1.1 椭圆及其标准方程-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．(2024·陕西榆林月考)椭圆＋＝1的焦点坐标是(　　) A．(2，0)，(－2，0) B．(0，2)，(0，－2) C．(2，0)，(－2，0) D．(0，2)，(0，－2) 解析：选A．由题意得a2＝16，b2＝8，则c2＝16－8＝8，c＝2，椭圆焦点在x轴上，焦点为(2，0)，(－2，0).故选A． 2．(2024·江西景德镇一中期中)已知曲线C：＋＝1，则“a>0”是“曲线C是椭圆”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C．若曲线C是椭圆，则有 解得a>0且a≠2.故“a>0”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件．故选C． 3．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 解析：选B．由题易知两焦点分别为(2，0)，(－2，0).根据椭圆的定义，P到两焦点F1，F2的距离之和为4×2＝8，又因为P到两焦点F1，F2的距离之差为2，所以P到两焦点的距离分别为5，3，所以三角形边长分别为3，4，5，所以△PF1F2是直角三角形．故选B． 4．(2024·江西省丰城中学检测)已知椭圆x2＋ky2＝2的焦点在y轴上，若椭圆的焦距为4，则k＝(　　) A． B． C．3 D．4 解析：选A．椭圆x2＋ky2＝2即＋＝1，焦点在y轴上，所以a2＝，b2＝2，所以c＝＝，又椭圆的焦距为4，所以 ＝2，解得k＝.故选A． 5．(2024·陕西渭南期中)已知椭圆＋＝1的两个焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1的周长是(　　) A．10 B．12 C．16 D．20 解析：选D．由题意得a＝5，b＝4，由椭圆定义可知， |AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，所以△ABF1的周长为|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF2|＋|BF1|＝20.故选D． 6．(多选)已知F1，F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，A是椭圆上一点，若△AF1F2是直角三角形，则△AF1F2的面积为(　　) A．9 B． C．4 D．5 解析：选AB．由＋＝1得c＝＝4，则F1(－4，0)，F2(4，0)，|F1F2|＝8，当AF1⊥AF2时，则 由①平方减去②得|AF1|·|AF2|＝18，所以S△AF1F2＝×|AF1|·|AF2|＝9，当AF1⊥F1F2 (或AF2⊥F1F2)时，F1(－4，0)，令x＝－4，则＋＝1，解得y＝±，则|AF1|＝，S△AF1F2＝××8＝.故选AB． 7．已知椭圆的焦点在y轴上，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________________． 解析：由题意2a＝8，2c＝2，所以a＝4，c＝，所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋x2＝1. 答案：＋x2＝1 8．已知P为椭圆＋＝1上一动点，记原点为O，若＝2，则点Q的轨迹方程为________________________． 解析：设点Q(x，y)，由＝2得点P(2x，2y)，而点P为椭圆＋＝1上的任意一点，所以＋＝1，整理得＋＝1，所以点Q的轨迹方程是＋＝1. 答案：＋＝1 9．(2024·河南焦作博爱县第一中学检测)已知椭圆C：＋＝1，F1，F2为椭圆的左、右焦点．若点P是椭圆上的一个动点，点A的坐标为(2，1)，则|PA|＋|PF1|的范围为__________________________________________． 解析：由椭圆的标准方程可知a＝5，c＝3，F1(－3，0)，F2(3，0)，又点P在椭圆上，根据椭圆定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，所以|PF1|＝10－|PF2|，所以|PA|＋|PF1|＝10＋|PA|－|PF2|.易知－|AF2|≤|PA|－|PF2|≤|AF2|，当且仅当A，P，F2三点共线时等号成立．又|AF2|＝＝，所以10－≤|PA|＋|PF1|≤10＋，即|PA|＋|PF1|的范围为[10－，10＋ ]. 答案：[10－，10＋ ] 10．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a＋c＝4，a－c＝2； (2)焦点坐标为(0，－4)，(0，4)，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为10； (3)焦点在x轴上，a＝4，且经过点A(2，)； (4)c＝4，且经过点P(0，2). 解：(1)由题意，联立解得 则由椭圆的性质得，b2＝a2－c2＝8，所以当椭圆的焦点落在x轴上时，椭圆的标准方程为＋＝1；当椭圆的焦点落在y轴上时，椭圆的标准方程为＋＝1，故椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. (2)由题意可得2a＝10，即a＝5，又椭圆的两个焦点坐标为(0，－4)，(0，4)，所以c＝4，且焦点落在y轴上，由椭圆的性质得，b2＝a2－c2＝9，故椭圆的标准方程为＋＝1. (3)因为椭圆的焦点在x轴上，且a＝4，所以可设椭圆的标准方程为＋＝1，又椭圆经过点A(2，)，所以＋＝1，解得b2＝4，故椭圆的标准方程为＋＝1. (4)因为c＝4，由椭圆的性质得c2＝a2－b2＝16，则a2＝b2＋16，所以可设椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1，又因为椭圆经过点P(0，2)，所以＝1或＝1，解得b2＝24或b2＝8，当b2＝24时，椭圆的焦点落在x轴上，此时椭圆的标准方程为＋＝1；当b2＝8时，椭圆的焦点落在y轴上，此时椭圆的标准方程为＋＝1，故椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 11．(2024·陕西宝鸡期末)已知椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离等于6，则线段PF1的中点M到坐标原点的距离为(　　) A．7 B．10 C．12 D．14 解析：选A．如图，因为椭圆＋＝1，所以a＝10，|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，结合|PF1|＝6得，|PF2|＝14，取PF1的中点M，连接OM，所以OM为△PF1F2的中位线，所以|OM|＝|PF2|＝7.故选A． 12．(2024·陕西西安第三十八中模拟)已知P为椭圆＋＝1上一点，曲线＋|y|＝1与坐标轴的交点为A，B，C，D，若|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝4，则点P到x轴的距离为(　　) A． B． C． D． 解析：选D．在曲线＋|y|＝1中，令x＝0得y＝±1，令y＝0得x＝±2，不妨设A(－2，0)，B(2，0)，C(0，－1)，D(0，1)，则A，B为椭圆＋＝1的焦点，则|PA|＋|PB|＝2， 因为|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝4，所以|PC|＋|PD|＝2，又|CD|＝2，|PC|＋|PD|>|CD|，由椭圆定义可知，P点在以C(0，－1)，D(0，1)为焦点的椭圆上，其中2a＝2，2c＝2，故a＝，c＝1，b2＝6－1＝5，所以P为椭圆＋＝1上一点，由解得y2＝，则|y|＝，故点P到x轴的距离为.故选D． 13．(2024·河南济源期末)已知点P(m，n)是椭圆4x2＋y2＝1上的动点且点P不在坐标轴上，称动点Q构成的轨迹为曲线Γ.若圆x2＋y2＝r2与曲线Γ无公共点，则实数r的取值范围为__________． 解析：设曲线Γ上任一点Q(x，y)(xy≠0)，则则且点(，)在椭圆4x2＋y2＝1上，则＋＝1，故曲线Γ的方程为＋＝1(xy≠0).若圆x2＋y2＝r2(r>0)与曲线Γ有公共点，则r2＝x2＋y2＝(x2＋y2)(＋)＝＋＋5≥2 ＋5＝9，当且仅当＝，即|x|＝|y|＝时，等号成立，所以r≥3.故若圆x2＋y2＝r2(r>0)与曲线Γ无公共点，则实数r的取值范围为(0，3). 答案：(0，3) 14．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上，∠F1PF2＝θ. (1)求△F1PF2的面积S； (2)研究△F1PF2的内角∠F1PF2的变化规律． 解：(1)如图所示，|F1F2|＝2c，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则r1＋r2＝2a，在△F1PF2中，由余弦定理得(2c)2＝r＋r－2r1r2cos θ＝(r1＋r2)2－2r1r2－2r1r2cos θ＝(2a)2－2r1r2(1＋cos θ)，即r1r2＝.所以△F1PF2的面积S＝r1r2sin θ＝××sin θ＝＝＝b2tan . (2)方法一：在△F1PF2中运用余弦定理，则有cos θ＝，由于r1＋r2＝2a，且a2＝b2＋c2，所以cos θ＝＝＝－1＝－1≥－1＝－1，当且仅当r1＝r2，即P为椭圆与y轴交点时取等号，此时cos θ最小，θ取得最大值． 方法二：利用(1)中结论探讨，因为θ为△F1PF2的内角，所以θ∈(0，π)，即∈(0，).如图，令点P按顺时针方向由点A向点B运动，则△F1PF2的边F1F2不变，但边F1F2上的高逐渐增大，故S逐渐变大，从而tan 逐渐变大，由∈(0，)可知，也逐渐变大．由此可见，点P的纵坐标的绝对值越大，θ也越大，当点P与点B重合时，∠F1PF2取到最大值． 15．(2024·陕西宝鸡检测)已知椭圆＋＝1，F1，F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，P为椭圆上一点，cos ∠F1PF2＝，则|PO|＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B．由题意可得a＝3，b＝，c＝，则|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，①即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝36，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos ∠F1PF2＝(2)2，因为cos ∠F1PF2＝，故(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|(1＋)＝12，②联立①②，解得|PF1|·|PF2|＝，所以|PF1|2＋|PF2|2＝21，而＝(＋)， 所以|PO|＝||＝|＋| ＝ ＝ ＝.故选B． 16．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1). (1)若P是该椭圆上的一个动点，求|PF1|·|PF2|的最大值； (2)若C为椭圆上异于点B的一点，且1＝λ 1，求λ的值； (3)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值． 解：(1)因为椭圆的方程为＋y2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，所以|PF1|·|PF2|≤＝＝4，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取等号，所以|PF1|·|PF2|的最大值为4. (2)设C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－，0)，由1＝λ 1，得x0＝，y0＝－.又＋y＝1，所以λ2＋6λ－7＝0，解得λ＝－7或λ＝1.因为点C异于点B，故λ＝1舍去，所以λ＝－7. (3)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|，所以|PF1|＋|PB|＋|BF1|≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8，所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8. 学科网（北京）股份有限公司 $