3.1.1 函数的概念 2026-2027学年高一上学期数学必修一例题讲解及课时精练

该高中数学单元复习讲义以“核心基础导学”为框架，通过表格系统梳理区间概念与特殊区间表示，分点解析函数的概念、三要素等核心知识点，构建“定义-性质-应用”的递进知识脉络，突出定义域、值域等重难点的内在逻辑联系。 讲义亮点在于“题型分类+方法指导”的练习设计，如题型一用“垂直于x轴直线判断法”结合图像与解析式判断函数关系，培养几何直观与抽象能力；题型三通过已知定义域求参数问题，提升逻辑推理与数学表达能力。课时精练包含选择、多选等分层题目，基础学生可掌握方法，优秀学生能深化思维，为教师实施精准教学提供有力支持。

3.1.1 函数的概念 【题型一】由图像和解析式判断是否是函数关系 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】D 8．【答案】BD 9．【答案】AC 10．【答案】AD 【题型二】求具体函数的定义域及求抽象函数的定义域 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】BC 9．【答案】AD 10．【答案】ABC 【题型三】已知函数的定义域求参数 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】A 8．【答案】ACD 9．【答案】BD 10．【答案】BD 【题型四】同一函数的判断 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】ACD 9．【答案】BD 10．【答案】ACD 【题型五】求具体函数值及赋值法求抽象函数函数值 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】D 7．【答案】C 8．  【答案】BD 9．【答案】AC 10．【答案】ABD 【题型六】求简单函数值域 方法主要有：图像法，增减性法，换元法，判别式法，反函数法，分离常数法等。 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】ABC 9．【答案】ACD 10．【答案】AD 【题型七】求抽象函数值域 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】AC 9．【答案】BC 10．【答案】AB 【题型八】已知函数值域求参或定义域 1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】D 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】ACD 9．【答案】AC 10．【答案】BC 课时精练 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】B 9．【答案】BD 10．【答案】AB 11．【答案】ACD 12．【答案】1 【详解】. 13．【答案】 【详解】要使有意义，则有， 因为函数的定义域为，故在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 14．【答案】 【详解】. 15．【答案】(1)的定义域为的定义域为； (2)； (3) 【详解】（1）对于，因为分母不为，所以，解得； 因此的定义域为， 由可得其定义域为. （2）由知 ， ； （3）因为， 所以. 16．【答案】(1)，图像见详解 (2)答案见详解 【详解】（1）当时，，所以， 又因为为偶函数，所以， 所以时，， 所以，其图像如下图所示：    （2）方程解的个数即为与图像的交点个数， 由图像可知，当时，与图像无交点，即方程解的个数为， 当或时，与图像有个交点，即方程解的个数为， 当时，与图像有个交点，即方程解的个数为， 当时，与图像有个交点，即方程解的个数为， 综上所述，当时，方程无解；当或时，方程有个解； 当时，方程有个解；当时，方程有个解. 17．【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，所以， 故 ， 所以在处的瞬时变化率为. （2）由题意，，解得，所以， 因为，所以，即， 设，， 因为与均为增函数，所以为增函数， 因为，所以由，得， 所以不等式的解集为； 18．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为． （2）设，，则， 所以， 所以函数的值域为． （3）， 则，所以函数的值域为． 19．【答案】(1)不是函数的一个“区间”，理由见解析 (2)不存在，理由见解析 (3) 【详解】（1）结合题意可得：， 当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以当时，取得最大值， 当或时，取得最小值，，故此时函数的值域为， 而此时，所以区间不是函数的一个“区间”； （2）当时，，函数在单调递增， 设的 “区间”为， 则在区间上的值域为， 当时，而， 此时，显然无解， 所以函数在上不存在这样的“Γ区间”； （3）由（2）知，在上不存在这样的“Γ区间”，要找函数在区间上的所有“Γ区间”，只可能在上存在 “区间”， 设函数在内的“Γ区间”为， 当时，，函数在上单调递减， 所以当区间满足“区间”定义时，函数在区间上的值域为 所以，即， 故为方程的两根， 因式分解得， 当时，解得， 当时，解得， 因为， 所以，即“Γ区间”为， 综上，函数在区间上的所有“Γ区间”为. 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $3.1.1 函数的概念 【题型一】由图像和解析式判断是否是函数关系 2 【题型二】求具体函数的定义域及求抽象函数的定义域 7 【题型三】已知函数的定义域求参数 11 【题型四】同一函数的判断 15 【题型五】求具体函数值及赋值法求抽象函数函数值 19 【题型六】求简单函数值域 23 【题型七】求抽象函数值域 27 【题型八】已知函数值域求参或定义域 31 课时精练 36 【基础回顾】 知识点1：函数的概念 1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数y与它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作，其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域，与的值相对应的值叫作函数值，函数值的集合叫作函数的值域，值域是集合B的子集。 函数的本质含义： 定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的值与之对应 注意： （1）定义的集合A,B必须是两个非空数集； （2）A中不能有闲置的元素，B中可以有闲置的元素； （3）一个x只能对应一个y值，一个值不一定只对应一个值，也可以多个。 知识点2：函数的三要素 ①定义域 ②对应关系 ③值域。 知识点3：区间的概念 区间 表示 简写 闭区间 开区间 半开半闭区间 知识点4：特殊区间的表示 集合 表示 知识点5：求具体函数定义域的原则 （1）若为整式，则其定义域是; （2）若为分式，则其定义域是使分母不为0的实数集合； （3）若是二次根式（偶次根式），则其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合； （4）若为，则其定义域是; （5）若函数由几个式子的和、差、积的形式构成，求其定义域时要满足各式子都有意义。 知识点6：求抽象函数定义域 1.函数的定义域一定是的取值范围 2.中的取值范围和中的的取值范围是一样的。（同一对应法则作用下的不同对象，范围是相同的） 知识点7：同一函数 如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数。 例如函数与表示同一个函数。 知识点8：函数的值域 在函数中，与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合叫作函数的值域。 【题型一】由图像和解析式判断是否是函数关系 1.根据图形判断对应关系是否为函数的方法： 根据“可以多对一，不可以一对多”的原则多个可以对应一个，一个不能对应多个. （1）任取一条垂直于轴的直线. （2）在定义域内平行移动直线. （3）若直线与图形始终有一个交点，则是函数；若在定义域内存在直线与图形没有交点或者多个交点，则不是函数。 2.判断一个对应关系是不是函数的两个条件： （1）A,B必须是非空数集。 （2）A中任意一元素在B中有且只有一个元素与其对应。对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系。 1．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数. 选项A：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项B：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项C：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项D：，当时，无意义，不满足函数定义，符合题意. 故选：D 2．（2026·山东东营·一模）在平面直角坐标系中，直线与函数的图像的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 【答案】C 【详解】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个，只有唯一的与之对应， 若在函数定义域内，则直线与函数的图像的交点个数为1， 若不在函数定义域内，则直线与函数的图像的交点个数为0， 所以函数的图像与直线的交点个数为0或1. 故选：C. 3．（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，当时，对应的分别为，所以A错误； 对于B，当时，对应的分别为，所以B错误； 对于C，当时，对应的分别为，所以C正确； 对于D，当时，对应的分别为，所以D错误. 故选：C. 4．（24-25高一上·贵州遵义·月考）下列图形可作为函数图像的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】对于C，满足函数的定义，所以可以作为函数的图像， 对于A、B、D均存在使得一个对应两个及两个以上的值，不符合函数的定义，所以不能作为函数的图像. 故选：C. 5．（25-26高一上·贵州·期末）下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图像是（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】C 【详解】由函数定义知，定义域内的每一个都有唯一函数值与之对应， ABD选项中的图像都符合；C项中对于大于零的而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义. 故选：C. 6．（25-26高一上·湖南永州·期中）下列命题正确的是（   ）. A．是函数 B．与是相同函数 C．设集合，，则右图是从集合到集合的一个函数   D．函数的图像与直线的交点最多有1个 【答案】D 【详解】对于A，由，得，此不等式组无解，不是函数，A错误； 对于B，的值域为，的值域为R，它们不是相同函数，B错误； 对于C，由给定的图知，集合中没有元素与集合中元素2对应， 因此给定图形不是从集合到集合的函数，C错误； 对于D，函数的图像与垂直于轴的直线最多1个交点， 因此函数的图像与直线的交点最多有1个，D正确. 故选：D 7．（25-26高一上·山西大同·期中）若函数的定义域为，且，值域为，且，则的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，图像中不含，不符合函数的定义域，故错误； 对于B，函数值中包含，不符合函数的值域，故错误； 对于C，函数值中包含，不符合函数的值域，故错误； 对于D，符合函数的定义域和值域，正确， 故选：D （多选）8．（25-26高一上·广西玉林·期末）已知集合，集合，下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由从集合到集合的函数关系，得集合中的每个元素，按照给定法则，在集合中有唯一元素与之对应， 对于A，当时，，A不是； 对于B，由，得，则对每个，有唯一，B是； 对于C，当时，，C不是； 对于D，由，得，则对每个，有唯一，D是. 故选：BD （多选）9．（25-26高一上·重庆璧山·期中）下列关于函数的命题一定正确的是（    ） A．与表示同一函数 B．函数的定义域是 C．已知函数，则在区间的值域为 D．如图所示的椭圆图形可以表示某一个函数的图像 【答案】AC 【详解】对于A ，函数与函数的定义域及对应关系都相同，因此值域也相同，所以是同一函数，所以A正确； 对于B，要函数的使有意义，须使，解得，且，所以函数的定义域是.所以B错误； 对于C，函数为二次函数，其图像开口向上，对称轴是，所以函数在上单调递减，在上单调递增； 因为，所以函数的值域为，所以C正确； 对于D，椭圆图形不满足任意一个的值，有唯一的值与它对应，如当时，对应两个值，所以D错误. 故选：AC. （多选）10．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为函数的定义域为，值域为 由选项A图像可知，该函数定义域为，值域为，满足条件； 由选项B图像可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项C图像可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项D图像可知，该函数定义域为，值域为，满足条件; 故选：AD. 【题型二】求具体函数的定义域及求抽象函数的定义域 1．（25-26高二上·全国·月考）已知集合，．则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合是函数的定义域，要求根号内的被开方数非负： ，即. 集合是函数的值域，对任意实数有， 因此： ，即. . 故选：A. 2．（2026·海南儋州·一模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，根据二次根式的性质， 可得， 解得，即， 因为，所以， 又，解不等式， 可得，即， 所以，所以A选项正确. 故选：A. 3．（25-26高一下·安徽六安·月考）函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数，所以，解得. 故选：B. 4．（25-26高三下·河北沧州·月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得，解得，所以， 由，得，所以， 所以. 故选：B. 5．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·月考）已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则可化为. 因为定义域为，即，则中的， 即，解得. 所以的定义域为. 故选：B. 6．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知的定义域为，则. 对于，则，解得：. 又因为，即：. 所以函数的定义域. 故选：D. 7．（25-26高一上·江西上饶·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【详解】函数的定义域为，函数有意义， 则有且，解得且， 所以函数的定义域为且. 故选：B （多选）8．（25-26高一上·浙江杭州·期中）下列各选项给出的命题中，正确的有（   ） A．的解集为 B．已知的定义域为，则的定义域为 C．化简结果为 D．若为一次函数，满足，则 【答案】BC 【详解】选项A,分式不等式等价于， 解得,故A错误； 选项B，已知定义域为，则满足，解得，故B正确； 选项C，由二次根式有意义得，即， 因此： ，故C正确。 选项D，设一次函数， 则， 可得方程组： ，解得或， 即或，故D错误. 故选：BC. （多选）9．（25-26高一下·山西阳泉·开学考试）下列命题正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．与是同一个函数 C．函数的最小值为2 D．若函数的定义域为，则的定义域为 【答案】AD 【详解】对A：命题“，”的否定是“，”，故A正确； 对B：函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不一样，所以两个函数不是同一个函数，故B错误； 对C：， 当且仅当即当时等号成立， 但，故等号不成立，所以函数，故C错误； 对D：若函数的定义域为，则，∴， 所以函数的定义域为，故D正确. 故选：AD. （多选）10．（25-26高一上·山东聊城·月考）下列说法正确的有（    ） A．命题“”的否定是“” B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．若函数，则 D．设，则“，且”是“”的必要不充分条件 【答案】ABC 【详解】对于A，由存在量词命题的否定可知，A正确； 对于B，因为，所以，则由，可得， 则函数的定义域为，故B正确； 对于C，令，则， 将代入可得，故C正确； 对于D，若，且，则， 满足但不满足，且， 则“，且”是“”的充分不必要条件，故D错误. 故选：ABC 【题型三】已知函数的定义域求参数 1．（2027高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域是，所以不等式对任意恒成立， 当时，，对任意恒成立，符合题意； 当时，即解得， 综上，实数的取值范围是． 故选：D. 2．（25-26高一上·上海·期中）若函数的定义域为，则实数a不可能等于（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】由题意，在上恒成立，显然时不等式恒成立， 当时，情况如下： 若，此时不等式为在上不恒成立， 若，则，可得.， 综上，. 故选：D 3．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）“”是“函数的定义域为R”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由的定义域为，得. 当时，40恒成立； 当时，由，解得. 所以当函数的定义域为时，的取值范围为， 所以“”是“函数的定义域为”的充分不必要条件. 故选：B 4．（25-26高一上·江苏无锡·月考）若函数定义域为R，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域为R，所以在R上恒成立， 所以在R上恒成立. 当时，符合题意； 当时，，解得. 综上，实数的取值范围是； 故选：D 5．（2025高一·全国·专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，关于的方程无解，此时进行分类讨论． ①当，即时，不成立，分母不为零，所以符合题意； ②当，即时，应满足，解得． 综上，实数的取值范围为． 故选：C． 6．（24-25高一上·江苏盐城·月考）“函数的定义域为”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】函数的定义域为， 所以的解集为， 所以，即， 解得， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 7．（25-26高一上·北京·期中）函数的定义域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，可知关于的不等式的解集为， 当时，不等式为，解集不是，不合题意； 当时，需使，解得. 综上，可得实数的取值范围为. 故选：A. （多选）8．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）下列说法中正确的是（   ） A．函数与是同一个函数 B．命题“，”的否定是， C．当时， D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【详解】因为，且定义域都为，所以函数与是同一个函数，故A正确； 命题“，”的否定是，，故B错误； 当时，结合不等式有，虽然取不到等号，但不等式是恒成立的，故C正确； 函数的定义域为，则或， 解得，故D正确； 故选：ACD （多选）9．（25-26高一上·贵州毕节·月考）下列说法正确的有（   ） A．若定义在上的函数满足，则为增函数 B．函数的零点是1， C．函数的定义域为，则 D．已知，都是正实数且，则的最小值为 【答案】BD 【详解】选项A：根据增函数定义，需满足区间内任意，都有， 仅不能确定为增函数，故A错误； 选项B：函数零点是使的自变量值，令，解得或， 该函数的零点为和，故B正确； 选项C：函数的定义域为， 分母恒不为0， 当时，分母为，恒不为0，满足定义域为， 当时，恒不为0，需满足，解得， 的取值范围为，故C错误； 选项D： ，都是正实数且， ，， ，开口向上，对称轴为， ， 的最小值为，故D正确． 故选：BD． （多选）10．（25-26高一上·江苏淮安·期中）以下判断，其中是正确判断的有（   ） A．与表示同一函数 B．命题，恒成立为真命题，则的一个充分条件是. C．函数的图像与直线的交点有1个 D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【答案】BD 【详解】对于A：函数的定义域为，的定义域为， 所以与不是同一函数，故A错误； 对于B：若命题，恒成立为真命题， 则，解得， 因为，所以的一个充分条件是，正确； 对于C：若函数在处有定义，则的图像与直线的交点有1个， 若函数在处没有定义，则的图像与直线没有交点； 所以函数的图像与直线的交点最多有1个，错误； 对于D：因为函数的定义域为， 所以不等式对恒成立， 当时，不等式为，满足题意； 当时，，解得， 综上所述：，故D正确. 故选：BD 【题型四】同一函数的判断 1．（25-26高一上·安徽淮北·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，C错误； 对于D，的定义域为，的定义域为，， 所以表示同一函数，D正确. 故选：D. 2．（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】对于A，当为奇数时，， 所以，与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于B，为偶数时，，所以， 与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于C，与都可化为， 且定义域均为，故是同一个函数； 对于D，与的定义域都是， 是关于的二次函数，而是关于的函数， 当时为一次函数，当时为常数函数， 两函数对应关系不相同，故不是同一个函数. 故选：D. 3．（25-26高一上·天津武清·月考）下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】对于A，函数的定义域为R，的定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域均为R，且，即对应法则相同，B是； 对于C，函数的定义域为R，的定义域为，C不是； 对于D，函数的定义域为R，的定义域为，D不是. 故选：B 4．（25-26高一上·广西河池·期末）下列表示为同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域都为R，且对应法则相同，B是； 对于C，函数的值域为，函数的值域为R，C不是； 对于D，函数的定义域为R，函数的定义域为，D不是. 故选：B 5．（25-26高一上·贵州贵阳·期末）下列哪一组中的函数与是同一函数（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】对于A：的定义域为 ，定义域为 ， 定义域不同，所以不是同一函数，故选项A不正确； 对于B：的定义域为，的定义域为， 对应关系不同，所以不是同一函数，故选项B错误； 对于C：的定义域为，的定义域为， 定义域和对应关系都相同，所以是同一函数，故选项C正确； 对于D：的定义域为， 的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数，故选项D错误； 故选：C. 6．（25-26高一上·贵州铜仁·期末）下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为，值域为， 对于A，，定义域为，值域为， 即与函数是同一个函数，故A正确； 对于B，，值域为，值域不同，故B错误； 对于C，，定义域为，定义域不同，故C错误； 对于D，，定义域为，定义域不同，故D错误． 故选：A． 7．（25-26高一上·广西北海·期末）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，所以两个函数不是同一个函数，所以A错误； 对于B，根据绝对值的含义，，所以与是同一个函数，所以B正确； 对于C，函数，其定义域为，函数的定义域为，所以两个函数不是同一个函数，所以C错误； 对于D，函数与的对应关系不同，所以不是同一个函数，所以D错误. 故选：B. （多选）8．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）下列说法中正确的是（   ） A．函数与是同一个函数 B．命题“，”的否定是， C．当时， D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【详解】因为，定义域为， 所以函数与是同一个函数，故A正确； 命题“，”的否定是，，故B错误； 根据基本不等式可知，当且仅当时取等号， 当时，可得，则必有，故C正确； 函数的定义域为，则或， 解得，故D正确； 故选：ACD. （多选）9．（25-26高一上·浙江杭州·期中）下列函数中，与函数是同一个函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由题意知的定义域为R， 的定义域为，故与函数不是同一个函数，A错误； 的定义域为R，且，与函数是同一个函数，B正确； ，函数定义域为R，则，与对应关系不一样， 故与函数不是同一个函数，C错误； ，函数定义域为R，且， 与函数是同一个函数，D正确. 故选：BD. （多选）10．（25-26高一上·浙江杭州·期中）下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ACD 【详解】对于A：，定义域为，而，定义域也是，两个函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一个函数，故A正确； 对于B：，定义域为，而，定义域为，定义域不同，所以不是同一个函数，故B错误； 对于C：，需满足，即，而，需满足，即， 且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故C正确； 对于D：，定义域为，而，定义域为，且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故D正确. 故选：ACD. 【题型五】求具体函数值及赋值法求抽象函数函数值 1．（25-26高一下·云南·开学考试）已知函数则（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】C 【详解】由题意得：，所以． 故选：C. 2．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】法1：由，得，所以，所以， 所以，即，所以． 法2：， 所以． 故选：D. 3．（2026·云南昆明·模拟预测）若，且，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 则 ， 由，，可得， 又，则， 所以. 故选：C. 4．（25-26高一下·重庆·月考）已知是定义在上的函数，且满足；则的值为（    ） A．－5 B． C．－1 D．1 【答案】C 【详解】令，则，因为是奇函数，所以. 因为，所以，所以， 所以. 故选：C. 5．（2026·宁夏银川·一模）如果点在函数的图像上，都有点在函数的图像上，则（   ） A．17 B．5 C．3 D．2 【答案】D 【详解】设点在函数的图象上，则点在函数的图像上， 所以，即，所以. 故选：D. 6．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，可得， 因为，所以， 则. 故选：D. 7．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）已知，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】当时，，得到，满足条件； 当时，，得到或，因为，所以； 综上所述，或. 故选：C. （多选）8．（25-26高一上·辽宁·月考）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图像是如图所示的曲线，若，则的值可能为（   ） 0 1 2 3 4 0 2 1 2 0 3 1    A． B．0 C．2 D．4 【答案】BD 【详解】对于A：当时，，不符合题意，故A错误； 对于B：当时，，符合题意，故B正确； 对于C：当时，，不符合题意，故C错误； 对于D：当时，，符合题意，故D正确， 故选：BD. （多选）9．（2026·浙江宁波·二模）定义在上的函数满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】解：令，则，解得，故A正确； 令，则，解得，故B错误； 令，则， ，故C正确； 令，则， 又， ，又不恒为零， ，即， ，即，故D错误． 故选：AC. （多选）10．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知定义域均为的函数，都不是常函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为，所以． 因为，所以． 由，得， 令，可得． 因为不是常函数，所以． 令，可得，所以． 令，可得，所以． 令，可得①． 令，可得，所以，即②． 由①②可得，即， 从而有，即， 所以， 同理可得． 故A，B，D正确，C选项错误. 故选：ABD. 【题型六】求简单函数值域 方法主要有：图像法，增减性法，换元法，判别式法，反函数法，分离常数法等。 1．（25-26高三下·辽宁铁岭·月考）已知函数则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，单调递增，， 当时，． 综上所述，的值域是． 故选：A. 2．（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以在上的最小值为. 故选：A 3．（25-26高一上·安徽六安·期中）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合， 所以 ， 故选：A 4．（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为， 则或， 当时，， 当时，， 综上，此函数的值域为． 故选：B. 5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，解得，即的定义域为， 令，则，所以，且， 则原函数转化为， 因为与在上均为单调递减函数， 所以在上单调递减， 所以的最大值为，的最小值为， 所以的值域为，即原函数的值域为. 故选：C. 6．（25-26高一上·山东济南·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，得， 所以可以转化为． 因为二次函数在上单调递增， 当时，， 所以函数的值域为． 故选：D． 7．（25-26高一上·云南昆明·期中）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则，， 令，由对勾函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得最小值， 又因为， 因此在上的值域为， 故的值域为， 即函数在区间上的值域为， 故选：C. （多选）8．（24-25高一上·江西吉安·月考）下列选项正确的是（    ） A．的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数在的值域为 D．函数的值域为 【答案】ABC 【详解】对于A，的定义域为，则在中，， 解得，即的定义域为，A正确； 对于B，函数， 当且仅当时取等号，则函数的值域为，B正确； 对于C，在上递减，， 则函数在的值域为，C正确； 对于D，函数，函数的值域为，D错误. 故选：ABC. （多选）9．（23-24高一上·湖南张家界·期中）下列四个命题是真命题的有（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数的值域为 C．若函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围为 D．已知，在上的值域为 【答案】ACD 【详解】对于A：函数的定义域为，则对于函数，需使， 解得，即得函数的定义域为，故A正确； 对于B：设，得，则， 其图像对称轴为，则函数在上单调递增，故，故B错误； 对于C：若函数的两个零点都在区间内，则 ，得，故C正确； 对于D，当时，；当时，，故该函数的值域为，故D正确. 故选：ACD （多选）10．（25-26高一上·四川成都·月考）下列各选项给出的数学命题中，正确的是（   ） A．关于的不等式的解集，则不等式的解集为 B．集合表示同一集合 C．若是一次函数，满足，则 D．函数的值域为 【答案】AD 【详解】对于A：关于的不等式的解集， 则方程的两个解是或，并且， 由韦达定理可得，解得， 则不等式转化为， 由，则，解得， 故不等式的解集为，故A正确． 对于B，集合为函数的定义域，即全体实数集，集合为函数的值域， 即，所以不是同一个集合，故B错误； 对于C，因为是一次函数，设， 则， 可得，解得或，所以或，故C错误； 对于D，， 所以函数的值域为，故D正确. 故选：AD 【题型七】求抽象函数值域 1．（25-26高一上·广东·月考）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】函数的定义域为，即，所以， 因此函数的定义域为； 由函数的值域为，得函数的值域为， 即，则，故函数的值域为． 故选：C． 2．（25-26高二上·江西宜春·期中）若函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】函数的图像可以由函数的图像向左平移2个单位得到， 由于函数的定义域和值域都是， 所以函数的定义域为，值域为. 故选：D 3．（25-26高三上·陕西商洛·月考）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】函数的定义域为，则在函数中，，解得， 因此函数的定义域为； 由函数的值域为，得函数的值域为，即， 则，故函数的值域为. 故选：C 4．（24-25高三下·湖南长沙·月考）已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】由函数的定义域和值域分别为和，可得和， 令，解得，所以函数的定义域为， 又由函数的图像向左平移个单位，得到的图像， 所以函数与函数的值域相同，即. 故选：D. 5．（24-25高一上·辽宁大连·月考）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的值域是， 所以函数的值域是， 令，则， 由对勾函数的性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增， 而，，， 则，即函数的值域是. 故选：B. 6．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数的定义域为，值域为，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是 【答案】B 【详解】对于A选项：令，可得，所以函数的定义域为，故A选项错误； 对于B选项：因为的值域为，所以的值域为，可得向下平移两个单位的函数的值域也为，故B选项正确； 对于C选项：令，得，所以函数的定义域为，故C选项错误； 对于D选项：若函数的值域为，则，此时无法判断其定义域是否为，故D选项错误. 故选：B 7．（24-25高一上·贵州遵义·月考）已知函数的值域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数是的水平平移变换，水平平移不改变函数值域，故的值域为. 由，对的取值范围各减2，得，即. 故选：B （多选）8．（25-26高一上·广东茂名·月考）已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，的图像可看作由的图像向左平移一个单位得到的，故值域不变，正确； 对于B，由可得，即的值域为，错误； 对于C，函数与函数的图像关于轴对称， 故函数的值域与函数的值域相同，为，正确； 对于D，由可得，即的值域为，错误． 故选：AC. （多选）9．（24-25高一上·河南南阳·月考）已知函数，则（   ） A． B．的最小值为0 C．的定义域为 D．的值域为 【答案】BC 【详解】由，而， 所以，故A错误； 当时，，因此的最小值为0，故B正确； 在函数中，，即， 所以函数的定义域为，故C正确； ，由，即， 所以，所以的值域为，故D错误. 故选：BC. （多选）10．（22-23高一上·安徽合肥·期末）已知函数则下列结论正确的是（    ） A．f(x)的定义域是，值域是 B．f(x)的单调减区间是(1，3) C．f(x)的定义域是，值域是 D．f(x)的单调增区间是(-∞，1) 【答案】AB 【详解】已知函数， 对于A、C，令，则，解得，定义域为. ，又，函数的值域为，故A正确，C错误； 对于B、D，函数定义域为，函数的对称轴为，所以在区间单调递增，在区间上单调递减，故B正确，D错误； 故选：AB. 【题型八】已知函数值域求参或定义域 1．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，；所以要想使得的值域为， 只需满足当时，的值域与的并集为. ①当，即时，函数在上单调递增， 所以当时， ， 所以要想满足题意，则，解得 ，结合，可得. ②当，即时，函数在上为常数函数，不合题意； ③当，即时，函数在上单调递减， 所以当时，，不合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A 2．（25-26高一上·浙江杭州·月考）下列四个命题，其中为真命题的是（   ） A．若函数在上是增函数，在上也是增函数，则是增函数 B．和表示同一函数 C．函数的单调增区间为 D．若函数的值域是，则实数或 【答案】D 【详解】对于A，取，易知在上是增函数，在上也是增函数， 但在上不具有单调性，即不是增函数，所以A错误， 对于B，因为的值域为，的值域为，所以和不表示同一函数，故B错误， 对于C，因为， 当时，，对称轴为，图像开口向上，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，，对称轴为，图像开口向上，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以的单调增区间为，，故C错误， 对于D，函数的值域是，又的对称轴为，图像开口向上， 则，解得或，所以D正确， 故选：D. 3．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的值域为， 则有解，所以，解得或， 故实数的取值范围为. 故选：B. 4．（25-26高一上·安徽淮南·期中）下列命题正确的是（   ） A．若函数的值域为，则的取值范围为 B．若函数的定义域为，则的取值范围为 C．若对，，使得成立，则的取值范围为 D．若对，，使得成立，则的取值范围为 【答案】D 【详解】对于A，当时，在上单调递增，所以， 又函数的值域为，所以当时，的值域为，则， 所以，解得，即的取值范围为，错误； 对于B，在上恒成立. 若，则不等式可化为，在上不恒成立； 若，由在上恒成立，可得，解得 . 综上可知，即的取值范围为，错误； 对于C，因为对，，使得成立， 所以，因为函数在上单调递减， 所以，因为函数在上单调递增，所以， 所以，解得，所以的取值范围为，错误； 对于D，记， 因为，所以， 设，的值域为M， 因为对，，使得即成立， 所以， 当时，，的值域为，此时，解得； 当时，，的值域为， 此时在不恒成立，不合题意； 当时，，的值域为， 此时，解得；综上的取值范围为，正确. 故选：D 5．（25-26高一上·福建福州·期中）函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，则恒成立，显然不符合题意； 要使函数的值域为， 需使，解得. 故的取值范围是. 故选：D 6．（25-26高一上·湖南·期中）若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，值域为，不满足题意，故， 因为的值域为，所以， 解得，即的取值范围是. 故选：D. 7．（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知函数，其中，且函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A．[2，4] B． C． D． 【答案】C 【详解】 ，图像如下：    令，解得， 令 ，解得， 由图像可知m的取值范围为． 故答案为：． （多选）8．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，不等式的解集为 B．若函数的值域为，则实数的取值范围是 C．若函数为上的增函数，则实数的取值范围是 D．若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【详解】A：当时，， 当时，令，解得； 当时，令，解得， 所以不等式的解集为，故A正确； B：易知二次函数的最小值为， 由，解得或， 要使的值域为，当时，需，解得； 当时，需，解得， 所以实数的取值范围是，故B错误； C：易知在上单调递增， 图像为开口向上的抛物线，对称轴为直线， 因为在上单调递增，所以，解得，故C正确； D：令，解得； 令，解得或. 当时，在定义区间内，与轴无交点，与轴有2个交点； 当时，在定义区间内，与轴有1个交点，与轴有2个交点； 当时，在定义区间内，与轴有1个交点，与轴有1个交点； 当时，在定义区间内，与轴有1个交点，与轴无交点. 综上，若有两个零点，则或，故D正确. 故选：ACD （多选）9．（2025高一上·江苏·专题练习）（多选）已知函数的值域为，则常数可以是（ ） A． B．1 C．7 D． 【答案】AC 【详解】因为，所以， 当时，有解， 当不是0时，，即， 因为函数的值域为， 所以是方程的两个根， 所以，， 解得或，所以7或. 故选：AC （多选）10．（25-26高一上·江苏泰州·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数与 是同一个函数 B．命题 的否定是 C．若函数 的值域为 ，则实数k的取值范围是 . D．若函数 的定义域为R，则实数k的取值范围是 【答案】BC 【详解】对A：定义域为，定义域为， 故函数与 不是同一个函数，故A错误； 对B：命题 的否定是 ，故B正确； 对C：当时，，不符合题意； 当时，则有，解得； 故实数的取值范围是，故C正确； 对D：当时，，其定义域为，符合要求； 当时，则有，解得； 故实数的取值范围是，故D错误. 故选：BC. 课时精练 一、单选题 1．（2026·河北·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 故 . 故选：D. 2．（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知集合，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】对于集合A：，所以，解得或， 所以或， 对于集合B：可得，所以， 所以 或. 故选：C. 3．（23-24高一上·山东·期中）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为，即，则， 的定义域为， 需满足，解得且， 的定义域为，故C正确． 故选：C． 4．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意：在上恒成立. 若，则不等式可化为，在上恒成立； 若，由在上恒成立，可得 . 综上可知：. 故选：A 5．（25-26高一上·江西上饶·月考）取整函数（也叫高斯函数）的函数值表示不超过实数x的最大整数，例如，，，，，则函数，其中的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据取整函数的定义，对任意实数，有，可得； 故函数的值域为. 故选：A 6．（25-26高一上·福建泉州·月考）命题“”是真命题的一个充分不必要条件的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于命题“”是真命题， 等价于对恒成立，则只需即可； 又由，得，可知，从而得. 又因区间是区间的真子集， 所以满足题意的一个充分但不必要条件是. 故选：B 7．（25-26高一上·浙江台州·期末）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为，则,或, 当时，， 当时，, 综上，函数的值域为 故选：D 8．（2025·甘肃·模拟预测）已知函数.若任意，存在，使成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以函数的值域为， ，当时，由对勾函数的性质得在上单调递减， 在上单调递增，当时，取得最小值， 当无限趋向于0且大于0时，无限趋向于正无穷， 所以的值域为. 若任意，存在，使成立， 则函数的值域为函数的值域的子集， 所以，解得. 故选：B 二、多选题 （多选）9．（24-25高一上·四川宜宾·期中）下列说法正确的是（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数和，是同一个函数 C．幂函数在是减函数 D．函数的图像关于点成中心对称 【答案】BD 【详解】对于A，若函数的定义域为，则函数的定义域为，A错误； 对于B，函数的定义域为，则，，可得函数和是同一个函数，B正确； 对于C，幂函数在是增函数，C错误； 对于D，，其图像由向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到， 且图像关于原点对称，故函数的图像关于点成中心对称，D正确． 故选：BD. （多选）10．（25-26高一上·广东广州·期中）下列说法正确的有（    ） A．若二次不等式恒成立，则实数a的取值范围为 B．函数的定义域是 C．函数的值域为 D．已知是一次函数且，则 【答案】AB 【详解】对于A，由于二次不等式恒成立， 由于是二次不等式，所以， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为，故A正确； 对于B，令，解得且， 所以函数的定义域是，故B正确； 对于C，，故， 所以函数的值域为，故C错误； 对于D，因为是一次函数，故设， 由题意得，， 即， 所以，解得， 所以，故D错误. 故选：AB. （多选）11．（25-26高一上·湖北武汉·月考）定义 ，若函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．若直线与的图像有2个交点，则 C．在区间上单调递增 D．在区间上的值域为，则的最大值为，最小值为 【答案】ACD 【详解】注意到或，. 则，即. A选项，，故A正确. B选项，画出函数的图像，如图： 由图可知：若直线与的图像有2个交点，则或，故B错误； C选项，由图可知，函数在和上单调递增，在上单调递减，故C正确； D选项，令，解得；令，解得， 由图像可知：当时，取到最大值为， 当时，取到最小值为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知函数，则__________. 【答案】1 【详解】. 13．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【详解】要使有意义，则有， 因为函数的定义域为，故在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 14．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，则______． 【答案】 【详解】. 四、解答题 15．（24-25高一上·新疆喀什·期中）已知． (1)求的定义域； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)的定义域为的定义域为； (2)； (3) 【详解】（1）对于，因为分母不为，所以，解得； 因此的定义域为， 由可得其定义域为. （2）由知 ， ； （3）因为， 所以. 16．（25-26高一上·江西九江·期中）已知函数是定义域为的偶函数，且当时，.    (1)求函数的解析式，并画出图像； (2)讨论方程（）的解的个数. 【答案】(1)，图像见详解 (2)答案见详解 【详解】（1）当时，，所以， 又因为为偶函数，所以， 所以时，， 所以，其图像如下图所示：    （2）方程解的个数即为与图像的交点个数， 由图像可知，当时，与图像无交点，即方程解的个数为， 当或时，与图像有个交点，即方程解的个数为， 当时，与图像有个交点，即方程解的个数为， 当时，与图像有个交点，即方程解的个数为， 综上所述，当时，方程无解；当或时，方程有个解； 当时，方程有个解；当时，方程有个解. 17．（25-26高二下·四川泸州·月考）已知，． (1)若，求在处的瞬时变化率； (2)若，求不等式的解集； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，所以， 故 ， 所以在处的瞬时变化率为. （2）由题意，，解得，所以， 因为，所以，即， 设，， 因为与均为增函数，所以为增函数， 因为，所以由，得， 所以不等式的解集为； 18．（25-26高一上·全国·单元测试）求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为． （2）设，，则， 所以， 所以函数的值域为． （3）， 则，所以函数的值域为． 19．（25-26高一上·上海静安·期末）若函数在区间上的函数值的集合恰为，则称区间为的一个“区间”．设． (1)试判断区间是否为函数的一个“区间”，并说明理由； (2)试判断函数在区间上是否存在“Γ区间”，若存在，求出满足条件的“Γ区间”，若不存在，请说明理由； (3)求函数在区间上的所有“Γ区间”. 【答案】(1)不是函数的一个“区间”，理由见解析 (2)不存在，理由见解析 (3) 【详解】（1）结合题意可得：， 当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以当时，取得最大值， 当或时，取得最小值，，故此时函数的值域为， 而此时，所以区间不是函数的一个“区间”； （2）当时，，函数在单调递增， 设的 “区间”为， 则在区间上的值域为， 当时，而， 此时，显然无解， 所以函数在上不存在这样的“Γ区间”； （3）由（2）知，在上不存在这样的“Γ区间”，要找函数在区间上的所有“Γ区间”，只可能在上存在 “区间”， 设函数在内的“Γ区间”为， 当时，，函数在上单调递减， 所以当区间满足“区间”定义时，函数在区间上的值域为 所以，即， 故为方程的两根， 因式分解得， 当时，解得， 当时，解得， 因为， 所以，即“Γ区间”为， 综上，函数在区间上的所有“Γ区间”为. 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $3.1.1 函数的概念 【题型一】由图像和解析式判断是否是函数关系 2 【题型二】求具体函数的定义域及求抽象函数的定义域 7 【题型三】已知函数的定义域求参数 11 【题型四】同一函数的判断 15 【题型五】求具体函数值及赋值法求抽象函数函数值 19 【题型六】求简单函数值域 22 【题型七】求抽象函数值域 26 【题型八】已知函数值域求参或定义域 30 课时精练 36 【基础回顾】 知识点1：函数的概念 1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数y与它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作，其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域，与的值相对应的值叫作函数值，函数值的集合叫作函数的值域，值域是集合的子集。 函数的本质含义： 定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的值与之对应 注意： （1）定义的集合A,B必须是两个非空数集； （2）A中不能有闲置的元素，B中可以有闲置的元素； （3）一个x只能对应一个y值，一个值不一定只对应一个值，也可以多个。 知识点2：函数的三要素 ①定义域 ②对应关系 ③值域。 知识点3：区间的概念 区间 表示 简写 闭区间 开区间 半开半闭区间 知识点4：特殊区间的表示 集合 表示 知识点5：求具体函数定义域的原则 （1）若为整式，则其定义域是; （2）若为分式，则其定义域是使分母不为0的实数集合； （3）若是二次根式（偶次根式），则其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合； （4）若为，则其定义域是; （5）若函数由几个式子的和、差、积的形式构成，求其定义域时要满足各式子都有意义。 知识点6：求抽象函数定义域 1.函数的定义域一定是的取值范围 2.中的取值范围和中的的取值范围是一样的。（同一对应法则作用下的不同对象，范围是相同的） 知识点7：同一函数 如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数。 例如函数与表示同一个函数。 知识点8：函数的值域 在函数中，与的值相对应的值叫作函数值，函数值的集合叫作函数的值域。 【题型一】由图像和解析式判断是否是函数关系 1.根据图形判断对应关系是否为函数的方法： 根据“可以多对一，不可以一对多”的原则多个可以对应一个，一个不能对应多个. （1）任取一条垂直于轴的直线. （2）在定义域内平行移动直线. （3）若直线与图形始终有一个交点，则是函数；若在定义域内存在直线与图形没有交点或者多个交点，则不是函数。 2.判断一个对应关系是不是函数的两个条件： （1）,必须是非空数集。 （2）中任意一元素在中有且只有一个元素与其对应。对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系。 1．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东东营·一模）在平面直角坐标系中，直线与函数的图像的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 3．（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·贵州遵义·月考）下列图形可作为函数图像的是（    ） A．B．C． D． 5．（25-26高一上·贵州·期末）下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图像是（    ） A．    B．    C．    D．    6．（25-26高一上·湖南永州·期中）下列命题正确的是（   ）. A．是函数 B．与是相同函数 C．设集合，，则右图是从集合到集合的一个函数   D．函数的图像与直线的交点最多有1个 7．（25-26高一上·山西大同·期中）若函数的定义域为，且，值域为，且，则的图像可能是（   ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一上·广西玉林·期末）已知集合，集合，下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是（   ） A． B． C． D． （多选）9．（25-26高一上·重庆璧山·期中）下列关于函数的命题一定正确的是（    ） A．与表示同一函数 B．函数的定义域是 C．已知函数，则在区间的值域为 D．如图所示的椭圆图形可以表示某一个函数的图像 （多选）10．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能为（    ） A． B． C． D． 【题型二】求具体函数的定义域及求抽象函数的定义域 1．（25-26高二上·全国·月考）已知集合，．则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·海南儋州·一模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·安徽六安·月考）函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·河北沧州·月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·月考）已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·江西上饶·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 （多选）8．（25-26高一上·浙江杭州·期中）下列各选项给出的命题中，正确的有（   ） A．的解集为 B．已知的定义域为，则的定义域为 C．化简结果为 D．若为一次函数，满足，则 （多选）9．（25-26高一下·山西阳泉·开学考试）下列命题正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．与是同一个函数 C．函数的最小值为2 D．若函数的定义域为，则的定义域为 （多选）10．（25-26高一上·山东聊城·月考）下列说法正确的有（    ） A．命题“”的否定是“” B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．若函数，则 D．设，则“，且”是“”的必要不充分条件 【题型三】已知函数的定义域求参数 1．（2027高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海·期中）若函数的定义域为，则实数a不可能等于（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）“”是“函数的定义域为R”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·江苏无锡·月考）若函数定义域为R，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2025高一·全国·专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏盐城·月考）“函数的定义域为”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高一上·北京·期中）函数的定义域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． （多选） 8．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）下列说法中正确的是（   ） A．函数与是同一个函数 B．命题“，”的否定是， C．当时， D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 （多选）9．（25-26高一上·贵州毕节·月考）下列说法正确的有（   ） A．若定义在上的函数满足，则为增函数 B．函数的零点是1， C．函数的定义域为，则 D．已知，都是正实数且，则的最小值为 （多选）10．（25-26高一上·江苏淮安·期中）以下判断，其中是正确判断的有（   ） A．与表示同一函数 B．命题，恒成立为真命题，则的一个充分条件是. C．函数的图像与直线的交点有1个 D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【题型四】同一函数的判断 1．（25-26高一上·安徽淮北·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（25-26高一上·天津武清·月考）下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26高一上·广西河池·期末）下列表示为同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26高一上·贵州贵阳·期末）下列哪一组中的函数与是同一函数（   ） A．， B．， C．， D．， 6．（25-26高一上·贵州铜仁·期末）下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·广西北海·期末）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， （多选）8．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）下列说法中正确的是（   ） A．函数与是同一个函数 B．命题“，”的否定是， C．当时， D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 （多选）9．（25-26高一上·浙江杭州·期中）下列函数中，与函数是同一个函数的有（    ） A． B． C． D． （多选）10．（25-26高一上·浙江杭州·期中）下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型五】求具体函数值及赋值法求抽象函数函数值 1．（25-26高一下·云南·开学考试）已知函数则（    ） A． B． C．1 D．9 2．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·云南昆明·模拟预测）若，且，则（    ） A．5 B． C． D． 4．（25-26高一下·重庆·月考）已知是定义在上的函数，且满足；则的值为（    ） A．－5 B． C．－1 D．1 5．（2026·宁夏银川·一模）如果点在函数的图像上，都有点在函数的图像上，则（   ） A．17 B．5 C．3 D．2 6．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）已知，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 （多选）8．（25-26高一上·辽宁·月考）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图像是如图所示的曲线，若，则的值可能为（   ） 0 1 2 3 4 0 2 1 2 0 3 1    A． B．0 C．2 D．4 （多选）9．（2026·浙江宁波·二模）定义在上的函数满足：，则（    ） A． B． C． D． （多选）10．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知定义域均为的函数，都不是常函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【题型六】求简单函数值域 方法主要有：图像法，增减性法，换元法，判别式法，反函数法，分离常数法等。 1．（25-26高三下·辽宁铁岭·月考）已知函数则的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·安徽六安·期中）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 4．（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·山东济南·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·云南昆明·期中）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． （多选）8．（24-25高一上·江西吉安·月考）下列选项正确的是（    ） A．的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数在的值域为 D．函数的值域为 （多选）9．（23-24高一上·湖南张家界·期中）下列四个命题是真命题的有（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数的值域为 C．若函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围为 D．已知，在上的值域为 （多选）10．（25-26高一上·四川成都·月考）下列各选项给出的数学命题中，正确的是（   ） A．关于的不等式的解集，则不等式的解集为 B．集合表示同一集合 C．若是一次函数，满足，则 D．函数的值域为 【题型七】求抽象函数值域 1．（25-26高一上·广东·月考）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（25-26高二上·江西宜春·期中）若函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（25-26高三上·陕西商洛·月考）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．（24-25高三下·湖南长沙·月考）已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．（24-25高一上·辽宁大连·月考）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数的定义域为，值域为，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是 7．（24-25高一上·贵州遵义·月考）已知函数的值域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一上·广东茂名·月考）已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（    ） A． B． C． D． （多选）9．（24-25高一上·河南南阳·月考）已知函数，则（   ） A． B．的最小值为0 C．的定义域为 D．的值域为 （多选）10．（22-23高一上·安徽合肥·期末）已知函数则下列结论正确的是（    ） A．f(x)的定义域是，值域是 B．f(x)的单调减区间是(1，3) C．f(x)的定义域是，值域是 D．f(x)的单调增区间是(-∞，1) 【题型八】已知函数值域求参或定义域 1．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·浙江杭州·月考）下列四个命题，其中为真命题的是（   ） A．若函数在上是增函数，在上也是增函数，则是增函数 B．和表示同一函数 C．函数的单调增区间为 D．若函数的值域是，则实数或 3．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·安徽淮南·期中）下列命题正确的是（   ） A．若函数的值域为，则的取值范围为 B．若函数的定义域为，则的取值范围为 C．若对，，使得成立，则的取值范围为 D．若对，，使得成立，则的取值范围为 5．（25-26高一上·福建福州·期中）函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·湖南·期中）若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知函数，其中，且函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A．[2，4] B． C． D． （多选）8．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，不等式的解集为 B．若函数的值域为，则实数的取值范围是 C．若函数为上的增函数，则实数的取值范围是 D．若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 （多选）9．（2025高一上·江苏·专题练习）（多选）已知函数的值域为，则常数可以是（ ） A． B．1 C．7 D． （多选）10．（25-26高一上·江苏泰州·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数与 是同一个函数 B．命题 的否定是 C．若函数 的值域为 ，则实数k的取值范围是 . D．若函数 的定义域为R，则实数k的取值范围是 课时精练 一、单选题 1．（2026·河北·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知集合，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（23-24高一上·山东·期中）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江西上饶·月考）取整函数（也叫高斯函数）的函数值表示不超过实数x的最大整数，例如，，，，，则函数，其中的值域为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·福建泉州·月考）命题“”是真命题的一个充分不必要条件的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·浙江台州·期末）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·甘肃·模拟预测）已知函数.若任意，存在，使成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 （多选）9．（24-25高一上·四川宜宾·期中）下列说法正确的是（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数和，是同一个函数 C．幂函数在是减函数 D．函数的图像关于点成中心对称 （多选）10．（25-26高一上·广东广州·期中）下列说法正确的有（    ） A．若二次不等式恒成立，则实数a的取值范围为 B．函数的定义域是 C．函数的值域为 D．已知是一次函数且，则 （多选）11．（25-26高一上·湖北武汉·月考）定义 ，若函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．若直线与的图像有2个交点，则 C．在区间上单调递增 D．在区间上的值域为，则的最大值为，最小值为 三、填空题 12．（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知函数，则__________. 13．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为______． 14．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，则______． 四、解答题 15．（24-25高一上·新疆喀什·期中）已知． (1)求的定义域； (2)求的值； (3)求的值． 16．（25-26高一上·江西九江·期中）已知函数是定义域为的偶函数，且当时，.    (1)求函数的解析式，并画出图像； (2)讨论方程（）的解的个数. 17．（25-26高二下·四川泸州·月考）已知，． (1)若，求在处的瞬时变化率； (2)若，求不等式的解集； 18．（25-26高一上·全国·单元测试）求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 19．（25-26高一上·上海静安·期末）若函数在区间上的函数值的集合恰为，则称区间为的一个“区间”．设． (1)试判断区间是否为函数的一个“区间”，并说明理由； (2)试判断函数在区间上是否存在“Γ区间”，若存在，求出满足条件的“Γ区间”，若不存在，请说明理由； (3)求函数在区间上的所有“Γ区间”. 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $