4.1 指数 2026-2027学年高一上学期数学必修一例题讲解及课时精练

该高中数学讲义以“指数及其运算”为核心，通过“基础回顾”系统构建知识体系，将根式概念与性质、分数指数幂概念、实数指数幂运算性质分点梳理，并用表格归纳运算性质，清晰呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“题型分类+方法指导”的练习设计，如题型三“指数幂的化简与求值”强调“整体代换”技巧，引导学生运用数学思维分析问题，培养运算能力。题目覆盖选择、填空、解答，适配不同层次学生，助力教师精准教学与学生自主复习。

4.1 指数 题型一 根式的化简与求值 1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】BD 9．【答案】AB 10．【答案】ABD 题型二 根式与分数指数幂 的互化 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】D 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】ABD 9．【答案】BD 10．【答案】BD 题型三 指数幂的化简与求值 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】BC 9．【答案】ABD 10．【答案】BCD 课时精练 1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】CD 10．【答案】ABD 11．【答案】ABD 12．【答案】 【分析】由条件结合指数幂的运算性质可得，结合关系可得结论. 【详解】因为，所以， 所以． 13.【答案】 【分析】利用指数幂的运算性质计算可得. 【详解】原式 . 14．【答案】 【分析】根据实数指数幂运算法则进行计算即可. 【详解】原式． 故答案为： 15．【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由指数幂的运算性质求解即可； （2）解法1：由求出，进而求出，代入即可. 解法2：由，两边同时平方可求出，代入即可. 【详解】（1）原式. （2）解法1：由，两边同时平方可得， 所以，所以 ， 所以，所以原式 解法2：由，两边同时平方可得， 所以，则，解得， 所以原式 16．【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意结合指数幂运算求和； （2）由幂函数的图像恒过点，代入求解即可. 【详解】（1）； . （2）因为幂函数的图像恒过点， 则，所以. 17．【答案】(1); (2). 【分析】（1）应用指数幂的运算性质化简求值； （2）由题设求得，代入目标式化简求值. 【详解】（1）由 ； （2）由，则. 18．【答案】 【分析】根据根式、指数、特殊角的三角函数值等知识进行化简，从而确定正确答案. 【详解】 . 19．【答案】（1）0；（2） 【分析】（1）利用指数幂的运算法则，化简求值，即可得答案. （2）根据韦达定理，可得，将所求化简整理，代入求解，即可得答案. 【详解】（1）原式 ． （2）已知方程的两根为， 所以， 所以. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 指数 题型一 根式的化简与求值 2 题型二 根式与分数指数幂 的互化 3 题型三 指数幂的化简与求值 4 课时精练 5 【基础回顾】 知识点 1: 根式的概念与性质 1. 次方根的概念 一般地，给定大于 1 的正整数 和实数 ，如果存在实数 ，使得 , 则 称为 的 次方根。 2. 次方根的表示 根据方程 解的情况可以看出： （1）0 的任意正整数次方根均为 0，记为 . （2）正数 的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为 的 次算术根，记为 ，负的方根记为 ; 负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当 且 为偶数时， 在实数范围内没有意义。 （3）任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为 ，而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数。 3. 根式及相关概念 当 有意义的时候， 称为根式， 称为根指数， 称为被开方数。 4. 根式的性质 (1) , (2) 知识点 2: 分数指数幂有关概念 1.正数的正分数与负分数指数幂的意义 （1）正分数指数幂： 规定： （2）负分数指数幂： 规定： （3）性质：0 的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 注意： （1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂 不可理解为 个 相乘，它是根式的一种新的写法。 （2）在保证相应的根式有意义的前提下， 负数也存在分数指数幂， 如 有意义，但 就没有意义。 2. 无理数指数幂 一般地，当 且 是无理数时， 都是一个确定的实数。 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。 注意：对于无理数指数幂，我们只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果。 知识点 3：实数指数幂的运算性质 指数幂运算的一般原则 （1） 有括号的先算括号里的， 无括号的先算指数运算； （2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； （3） 底数是分数， 先确定符号； 底数是小数， 先化为分数； 底数是带分数， 先化为假分数。 （4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答。 【练题型】 题型一 根式的化简与求值 1．（25-26高一上·浙江杭州·月考）化简得（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东枣庄·月考）下列各式正确的是（） A． B． C． D． 3．（2025高一上·江苏·专题练习）若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高一上·浙江湖州·月考）若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江西·月考）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·四川绵阳·期中）计算：（     ） A． B．2 C．4 D． 7．（25-26高一上·江苏扬州·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C．（，） D．（，） (多选）8．（25-26高一上·重庆·期中）若，则下列各式一定有意义的是（    ） A． B． C． D． (多选）9．（25-26高三·全国·一轮复习）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． (多选）10．（25-26高一上·全国·开学考试）下列说法不正确的是（ ） A．的平方根是 B．负数没有立方根 C． D．1的立方根是 题型二 根式与分数指数幂 的互化 1．（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·甘肃·期末）已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·云南红河·月考）已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东济宁·期中）（   ） A．a B． C． D． 5．（25-26高一上·山东青岛·期中）用分数指数幂可表示为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知a，b为正实数，则可化简为（   ） A． B． C． D． (多选）8．（25-26高一上·吉林·期中）下列计算正确的是（      ） A． B． C． D． (多选）9．（25-26高一上·四川广安·期中）设，是正整数，且，则下列各式正确的有（   ） A． B． C． D． (多选）10．（25-26高一上·江苏南通·月考）设，则下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三 指数幂的化简与求值 条件求值问题的解题技巧： 解决此类问题应认真分析已知条件与所求式子的结构特征， 通过变形并结合乘法公式把它们联系起来， 通常采取 “整体代换” 或 “求值后代换” 这两种方法。 1．（25-26高一上·贵州毕节·月考）若，且，则（   ） A． B． C． D．8 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，，则（   ） A．18 B．27 C．36 D．24 3．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知，则（   ） A．14 B．16 C．2 D．8 4．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知，则（    ） A．12 B．5 C． D． 5．（25-26高一上·云南昭通·期末）若，则（    ） A．-1 B．1 C．2 D．10 6．（25-26高一上·山东滨州·期末）若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 7．（25-26高一上·陕西宝鸡·月考）已知，，则的值为（   ） A．0 B． C． D． (多选）8．（2027高三·全国·专题练习）（多选）下列结论中正确的是（     ） A．当时， B．（，，为偶数） C．函数的定义域是 D．若，，则 (多选）9．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． (多选）10．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知实数满足，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 课时精练 一、单选题 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东菏泽·月考）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D．（） 3．（25-26高一上·陕西渭南·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏南通·期中）若，则化简=（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏南通·期中）设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·天津蓟州·月考）化简为（   ）. A． B． C． D． 7．（25-26高一上·福建·月考）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．（2025高一上·全国·专题练习）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 (多选）9．（25-26高一上·四川绵阳·期中）设，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． (多选）10．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． (多选）11．（25-26高一上·全国·课后作业）下列运算（化简）中正确的有（ ）． A． B． C． D． 三、填空题 12．（2026·陕西安康·三模）若，则___________．（用m，n表示） 13．（25-26高一下·北京·月考）求值：__________. 14．（25-26高一上·江苏南通·月考）计算：___________． 四、解答题 15．（25-26高一上·重庆·月考）化简求值： (1)； (2)已知，求的值. 16．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知，且. (1)计算并化简； (2)若幂函数的图像恒过点，求的值. 17．（24-25高一上·北京·期中）计算: (1) (2)已知，求的值. 18．（24-25高一上·湖北十堰·自主招生）计算：. 19．（25-26高一上·湖北黄冈·月考）（1）计算； （2）已知方程的两根为，求的值. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 指数 题型一 根式的化简与求值 2 题型二 根式与分数指数幂 的互化 6 题型三 指数幂的化简与求值 8 课时精练 11 【基础回顾】 知识点 1: 根式的概念与性质 1. 次方根的概念 一般地，给定大于 1 的正整数 和实数 ，如果存在实数 ，使得 , 则 称为 的 次方根。 2. 次方根的表示 根据方程 解的情况可以看出： （1）0 的任意正整数次方根均为 0，记为 . （2）正数 的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为 的 次算术根，记为 ，负的方根记为 ; 负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当 且 为偶数时， 在实数范围内没有意义。 （3）任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为 ，而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数。 3. 根式及相关概念 当 有意义的时候， 称为根式， 称为根指数， 称为被开方数。 4. 根式的性质 (1) , (2) 知识点 2: 分数指数幂有关概念 1.正数的正分数与负分数指数幂的意义 （1）正分数指数幂： 规定： （2）负分数指数幂： 规定： （3）性质：0 的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 注意： （1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂 不可理解为 个 相乘，它是根式的一种新的写法。 （2）在保证相应的根式有意义的前提下， 负数也存在分数指数幂， 如 有意义，但 就没有意义。 2. 无理数指数幂 一般地，当 且 是无理数时， 都是一个确定的实数。 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。 注意：对于无理数指数幂，我们只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果。 知识点 3：实数指数幂的运算性质 指数幂运算的一般原则 （1） 有括号的先算括号里的， 无括号的先算指数运算； （2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； （3） 底数是分数， 先确定符号； 底数是小数， 先化为分数； 底数是带分数， 先化为假分数。 （4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答。 【练题型】 题型一 根式的化简与求值 1．（25-26高一上·浙江杭州·月考）化简得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分子、分母通过提取公因式化简，再结合分母有理化即可求解. 【详解】因为 ； ； 所以 . 故选： A 2．（25-26高一上·山东枣庄·月考）下列各式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式的运算性质逐一判断即可. 【详解】A选项：左边的定义域为，右边的定义域为， 定义域不同，故不恒等，A错误； B选项：，因，故，B错误； C选项：仅在为偶数时成立；当为奇数时，，C错误； D选项：由根式性质，当有意义时，总有，故D正确. 故选： D 3．（2025高一上·江苏·专题练习）若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据根式的性质求解的范围，再根据根式的性质化简即可. 【详解】由题意得：，解得， 故. 故选：C. 4．（25-26高一上·浙江湖州·月考）若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次根式的性质求解. 【详解】，，， . 故选：B. 5．（25-26高一上·江西·月考）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用根式的运算性质计算可判断A；利用同底数的幂的运算计算可判断B；利用负分数指数幂的运算法则计算可判断C；利用根式与分数指数幂的互化计算可判断D. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 6．（25-26高一上·四川绵阳·期中）计算：（     ） A． B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】由根式的运算性质求解即可 【详解】. 故选：C 7．（25-26高一上·江苏扬州·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C．（，） D．（，） 【答案】D 【分析】根据根式的运算性质逐一判断即可. 【详解】对于A，，，所以A错误； 对于B，，所以B错误； 对于C，当为奇数时，（，），所以C错误； 对于D，（，），所以D正确. 故选：D. (多选）8．（25-26高一上·重庆·期中）若，则下列各式一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据根式有意义的条件和实数指数幂的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，由，可知无意义，故A错误， 对于B，底数，指数，符合实数指数幂中底数大于零的情况，故B正确， 对于C，由，可知若，则无意义，故C错误， 对于D，因为根指数是3，任意实数都有唯一的立方根，所以有意义，故D正确. 故选：BD. (多选）9．（25-26高三·全国·一轮复习）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据根式运算法依次验证各个选项即可得到结果. 【详解】对于A，，A正确 对于B，，B正确， 对于C，，C错误， 对于D，，D错误， 故选：AB. (多选）10．（25-26高一上·全国·开学考试）下列说法不正确的是（ ） A．的平方根是 B．负数没有立方根 C． D．1的立方根是 【答案】ABD 【分析】利用根式的性质化简判断即可. 【详解】A选项：因为＝9，所以9的平方根是，即的平方根是，故选项A不正确，符合题意; B选项：由立方根的性质可知负数的立方根是负数，故选项B不正确，符合题意； C选项：由题可得，故选项C正确，不符合题意； D选项：由立方根的性质可知1的立方根是1，故选项D不正确，符合题意． 故选：ABD． 题型二 根式与分数指数幂 的互化 1．（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分数指数幂的运算法则化简. 【详解】． 故选：A 2．（25-26高一上·甘肃·期末）已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数指数幂和根式的关系逐层转化即可. 【详解】. 故选：A 3．（25-26高一上·云南红河·月考）已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】由题意得，故A正确. 故选：A 4．（25-26高一上·山东济宁·期中）（   ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】根式化为分数指数幂，再进行运算即可. 【详解】， 故选：D 5．（25-26高一上·山东青岛·期中）用分数指数幂可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用指数幂的运算性质，准确计算化简，即可求解. 【详解】根据指数幂的运算性质，可得. 故选：D. 6．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式、指数的运算求得正确答案. 【详解】. 故选：A 7．（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知a，b为正实数，则可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算法则化简即可. 【详解】因为a，b为正实数， 所以. 故选：B. (多选）8．（25-26高一上·吉林·期中）下列计算正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据指数幂的运算性质逐项计算后可判断各项的正误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. (多选）9．（25-26高一上·四川广安·期中）设，是正整数，且，则下列各式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用指数幂的运算性质即可得出． 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：BD. (多选）10．（25-26高一上·江苏南通·月考）设，则下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用根式与分数指数幂的互化公式分析判断即可. 【详解】选项A：，故A错误； 选项B：，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：，故D正确． 故选：BD 题型三 指数幂的化简与求值 条件求值问题的解题技巧： 解决此类问题应认真分析已知条件与所求式子的结构特征， 通过变形并结合乘法公式把它们联系起来， 通常采取 “整体代换” 或 “求值后代换” 这两种方法。 1．（25-26高一上·贵州毕节·月考）若，且，则（   ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】利用完全平方公式求出，再由完全平方公式求出，即可得解. 【详解】， ， 即， ， ， 又，， . 故选：C. 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，，则（   ） A．18 B．27 C．36 D．24 【答案】D 【详解】 故选：D. 3．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知，则（   ） A．14 B．16 C．2 D．8 【答案】A 【分析】利用指数运算法则直接计算即可. 【详解】由可得. 故选：A. 4．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知，则（    ） A．12 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】由题知，再根据指数幂运算求解即可. 【详解】由得， 因为，所以. 故选：B 5．（25-26高一上·云南昭通·期末）若，则（    ） A．-1 B．1 C．2 D．10 【答案】C 【分析】由指数幂的运算性质求解即可. 【详解】， 所以. 故选：C. 6．（25-26高一上·山东滨州·期末）若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用指数运算求解即可. 【详解】由，得. 故选：C 7．（25-26高一上·陕西宝鸡·月考）已知，，则的值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算性质可得. 【详解】. 故选：B. (多选）8．（2027高三·全国·专题练习）（多选）下列结论中正确的是（     ） A．当时， B．（，，为偶数） C．函数的定义域是 D．若，，则 【答案】BC 【分析】A通过分析指数运算与底数正负的关系来验证；B根据根式性质，当根指数为偶数时，开方结果需取绝对值；C根据偶次根式被开方数非负以及零次幂底数不为零的条件求定义域；D通过指数式转化为对数或直接解指数方程，再求和验证. 【详解】因为时，，，所以A错误； 根据根式性质，当根指数为偶数时，开方结果需取绝对值，B显然正确； 解得且，所以C正确； 因为，所以，因为，所以，所以，所以D错误． 故选：BC. (多选）9．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用指数和幂的运算，即可得到判断. 【详解】对于A：由，故A正确； 对于B：由，故B正确； 对于C：当为正奇数，则，当为正偶数，则， 如，故C错误； 对于D：由，故D正确. 故选：ABD (多选）10．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知实数满足，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据给定值，利用指数运算逐项计算判断得解. 【详解】由，得， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 课时精练 一、单选题 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 2．（25-26高一上·山东菏泽·月考）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D．（） 【答案】D 【分析】利用分数指数幂与根式的关系可判断A；零的负分数指数幂没有意义，可判断B；根据根式的性质可判断C；D显然成立. 【详解】，故A错误； 零的负分数指数幂没有意义，故B错误； ，故C错误； ，故D 正确. 故选：D 3．（25-26高一上·陕西渭南·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式与分数指数幂的关系及幂的运算法则计算可得. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C错误； D选项，，D错误； 故选：B. 4．（25-26高一上·江苏南通·期中）若，则化简=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算可得答案. 【详解】因为，所以，所以. 故选：A. 5．（25-26高一上·江苏南通·期中）设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用根式与分数指数幂的互化可得出结果. 【详解】当时，则. 故选：B. 6．（25-26高一上·天津蓟州·月考）化简为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算计算求解. 【详解】. 故选：B. 7．（25-26高一上·福建·月考）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对已知条件进行变形，利用完全平方公式化简可得，再根据平方差公式化简即可求解. 【详解】解：由，得， 则，因此， 所以． 故选：C 8．（2025高一上·全国·专题练习）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则计算得解. 【详解】由,，得. 故选：A 二、多选题 (多选）9．（25-26高一上·四川绵阳·期中）设，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据指数幂运算逐项分析判断即可. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：CD. (多选）10．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用指数运算逐项计算判断. 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，由，得，于是，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD (多选）11．（25-26高一上·全国·课后作业）下列运算（化简）中正确的有（ ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据分数指数幂的运算法则，对四个选项分别计算、求值，从而得解． 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C： ，故C错误； 对于D： ，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 12．（2026·陕西安康·三模）若，则___________．（用m，n表示） 【答案】 【分析】由条件结合指数幂的运算性质可得，结合关系可得结论. 【详解】因为，所以， 所以． 13．（25-26高一下·北京·月考）求值：__________. 【答案】 【分析】利用指数幂的运算性质计算可得. 【详解】原式 . 14．（25-26高一上·江苏南通·月考）计算：___________． 【答案】 【分析】根据实数指数幂运算法则进行计算即可. 【详解】原式． 故答案为： 四、解答题 15．（25-26高一上·重庆·月考）化简求值： (1)； (2)已知，求的值. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由指数幂的运算性质求解即可； （2）解法1：由求出，进而求出，代入即可. 解法2：由，两边同时平方可求出，代入即可. 【详解】（1）原式. （2）解法1：由，两边同时平方可得， 所以，所以 ， 所以，所以原式 解法2：由，两边同时平方可得， 所以，则，解得， 所以原式 16．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知，且. (1)计算并化简； (2)若幂函数的图像恒过点，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意结合指数幂运算求和； （2）由幂函数的图像恒过点，代入求解即可. 【详解】（1）； . （2）因为幂函数的图像恒过点， 则，所以. 17．（24-25高一上·北京·期中）计算: (1) (2)已知，求的值. 【答案】(1); (2). 【分析】（1）应用指数幂的运算性质化简求值； （2）由题设求得，代入目标式化简求值. 【详解】（1）由 ； （2）由，则. 18．（24-25高一上·湖北十堰·自主招生）计算：. 【答案】 【分析】根据根式、指数、特殊角的三角函数值等知识进行化简，从而确定正确答案. 【详解】 . 19．（25-26高一上·湖北黄冈·月考）（1）计算； （2）已知方程的两根为，求的值. 【答案】（1）0；（2） 【分析】（1）利用指数幂的运算法则，化简求值，即可得答案. （2）根据韦达定理，可得，将所求化简整理，代入求解，即可得答案. 【详解】（1）原式 ． （2）已知方程的两根为， 所以， 所以. ( 1 / 17 ) 学科网（北京）股份有限公司 $