1.3 集合的基本运算 2026-2027学年高一上学期数学必修一例题讲解及课时精练

该高中数学讲义以“集合间的基本运算”为核心，通过表格系统梳理并集、交集、补集及容斥原理的概念、符号与图形语言，用层级结构呈现运算性质与内在联系，突出知识脉络的系统性。 讲义亮点在于分层题型设计，从单一运算到交并补综合应用，如Venn图解决实际问题培养几何直观，求参数题型强化逻辑推理，真题回顾助力考点把握。基础题夯实概念，综合题提升能力，支持学生自主复习，便于教师精准教学。

1.3 集合间的基本运算 【题型一】 交集的概念与运算及求参 3 【题型二】 并集的概念与运算及求参 7 【题型三】 补集的概念与运算及求参 11 【题型四】 交并补的综合运算 14 【题型五】 Venn 图在集合运算中的应用 19 【题型六】根据集合的综合运算求参数 24 【真题回顾】 29 【基础回顾】 ( 1 / 4 ) 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 并集的概念与运算 （1）文字语言：一般地，给定两个集合 ，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为 与 的并集，记作 ，读作 “ 并 ”。 （2）符号语言： 或 （3）图形语言：阴影部分为 （4）并集的常用运算性质 性质 知识点 2: 交集的概念与运算 （1）文字语言：由所有属于集合 且属于集合 的元素组成的集合，称为集合 与 的交集，记作 ，读作 “ 交 ” （2）符号语言： 且 （3）图形语言：阴影部分为 （4）交集常用的运算性质 性 质 若 ，则 知识点 3: 全集与补集的概念与运算 （1） 全集 在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用 表示。 （2）补集 定义：如果集合 是全集 的一个子集，则由 中不属于 的所有元素组成的集合，称为 在 中的补集，记作 ，读作“ 在 中的补集”。 符号语言： 且 . 集合的补集也可用维恩图形象地表示， 其中全集通常用矩形区域代表， 如图所示。 （3）补集的运算性质 给定全集 及其任意一个子集 ，有： 补集的性质 知识点 4: 容斥原理 容斥原理： 在有限集中， 我们经常遇到有关集合中元素的个数问题， 常用 Venn 图表示两集合的交、并、补。 如果用 card 表示有限集合元素的个数，即 card (A) 表示有限集 A 的元素个数，则有如下结论： (1) (2) 【练题型】 【题型一】 交集的概念与运算及求参 1．（广东河源市2025-2026学年普通高中供题训练高一数学）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得. 2．（25-26高二下·天津静海·期末）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用集合的交集运算求解. 【详解】集合，即， 所以 . 3．（25-26高二下·江苏常州·期中）设集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由已知， 所以，共3个元素． 4．（2026·云南·三模）已知集合，若，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以或， 当时，与集合元素的互异性矛盾； 当时，可得，此时,满足 故. 5．（2026·江苏连云港·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，，， 所以，即，解得. 6．（25-26高二下·江苏南京·期末）已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ ，∴ ，且 . 若，解得或. 当时，，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，，此时，符合题意. 若，则，，不满足集合元素的互异性，舍去. 综上，. 7．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知集合，，若恰有4个子集，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若恰有4个子集，则中恰有2个元素，所以. 8．（多选）（2026高一·全国·专题练习）下列结论正确的是（ ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 【答案】BD 【分析】根据集合交集和并集的运算性质进行求解即可. 【详解】当时，即， 则实数的取值范围为，因此选项A不正确，选项B正确. 当时，即， 则实数的取值范围为，因此选项C不正确，选项D正确． 9．（多选）（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）已知集合，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】， 则，，则AB正确. 10．（多选）（25-26高一上·河北唐山·期末）已知集合，，若，则的值可以为（   ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】AC 【分析】由题可得，分或讨论，结合集合的互异性求解. 【详解】由，得，所以或， 若，则，此时，，符合题意； 若，解得或， 当时，，，符合题意； 当时，，集合不满足互异性，不合题意； 综上，的值可以为或2. 故选：AC. 【题型二】 并集的概念与运算及求参 1．（广东佛山市2025-2026学年普通高中供题训练高二数学）设集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由集合，集合，则. 2．（25-26高二下·广西来宾·期末）设集合 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，则． 3．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算，再计算，然后根据的定义求解. 【详解】， ， 根据，所以. 4．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为集合，， 所以 5．（2026·陕西西安·三模）已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，列出关系式，即可求解. 【详解】因为，即，结合集合元素的互异性，可得或，解得或． 6．（2026·云南·模拟预测）已知全集，，则集合B可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的定义求解. 【详解】若，则，故A错误； 若,则，故B错误； 若,则，故C错误； 若,则，故D正确； 7．（25-26高三上·安徽浙江·阶段检测）集合，则中的元素个数为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据集合的并集运算求出，可得结果. 【详解】， 所以集合有6个元素. 故选：C． 8．（多选）（25-26高一上·湖北十堰·阶段检测）设集合或，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据集合包含的定义即可判断AB；根据交集并集结果求出参数范围可判断CD. 【详解】对于A，若，则，则，故A正确； 对于B，若，则显然任意，则，则，故，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，不等式无解，故D错误. 故选：ABC. 9．（多选）（专题01集合的四类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）（多选）已知集合，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】求出集合中元素范围，再根据交集，并集，补集的定义及运算规则逐一分析判断． 【详解】，， ，故A正确， 又 ，， ，故B错误． ，，故C正确， ， ，故D错误． 故选：AC． 10．（多选）（25-26高一上·广西桂林·期中）已知集合，且，则的值可以为（　　） A．0 B．1 C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意，讨论参数列方程求参数值，即可得. 【详解】因为，所以， 当时，，符合题意； 当时，，令，得，令，得， 故的值可以为. 故选：ABD 【题型三】 补集的概念与运算及求参 1．（天津市宝坻区2025-2026学年第二学期期末练习高二数学试卷）已知全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由全集，集合，得，而， 所以. 2．（天津滨海新区2025-2026学年高二下学期期末检测数学试卷）已知集合，，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于，故． 3．（重庆市九龙坡区2025-2026学年高二下学期期末学业质量测评数学试题）已知集合 均为 的子集，且 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可得，然后逐个分析判断即可 【详解】根据补集定义，是实数集中所有不属于的元素构成的集合, 已知，说明不存在元素同时满足且，即对任意，都有，因此， 选项A：推导得，并非，故A错误； 选项B：因为，故，仅当时等于，不是恒成立，故B错误； 选项C：当时，恒成立，故C正确； 选项D：举反例：取，，满足，但，故D错误. 4．（25-26高二下·天津武清·阶段检测）已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，所以， 又，所以. 5．（2026·河南驻马店·三模）已知全集，集合，若，则（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【详解】全集，集合，， ，，故选项D正确. 6．（2026·陕西咸阳·模拟预测）设全集，集合，，则a的值是（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【详解】已知全集，， 则，又，所以，解得． 7．（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知全集，且则（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由全集，且，故，从而. 8．（多选）（25-26高一上·江苏南通·期末）已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据集合的子集，补集，交集，并集的意义逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，则，故B错误； 对于C，若，则，则，故C正确； 对于D，若，又，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 9．（多选）（2026·河南南阳·模拟预测）已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用韦恩图，结合集合运算逐一判断即可. 【详解】全集为，集合M，N，P均为非空集合，由作出如图所示的韦恩图： 由，得，而， 结合韦恩图，得不是的子集，，，不是的子集， 因此选项AD错误，选项BC正确. 故选：BC 10．（多选）（25-26高一上·广东深圳·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】BC 【分析】根据集合的运算，结合选项逐个验证可得答案. 【详解】因为，，所以之间没有子集关系，A不正确； 因为，所以，B正确； 因为，，所以，C正确； 因为，所以或，D不正确. 故选：BC 【题型四】 交并补的综合运算 1．（25-26高一下·湖南邵阳·期末）已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以， 又，则. 2．（2026·天津·高考真题）已知全集，集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得,又因， 则. 3．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得或， 因为，所以. 4．（2026高二下·天津南开·学业考试）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合交集和补集的知识即可求解. 【详解】已知集合，，则， 又因为全集，所以，故B正确. 5．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知集合，集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交集、并集与补集运算即可. 【详解】对于A：，或，A不符合. 对于B：，，B不符合. 对于C：，，C符合. 对于D：或，或，D不符合. 6．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知全集，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为全集，，， 所以，故. 7．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的并集和补集运算，即可求解. 【详解】由题意，， 又集合，，所以， 所以. 8．（多选）（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】本题考查集合的交、并、补基本运算，需根据各类运算的定义逐一计算各选项判断正误 【详解】选项A：根据并集定义，合并两个集合的所有元素并去重，可得，A正确; 选项B：根据交集定义，取两个集合的公共元素，可得，因此，B错误 选项C：先得，再求其在全集中的补集，即中去掉的剩余元素，得，C正确 选项D：先求在中的补集，得，再和求交集，公共元素只有，因此，D正确. 9．（多选）（专题01集合与逻辑（期末复习讲义）高一数学上学期湘教版）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据集合是否为空集分类讨论，结合列不等式，求得的取值范围逐一判断即可. 【详解】①当时，令，得，此时符合题意； ②当时，，得， 则或， 因为，所以，所以或， 解得或， 因为，所以 综上，的取值范围为或， 故选：BC 10．（多选）（25-26高一上·河南信阳·期中）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用并集补集定义求解，再分为空集与非空集情况讨论，列出参数不等式求解即可. 【详解】，，， ，， 由且 当时，，即符合题意； 当时，，解得； 综上：或； 故选：ACD 【题型五】 Venn 图在集合运算中的应用 1．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，阴影部分由属于不属于的元素构成， 因为，， 所以阴影部分表示的集合为 2．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】结合韦恩图，列出方程求解即可. 【详解】设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为，只参加田径的人数为，只参加球类比赛的人数为， 则只参加游泳比赛的人数为，画出韦恩图，如图所示， 则，解得，所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人. 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为、只参加劳动实践和培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合培训的总人数，算出只参加培训的人数． 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 4．（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知、、，即可得出集合. 【详解】由题意可知全集，， 则、、，所以. 5．（24-25高一上·广西河池·期中）已知，求阴影部分（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知，阴影部分为． 6．（2026·内蒙古赤峰·三模）如图，已知全集及其两个非空真子集，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合图形，利用集合运算的表示方法，即可求解. 【详解】根据集合运算的表示方法，可得图中阴影部分表示集合除去的部分， 所以阴影部分表示集合为． 7．（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 所以阴影部分所表示的集合为 8．（多选）（2025高三·全国·专题练习）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（   ） A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人 C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人 【答案】CD 【分析】根据题意画出韦恩图，标出各集合包含的元素个数，列方程即可逐一求得. 【详解】设全班同学组成全集，参加田赛的同学组成集合，参加径赛的同学组成集合， 参加球类比赛的同学组成集合，设同时参加径赛和球类比赛的人数为， 根据题意，画出韦恩图如图所示， 则，解得. 对于A，由图知同时参加径赛和球类比赛的人数为人，故A错误； 对于B，只参加球类一项比赛的人数为人，故B错误； 对于C，只参加径赛一项比赛的人数为人，故C正确； 对于D，由图知只参加田赛一项比赛的人数为3人，故D正确. 故选：CD． 9．（多选）（25-26高一上·浙江·期中）下列集合表示图中阴影部分的为（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据韦恩图及集合的交并补的意义判断即可. 【详解】由题意可知阴影部分表示在集合中且不是集合中的元素， 所以阴影部分表示，故B正确； 对于A，因为中含有集合中的元素，与题意不符，故A错误； 对于C，因为表示在集合中且不是集合中的元素，与题意相符，故C正确； 对于D，因为表示在集合中且不是集合中的元素，与题意相符，故D正确. 故选：BCD. 10．（多选）（25-26高一上·湖南衡阳·期中）如图矩形表示集合，两个椭圆分别表示集合，，则图中的阴影部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】阴影部分位于集合内，且不属于与的交集，即阴影部分为“中除去的部分”. 【详解】选项A：表示“的全部”与“中的补集”的并集，包含了外的部分区域，与阴影部分不符，故A错误； 选项B：表示“中的补集”，就等于阴影部分，故B正确； 选项C：表示“以为全集时，的补集”，就等于阴影部分，故C正确； 选项D：表示“中的补集”与的交集，就等于阴影部分，故D正确； 故选：BCD 【题型六】根据集合的综合运算求参数 1．（17-18高一上·河北衡水·期中）已知集合 ，或，， ． (1)求 ， (2)若 ，求实数的取值范围． 【答案】(1) 或 ， (2) 【详解】（1） ，或， 或； 又，则 . （2） ，则需， 解得，故实数的取值范围为. 2．（25-26高二下·山西阳泉·期末）已知集合，集合． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据并集、交集的定义求解即可； （2）分、两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，又， ，． （2）由， 若，则，解得； 若，则或，解得. 综上所述，实数的取值范围为． 3．（第03讲集合的基本运算（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）记全集，已知集合，.若，求的取值范围. 【答案】 【分析】由补集的运算性质先求出，结合即可求解的取值范围. 【详解】依题意，或， 因为，所以 解得，故的取值范围为. 4．（第03讲集合的基本运算（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合，若，求实数t的取值范围. 【答案】或. 【详解】由，包括两种情况： ① 当时，，即； ② 当时，或，解得， 综上，t的取值范围为或 5．（第03讲集合的基本运算（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）设已知集合，若，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】由题意得，分类讨论集合是否为空集并将结果取并集即可. 【详解】由，得. ①当时，即，解得，此时，符合题意； ②当时，即， 所以，解得； 所以实数的取值范围是. 6．（第03讲集合的基本运算（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合，.若，求m的取值范围. 【答案】 【分析】对，分类讨论，列出满足的不等式求解. 【详解】由，可得， 当时， ，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得，所以m的取值范围为. 7．（第03讲集合的基本运算（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合.，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】对是否为空集进行分类讨论，由此列不等式求得的取值范围. 【详解】若，则， 当时，，即； 当时， ，得， 则实数m的取值范围为. 8．（第03讲集合的基本运算（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）集合或.若，求的取值范围； 【答案】 【详解】集合或， 由，得，解得， 所以的取值范围为. 9．（第03讲集合的基本运算（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】根据集合是否为空集进行分类讨论，由此列不等式求得的取值范围. 【详解】由得，， 当时，由，可得，即， 此时； 当时，由， 得或，而， 所以，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 10．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，． (1)在①，②，③这三个条件中选择一个条件，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先将代入集合中，再根据集合的并集运算求解即可； （2）先求出，再分和两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）选择①，则，所以； 选择②，则，所以； 选择③，则，所以． （2）由，则， 又，所以， （ⅰ）若，即，则，满足题意； （ⅱ）若，即，由，得或，解得或． 综上实数的取值范围为或，即． 【真题回顾】 1．（2026·北京·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则. 2．（2017·全国·高考真题）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】由，， 则. 故选：A. 3．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 4．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 5．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. $ 1.3 集合间的基本运算 【题型一】 交集的概念与运算及求参 3 【题型二】 并集的概念与运算及求参 5 【题型三】 补集的概念与运算及求参 6 【题型四】 交并补的综合运算 8 【题型五】 Venn 图在集合运算中的应用 9 【题型六】根据集合的综合运算求参数 12 【真题回顾】 13 【基础回顾】 ( 1 / 4 ) 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 并集的概念与运算 （1）文字语言：一般地，给定两个集合 ，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为 与 的并集，记作 ，读作 “ 并 ”。 （2）符号语言： 或 （3）图形语言：阴影部分为 （4）并集的常用运算性质 性质 知识点 2: 交集的概念与运算 （1）文字语言：由所有属于集合 且属于集合 的元素组成的集合，称为集合 与 的交集，记作 ，读作 “ 交 ” （2）符号语言： 且 （3）图形语言：阴影部分为 （4）交集常用的运算性质 性 质 若 ，则 知识点 3: 全集与补集的概念与运算 （1） 全集 在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用 表示。 （2）补集 定义：如果集合 是全集 的一个子集，则由 中不属于 的所有元素组成的集合，称为 在 中的补集，记作 ，读作“ 在 中的补集”。 符号语言： 且 . 集合的补集也可用维恩图形象地表示， 其中全集通常用矩形区域代表， 如图所示。 （3）补集的运算性质 给定全集 及其任意一个子集 ，有： 补集的性质 知识点 4: 容斥原理 容斥原理： 在有限集中， 我们经常遇到有关集合中元素的个数问题， 常用 Venn 图表示两集合的交、并、补。 如果用 card 表示有限集合元素的个数，即 card (A) 表示有限集 A 的元素个数，则有如下结论： (1) (2) 【练题型】 【题型一】 交集的概念与运算及求参 1．（广东河源市2025-2026学年普通高中供题训练高一数学）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·天津静海·期末）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏常州·期中）设集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·云南·三模）已知集合，若，则（    ） A．1 B．3 C． D． 5．（2026·江苏连云港·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 6．（25-26高二下·江苏南京·期末）已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 7．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知集合，，若恰有4个子集，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（多选）（2026高一·全国·专题练习）下列结论正确的是（ ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 9．（多选）（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）已知集合，，则（   ）． A． B． C． D． 10．（多选）（25-26高一上·河北唐山·期末）已知集合，，若，则的值可以为（   ） A．3 B． C．2 D．1 【题型二】 并集的概念与运算及求参 1．（广东佛山市2025-2026学年普通高中供题训练高二数学）设集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广西来宾·期末）设集合 ，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西西安·三模）已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·云南·模拟预测）已知全集，，则集合B可能为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·安徽浙江·阶段检测）集合，则中的元素个数为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 8．（多选）（25-26高一上·湖北十堰·阶段检测）设集合或，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（多选）（专题01集合的四类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）（多选）已知集合，，，则（　　） A． B． C． D． 10．（多选）（25-26高一上·广西桂林·期中）已知集合，且，则的值可以为（　　） A．0 B．1 C． D． 【题型三】 补集的概念与运算及求参 1．（天津市宝坻区2025-2026学年第二学期期末练习高二数学试卷）已知全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．（天津滨海新区2025-2026学年高二下学期期末检测数学试卷）已知集合，，，则=（    ） A． B． C． D． 3．（重庆市九龙坡区2025-2026学年高二下学期期末学业质量测评数学试题）已知集合 均为 的子集，且 ，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·天津武清·阶段检测）已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河南驻马店·三模）已知全集，集合，若，则（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．（2026·陕西咸阳·模拟预测）设全集，集合，，则a的值是（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 7．（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知全集，且则（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 8．（多选）（25-26高一上·江苏南通·期末）已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（多选）（2026·河南南阳·模拟预测）已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选）（25-26高一上·广东深圳·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D．或 【题型四】 交并补的综合运算 1．（25-26高一下·湖南邵阳·期末）已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·天津·高考真题）已知全集，集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026高二下·天津南开·学业考试）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知集合，集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 6．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知全集，，，则（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 9．（多选）（专题01集合与逻辑（期末复习讲义）高一数学上学期湘教版）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 10．（多选）（25-26高一上·河南信阳·期中）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 【题型五】 Venn 图在集合运算中的应用 1．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（     ）    A． B． C． D． 2．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广西河池·期中）已知，求阴影部分（   ）    A． B． C． D． 6．（2026·内蒙古赤峰·三模）如图，已知全集及其两个非空真子集，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（2025高三·全国·专题练习）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（   ） A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人 C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人 9．（多选）（25-26高一上·浙江·期中）下列集合表示图中阴影部分的为（   ） A． B． C． D． 10．（多选）（25-26高一上·湖南衡阳·期中）如图矩形表示集合，两个椭圆分别表示集合，，则图中的阴影部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 【题型六】根据集合的综合运算求参数 1．（17-18高一上·河北衡水·期中）已知集合 ，或，， ． (1)求 ， (2)若 ，求实数的取值范围． 2．（25-26高二下·山西阳泉·期末）已知集合，集合． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 3．（第03讲集合的基本运算（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）记全集，已知集合，.若，求的取值范围. 4．（第03讲集合的基本运算（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合，若，求实数t的取值范围. 5．（第03讲集合的基本运算（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）设已知集合，若，求实数a的取值范围. 6．（第03讲集合的基本运算（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合，.若，求m的取值范围. 7．（第03讲集合的基本运算（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合.，求实数m的取值范围. 8．（第03讲集合的基本运算（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）集合或.若，求的取值范围； 9．（第03讲集合的基本运算（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 10．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，． (1)在①，②，③这三个条件中选择一个条件，求； (2)若，求实数的取值范围． 【真题回顾】 1．（2026·北京·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2017·全国·高考真题）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 5．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． $ 1.3 集合间的基本运算 【题型一】 交集的概念与运算及求参 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C C A C A BD AB AC 【题型二】 并集的概念与运算及求参 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C B D C ABC AC ABD 【题型三】 补集的概念与运算及求参 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C C D A B ACD BC BC 【题型四】 交并补的综合运算 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D B C D A ACD BC ACD 【题型五】 Venn 图在集合运算中的应用 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C B C C A CD BCD BCD 【题型六】根据集合的综合运算求参数 1．【答案】(1) 或 ， (2) 【详解】（1） ，或， 或； 又，则 . （2） ，则需， 解得，故实数的取值范围为. 2．【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据并集、交集的定义求解即可； （2）分、两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，又， ，． （2）由， 若，则，解得； 若，则或，解得. 综上所述，实数的取值范围为． 3．【答案】 【分析】由补集的运算性质先求出，结合即可求解的取值范围. 【详解】依题意，或， 因为，所以 解得，故的取值范围为. 4．【答案】或. 【详解】由，包括两种情况： ① 当时，，即； ② 当时，或，解得， 综上，t的取值范围为或 5．【答案】 【分析】由题意得，分类讨论集合是否为空集并将结果取并集即可. 【详解】由，得. ①当时，即，解得，此时，符合题意； ②当时，即， 所以，解得； 所以实数的取值范围是. 6．【答案】 【分析】对，分类讨论，列出满足的不等式求解. 【详解】由，可得， 当时， ，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得，所以m的取值范围为. 7．【答案】 【分析】对是否为空集进行分类讨论，由此列不等式求得的取值范围. 【详解】若，则， 当时，，即； 当时， ，得， 则实数m的取值范围为. 8．【答案】 【详解】集合或， 由，得，解得， 所以的取值范围为. 9．【答案】 【分析】根据集合是否为空集进行分类讨论，由此列不等式求得的取值范围. 【详解】由得，， 当时，由，可得，即， 此时； 当时，由， 得或，而， 所以，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 10．【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先将代入集合中，再根据集合的并集运算求解即可； （2）先求出，再分和两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）选择①，则，所以； 选择②，则，所以； 选择③，则，所以． （2）由，则， 又，所以， （ⅰ）若，即，则，满足题意； （ⅱ）若，即，由，得或，解得或． 综上实数的取值范围为或，即． 【真题回顾】 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 题号 1 2 3 4 5 答案 B A D C C 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