4.4.1-4.4.2 第1课时 对数函数的概念及图像性质 2026-2027学年高一上学期数学必修一例题讲解及课时精练

该高中数学对数函数单元复习讲义通过知识框架与对比表格系统构建知识体系，梳理对数函数的概念、图像性质、底数影响及奇偶性等核心知识点，用表格呈现不同底数（a>1与0<a<1）的定义域、值域、单调性等性质差异，突出底数分类讨论、复合函数转化等重难点，清晰展现知识内在逻辑。 讲义亮点在于“题型分层+方法建模”的练习设计，涵盖概念辨析、定义域求解、单调性应用等九类题型，如依据单调性解不等式时强调“定义域优先+分类讨论”的思维方法，培养逻辑推理素养。综合题结合实际情境（如药物浓度衰减模型），引导用数学语言表达现实问题。课时精练包含基础题与综合题，助力分层提升，教师可据此实施精准教学，学生自主复习时能明确薄弱点。

4.4.1-4.4.2 第1课时 对数函数的概念及图像性质 题型一 对数函数的概念 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】 【分析】利用对数函数的定义结合过的点可求得解析式，再利用对数函数的单调性可求得最大值. 【详解】可设对数函数，由对数函数过点， 可得：， 所以对数函数， 由于 因为，根据对数函数是增函数，所以的最大值是 故答案为：；. 4．【答案】 【分析】设出函数解析式，再结合图像所过点求出参数即可. 【详解】设函数解析式为 ，且， 由函数的图像过点，得，即，解得， 所以该对数函数的解析式为. 故答案为： 5．【答案】 【详解】由题意，. 6．【答案】 【分析】利用奇函数的性质结合对数运算可求得的值. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，若时，， 则. 故答案为：. 7．【答案】4 【答案】4 【分析】根据给定的分段函数，结合指对数运算，分段判断代入求值. 【详解】函数，则， 所以. 故答案为：4 8．【答案】 【分析】根据奇函数的性质，求. 【详解】， ， 则，得，得， 当时，，定义域为，满足奇函数的条件. 所以. 故答案为： 9．【答案】 【分析】思路一：首先求得，进一步得即可得解；思路二：由题意函数的图像过点，求得即可得函数表达式，进一步即可得解. 【详解】方法一：的图像过点，即，解得，故． 其反函数为，所以． 方法二：因为指数函数（且）的反函数为（且）， 的图像过点，故函数的图像过点， 所以，故 ，所以，所以 ． 故答案为：. 题型二 对数型函数的定义域 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】B 题型三 图像过定点及图像的应用 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】 【分析】求出函数的图像与轴交点坐标，数形结合可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】由可得，解得， 即函数的图像与轴的交点为，作出该函数的图像如下图所示： 要使得函数的图像不经过第四象限，只需，解得. 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 6．【答案】④ 【分析】根据对数函数的图像确定单调性，得，再由对应函数值符号得，即可得. 【详解】由图知，函数在定义域内为减函数，所以， 当时， ，所以． 故答案为：④ 7．【答案】 或 【分析】根据对数运算求解方程；根据对数函数的图像，即可去绝对值，再结合基本不等式，即可求解的取值范围. 【详解】，得或； 由题意可知，， 由函数图像可知，，则， 即，则， ， 所以的取值范围是. 故答案为：或； 8．【答案】② 【分析】根据对数的运算性质可得，即可根据指数和对数函数的单调性求解. 【详解】因为，所以，即， 则. 当时，均是增函数，所以②正确； 当时，均为减函数，所以①③④都不正确． 故答案为：② 9．【答案】③ 【解析】根据单调性确定只有在上是增函数，排除①②，再利用特殊值判断. 【详解】在上是减函数，其图像分别对应①②， 而只有在上是增函数， 的图像关于对称， 图像对应④，所以③不满足， 故答案为：③ 题型四 依据函数单调性解不等式 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】AD 9．【答案】ACD 题型五 利用对数函数比较大小 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】AC 9．【答案】AC 10．【答案】BCD 题型六 已知单调性求参数 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】ABD 9．【答案】CD 10．【答案】ABD 题型七 对数及对数型复合函数的值域或最值 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】A 7．【答案】C 8．【答案】AC 9．【答案】ABD 10．【答案】ACD 题型八 已知值域或最值求参数问题 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】BD 9．【答案】BCD 10．【答案】BC 题型九 对数函数的综合问题 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】ABD 9．【答案】AD 10．【答案】AC 课时精练 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】D 7．【答案】D 8．【答案】D 9．【答案】BC 10．【答案】AB 11．【答案】ABD 12．【答案】 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，结合对数函数的单调性，即可得答案. 【详解】由题意得，则， 因为在上单调递增， 所以，则的定义域为. 13．【答案】 【分析】根据复合函数的单调性、对数真数大于零求出a的取值范围即可． 【详解】是由外层函数和内层函数复合而成， 内层函数，其中，所以内层函数是一个单调递减的一次函数， 结合题意可知，外层函数必须是单调递增的，所以， 根据对数真数性质，在区间上，恒成立， 由于单调递减，所以在区间上， ，解得， 综上所述，，即实数a的取值范围是． 故答案为：． 14．【答案】 【分析】根据定义法可判断函数奇偶性，根据函数解析式可判断当时函数的单调性，进而根据函数的奇偶性与单调性解不等式. 【详解】由可知其定义域为， 且， 即函数为偶函数， 当时，单调递增， 所以当时，单调递减， 不等式， 可转化为，解得， 即不等式的解集为. 故答案为：. 15．【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用对数函数的单调性求解即可； （2）由题意可转化为对数不等式恒成立，利用函数单调性求解即可. 【详解】（1）由，得， 则，得，即不等式的解集为; （2）因为， 对任意的，函数的图像总在函数图像的上方， 则在上恒成立，即在上恒成立， 所以 整理得， 设，只需使得在上恒成立即可. 函数对称轴，因为，所以， ①当时，即时，函数在上单调递增，此时， 因为，所以，即在上恒成立； ②当时，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 因为，所以，即存在，使得，所以不符合题意. 综上所述的取值范围为. 16．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合对数的性质求定点； （2）根据复合函数单调性判断函数的单调性，利用单调性求解不等式，注意对数函数的定义域. 【详解】（1）令，得或2， 得， 所以图像经过的定点坐标为. （2）由题意得在上恒成立， 则，得. 因为函数是增函数，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 又，所以或， 得或.故不等式的解集为. 17．【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3). 【分析】（1）利用偶函数的定义求解参数值； （2）用定义法证明函数单调性即可； （3）先确定函数的单调性，再建立不等式组求解即可. 【详解】（1）因为函数为偶函数，则． 即． 所以 恒成立， ； （2），，． 证明：，，且， 则， ，，，， ，即，故在上单调递增． （3）在上单调递增，所以， ，，解得，即的取值范围为. 18．【答案】(1) (2)当时无解; 当时 【分析】（1）由直接代入结合对数函数单调性解得. （2）通过对底数分类讨论，利用对数函数单调性转化不等式，分离参数后求函数最值，再结合真数范围确定的取值 【详解】（1）已知， . 由，代入得：. 因为，所以，即， 得，解得. （2）由 得 . 当 时, 单调递增, 不等式等价于 , 且真数 . 即 , 且 对 恒成立. 由 得 . 结合 得 . 故 且 对 恒成立. 令 , . 令 ,由 ,得 ,且 . 于是. 这是关于 的二次函数,开口向下,对称轴为. 对称轴 在区间 的左侧,因此函数 在 上单调递减。 又 在 上单调递增,根据“同增异减”可得 在 上单调递减. 所以 , . 故 又 对一切 恒成立. 则需大于 在 上最大值即 . 因为 与 不能同时成立. 故 时无解. 当 时, 单调递减，不等式等价于 , 且真数 . 即 , 且 对 恒成立. 由 得 或 . 结合 , 只需 恒成立. 故 对 恒成立. 由上述分析知 在 上最大值为 , 所以 . 又需 对 恒成立, 即 , 右边最大值为 , 所以 ,结合 得 . 综上所述, 的取值范围是 . 19．【答案】(1)是“函数”； 不是“函数”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据“函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可； （2）根据函数是“函数”列出不等式，转化为求最值问题即可； （3）由题意令，得到，进而得到和即可得证. 【详解】（1）对于任意， 所以， 即成立， 故是“函数”； 对于， 取，则． 因为，故不是“函数”. （2）因为函数是“函数”， 所以对于任意的，有恒成立， 即恒成立，所以恒成立， 又，故，则， 则，即，即实数的取值范围为. （3）∵对于任意正数s，t，都有， 由函数为“函数”，可知， 令，可知，即， 故对于自然数与正数， 都有， 对任意，可得，又， 所以， 同理， 故. 1 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4.1-4.4.2 第1课时 对数函数的概念及图像性质 题型一 对数函数的概念 2 题型二 对数型函数的定义域 2 题型三 图像过定点及图像的应用 3 题型四 依据函数单调性解不等式 4 题型五 利用对数函数比较大小 5 题型六 已知单调性求参数 6 题型七 对数及对数型复合函数的值域或最值 8 题型八 已知值域或最值求参数问题 9 题型九 对数函数的综合问题 10 课时精练 12 【基础回顾】 1 / 47 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1 : 对数函数的概念 一般地，函数 叫作对数函数，其中 是自变量，定义域是 . 说明： （1）常用对数函数：以 10 为底的对数函数 . （2）自然对数函数：以e为底的对数函数 . 知识点 2: 对数函数的图像和性质 图 象 定义域 值 域 性 质 过定点 ，即当 时， . 减函数 增函数 对称性 与 关于 轴对称 知识点 3 : 底数对对数函数的影响 （1）当底数 大小不确定时，必须分 和 两种情况讨论对数函数的图像与性质。 （2）在第一象限内，当 时， 的值越大，对数函数的图像越靠近 轴； 当 时， 的值越小，对数函数的图像越靠近 轴。 总结为： 只观察第一象限内的图像， 图像顺时针旋转， 底数由小变大。 知识点 4: 对数型函数的奇偶性 对数函数本身不具有奇偶性， 但与对数函数有关的函数可以具有奇偶性。 常见的奇函数： ① ; ② 特殊形式： （要熟记） 常见的偶函数： ① 注意：常见的奇偶函数尽量掌握，不仅可以快速识别出函数的奇偶性，也可以在函数的综合问题中扩展解题思路。 题型一 对数函数的概念 1．（2025高一上·全国·专题练习）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 2．（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·北京·月考）已知对数函数过点，则的解析式为___________，在的最大值是___________． 4．（24-25高一上·全国·课前预习）若某对数函数的图像过点，则该对数函数的解析式为________． 5．（25-26高一下·四川德阳·月考）已知是定义在R上且周期为2的奇函数，当时，，则________． 6．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知函数是定义在上的奇函数，若时，，则_________. 7．（25-26高一上·山西吕梁·期末）函数，则________． 8．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是奇函数，则______． 9．（25-26高一上·全国·单元测试）函数与指数函数（且）互为反函数，且的图像过点，则______． 题型二 对数型函数的定义域 1．（25-26高一上·新疆阿克苏·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期末）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东佛山·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·贵州·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 题型三 图像过定点及图像的应用 1．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）函数（且）的图像过定点（   ） A．（2，3） B．（2，1） C．（2，0） D．（1，0） 2．（25-26高一上·广西钦州·期末）已知函数的图像恒过点A，若点A在函数的图像上，则（    ）． A． B． C． D． 3．（2026高二上·北京·学业考试）为了得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度 4．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）已知函数，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·上海·期末）函数的图像不经过第四象限，则实数的取值范围为_______． 6．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数（a，c为常数，其中，且）的部分图像如图所示，则下列结论成立的是______．（填序号） ①，；②，；③，；④，． 7．（23-24高一上·北京大兴·期末）已知函数，若，则______；若，且，则的取值范围是______. 8．（23-24高一上·全国·单元测试）已知，则函数与函数的图像可能是________（填序号）．    9．（20-21高一上·天津静海·月考）如图所示，①②③④中不属于函数的一个是____ 题型四 依据函数单调性解不等式 解对数不等式 主要依据对数函数的单调性： 当 时，函数单调递增，解 转化为 . 当 时，函数递减，解 转化为 . 注意：对于解对数与常数的不等式时，应当将常数化为同底的对数形式， 再进行比较。 1．（25-26高三下·江西赣州·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·贵州·月考）已知且，则a 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·宁夏银川·月考）已知函数（且），若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知定义在上的函数满足：对任意均有成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·河北邢台·期末）设函数则满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·辽宁大连·期末）设函数，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 (多选）8．（25-26高一上·广东深圳·期末）下列结论中，正确的是（   ） A．函数（且）的图像恒过定点 B．幂函数是奇函数 C．不等式的解集为 D．若函数在上单调递增，则 (多选）9．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数的图像关于原点对称，则（   ） A． B．函数在上单调递减 C．函数的值域为 D．若，则 题型五 利用对数函数比较大小 1．（2026·山东聊城·二模）已知正数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（湖南衡南县第二中学等校2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山东德州·二模）已知为正实数，为实数，则“”的充要条件可以是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽合肥·二模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·天津东丽·一模）已知则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·天津·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·四川·模拟预测）已知实数，下列关系式：①；②；③；④.其中成立的关系式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (多选）8．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）已知，，，则（   ） A． B． C． D． (多选）9．（2026·江西萍乡·一模）已知实数，若，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． (多选）10．（25-26高一上·江苏苏州·月考）下列不等式中，正确的有（   ） A． B． C． D． 题型六 已知单调性求参数 方法： 利用函数的单调性， “脱去” 外部的解析式， 只需要比较自变量的大小关系即可。 需要注意自变量要在函数的定义域内。 利用函数的单调性解不等式的实质是单调性的逆用。 1．（25-26高一下·湖北·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 2．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知且，函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·浙江衢州·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·辽宁抚顺·月考）已知函数（且）的部分图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·浙江杭州·期末）若在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·河南·开学考试）若函数 在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． (多选）8．（25-26高一上·福建三明·月考）若函数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则为偶函数 B．若的定义域为，则 C．若，则的单调增区间为 D．若在上单调递减，则 (多选）9．（25-26高一上·陕西咸阳·月考）若函数(且)在区间上为增函数，则的可能取值有（    ） A． B． C． D． (多选）10．（25-26高一上·重庆·月考）“给出下列结论，其中正确的结论有（　　） A．函数的最小值为 B．已知函数且在上是减函数，则实数的取值范围是 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 题型七 对数及对数型复合函数的值域或最值 求与对数函数有关的复合函数的值域， 关键是根据单调性求解， 若需换元， 需考虑新元的取值范围。 1. 对于形如 的复合函数，其值域求解步骤如下： ① 分解成 两个函数； ② 求 的值域，得到 的取值范围； ③ 利用 的单调性求解。 2. 对于形如 的复合函数，其值域的求解步骤如下： ① 分解成 两个函数； ② 求 的值域，得到 的取值范围； ③ 利用 的单调性求解。 1．（25-26高一下·湖北恩施·开学考试）已知函数，则下列不正确的为（    ） A．的定义域是 B．有最大值 C．不等式的解集是 D．在上单调递减 2．（25-26高一上·浙江杭州·期末）若函数（）的定义域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·湖南郴州·期末）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的图像关于轴对称 C．在定义域上是减函数 D．的值域为 4．（25-26高一上·山东枣庄·月考）若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D．,2] 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数且在上的最大值与最小值之和为，则a的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 6．（25-26高一上·浙江衢州·期末）已知，若，则的最大值为（   ） A． B．0 C． D．1 7．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知，若，则（   ） A． B． C． D． (多选）8．（2027高三·全国·专题练习）（多选）对于函数，下列说法正确的是（     ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在区间上单调递减，在区间上单调递增 D．没有最小值 (多选）9．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，下列说法错误的有（    ） A．存在实数，使得的定义域为 B．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 C．对任意正实数的值域为 D．函数一定有最小值 (多选）10．（24-25高一上·浙江温州·期末）若函数存在最小值，则实数的值可以是（    ） A．0 B．-1 C．1 D． 题型八 已知值域或最值求参数问题 1．（25-26高一上·安徽合肥·期中）函数在上的最大值与最小值的和为1，则（   ） A． B．2 C．3 D． 2．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·山东聊城·月考）已知且，函数，若的最大值与最小值之差为2，则（    ） A．2 B． C．2或 D．或 4．（25-26高三上·重庆·月考）设 且 ，若函数的最小值为2，则 （      ） A． B．2 C． D．3 5．（24-25高一上·河北石家庄·月考）已知函数，若的值域为，则实数的范围是（   ） A．2 B． C． D． 6．（24-25高一上·天津河东·月考）已知函数 在区间的最大值与最小值的和，则的取值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（23-24高一上·天津东丽·月考）已知，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． (多选）8．（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知函数（且）在上的最大值为2，则a的值可以是（    ） A．2 B．3 C． D． (多选）9．（24-25高一上·河北石家庄·月考）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 C．若函数的值域为，则实数 D．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 (多选）10．（22-23高一上·四川绵阳·期末）已知函数（a＞0，且）的定义域为，值域为．若的最小值为，则实数a的值可以是（    ） A． B． C． D． 题型九 对数函数的综合问题 1．（25-26高一下·四川泸州·开学考试）已知函数，若存在x，使得，则a的取值范围（   ） A． B． C．或 D． 2．（25-26高三上·福建泉州·月考）设，若，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·广东广州·期中）已知命题，，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高三上·福建莆田·月考）若函数为偶函数，则（    ） A．-1 B．0 C． D．1 5．（25-26高一上·安徽宣城·期末）甲型流感的爆发高峰通常在冬春季节，奥司他韦是一种常用于治疗甲型流感的药物、患者口服该药物治疗后，血药浓度（单位：ng/mL）随时间（单位：h）的变化过程通常分为吸收期（浓度上升）和消除期（浓度下降）．当血药浓度达到峰值后，进入消除期，其浓度随时间t的变化可以用指数衰减模型近似描述：（为峰值浓度，k为消除速率常数）．根据临床数据，某患者服用奥司他韦2小时后血药浓度达到峰值，服用10小时后血药浓度降至峰值的50%，则k的值大约为（    ）（参考数据：，） A．0.087 B．0.076 C．0.0693 D．0.092 6．（24-25高三下·江西南昌·月考）设函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（2025高三·全国·专题练习）若关于的不等式对任意的正实数恒成立，则的最小值是（    ） A．7 B．9 C．10 D． (多选）8．（25-26高三上·安徽·月考）已知函数的定义域为，满足，且，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 (多选）9．（25-26高二上·云南昆明·期末）已知，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，若，则 C．若有两解，则成等差数列 D．若，则 (多选）10．（25-26高二上·浙江杭州·期末）对于实数，，，下列说法正确的是（   ） A．设：，：，则是的充分不必要条件 B．命题“，”的否定是“，” C．若，，则 D．若，且，则的最小值为 课时精练 一、单选题 1．（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知，则（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（25-26高一上·广东深圳·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 3．（20-21高一上·陕西宝鸡·期末）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高二上·辽宁营口·学业考试）若函数，则由图像可得，依次对应的函数为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（25-26高一上·湖南常德·期末）设函数，，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·湖南长沙·月考）设且，函数f（x）＝的定义域为R．若的值域为，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 (多选）9．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知函数 且的图像如图所示，则下列关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． (多选）10．（25-26高一下·湖北恩施·开学考试）下列选项中说法正确的有（    ） A．已知命题P：，，则为， B．函数的值域为 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的值域为R，则实数a的取值范围是 (多选）11．（湖南永州市2026届高三第三次模拟考试数学试卷）已知函数，则（    ） A．的图像关于轴对称 B．有两个零点 C．不等式的解集为 D．若，则的最小值为 三、填空题 12．（2026·北京顺义·一模）函数的定义域为______. 13．（25-26高一上·湖南湘西·期末）已知函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围是________． 14．（2025高三上·上海·专题练习）设函数，则使得成立的实数的取值范围为__________. 四、解答题 15．（贵州省部分高中学校2025-2026学年高一下学期4月期中联考数学试题）已知函数，函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若对任意的，函数的图像总在函数的图像的上方，求正数的取值范围. 16．（25-26高一下·湖南·月考）已知函数，且. (1)求图像经过的定点坐标； (2)若的定义域为，求不等式的解集. 17．（25-26高一上·福建宁德·月考）已知函数，函数且 (1)若为偶函数，求实数的值． (2)求的值，并根据定义证明函数在区间上单调递增； (3)若函数在上满足，求实数的取值范围． 18．（25-26高三下·上海宝山·期中）已知. (1)若，求的值； (2)当时恒成立，求的取值范围. 19．（25-26高一下·湖南长沙·月考）若函数满足：对任意正数s，t，都有，则称函数为“函数”． (1)试判断函数与是否为“函数”，并说明理由； (2)若函数是“函数”，求实数的取值范围； (3)若函数为“函数”，，对任意正数s，t，都有，证明：对任意，都有． $ 4.4.1-4.4.2 第1课时 对数函数的概念及图像性质 题型一 对数函数的概念 2 题型二 对数型函数的定义域 4 题型三 图像过定点及图像的应用 5 题型四 依据函数单调性解不等式 9 题型五 利用对数函数比较大小 13 题型六 已知单调性求参数 17 题型七 对数及对数型复合函数的值域或最值 21 题型八 已知值域或最值求参数问题 26 题型九 对数函数的综合问题 31 课时精练 37 【基础回顾】 ( 1 / 47 ) 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1 : 对数函数的概念 一般地，函数 叫作对数函数，其中 是自变量，定义域是 . 说明： （1）常用对数函数：以 10 为底的对数函数 . （2）自然对数函数：以e为底的对数函数 . 知识点 2: 对数函数的图像和性质 图 象 定义域 值 域 性 质 过定点 ，即当 时， . 减函数 增函数 对称性 与 关于 轴对称 知识点 3 : 底数对对数函数的影响 （1）当底数 大小不确定时，必须分 和 两种情况讨论对数函数的图像与性质。 （2）在第一象限内，当 时， 的值越大，对数函数的图像越靠近 轴； 当 时， 的值越小，对数函数的图像越靠近 轴。 总结为： 只观察第一象限内的图像， 图像顺时针旋转， 底数由小变大。 知识点 4: 对数型函数的奇偶性 对数函数本身不具有奇偶性， 但与对数函数有关的函数可以具有奇偶性。 常见的奇函数： ① ; ② 特殊形式： （要熟记） 常见的偶函数： ① 注意：常见的奇偶函数尽量掌握，不仅可以快速识别出函数的奇偶性，也可以在函数的综合问题中扩展解题思路。 题型一 对数函数的概念 1．（2025高一上·全国·专题练习）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是对数函数的定义，根据定义求出符合条件的参数. 【详解】函数是对数函数， 且， 解可得或，，故选：C． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数的定义可得. 【详解】形如，且的函数为对数函数，故B正确. 故选：B. 3．（25-26高三上·北京·月考）已知对数函数过点，则的解析式为___________，在的最大值是___________． 【答案】 【分析】利用对数函数的定义结合过的点可求得解析式，再利用对数函数的单调性可求得最大值. 【详解】可设对数函数，由对数函数过点， 可得：， 所以对数函数， 由于 因为，根据对数函数是增函数，所以的最大值是 故答案为：；. 4．（24-25高一上·全国·课前预习）若某对数函数的图像过点，则该对数函数的解析式为________． 【答案】 【分析】设出函数解析式，再结合图像所过点求出参数即可. 【详解】设函数解析式为 ，且， 由函数的图像过点，得，即，解得， 所以该对数函数的解析式为. 故答案为： 5．（25-26高一下·四川德阳·月考）已知是定义在R上且周期为2的奇函数，当时，，则________． 【答案】 【详解】由题意，. 6．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知函数是定义在上的奇函数，若时，，则_________. 【答案】 【分析】利用奇函数的性质结合对数运算可求得的值. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，若时，， 则. 故答案为：. 7．（25-26高一上·山西吕梁·期末）函数，则________． 【答案】4 【分析】根据给定的分段函数，结合指对数运算，分段判断代入求值. 【详解】函数，则， 所以. 故答案为：4 8．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是奇函数，则______． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质，求. 【详解】， ， 则，得，得， 当时，，定义域为，满足奇函数的条件. 所以. 故答案为： 9．（25-26高一上·全国·单元测试）函数与指数函数（且）互为反函数，且的图像过点，则______． 【答案】 【分析】思路一：首先求得，进一步得即可得解；思路二：由题意函数的图像过点，求得即可得函数表达式，进一步即可得解. 【详解】方法一：的图像过点，即，解得，故． 其反函数为，所以． 方法二：因为指数函数（且）的反函数为（且）， 的图像过点，故函数的图像过点， 所以，故 ，所以，所以 ． 故答案为：. 题型二 对数型函数的定义域 1．（25-26高一上·新疆阿克苏·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数的真数大于零可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得，故函数的定义域为. 故选：D. 2．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期末）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数解析式有意义可得出关于的解析式，即可解得的定义域. 【详解】对于函数，有，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：C. 3．（25-26高一上·广东佛山·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据真数大于零求解定义域即可． 【详解】对于函数，需满足， 即，解得或， 所以函数的定义域为． 故选：C． 4．（25-26高一上·贵州·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出使函数解析式有意义的的取值范围即可. 【详解】因为函数， 所以，解得且， 所以函数的定义域为：且. 故选：B. 题型三 图像过定点及图像的应用 1．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）函数（且）的图像过定点（   ） A．（2，3） B．（2，1） C．（2，0） D．（1，0） 【答案】C 【分析】令，代入计算可求定点坐标. 【详解】令，得， 所以函数（且）的图像过定点（2，0）. 故选：C. 2．（25-26高一上·广西钦州·期末）已知函数的图像恒过点A，若点A在函数的图像上，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得真数时有定点，求出定点的坐标后代入到即可求. 【详解】若过定点，则有，即， 又，故，点在函数的图像上， 则有，解得. 故选：C. 3．（2026高二上·北京·学业考试）为了得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度 【答案】A 【详解】根据图形平移变换 “左加右减”的规则，可得：向左平移一个单位得到的图像. 4．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）已知函数，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由得到的值，代入后根据参数的取值范围即可得结果. 【详解】由得. 又，所以，所以，所以， 所以，所以. 由得，解得. 所以，根据对勾函数的性质知在上单调递减， 当时，；当时，， 所以的取值范围是. 故选：D. 5．（25-26高一上·上海·期末）函数的图像不经过第四象限，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【分析】求出函数的图像与轴交点坐标，数形结合可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】由可得，解得， 即函数的图像与轴的交点为，作出该函数的图像如下图所示： 要使得函数的图像不经过第四象限，只需，解得. 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 6．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数（a，c为常数，其中，且）的部分图像如图所示，则下列结论成立的是______．（填序号） ①，；②，；③，；④，． 【答案】④ 【分析】根据对数函数的图像确定单调性，得，再由对应函数值符号得，即可得. 【详解】由图知，函数在定义域内为减函数，所以， 当时， ，所以． 故答案为：④ 7．（23-24高一上·北京大兴·期末）已知函数，若，则______；若，且，则的取值范围是______. 【答案】 或 【分析】根据对数运算求解方程；根据对数函数的图像，即可去绝对值，再结合基本不等式，即可求解的取值范围. 【详解】，得或； 由题意可知，， 由函数图像可知，，则， 即，则， ， 所以的取值范围是. 故答案为：或； 8．（23-24高一上·全国·单元测试）已知，则函数与函数的图像可能是________（填序号）．    【答案】② 【分析】根据对数的运算性质可得，即可根据指数和对数函数的单调性求解. 【详解】因为，所以，即， 则. 当时，均是增函数，所以②正确； 当时，均为减函数，所以①③④都不正确． 故答案为：② 9．（20-21高一上·天津静海·月考）如图所示，①②③④中不属于函数的一个是____ 【答案】③ 【解析】根据单调性确定只有在上是增函数，排除①②，再利用特殊值判断. 【详解】在上是减函数，其图像分别对应①②， 而只有在上是增函数， 的图像关于对称， 图像对应④，所以③不满足， 故答案为：③ 题型四 依据函数单调性解不等式 解对数不等式 主要依据对数函数的单调性： 当 时，函数单调递增，解 转化为 . 当 时，函数递减，解 转化为 . 注意：对于解对数与常数的不等式时，应当将常数化为同底的对数形式， 再进行比较。 1．（25-26高三下·江西赣州·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，所以， 又，则 2．（25-26高一上·贵州·月考）已知且，则a 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性及运算性质，分析求解，即可得答案. 【详解】由题意， 当时，在上单调递减，所以； 当时，在上单调递增，解得，结合前提，所以. 综上，a 的取值范围是. 故选：D 3．（25-26高一上·宁夏银川·月考）已知函数（且），若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再根据函数的单调性解不等式. 【详解】因为，所以函数在上单调递减. 由 . 即所求不等式的解集为. 故选：A 4．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的性质，结合题干中易知的单调性，可得函数在定义域上的单调性，从而化简不等式，根据对数函数的性质，可得答案. 【详解】因为定义在上的奇函数，在上单调递减，则在上单调递减， 所以不等式，即，解得，所以实数的取值范围为. 故选：B. 5．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知定义在上的函数满足：对任意均有成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意构造，可知在上单调递减，将所求不等式转化为，可得，再结合复合函数的定义域可得出答案. 【详解】因为任意均有， 即， 令，则， 所以在上单调递减， 因为，所以， 所以不等式，化为， 因为在上单调递减，故， 因为定义在上，所以， 即，解得， 故原不等式解集为. 故选：B. 6．（25-26高三上·河北邢台·期末）设函数则满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数解析式画出函数图像，根据图像列出不等式求取值范围即可. 【详解】函数， 函数的图像如图所示，则，解得：， 故选：A. 7．（25-26高一上·辽宁大连·期末）设函数，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，可得答案. 【详解】由函数在上单调递增，且当时，， 则当时，；当时，. 由函数在上单调递增，且当时，， 则当时，；当时，. 令，即，易知恒成立. 故选：B. (多选）8．（25-26高一上·广东深圳·期末）下列结论中，正确的是（   ） A．函数（且）的图像恒过定点 B．幂函数是奇函数 C．不等式的解集为 D．若函数在上单调递增，则 【答案】AD 【分析】对于A，根据对数函数恒过定点的性质来判断；对于B，根据幂函数的定义求出的值，再判断函数的奇偶性；对于C，根据对数函数的单调性求解不等式；对于D，根据分段函数的单调性列出不等式组求解. 【详解】对于A，令，则，此时， 所以图像恒过定点，故A正确； 对于B，因为是幂函数，所以，所以， 所以幂函数，该函数为偶函数，故B错误； 对于C，因为，所以，故C错误； 对于D，因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，且， 所以，解得，故D正确； 故选：AD (多选）9．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数的图像关于原点对称，则（   ） A． B．函数在上单调递减 C．函数的值域为 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用奇函数的定义结合对数的运算性质可求出的值，可判断A选项；利用复合函数的单调性可判断B选项；求出真数的取值范围，结合对数函数的基本性质可求出函数的值域，可判断C选项；利用对数函数的单调性结合分式不等式的解法可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知函数为奇函数，所以， 即，即，所以， 即，解得， 当时，真数为，函数无意义， 当时，经检验，函数为奇函数，符合题意， 故，A对； 对于B选项，对于函数，令， 由，即，解得，故函数的定义域为， 因为内层函数在上为增函数， 外层函数为增函数，由复合函数的单调性可知，函数在上单调递增，B错； 对于C选项，因为，所以，故， 所以，故函数的值域为，C对； 对于D选项，由可得， 所以，故 所以，解得，D对. 故选：ACD. 题型五 利用对数函数比较大小 1．（2026·山东聊城·二模）已知正数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可知要么都大于，要么都在内，再由分类讨论和两种情况，分别比较的大小，最后判断与的大小关系. 【详解】因为所以：若，则； 若，则，同理由可知与要么都大于，要么都在内， 因此，满足以下两种情况之一：；. 下面分类讨论： 情况一：， 此时，所以， 由得 因为，所以 又因为 ，故从而 由于时，函数单调递增，所以即 情况二：， 此时 ，所以 . 由得 因为，两边同除以 时不等号方向改变，故 又因为，所以从而 由于时，函数单调递减，所以即 综上，无论哪种情况，都有 所以正确选项是D. 2．（湖南衡南县第二中学等校2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数、对数函数的单调性比大小. 【详解】因为 ， 所以． 3．（2026·山东德州·二模）已知为正实数，为实数，则“”的充要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反例判断ABC，根据函数单调性判断D. 【详解】对于AB，若，此时且 则推不出，也推不出，故AB错误； 取，成立，但，故C也错误； 设， 因为均为上的增函数，故为上的增函数， 故时必有即； 而即，故， 故是的充要条件，D正确. 4．（2026·安徽合肥·二模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，，找出中间值，借助对数运算可得，合理放缩计算可得，则可得，即有，综上即可得解. 【详解】由，，则，， 由，则，即， 由，则，即， 故； 由，则， 即，即； 综上可得：. 5．（2026·天津东丽·一模）已知则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数、对数函数单调性比较大小 【详解】，因为在上单调递减，所以，即， 在上单调递增，所以，即， ，因为在上单调递增，所以，所以， 所以 6．（2026·天津·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，， 因为函数在上单调递增， 则，则，则，则B正确. 7．（2026·四川·模拟预测）已知实数，下列关系式：①；②；③；④.其中成立的关系式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】，故①正确；，故②正确； 由换底公式可得，，所以.又因为，所以，故③正确； ，故④错误. 所以成立的关系式有3个. (多选）8．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，，且，所以，从而，A正确． 因为，，，所以，所以，B错误，C正确，D错误． (多选）9．（2026·江西萍乡·一模）已知实数，若，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于选项A，利用对数函数单调性判断的范围；对于选项B，利用幂函数单调性判断与的大小；对于选项C，作差比较与的大小；对于选项D，构造函数判断与的大小，即可得出结果. 【详解】对于选项A，已知，则，故，A正确. 对于选项B，因为，幂函数在上单调递增，又，所以，B错误. 对于选项C，， 因为，，所以，，， 故，即，C正确. 对于选项D，构造函数，，则在上单调递增. 因为，所以，即，整理得，D错误. 故选：AC (多选）10．（25-26高一上·江苏苏州·月考）下列不等式中，正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据幂函数的单调性，可判定A错误；根据指数函数的单调性，可判定B正确，根据对数函数的单调性，可判定C正确，根据指数幂与对数的运算性质，可判定D正确. 【详解】对于A，由幂函数的性质，可得在上为单调递减函数， 因为，所以，所以A错误； 对于B，由指数在上为单调递减函数， 因为，所以，所以B正确； 对于C，由对数函数在上为单调递减函数， 因为，所以，所以C正确； 对于D，因为，可得，即， 又因为，可得，即，所以，即，所以D正确； 故答案为：BCD. 题型六 已知单调性求参数 方法： 利用函数的单调性， “脱去” 外部的解析式， 只需要比较自变量的大小关系即可。 需要注意自变量要在函数的定义域内。 利用函数的单调性解不等式的实质是单调性的逆用。 1．（25-26高一下·湖北·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用复合函数单调性结合对数函数单调性列式计算求解参数. 【详解】∵在上单调递减，∴在上单调递增，∴. 2．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知且，函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意列出关于a的不等式组即可求解. 【详解】由题可得当时，在上单调递增， 又为减函数，所以， 当时，在上单调递增，所以， 因为函数在上单调递增，则， 综上可得，解得. 故选：B. 3．（25-26高一上·浙江衢州·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的单调性结合指数函数和对数函数的单调性列不等式组，即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 4．（25-26高三下·辽宁抚顺·月考）已知函数（且）的部分图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由函数图像知，在定义域内单调递减，所以， 根据图像可知函数的图像是把的图像向左平移小于1个单位得到的， 所以，解得. 5．（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数型函数的定义域和单调性，转化为子集问题，即可求解. 【详解】由，得或， 所以函数的定义域为， 函数在上单调递增，函数在定义域内单调递增， 所以函数的单调递增区间为， 依题意有，. 即的取值范围为. 6．（25-26高一上·浙江杭州·期末）若在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则，因为在定义域内是单调递减函数， 故在区间上也必为单调递减函数，根据二次函数易知对称轴才能得到在区间上单调递增， 又在上要恒大于零， 则有，解得． 则实数a的取值范围为 7．（25-26高三下·河南·开学考试）若函数 在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先取，计算和时函数的上确界，结合单调性定义排除，当时，根据分段函数在上单调递增，需满足在每一段上单调递增，且分段处，左端的上确界小于等于右端函数值的最小值，得到不等式组，求出的范围. 【详解】当时，， 由，知在上不单调递增， 当时，因为在上单调递增，， 解得，故实数的取值范围为． 故选：D． (多选）8．（25-26高一上·福建三明·月考）若函数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则为偶函数 B．若的定义域为，则 C．若，则的单调增区间为 D．若在上单调递减，则 【答案】ABD 【分析】A选项，根据奇偶函数的定义判断；B选项，根据对数函数的定义域可推知对于恒成立转化为二次不等式恒成立问题；CD选项利用对数复合型函数求解. 【详解】A选项，若，，定义域为：关于原点对称， ，则为偶函数，A选项正确； B选项，若的定义域为，则对于恒成立， 则，解得，B选项正确； C选项，若，， 令，解得或， 根据复合函数的单调性可知，的单调增区间为，C选项错误； D选项，根据复合函数的单调性可知，若在上单调递减， 则且， 解得，D选项正确. 故选：ABD (多选）9．（25-26高一上·陕西咸阳·月考）若函数(且)在区间上为增函数，则的可能取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用给定函数的单调性，结合一次函数、对数函数单调性列出不等式求解. 【详解】函数在上单调递增， 由，得函数在上单调递减， 则函数为减函数，且，恒成立， 因此，解得，则AB不可能，CD可能. 故选：CD (多选）10．（25-26高一上·重庆·月考）“给出下列结论，其中正确的结论有（　　） A．函数的最小值为 B．已知函数且在上是减函数，则实数的取值范围是 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】根据复合函数值域的求法，结合指数函数的单调性，即可判断A的正误；根据复合函数单调性的求法，可判断B的正误；根据抽象函数定义域的求法，计算化简，可判断C的正误；根据复合函数值域的求法，结合二次函数的性质，分析求解，可判断D的正误. 【详解】选项A：令，因为，所以， 因为在上单调递减，所以当，有最小值 所以函数的最小值为，故A正确； 选项B：令，因为且， 所以为减函数，且在恒成立， 所以只需，解得， 因为函数在上是减函数，根据复合函数“同增异减”原则可得 为增函数，所以， 综上实数的取值范围是，故B正确； 选项C：因为函数的定义域为， 所以，解得，函数的定义域为，故C错误； 选项D：因为函数的值域为，设， 所以内层函数的值域需包含， 当时，，值域为，包含，符合题意； 当时，为开口向上的抛物线， 需判别式，解得； 当时，为开口向下的抛物线，值域无法包含，舍去； 综上，实数的取值范围是，故D正确. 故选：ABD 题型七 对数及对数型复合函数的值域或最值 求与对数函数有关的复合函数的值域， 关键是根据单调性求解， 若需换元， 需考虑新元的取值范围。 1. 对于形如 的复合函数，其值域求解步骤如下： ① 分解成 两个函数； ② 求 的值域，得到 的取值范围； ③ 利用 的单调性求解。 2. 对于形如 的复合函数，其值域的求解步骤如下： ① 分解成 两个函数； ② 求 的值域，得到 的取值范围； ③ 利用 的单调性求解。 1．（25-26高一下·湖北恩施·开学考试）已知函数，则下列不正确的为（    ） A．的定义域是 B．有最大值 C．不等式的解集是 D．在上单调递减 【答案】C 【详解】因为，由，解得， 所以的定义域是，故A正确； ， 因的对称轴为直线，其图像在上递增，在上递减， 又在上单调递增，故在上递增，在上递减， 所以的最大值为，故B、D正确； ，即 所以解得，故C错误. 2．（25-26高一上·浙江杭州·期末）若函数（）的定义域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为对恒成立，再利用判断式法即可得到的范围，最后利用符复合函数单调性即可得到答案. 【详解】由题意得对恒成立， 则，解得. 则， 根据复合函数单调性知在上单调递减，则. 故选：C. 3．（25-26高一上·湖南郴州·期末）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的图像关于轴对称 C．在定义域上是减函数 D．的值域为 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义域可判断A；根据函数的奇偶性可判断B，根据复合函数的单调性可判断C，根据复合函数的值域可判断D. 【详解】令，所以的定义域为，故A错误； ，所以的图像不关于轴对称，故B错误； 令，则函数在上单调递减，又因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，故C正确； 因为，所以的值域为，故D错误. 故选：C 4．（25-26高一上·山东枣庄·月考）若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D．,2] 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性求出的值域，再借助二次函数求出的值域，最后利用指数函数单调性求解即得. 【详解】由可得， 函数在上单调递增，， 令， 而函数在上单调递增，则， 所以函数的值域为. 故选：B 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数且在上的最大值与最小值之和为，则a的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【详解】易知在上是单调函数，所以，即，解得． 6．（25-26高一上·浙江衢州·期末）已知，若，则的最大值为（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意，利用基本不等式，求得，结合对数的运算性质，即可求解. 【详解】由，且，可得，解得， 当且仅当时，即时，等号成立， 又由，所以的最大值为. 故选：A. 7．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，构造函数，研究单调性可得，构造函数， 利用单调性的定义可得在上单调递增，即可求解. 【详解】因为，所以， 令，所以. 又在上单调递增，所以，即，所以. 令，取，所以， 则，即，所以在上单调递增， 则，所以，即． 故选：C (多选）8．（2027高三·全国·专题练习）（多选）对于函数，下列说法正确的是（     ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在区间上单调递减，在区间上单调递增 D．没有最小值 【答案】AC 【分析】先化简判断奇偶性，再分析内层函数单调性结合对数函数单调性判断的单调区间与最值． 【详解】为偶函数，A正确，B错误； 作出的图像如图所示，可知在上单调递减，在上单调递增； 由图像可知函数存在最小值0，C正确，D错误． 故选：AC． (多选）9．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，下列说法错误的有（    ） A．存在实数，使得的定义域为 B．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 C．对任意正实数的值域为 D．函数一定有最小值 【答案】ABD 【分析】根据对数函数的性质，即可根据判别式求解ACD，根据复合函数的单调性即可求解B. 【详解】对于A，函数的定义域为时，对恒成立，所以，无解，A错误． 对于C，要使的值域为，则函数的值域需满足，所以，得，故对任意正实数的值域为，C正确． 对于D，由C可知时，的值域为，不存在最小值，D错误． 对于B，因为是增函数，函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递增且在上恒成立，所以解得，B错误． 故选：ABD. (多选）10．（24-25高一上·浙江温州·期末）若函数存在最小值，则实数的值可以是（    ） A．0 B．-1 C．1 D． 【答案】ACD 【分析】分类讨论，结合二次函数的性质求出的取值范围即可得解. 【详解】当时，，此时函数无最小值； 当时，， 若时，则，此时函数有最小值； 若时，则的对称轴为， 在上先增后减，没有最小值； 若时，的对称轴为， 当时，要使函数有最小值， 则即可，解得. 当时，要使函数有最小值， 则，无解. 综上，，所以实数的值可以是. 故选：ACD 题型八 已知值域或最值求参数问题 1．（25-26高一上·安徽合肥·期中）函数在上的最大值与最小值的和为1，则（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】分和，结合函数的单调性得到方程，求出答案. 【详解】若，则在上单调递增， 故，解得，满足要求； 若，则在上单调递减， 故，解得，不符合要求； 综上，. 故选：C 2．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令 ，,要使函数存在最小值， 则在上有大于0的最小值,结合二次函数的图像与性质即可求解. 【详解】令 ，则, 令, 所以函数存在最小值， 则在上有大于0的最小值, 由二次函数的图像与性质可得：， 解得：, 所以实数的取值范围是 故选：A 3．（25-26高一上·山东聊城·月考）已知且，函数，若的最大值与最小值之差为2，则（    ） A．2 B． C．2或 D．或 【答案】D 【分析】根据函数的单调性分类讨论确定最大值和最小值，然后解方程得值. 【详解】化简得，，当时，，因此， 由二次函数性质可知在区间上单调递减. 当时，函数在定义域内单调递增，所以函数在区间上单调递减， 所以，由题意可得，解得，符合； 当时，函数在定义域内单调递减，所以函数在区间上单调递增， 所以， 由题意可得，解得，符合. 综上，或. 故选：D. 4．（25-26高三上·重庆·月考）设 且 ，若函数的最小值为2，则 （      ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】由条件可得，令，根据基本不等式可得，由条件结合对数函数性质可得，且，由此可求. 【详解】由已知， 所以， 令，又， 故，当且仅当，即时等号成立， 所以， 因为函数的最小值为2， 所以，解得. 故选：D. 5．（24-25高一上·河北石家庄·月考）已知函数，若的值域为，则实数的范围是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，函数在上的值域包含，可知函数在上单调递增，结合题意可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】当时，，即函数在上的值域为， 由题意可知，函数在上的值域包含， 即函数在上单调递增，所以，， 且，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 6．（24-25高一上·天津河东·月考）已知函数 在区间的最大值与最小值的和，则的取值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】令，转化为求在上的最大值、最小值可得答案. 【详解】当时，令， 则，为开口向上、对称轴为的抛物线， 在上单调递增， 所以当时有最小值，为， 当时有最大值，为， 可得，解得. 故选：B. 7．（23-24高一上·天津东丽·月考）已知，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数型复合函数的单调性分析得的单调性，从而得到在上的最值，由条件得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】函数的定义域为， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，又， 所以在区间上单调递减，其最大值与最小值分别为，， 则， 即，则， 得，整理得， 令，则其图像开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增， 因为存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1， 所以存在，使得成立，即， 则，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. (多选）8．（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知函数（且）在上的最大值为2，则a的值可以是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】BD 【分析】先将函数表达式改写为一次函数形式，再根据的符号分两类讨论单调性，最后结合区间端点的函数值求解a的值即可. 【详解】根据已知条件，函数， 当时，， 在上单调递减， 则，解得，满足条件； 当时，，在上单调递增， 则，解得，满足条件. 故选：BD. (多选）9．（24-25高一上·河北石家庄·月考）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 C．若函数的值域为，则实数 D．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对于A，根据对数函数的定义域以及单调性，可得答案；对于B，由对数函数的定义域建立不等式，根据二次函数的性质，可得答案；对于C，由题意结合复合函数单调性，可得内函数的最值，分情况讨论，可得答案；对于D，由题意结合复合函数单调性，可得内函数的单调性，分情况讨论建立不等式，可得答案. 【详解】对于A，由，则， 由，则，解得，故A错误； 对于B，由函数的定义域为，则恒成立， 可得，解得，故B正确； 对于C，由题意可得，令，则， 当时，，显然不符合题意； 当时，可得，解得，故C正确； 对于D，由在上单调递增，且是增函数， 则在上单调递增，， 当时，在上单调递增，，符合题意； 当时，可得，解得. 综上所述，，故D正确. 故选：BCD. (多选）10．（22-23高一上·四川绵阳·期末）已知函数（a＞0，且）的定义域为，值域为．若的最小值为，则实数a的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，分析判断函数取得最小值0，最大值1的区间在1及左侧可使区间长度最小，再求出a的取值范围作答. 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，， 因为函数在的值域为，则，即， 由，得，则有或， 当时，，有， 当时，，有， 令方程的两个根为，如图， 因此在上函数取得最小值0，最大值1，且最小时，， 于是，解得或，而的最小值为， 则有或，解得或， 所以实数a的值可以是或，即BC满足，AD不满足. 故选：BC 题型九 对数函数的综合问题 1．（25-26高一下·四川泸州·开学考试）已知函数，若存在x，使得，则a的取值范围（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据函数，确定定义域，先将代入函数表达式，利用对数的运算性质化简，因为存在x使得等式成立，所以将化简后的等式变形，分离出参数a，得到a关于x的表达式，结合换元法以及二次函数性质，可利用函数的单调性求解. 【详解】函数的定义域为， 由，得， 即， 则，由于，故， 令，则存在x，使得， 转化为存在，使得有解， 由于的对称轴为，则在上单调递增， 故， 故，结合，可得. 2．（25-26高三上·福建泉州·月考）设，若，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质得且，利用指数幂的运算性质，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】由，可作出其图像： 由，得，即， 得且， 所以， 当且仅当，即时等号成立．所以的最小值为. 故选：B. 3．（23-24高三上·广东广州·期中）已知命题，，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据对数性质解出集合的范围，集合充分必要条件的定义判断即可． 【详解】由题意知，则可得， 所以， 由可以推出， 由不能够推出， 所以是必要不充分条件. 故选：C 4．（23-24高三上·福建莆田·月考）若函数为偶函数，则（    ） A．-1 B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据函数是偶函数，则，解出后验证即可. 【详解】因为为偶函数， ， 则有， 解得， 经验证时，符合条件， 故选：B. 5．（25-26高一上·安徽宣城·期末）甲型流感的爆发高峰通常在冬春季节，奥司他韦是一种常用于治疗甲型流感的药物、患者口服该药物治疗后，血药浓度（单位：ng/mL）随时间（单位：h）的变化过程通常分为吸收期（浓度上升）和消除期（浓度下降）．当血药浓度达到峰值后，进入消除期，其浓度随时间t的变化可以用指数衰减模型近似描述：（为峰值浓度，k为消除速率常数）．根据临床数据，某患者服用奥司他韦2小时后血药浓度达到峰值，服用10小时后血药浓度降至峰值的50%，则k的值大约为（    ）（参考数据：，） A．0.087 B．0.076 C．0.0693 D．0.092 【答案】A 【分析】依题意得，，即可求解． 【详解】某患者服用奥司他韦2小时后血药浓度达到峰值，即进入消除期， 则， 得， 得， 故选：A 6．（24-25高三下·江西南昌·月考）设函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定函数的定义域，接着由函数恒成立得恒成立，分、、和四种情况分析求解不等式解集，从而得，最后代入所求表达式化简利用二次函数的性质即可求解. 【详解】由题可得函数的定义域为， 因为函数恒成立，而，故， 则或，解得或， 若，得不等式的解集为， 则使得，不满足题意； 若，得不等式的解集为， 则使得，不满足题意； 若，得不等式的解集为， 则使得，不满足题意； 若，得不等式的解集为，满足题意， 综上所述， 所以， 因为且，即， 所以的取值范围为， 所以的取值范围为. 故选：C. 7．（2025高三·全国·专题练习）若关于的不等式对任意的正实数恒成立，则的最小值是（    ） A．7 B．9 C．10 D． 【答案】B 【分析】先判断的大致范围，再求之间的关系，最后应用利用“1”的代换及基本不等式求最值. 【详解】令，因为，所以． 若，则，此时显然不符合题意． 当时，令，得，令，得， 若，则当时，，， 所以，所以不符合题意，故． 因为， 当时，，所以，则， 当时，，所以，则， 故，即． （另解：在处变号，在处变号，若，则，即）， 所以，当且仅当，时等号成立. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据已知不等式恒成立得到为关键. (多选）8．（25-26高三上·安徽·月考）已知函数的定义域为，满足，且，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】ABD 【分析】分别赋值可求出，判断AB，利用换元法求出的解析式，根据奇偶函数定义判断CD. 【详解】令，代入可得，解得或； 若，代入，可得，即， 而，矛盾，故， 令，则，即， 由可知，故A正确； 令，，代入，可得，即，故B正确； 再令，则，即， 令，则，所以，即， 令，则，所以不是偶函数，故C错误； 令，则定义域为，且，所以为奇函数，故D正确. 故选：ABD (多选）9．（25-26高二上·云南昆明·期末）已知，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，若，则 C．若有两解，则成等差数列 D．若，则 【答案】AD 【分析】利用作差法和对数运算即可判断A，利用分类讨论对数正负即可判断B，利用对数的运算性质即可判断C，利用数形结合即可判断D． 【详解】对A,当时，， 所以，故A正确； 对B,当时，若， 则当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可得，故B错误； 对C,由，若有两解， 则， 因为，所以成等比数列，故C错误； 对D,作出图像如图： 由图可得：当时，是一个上凸函数， 此时， 所以 ， 由于，所以等号不成立，即， 故D正确； 故选：AD (多选）10．（25-26高二上·浙江杭州·期末）对于实数，，，下列说法正确的是（   ） A．设：，：，则是的充分不必要条件 B．命题“，”的否定是“，” C．若，，则 D．若，且，则的最小值为 【答案】AC 【分析】对于A选项，根据不等式的性质结合充分必要条件的关系判断；对于B选项，根据全称命题的否定判断；对于C选项，根据作差法判断大小，对于D选项，分类讨论的关系，结合对数函数的单调性判断. 【详解】对于A选项，由于，则，则，不等式约去，则，充分性成立； 若，当时，，必要性不成立，故是的充分不必要条件，A选项正确； 对于B选项，全称命题“，”的否定是“，”，B选项错误； 对于C选项，由于，，，则，C选项正确； 对于D选项，若，，矛盾； 若，，矛盾， 若，， ，当取等号，但，因此等号取不到， 综上讨论可知，的最小值为错误. 故选：AC 课时精练 一、单选题 1．（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】由题设 . 2．（25-26高一上·广东深圳·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据负数不能开偶次方根以及对数的真数要大于零求解. 【详解】由题可知，，解得， 即函数的定义域为. 故选：C. 3．（20-21高一上·陕西宝鸡·期末）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先根据函数的定义域为，求出，再令即可求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以， 所以， 解得：， 所以的定义域为， 故选：A. 4．（2025高二上·辽宁营口·学业考试）若函数，则由图像可得，依次对应的函数为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据正比例函数图像为直线，指数函数和对数函数的增长凹凸规律判断即可.. 【详解】由函数图像知，为正比例函数，则对应函数为， 为对数函数，则对应函数为， 为指数函数，则对应函数为， 故选：B. 5．（25-26高一上·湖南常德·期末）设函数，，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数型函数的定义域和单调性，结合内函数为二次函数的单调性，可判断单调递减区间. 【详解】由， 由定义域可知：， 结合二次函数的对称轴， 可知：在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以函数的单调递减区间为. 故选：D 6．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】令， 当时，，则， 此时函数在上单调递增，故当时，； 当时，即当时，， 因为函数、在上均为增函数，此时函数在上单调递增， 故当时，； 当时，，则， 因为函数、在上均为增函数， 所以函数在上为增函数， 故当时，. 综上所述，当时，， 因为不等式对恒成立，故. 即实数的取值范围是 7．（25-26高一下·湖南长沙·月考）设且，函数f（x）＝的定义域为R．若的值域为，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数值域结合分段函数特征及对数函数单调性列式计算求解参数. 【详解】若，则的取值范围是． 当时，，分两种情形讨论： 若，则在单调递增，相应的取值范围是， 因此要使的值域是，应当有，两端都取a为底可得，解得． 当，则在单调递减，相应的取值范围是，此时无法满足的值域是，故舍去． 综上可得． 8．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为，利用基本不等式和对数函数单调性可分别求得的最小值，由此可构造不等式求得结果. 【详解】，，使得，； （当且仅当时取等号），， ，解得：，实数的取值范围为. 故选：D. 二、多选题 (多选）9．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知函数 且的图像如图所示，则下列关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题得，，求得，结合不等式性质求解可以判断 A；由，可以判断B；根据指数函数的性质可知，，判断C；根据“作差法”判断，判断D. 【详解】因为为单调递减函数，所以， 由得，所以，又，所以，A错误； 又，所以，B正确； 根据指数函数的性质可知，，所以，C正确； ，所以，D错误， 故选：BC． (多选）10．（25-26高一下·湖北恩施·开学考试）下列选项中说法正确的有（    ） A．已知命题P：，，则为， B．函数的值域为 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的值域为R，则实数a的取值范围是 【答案】AB 【详解】A.命题P：，，则为，，故A正确； B.设，，所以，所以函数的值域为，故B正确； C.由复合函数的定义域可知，，得，所以函数的定义域为，故C错误； D.当时，的值域为，当时，若函数的值域为R，则，， 综上可知，的取值范围是，故D错误. (多选）11．（湖南永州市2026届高三第三次模拟考试数学试卷）已知函数，则（    ） A．的图像关于轴对称 B．有两个零点 C．不等式的解集为 D．若，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项；分析函数的单调性，结合可判断B选项；将所求不等式转化为，结合函数的单调性与定义域可得出关于的不等式组，即可解得原不等式的解集，可判断C选项；分析可得，由已知条件得出，结合函数的单调性得出，由基本不等式可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的定义域为， ， 所以函数为偶函数，其图像关于轴对称，A对； 对于B选项，当时，， 因为函数、、在上均为增函数， 故函数在上为增函数，且， 故函数在上为减函数，且， 故函数有且只有两个零点，B对； 对于C选项，因为函数是定义域为上的偶函数，且该函数在上为增函数， 由可得，所以，解得且， 所以不等式的解集为，C错； 对于D选项，因为， 所以， 由可得，即， 因为函数在上单调递增，所以，即， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，D对. 三、填空题 12．（2026·北京顺义·一模）函数的定义域为______. 【答案】 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，结合对数函数的单调性，即可得答案. 【详解】由题意得，则， 因为在上单调递增， 所以，则的定义域为. 13．（25-26高一上·湖南湘西·期末）已知函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性、对数真数大于零求出a的取值范围即可． 【详解】是由外层函数和内层函数复合而成， 内层函数，其中，所以内层函数是一个单调递减的一次函数， 结合题意可知，外层函数必须是单调递增的，所以， 根据对数真数性质，在区间上，恒成立， 由于单调递减，所以在区间上， ，解得， 综上所述，，即实数a的取值范围是． 故答案为：． 14．（2025高三上·上海·专题练习）设函数，则使得成立的实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据定义法可判断函数奇偶性，根据函数解析式可判断当时函数的单调性，进而根据函数的奇偶性与单调性解不等式. 【详解】由可知其定义域为， 且， 即函数为偶函数， 当时，单调递增， 所以当时，单调递减， 不等式， 可转化为，解得， 即不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题 15．（贵州省部分高中学校2025-2026学年高一下学期4月期中联考数学试题）已知函数，函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若对任意的，函数的图像总在函数的图像的上方，求正数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用对数函数的单调性求解即可； （2）由题意可转化为对数不等式恒成立，利用函数单调性求解即可. 【详解】（1）由，得， 则，得，即不等式的解集为; （2）因为， 对任意的，函数的图像总在函数图像的上方， 则在上恒成立，即在上恒成立， 所以 整理得， 设，只需使得在上恒成立即可. 函数对称轴，因为，所以， ①当时，即时，函数在上单调递增，此时， 因为，所以，即在上恒成立； ②当时，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 因为，所以，即存在，使得，所以不符合题意. 综上所述的取值范围为. 16．（25-26高一下·湖南·月考）已知函数，且. (1)求图像经过的定点坐标； (2)若的定义域为，求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合对数的性质求定点； （2）根据复合函数单调性判断函数的单调性，利用单调性求解不等式，注意对数函数的定义域. 【详解】（1）令，得或2， 得， 所以图像经过的定点坐标为. （2）由题意得在上恒成立， 则，得. 因为函数是增函数，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 又，所以或， 得或.故不等式的解集为. 17．（25-26高一上·福建宁德·月考）已知函数，函数且 (1)若为偶函数，求实数的值． (2)求的值，并根据定义证明函数在区间上单调递增； (3)若函数在上满足，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3). 【分析】（1）利用偶函数的定义求解参数值； （2）用定义法证明函数单调性即可； （3）先确定函数的单调性，再建立不等式组求解即可. 【详解】（1）因为函数为偶函数，则． 即． 所以 恒成立， ； （2），，． 证明：，，且， 则， ，，，， ，即，故在上单调递增． （3）在上单调递增，所以， ，，解得，即的取值范围为. 18．（25-26高三下·上海宝山·期中）已知. (1)若，求的值； (2)当时恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时无解; 当时 【分析】（1）由直接代入结合对数函数单调性解得. （2）通过对底数分类讨论，利用对数函数单调性转化不等式，分离参数后求函数最值，再结合真数范围确定的取值 【详解】（1）已知， . 由，代入得：. 因为，所以，即， 得，解得. （2）由 得 . 当 时, 单调递增, 不等式等价于 , 且真数 . 即 , 且 对 恒成立. 由 得 . 结合 得 . 故 且 对 恒成立. 令 , . 令 ,由 ,得 ,且 . 于是. 这是关于 的二次函数,开口向下,对称轴为. 对称轴 在区间 的左侧,因此函数 在 上单调递减。 又 在 上单调递增,根据“同增异减”可得 在 上单调递减. 所以 , . 故 又 对一切 恒成立. 则需大于 在 上最大值即 . 因为 与 不能同时成立. 故 时无解. 当 时, 单调递减，不等式等价于 , 且真数 . 即 , 且 对 恒成立. 由 得 或 . 结合 , 只需 恒成立. 故 对 恒成立. 由上述分析知 在 上最大值为 , 所以 . 又需 对 恒成立, 即 , 右边最大值为 , 所以 ,结合 得 . 综上所述, 的取值范围是 . 19．（25-26高一下·湖南长沙·月考）若函数满足：对任意正数s，t，都有，则称函数为“函数”． (1)试判断函数与是否为“函数”，并说明理由； (2)若函数是“函数”，求实数的取值范围； (3)若函数为“函数”，，对任意正数s，t，都有，证明：对任意，都有． 【答案】(1)是“函数”； 不是“函数”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据“函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可； （2）根据函数是“函数”列出不等式，转化为求最值问题即可； （3）由题意令，得到，进而得到和即可得证. 【详解】（1）对于任意， 所以， 即成立， 故是“函数”； 对于， 取，则． 因为，故不是“函数”. （2）因为函数是“函数”， 所以对于任意的，有恒成立， 即恒成立，所以恒成立， 又，故，则， 则，即，即实数的取值范围为. （3）∵对于任意正数s，t，都有， 由函数为“函数”，可知， 令，可知，即， 故对于自然数与正数， 都有， 对任意，可得，又， 所以， 同理， 故. $