【答案】8． 【分析】设矩形长为x，根据黄金矩形定义得到宽为，再根据矩形ABCD的周长为，得到方程，即可求解． 【解答】解：∵一个矩形的宽与长之比等于黄金数，矩形ABCD为黄金矩形，矩形ABCD的周长为， ∴设矩形长为x，则宽为， ∵矩形ABCD的周长为 ∴， 解得：x＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查了黄金分割，二次根式的应用，相似多边形的性质，正确理解题意是解题的关键． 【作业8】（2025秋•兴平市期末）已知四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB＝2，若四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积比为4：5，则A1B1的长为　　 ． 【答案】． 【分析】相似多边形的面积比等于相似比的平方，已知面积比为4：5，可求相似比，再根据对应边成比例求A1B1长． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，且面积比为4：5， ∴， 即， ∴， 解得． 则A1B1的长为． 故答案为：． 【点评】本题考查相似多边形的性质，关键是相似多边形性质的熟练掌握． 47．（2025秋•礼泉县期末）已知五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的周长比为2：5，则AB：A′B′的值为　2：5　 ． 【答案】2：5． 【分析】根据相似多边形的周长比等于相似比，而相似比等于对应边的比，因此AB：A′B′的值即为周长比解答即可． 【解答】解：∵五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的周长比为2：5， ∴相似比等于周长比，即2：5， ∴对应边AB与A′B′的比也为2：5． 故答案为：2：5． 【点评】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的边长比等于周长比是解题关键． 【作业9】（2025秋•礼泉县期末）已知五边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，且四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的相似比为1：3，若四边形ABCD的面积为5，则四边形A1B1C1D1的面积为　45　 ． 【答案】45． 【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方得到四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积比为12：32＝1：9，进而求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，其相似比为1：3， ∴其面积比为12：32＝1：9， ∵四边形ABCD的面积为5， ∴四边形A1B1C1D1的面积＝5×9＝45． 故答案为：45． 【点评】此题考查了相似多边形的性质，熟知相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【作业10】（2025秋•府谷县期末）已知四边形ABCD中，AD＝8cm，AB＝4cm，点E、F分别在边AD、BC上，连接EF，若矩形CDEF∽矩形DABC，则矩形CDEF的面积是　8　 cm2． 【答案】8． 【分析】首先求出CD＝AB＝4cm，然后由矩形CDEF∽矩形DABC得到，然后代入求出DE＝2，进而求解即可． 【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝4cm， ∴CD＝AB＝4cm， ∵矩形CDEF∽矩形DABC， ∴， ∴， ∴DE＝2， ∴矩形CDEF的面积是2×4＝8（cm2）． 故答案为：8． 【点评】本题考查了矩形的性质，相似多边形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 【作业12】（2025秋•资阳月考）如图，多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1相似，其中A，B，C，D，E，F的对应点分别为和多边形A1，B1，C1，D1，E1，F1，∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°． （1）求∠F的度数； （2）如果多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1的相似比是1：1.5，且CD＝15cm，求C1D1的长度． 【答案】（1）115°； （2）22.5cm． 【分析】（1）利用相似多边形的性质对应角相等，把已知角代入可得所求的角的度数； （2）利用相似多边形的性质对应边的比等于相似比，可得所求的线段的长度． 【解答】解：（1）∵多边形ABCDEF∽多边形A1B1C1D1E1F1， ∴∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1，∠E＝∠E1，∠F＝∠F1， ∵∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°， ∴∠A＝135°，∠B＝120°，∠C＝95°，∠D＝135°，∠E＝120°， ∵六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°， ∴∠F＝720°﹣∠A﹣∠B﹣∠C﹣∠D﹣∠E ＝720°﹣135°﹣120°﹣95°﹣135°﹣120° ＝115°； （2）∵多边形ABCDEF∽多边形A1B1C1D1E1F1， ∴， ∵CD＝15cm， ∴C1D1＝1.5CD＝22.5cm． 【点评】此题考查了相似多边形，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【作业13】（2025秋•新郑市期中）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，依据所标数据，解答下列问题． （1）求∠B的度数； （2）求边x、y的长． 【答案】（1）∠B的度数为70°； （2）x＝4，y＝18． 【分析】（1）根据相似多边形的性质解答即可； （2）根据相似多边形的性质解答即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴∠C′＝∠C＝135°， ∴∠B′＝∠B＝360°﹣60°﹣135°﹣95°＝70°． 即∠B的度数为70°； （2）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴， 解得x＝4，y＝18． 【点评】此题考查相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应角相等，对应边成比例是解题的关键． 【作业14】（2025春•同步）已知四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是相似的图形，并且点A与点A'、点B与点B'、点C与点C'、点D与点D'分别是对应顶点，其中AB、BC、CD、DA的长分别为12厘米、16厘米、16厘米、20厘米，A'B'的长为9厘米，求B'C'、C'D'、D'A'的长． 【答案】B'C'、C'D'、D'A'的长分别为：12cm，12cm，15cm． 【分析】直接利用相似多边形的性质得出相似比，进而得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是相似的图形，并且点A与点A'、点B与点B'、点C与点C'、点D与点D'分别是对应顶点，其中AB、BC、CD、DA的长分别为12厘米、16厘米、16厘米、20厘米，A'B'的长为9厘米， ∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为：12：9＝4：3， ∴BC：B′C′＝CD：C'D'＝DA：D'A'＝4：3， ∴16：B′C′＝16：C'D'＝20：D'A'＝4：3， 解得：B'C'＝12、C'D'＝12，D'A'＝15， 即B'C'、C'D'、D'A'的长分别为：12cm，12cm，15cm． 【点评】此题主要考查了相似多边形的性质，正确得出相似比是解题关键． 【作业15】（2024秋•驿城区期中）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD． （1）求证：EB＝GD； （2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）GD． 【分析】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等； （2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB＝60°得到BP＝1，然后求得EP的长，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可． 【解答】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG＝∠BAD， ∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB， ∴∠EAB＝∠GAD， ∵AE＝AG，AB＝AD， ∴△AEB≌△AGD， ∴EB＝GD； （2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC， ∵∠DAB＝60°， ∴∠PAB＝30°， ∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，AB＝2， ∴AE，BPAB＝1， ∴AP， ∴EP， ∴EB， ∴GD． 【点评】本题主要考查相似多边形形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，菱形的性质等知识的综合运用． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $