3.3 第1课时 指数函数的图象和性质课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数的概念、图象和性质，通过“思考”问题（如底数为何需a>0且a≠1）导入，衔接指数运算知识，引导学生抽象出定义，再结合画图探究不同底数函数的单调性、定点等性质，构建知识支架。 其亮点是以数学抽象（定义辨析）、直观想象（图象比较）、逻辑推理（单调性应用）为核心素养导向，设计基础自测、题型探究（概念判断、大小比较、定义域值域求解）及对点练习，帮助学生深化理解，教师可借此提升教学效率，学生能在实践中发展数学思维与应用能力。

§3　指数函数 第1课时　指数函数的图象和性质 【素养目标】 1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(数学抽象) 2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说出指数函数的性质．(直观想象) 3．掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小．(逻辑推理) 4．通过本节学习，进一步体会图象是研究函数的重要工具，能运用指数函数的图象研究一些实际问题．(数学运算) 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 【学法解读】 指数函数的学习，学生应掌握指数函数的运算法则和变化规律，运用信息技术学习、探索和解决问题．例如，利用计算器、计算机画出指数函数的图象，探索、比较它的变化规律，并研究指数函数的性质． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 第1课时　指数函数的图象和性质 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基 必备知识•探新知 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 基础知识 　　　　指数函数 (1)定义：给定正数a，且a≠1时，__________是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数． (2)性质：①定义域是R，函数值大于_____；②图象过定点__________． y＝ax　 知识点1 0　 (0，1)　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 思考：(1)为什么指数函数的底数a＞0，且a≠1? (2)指数函数的解析式有什么特征？ 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 　　　指数函数y＝ax(a＞1)的图象和性质 (1)单调性：在R上是______函数．当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于____________；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于_____． 增　 知识点2 正无穷大　 0　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） (2)函数y＝ax和y＝bx(a＞b＞1)的关系． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 　　　指数函数y＝ax(0＜a＜1)的图象和性质 (1)单调性：在R上是______函数．当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于_____；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于____________． 减　 知识点3 0　 正无穷大　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） (2)函数y＝ax和y＝bx(0＜a＜b＜1)的关系． ax＞bx＞1　 0＜ax＜bx＜1　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 　　　指数函数的图象和性质 知识点4 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD）   0＜a＜1 a＞1 性质 (1)定义域：R (2)值域：(0，＋∞) (3)过定点__________，即x＝0时，y＝_____ (4)当x＜0时，_________； 当x＞0时，____________ (4)当x＜0时，____________；当x＞0时，_________ (5)______函数 (5)______函数 (0，1)　 1　 y＞1　 0＜y＜1　 0＜y＜1　 y＞1　 减　 增　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 基础自测 1．下列函数中一定是指数函数的是 (　　) A．y＝2x＋1　　　　 B．y＝x2 C．y＝3－x　 D．y＝－2·3x C　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 2．按复利计算利率的储蓄，存入银行2万元，如果年息3%，5年后支取，本利和为人民币 (　　) A．2(1＋0.3)5万元 B．2(1＋0.03)5万元 C．2(1＋0.3)4万元 D．2(1＋0.03)4万元 B　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 3．下列说法正确的个数是 (　　) (1)指数函数的图象都在x轴的上方； (2)若指数函数y＝ax是减函数，则0＜a＜1； (3)对于任意的x∈R，一定有3x＞2x． A．0　 B．1 C．2　 D．3 C　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　对于(1)，由指数函数的性质可知正确． 对于(2)，由指数函数的单调性可知正确． 对于(3)，由y＝3x，y＝2x的图象可知，当x＜0时，3x＜2x，故(3)不正确． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 4．函数y＝2－x的图象是 (　　) B　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 5．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 关键能力•攻重难 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 题型探究 题型一 指数函数的概念  　　　　(1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是 (　　) A．y＝(－4)x　　　 B．y＝πx C．y＝－4x　 D．y＝ax＋2(a＞0，a≠1) (2)若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有 (　　) A．a＝1或2　 B．a＝1 C．a＝2　 D．a＞0且a≠1 [分析]　利用指数函数的定义进行判断． 例 1 B　 C　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，a≠1)这一结构形式． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） D　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 题型二 利用指数函数的单调性比较大小  例 2 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　(1)∵1.82.2，1.83可看作函数y＝1.8x的两个函数值， ∵1.8＞1，∴y＝1.8x在R上为增函数， 又2.2＜3， ∴1.82.2＜1.83． (2)∵y＝0.7x在R上为减函数， 又∵－0.3＞－0.4， ∴0.7－0.3＜0.7－0.4． (3)∵1.90.4＞1.90＝1，0.92.4＜0.90＝1， ∴1.90.4＞0.92.4． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　比较指数式的大小应根据所给指数式的形式，当底数相同时，运用单调性法求解；当底数不同时，利用一个中间量作比较进行求解．或借助于同一坐标系中的图象求解． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　(1)考查指数函数y＝1.7x，由于底数1.7＞1，∴指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数． ∵2.5＜3，∴1.72.5＜1.73． (2)考查函数y＝0.8x，由于0＜0.8＜1， ∴指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数． ∵－0.1＞－0.2，∴0.8－0.1＜0.8－0.2． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 题型三 与指数函数有关的定义域、值域问题  [分析]　定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值集合，值域是函数值的集合，依据定义域和函数的单调性求解． 例 3 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　1．函数单调性在求函数值域中的应用 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，则f(a)≤f(x)≤f(b)，值域为[f(a)，f(b)]． (2)若函数f(x)在区间[a，b]上是减函数，则f(a)≥f(x)≥f(b)，值域为[f(b)，f(a)]． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 2．函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域 函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同． (2)值域 ①换元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定义域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 课堂检测•固双基 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） B　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） D　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 3．若2x＋1＜1，则x的取值范围是 (　　) A．(－1，1)　 B．(－1，＋∞) C．(0，1)∪(1，＋∞)　 D．(－∞，－1) [解析]　不等式2x＋1＜20，因为y＝2x是定义域R上的增函数，所以x＋1＜0，即x＜－1． D　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） (0，1)　 [解析]　由ax－1≥0，得ax≥1． ∵函数的定义域是(－∞，0]， ∴ax≥1的解集为(－∞，0]，∴0＜a＜1． 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 5．函数y＝2x(x≥0)的值域是______________． [解析]　∵y＝2x在[0，＋∞)上为增函数， ∴x≥0即y≥20， ∴值域为[1，＋∞)． [1，＋∞)　 返回导航 第三章　指数运算与指数函数 数学（必修·第一册　BSD） 提示：(1)①如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0，没有研究的必要； 当x≤0时，ax无意义． ②如果a＜0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义． ③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1． (2)①a＞0，且a≠1；②ax的系数为1；③自变量x的系数为1． 图象 大小 ①当x＜0时，0＜ax＜bx＜1；②当x＝0时，ax＝bx＝1； ③当x＞0时，ax＞bx＞1 图象 大小 ①当x＜0时，_____________； ②当x＝0时，ax＝bx＝1； ③当x＞0时，________________ 0＜a＜1 a＞1 图象 [解析]　只有y＝3－x＝()x符合指数函数的概念，A，B，D选项中函数都不符合y＝ax(a＞0，且a≠1)的形式． [解析]　函数y＝2－x＝过点(0，1)，且在R上是减函数，故选B． ()x　 [解析]　设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)， 由f(2)＝2得a2＝2，∴a＝或－(舍去)． ∴f(x)＝()x． [解析]　(1)函数y＝(－4)x的底数－4＜0，故A中函数不是指数函数；函数y＝πx的系数为1，底数π＞1，故B中函数是指数函数； 函数y＝－4x的系数为－1，故C中函数不是指数函数； 函数y＝ax＋2＝a2·ax的系数为a2，故D中函数不是指数函数，故选B． (2)由题意，得， 解得a＝2，故选C． 【对点练习】❶　下列函数中是指数函数的是 (　　) A．y＝2·()x　 B．y＝xx C．y＝3－　 D．y＝()x [解析]　由指数函数定义可知，函数y＝()x是指数函数，故选D． 　　　　比较下列各题中两个值的大小． (1)1.82.2，1.83；　　(2)0.7－0.3，0.7－0.4； (3)1.90.4，0.92.4；　　(4)，． [分析]　(1)(2)利用指数函数的单调性比较；(3)借助中间量1进行比较；(4)借助中间量进行比较． (4)∵＝＜＝1， ∴＜，y＝x在(0，＋∞)上为增函数． ∵y＝在R上为减函数，又＞， ∴＜，∴＜． 【对点练习】❷　比较下列每组中两个数的大小： (1)1.72.5，1.73； (2)0.8－0.1，0.8－0.2； (3)，； (4)1.70.3，0.93.1． (3)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝与y＝的图象，如图所示，当x＝－0.5时，观察图象可得＞． 解法2：y＝x－0.5在(0，＋∞)上是减函数 又＜，∴＞ (4)由指数函数的性质得 1.70.3＞1.70＝1，0.93.1＜0.90＝1， ∴1.70.3＞0.93.1． 　　　　求下列函数的定义域和值域： (1)y＝2；(2)y＝；(3)y＝． [解析]　(1)由题意知x－4≠0，所以x≠4，所以函数的定义域为{x|x∈R，x≠4}．因为≠0，所以2≠1，所以函数的值域为{y|y＞0，且y≠1}． (2)由题意知函数的定义域为R． 因为|x|≥0，所以y＝＝≥＝1，所以函数的值域为{y|y≥1}． (3)由题意知1－≥0，所以≤1＝，所以x≥0，所以函数的定义域为{x|x≥0，x∈R}．因为y关于x单调递增，所以函数的值域为0≤y＜1． 【对点练习】❸　求y＝的定义域和值域． [解析]　由x－2≥0，得x≥2，所以定义域为{x|x≥2}． 当x≥2时，≥0，又因为0＜＜1，所以y＝的值域为{y|0＜y≤1}． 1．若指数函数f(x)的图象过点(3，8)，则f(x)的解析式为 (　　) A．f(x)＝x3　 B．f(x)＝2x C．f(x)＝　 D．f(x)＝x 2．设f(x)＝，x∈R，那么f(x)是 (　　) A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数 C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数 [解析]　因为f(－x)＝＝＝f(x)， 所以f(x)为偶函数． 又当x＞0时，f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数， 故选D． 4．函数y＝(a＞0，且a≠1)的定义域是(－∞，0]，则实数a的取值范围为__________． $