河北雄安新区2025-2026学年高一下学期7月期末教学质量检测数学试题

2025-2026学年第二学期期末教学质量检测 高一数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．有1，2，1，3，1，4六个数，中位数是（ ） A．1 B．1.5 C．2 D．2．5 2．在中，，令，，用、表示（ ） A． B． C． D． 3．一副去掉大小王的52张扑克牌，从中任取一张，设事件为“抽到红桃”，设事件为“抽到8”，则事件、为（ ） A．互斥事件 B．对立事件 C．相互独立事件 D．包含关系 4．在中，若，，，则（ ） A． B． C．或 D．或 5．已知向量，，满足，，，则向量，的夹角为（ ） A． B． C． D． 6．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且直线，下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 7．在中，为的角平分线，点在边上，且满足，若，，的面积是，则（ ） A． B． C． D． 8．在平行四边形中，，，，现将沿直线翻折至，使得点到达点的位置，且二面角的平面角等于，则与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知复数在复平面内对应的向量，则下列说法正确的是（ ） A． B．的虚部为 C． D．若复数满足，则在复平面内复数对应的点的集合所构成图形的面积是 10．在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（ ） A． B．若的外心为，则 C．若，则周长的最大值为 D．若，且有两解，则的取值范围为 11．已知正方体的棱长为1，则下列选项正确的有（ ） A．若为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 B．若为棱的中点，则过点有且仅有一条直线与直线，都相交 C．以正方体各面中心为顶点构成的八面体，其外接球表面积为π D．若平面，则平面截此正方体所得截面图形的面积越大，其周长越大 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知一个圆台的轴截面为梯形，若，，则该圆台的侧面积为_________． 13．现代战争慢慢地走向无人化作战，小型无人机只要被击中一次，就会坠毁．甲、乙两名士兵独立击落无人机的概率分别为和．无人机来袭，甲、乙两名士兵各有一次开枪机会，则无人机恰好被一颗子弹击落的概率是_________． 14．已知，，以，为邻边做平行四边形，点是中点，，，则_________． 四、解答题（本大题共5道小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，且的面积为，求． 16．（本小题满分15分） 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，为的中点． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）设，，三棱锥的体积为，求到平面的距离． 17．（本小题满分15分） 某学校组织一次数学教学反馈测试，为分析测试情况，随机抽取100名学生的测试成绩组成样本，选取合适组距将样本数据分为6组，分组区间依次为，，，，，，据此绘制得到频率分布直方图，如图所示． （Ⅰ）求图中参数的值，并利用样本估计总体，估算本次测试成绩的第65百分位数； （Ⅱ）在抽取的100名同学的数学成绩中，采用分层抽样的方法，从成绩落在区间与内的学生中共抽取4名学生，再从这4名学生中随机选取2名，求选出的2名学生的成绩都落在区间内的概率； （Ⅲ）设该样本数据的平均数为，众数为，中位数为，将，，按照从小到大的顺序排列（无需写出推导理由）． 18．（本小题满分17分） 如图，在长方体中，，，为上一点，且，上一点，且，为的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求平面与平面所成角的正切值； （Ⅲ）设为中点，过做平面，使平面平面，求长方体被平面所截得的图形的周长． 19．（本小题满分17分） 设复数，复平面内复数对应点，向量 定义复变换：，其中符号代表平面向量数量积运算． （Ⅰ）已知，，分别求出，； （Ⅱ）若复数满足，，且，设原点，定点，求的面积； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记为的外心，若平面内动点满足，且，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学 答案详解 (本试卷满分150分，考试时间120分钟) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.B2.D3.C 4.B5.A 6.C7.C8.B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给的四个选项中，有多 项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.ACD 10.ABD 11.ABC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 13 28 12.24元 13.56 14.5 四、解答题（本大题共5道小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：(I)acosC+V3 asinC=b+c 2分 由正弦定理得：sin4 4cosC+V3sin4sinC=sinB+sinC 4分 则有， sinAcosC+3sinAsinC sin(n4-C)+sinC sinAcosC+cosAsinC+sinC 所以，V3sin4sinC=cosAsinC+sinC 因为C∈(0，)，sinC≠0 所以有V3sin4=cosA+1, 6分 则有V3sinA-cos4=l 4}月 Aπ、元 A= 因为A∈(0，)，所以A66,所以4=3： 8分 (Ⅱ)因为△4ABC的面积为2W3,所以2 esin4=23 ,即bc=8 10分 因为b+c=6,由余弦定理得：a2=b+c2-2 becosA=-b2+c2-bc=(b+c}-3bc a2=62-3×8=12 12分 所以a=23 13分 16.(本小题满分15分) 解：(I)设AC与BD交于点O,由底面ABCD为矩形，得O为BD中点 2分 又E为PD中点，则EOIIPB,又EOC平面AEC,PBC平面AEC,所以PB∥平面AEC 5分 (2)方法一：由PA⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形，得 1 V-D=4DPA -xx4Bx5x1- 32 2,解得 AB=3. 7分 过点A作AF⊥PB,垂足为F, 由PA⊥底面ABCD,BCC底面ABCD,则BC⊥PA, 9分 而BC⊥AB,AB∩PA=A,于是BC⊥平面PAB, 11分 则AF⊥BC,PB∩BC=B 因此AF⊥平面PBC, 即AF为点A到平面PBC的距离， 13分 在Rt△PAB中，∠PAB=90°，PA=1,AB=3, 所以 AF=PA×AB_3VI0 PB 10 15分 方法二： PA⊥底面ABCD,BCC面ABCD .PA⊥BC 又：BC⊥AB.AB∩BC=B .BC⊥面PAB .BC⊥PB 8分 Somc=1BC.PB=x0x 2 2 1 x3x/3 10分 设A到平面PBC的距离为h,由'4Pac='-Bc. 得3 3 h=30 代入可得： 10 15分 17.(本小题满分15分) 解：(I)由频率分布直方图得：5×(0.05+0.06+a+0.03+0.01+0.01）=1,解得a=0.04 3分 第-组[65,70)频率为0.05×5=0.25 第二组[70,75)频率为0.06×5=0.3 第三组[75,80)颜率为0.04×5=0.2 因为0.25+0.3<65%<0.25+0.3+0.2 所以第65百分位数位于[75,80)内 5分 设第65百分位数为X, 则0.25+0.3+0.04×(x-75)=0.65 0.04×(x-75)=0.1 x-75=2.5 x=77.5 所以本次测试成绩的第65百分位数为77.5 7分 ()从[80,85)，[85,90)这两组中用分层抽样的方法抽取4名同学，抽取的人数比为0.03：0.01=3：1， 即从[80,85)中抽取3人记为A、B、C,从[85,90)中拍取1人记为D,从这4名同学中随机抽取两名， 有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种情况，两名同学成绩落都在[80,85)这一组的有AB、AC、 BC三种情况 11分 1 P= 由古典概率模型可知概率为 2 13分 (Ⅲ)n<d<m 15分 18.(本小题满分17分) 解：(I)证明：连结BD,作MM'IDP,交BD于M :.BM=MM-3 MM-3DP-3x2DD=1 BP DP 4. 4 43 1分 又AN=L,且ANIIDD C A p B M D C B .MM'I∥AN.MM'=AN :四边形MNAM'为平行四边形 ∴.MN∥AM' 2分 :DDL面ABCD,AM'c平面ABCD .DD⊥AM' 3分 ∴.DD⊥MN 4分 (I)延长DN,DA交于点E,作AF⊥EN交EN于F,连接FB. ·AB⊥平面ADD,A,ENC平面ADDA .AB⊥EN,又EN⊥AF,AB∩AF=A .EN⊥平面ABF,∴.EN⊥FB :∠AFB即为平面DNB与平面ADD,A所成角 7分 D :N为1A中点，易得△AEN≌△4D,N .'.AE=AD=2 .EN=AE2+AN2=22+1=5 8分 Sam号ENAP=3AEAN 2 AF= W5 9分 tan∠AFB=AB_3V5 AF 2 10分 (I)设CC的中点为S,连接DS,BS,易知平面DNB即平面DNBS 设O,T,G分别为AW,SC,BC中点，设H为DD上一点，且 连接K⑨，QH,HT,TG,GK.则五边形KOHTG即为所求 12分 D C 41 H B S D G QK-BN-10 2 QH=ND=V22+12=√5 HT=D,S=V32+12=V0 GT-BS-12+1-5 KG- 16分 L=+5+0+5+E_3i0+35+ 周长 2 22 2 17分 19.(本小题满分17分) 解：(I)①3=1+2i,x=1,y=220,0P=(1,2) 0P:(1,2)=1x1+2×2=5,所以，8(3)=5+21 2分 ②3，=2-i,x=2,y=-1<0.0P=(2,-) 0P(2,-)=2×2+(-)×(-H)=5,所以，8(3)=5-21 4分 (I)当y≥0时，化简变换：8(2)=(x+2y)+i 由模长条件：V(x+2y)+y=V40→(x+2y}+y2=40 6分 代入y=x(20→x>0). 得(3°+r=40→10r=40→=4→x=2,y=2,即P(2,2) △OP2底边O0=4,高为点P纵坐标2，所以， Sa0r0=2X4×2=4 8分 (mD由(2)得O(0,0),P(2,2),(4,0),设0(x),由外心定义.10'0=00， 即2+y=(x-4+y→x2=x2-8x+16今x=2 9分 由O0=lOP,代入x=2, 22+y2=(2-2)+(y-2)→4+y2=y2-4y+4→y=0 得外心0'(2,0) 10分 由元+u=1,得4=1-元，代入0M=0P+0@, 0M=0p+(1-)00=00+(0p-00) 代入0P=(2,2）,00=(4,0）,0M=(4,0)+(2-4,2-0)=(4-2元，22) 即动点坐标M(4-2元，2) 12分 0M=0M-00°=(4-21-2,2元-0)=(2-2,2) PM=0M-0p=(4-21-2,21-2)=(2-22,21-2) 14分 0W-Pm-2-2j2-2a+2a2a-2）=4-8x+42+4-4-82-12+4-8&--月 83 因为（4 20=3 ,当4时，取得最小值2. 所以，OM·PM的最小值为217分