4.4.2 第2课时 反函数 2026-2027学年高一上学期数学必修一例题讲解及课时精练

该高中数学讲义通过知识框架系统梳理了反函数单元，以“定义-性质-判断-求法”为主线，整合反函数的定义域值域关系、单调性、图像对称性等核心要点，并用步骤分解图呈现求反函数的关键流程，突出与指数函数、对数函数的内在联系。 讲义亮点在于分层例题设计，如含图像对称的选择（例1）、最值应用的解答（例2），培养数学思维（推理能力）与数学眼光（抽象能力）。方法指导明确，如判断反函数存在的三种途径，助力基础生掌握方法，优秀生深化理解，为教师精准教学提供支持。

4.4.2 第2课时 反函数 题型一 反函数及其性质 1 ( 1 / 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 【基础回顾】 知识点 1: 反函数 （1）一般地，如果在函数 中，给定值域中任意一个 的值，只有唯一的 与之对应，那么 是 的函数，这个函数称为 的反函数，记作 . 值得注意的是 的定义域与 的值域相同， 的值域与 的定义域相同， 与 的图像关于直线 对称。 如果 是单调函数，那么它的反函数 一定存在。 此时，如果 是增函数，则 也是增函数； 如果 是减函数，则 也是减函数。 （2）对数函数 和指数函数 , 且 ) 互为反函数，它们的图像关于直线 对称。 知识点2：判断函数是否存在反函数的方法 并非任意一个函数 都有反函数，只有定义域和值域都满足“一一对应”的函数才有反函数。 （1）逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值，如果都是唯一的，则函数的反函数存在； （2）确定函数在定义域上的单调性， 如果函数是单调函数， 则函数的反函数存在； （3）利用原函数的解析式，解出自变量 ，如果 是唯一的，则函数的反函数存在。 题型一 反函数及其性质 求给定解析式的函数的反函数的步骤： （1）求出原函数的值域，这就是反函数的定义域； （2）从 中解出 ; （3） 互换并注明反函数的定义域。 互为反函数的函数图像关于直线 对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数的函数图像上任一成对的相应点也关于直线 对称， 所以若点 在函数 的图像上，则点 必在其反函数 的图像上。 【例题精讲】 1．（2026·广东广州·二模）若函数的图像与的图像关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】根据两个函数图像关于直线对称，得出它们互为反函数，进一步求出反函数表达式，并作为的解析式，最后根据题意得到关于的方程，求解. 【详解】因为两个函数图像关于直线对称， 所以是的反函数， 对整理得：，， 交换可得反函数：， 又因为，所以 ， 化简可得：，即， 两边取以3为底的对数，则. 2．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数，是的反函数．若，满足，则的最大值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】利用等式变形，再同构一个函数，满足，再由单调性去找到等式关系，最后把二元变量转化为一元变量：，再用函数思想来求最大值即可. 【详解】由题意得，因为， 所以，所以， 令，则， 因为在上单调递增，所以，所以， 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，又， 所以当时，，即； 当时，，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 3．（25-26高一上·河南周口·期末）若函数是函数的反函数，则的值为（    ） A．16 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】运用反函数概念求反函数解析式，结合对数函数性质计算即可. 【详解】函数是函数的反函数， 则，所以. 4．（25-26高一上·山东菏泽·月考）设函数 且，若其反函数的图像过点，则（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据反函数的性质，利用代入法进行求解即可. 【详解】因为函数的反函数的图像过点， 所以函数的图像过点， 所以有. 故选：B 5．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数，函数，若与的图像关于直线对称，与的图像关于直线对称，则下列关系不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数、的解析式，数形结合可得出、的大小关系. 【详解】在上任意取点，点关于直线的对称点为， 因为点在上，故，得， 即，同理得， 在同一坐标系内画出与的图像如下： 得或或成立， 而不成立. 6．（25-26高一上·浙江丽水·期末）函数与的图像关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 【答案】D 【分析】根据互为反函数的函数图像的对称性得解. 【详解】因为与互为反函数， 所以函数与的图像关于直线对称， 故选：D 7．（2026·辽宁·模拟预测）已知指数函数，其反函数为，下列关于两个函数说法正确的是（   ） A．常数的取值范围为且，函数的定义域为实数集 B．当时，与的图像只有一个交点 C．若两函数图像存在交点，则该交点不一定位于直线上 D．设与两函数图像交点为，，则，等号成立 【答案】C 【分析】对于选项A，求出，从而得到结论；对于选项B，判断出函数的图像在直线上方，再根据反函数图像性质，从而得到结论；对于选项C，举例即可说明；对于选项D，与的交点为，，与的交点为，，则，，由是的反函数，得到在上，从而得到，则，利用基本不等式求解即可得到结论. 【详解】对于选项A， 是指数函数，其反函数为，定义域为，故选项A错误； 对于选项B，当时，，则，当时， 易知，所以，所以函数的图像在直线上方， 而的图像与的图像关于直线对称，所以的图像在直线下方， 当时，与的图像没有交点，故选项B错误； 对于选项C，若两函数图像存在交点，则这两个交点不一定在直线上， 比如：函数，，两函数图像有一个交点， 其不在直线上，故选项C正确； 对于选项D，与的交点为，， 与的交点为，， 则，， 是的反函数，在上， ，，，， ，， ，当且仅当，即时，此时， 但是，故等号不成立，，故选项D错误. 故选：C. （多选）8．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．函数恒过定点 B．函数与的图像关于直线对称 C．，当时，恒有 D．若幂函数在上单调递减，则 【答案】BCD 【分析】由对数函数的性质可判断A；由反函数的性质可判断B；由指数函数的增长速度远远快于一次函数，可判断C；由幂函数的性质可判断D. 【详解】对于A选项，函数恒过定点，故A错误； 对于B选项，函数与的图像关于对称， 即函数与的图像关于直线对称，故B正确； 对于C选项，因为指数函数的增长速度远远快于一次函数， 所以时，恒有，故C正确； 对于D选项，由幂函数性质可得，幂函数在单调递减，则，故D正确. （多选）9．（25-26高一上·山东临沂·期末）下列结论正确的是（    ） A．函数是对数函数 B．函数和的图像关于轴对称 C．函数和的图像关于直线对称 D．函数（且）的图像必过定点 【答案】BC 【分析】对于A，由对数函数的定义即可判断；对于B, 由函数和的图像即可判断；对于C，由互为反函数的函数图像性质即可判断；对于D，将代入函数，即可判断. 【详解】对于A，由对数函数的定义知函数不是对数函数. 对于B, 函数和的图像关于轴对称,故B正确； 对于C，函数和互为反函数，故它们的图像关于直线对称，故C正确； 对于D，将代入函数得，故函数（且）的图像必过定点，故D错误. 故选：BC （多选）10．（25-26高一上·广东东莞·月考）下列说法正确的是（   ） A．命题“，”的否定为“，” B．函数与的图像关于直线对称，则 C．函数的图像恒过定点 D．若，则的最小值为4 【答案】BC 【分析】A根据全称量词命题的否定定义判断；B写出的解析式，计算即可判断；C计算，即可判断；D利用基本不等式即可判断. 【详解】命题“，”的否定为“，”，故A错误； 由题意可知，，则，故B正确； 因为，所以函数的图像恒过定点，故C正确； 因为，且，所以， 等号成立时，则的最小值为，故D错误. 故选：BC $ 4.4.2 第2课时 反函数 题型一 反函数及其性质 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】BCD 9．【答案】BC 10．【答案】BC ( 1 / 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4.2 第2课时 反函数 题型一 反函数及其性质 1 ( 1 / 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 【基础回顾】 知识点 1: 反函数 （1）一般地，如果在函数 中，给定值域中任意一个 的值，只有唯一的 与之对应，那么 是 的函数，这个函数称为 的反函数，记作 . 值得注意的是 的定义域与 的值域相同， 的值域与 的定义域相同， 与 的图像关于直线 对称。 如果 是单调函数，那么它的反函数 一定存在。 此时，如果 是增函数，则 也是增函数； 如果 是减函数，则 也是减函数。 （2）对数函数 和指数函数 , 且 ) 互为反函数，它们的图像关于直线 对称。 知识点2：判断函数是否存在反函数的方法 并非任意一个函数 都有反函数，只有定义域和值域都满足“一一对应”的函数才有反函数。 （1）逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值，如果都是唯一的，则函数的反函数存在； （2）确定函数在定义域上的单调性， 如果函数是单调函数， 则函数的反函数存在； （3）利用原函数的解析式，解出自变量 ，如果 是唯一的，则函数的反函数存在。 题型一 反函数及其性质 求给定解析式的函数的反函数的步骤： （1）求出原函数的值域，这就是反函数的定义域； （2）从 中解出 ; （3） 互换并注明反函数的定义域。 互为反函数的函数图像关于直线 对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数的函数图像上任一成对的相应点也关于直线 对称， 所以若点 在函数 的图像上，则点 必在其反函数 的图像上。 【例题精讲】 1．（2026·广东广州·二模）若函数的图像与的图像关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D．9 2．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数，是的反函数．若，满足，则的最大值为（   ） A． B． C．0 D． 3．（25-26高一上·河南周口·期末）若函数是函数的反函数，则的值为（    ） A．16 B．0 C．1 D．2 4．（25-26高一上·山东菏泽·月考）设函数 且，若其反函数的图像过点，则（   ） A．2 B．3 C． D． 5．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数，函数，若与的图像关于直线对称，与的图像关于直线对称，则下列关系不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·浙江丽水·期末）函数与的图像关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 7．（2026·辽宁·模拟预测）已知指数函数，其反函数为，下列关于两个函数说法正确的是（   ） A．常数的取值范围为且，函数的定义域为实数集 B．当时，与的图像只有一个交点 C．若两函数图像存在交点，则该交点不一定位于直线上 D．设与两函数图像交点为，，则，等号成立 （多选）8．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．函数恒过定点 B．函数与的图像关于直线对称 C．，当时，恒有 D．若幂函数在上单调递减，则 （多选）9．（25-26高一上·山东临沂·期末）下列结论正确的是（    ） A．函数是对数函数 B．函数和的图像关于轴对称 C．函数和的图像关于直线对称 D．函数（且）的图像必过定点 （多选）10．（25-26高一上·广东东莞·月考）下列说法正确的是（   ） A．命题“，”的否定为“，” B．函数与的图像关于直线对称，则 C．函数的图像恒过定点 D．若，则的最小值为4 $