1.1.6 第2课时 距离公式的综合应用(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（北师大版）

第2课时　距离公式的综合应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 　[课时目标] 1.进一步掌握距离公式的应用，初步掌握用坐标法(解析法)研究几何问题. 2.能根据点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式解决相关问题. 题型(一)　坐标法及应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证:|AC|=|BD|. 证明:如图所示，建立平面直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)， 则点D的坐标是(a-b，c). ∴|AC|==，|BD|==. 故|AC|=|BD|. |思|维|建|模| 　　用坐标法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”. [针对训练] 1.建立适当的平面直角坐标系，证明:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. 证明:设△ABC是等腰三角形，以底边CA所在直线为x轴， 过顶点B且垂直于CA的直线为y轴，建立平面直角坐标系. 设A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)，则C(-a，0). 直线AB的方程为+=1，即bx+ay-ab=0. 直线BC的方程为+=1，即bx-ay+ab=0. 设底边AC上任意一点为P(t，0)(-a≤t≤a)， 则点P到直线AB的距离为|PE|==， 点P到直线BC的距离为|PF|==， 点A到直线BC的距离为h==. 所以|PE|+|PF|=+==h. 因此，等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. 题型(二)　与平面图形有关的距离问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2]　已知▱ABCD，A(1，2)，B(2，4)，C，求: (1)点D的坐标及点A到直线CD的距离; (2)平行四边形ABCD的面积. 解:(1)设点D(x0，y0)，则线段BD的中点坐标为，依题意，线段AC的中点坐标为，由平行四边形性质知解得x0=-，y0=3，所以点D的坐标为.直线CD的斜率k==2，直线CD的方程为y-5=2，即2x-y+4=0，所以点A(1，2)到直线CD的距离d==. (2)由(1)知，线段CD的长|CD|==，所以平行四边形ABCD的面积S=|CD|·d=×=4. |思|维|建|模| 　　与三角形、四边形有关的问题要在坐标法解题的大背景下，善于发现、利用几何特征，并借助直线方程、距离公式进行解决. 　　[针对训练] 2.如图，已知▱ABCD的面积为8，A为原点，点B的坐标为(2，-1)，点C，D在第一象限. (1)求直线CD的方程; (2)若|BC|=，求点D的横坐标. 解:(1)因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB∥CD，所以kCD=kAB=-. 设直线CD的方程为y=-x+m(m>0)， 即x+2y-2m=0. 因为▱ABCD的面积为8，|AB|=， 所以AB与CD的距离为. 易知直线AB的方程为x+2y=0，于是=，解得m=±4.又m>0，所以m=4， 故直线CD的方程为x+2y-8=0. (2)设点D的坐标为(a，b). 因为|BC|=，所以|AD|=. 所以解得或 故点D的横坐标为或2. 题型(三)　平行直线间距离的最值问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例3]　两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(-3，-1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求: (1)d的变化范围; (2)当d取最大值时，两条直线的方程. 解:(1)如图，显然有0<d≤|AB|. 而|AB|= =3.故所求的d的变化范围为(0，3]. (2)由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直. 而kAB==， 所以所求直线的斜率为-3. 故所求的直线方程分别为y-2=-3(x-6)和y+1=-3(x+3)， 即3x+y-20=0和3x+y+10=0. |思|维|建|模| 应用数形结合思想求最值 (1)解决此类题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决. (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题的过程中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围. [针对训练] 3.设两条平行直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0.已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条平行直线之间的距离的最大值为　　　　　.  解析:因为a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，由根与系数的关系可得a+b=-1，ab=c，所以(a-b)2=(a+b)2-4ab=1-4c∈.又两条平行直线间的距离d==，所以≤d≤，所以两条平行直线间距离的最大值为. 答案: [课时检测] 1.以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的△ABC的形状是 (　　) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰非等边三角形 D.等腰直角三角形 解析:选C　根据两点间的距离公式，得|AB|==，|AC|= =，|BC|==3，所以|AB|=|AC|≠|BC|，且|AB|2+|AC|2≠|BC|2，故△ABC是等腰非等边三角形. 2.设点P，Q分别为直线3x+4y-7=0与直线6x+8y+3=0上的任意一点，则|PQ|的最小值为 (　　) A.1 B.2 C. D. 解析:选C　由直线3x+4y-7=0可得6x+8y-14=0，所以直线3x+4y-7=0与直线6x+8y+3=0平行，所以|PQ|的最小值为直线6x+8y-14=0与直线6x+8y+3=0之间的距离，为=.故选C. 3.已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x-y=0和x+ay=0上，且AB线段的中点为P，则线段AB的长为 (　　) A.11 B.10 C.9 D.8 解析:选B　因为直线2x-y=0和x+ay=0互相垂直，所以2×=-1，解得a=2.所以线段AB的中点为P(0，5).设A(m，2m)，B，则解得所以A(4，8)，B(-4，2)，所以|AB|==10. 4.已知两条直线l1:(λ+2)x+(1-λ)y+2λ-5=0，l2:(k+1)x+(1-2k)y+k-5=0，且l1∥l2，当两平行线距离最大时，λ+k= (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:选C　l1:λ(x-y+2)+2x+y-5=0，由解得故l1过定点A(1，3).l2:k(x-2y+1)+x+y-5=0，由解得故l2过定点B(3，2)，故l1，l2距离的最大值为|AB|=.此时，-=-=2，解得λ=4，-=2，解得k=1，故λ+k=5.故选C. 5.已知点P为x轴上的点，A(-1，2)，B(0，3)，以A，B，P为顶点的三角形的面积为，则点P的坐标为 (　　) A.(4，0)或(10，0) B.(4，0)或(-10，0) C.(-4，0)或(10，0) D.(-4，0)或(11，0) 解析:选B　根据题意，设点P的坐标为(x0，0)，则kAB==1，故直线AB为y-3=x，即x-y+3=0，故P到直线AB的距离为d==，又因为|AB|==，所以S△ABC=|AB|d=××=，解得x0=4或x0=-10，即点P的坐标为(4，0)或(-10，0). 6.已知直线l:y=k(x-2)+1(k∈R)上存在一点P，满足|OP|=1，其中O为坐标原点.则实数k的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　因为直线l:y=k(x-2)+1(k∈R)上存在一点P，使得|OP|=1，所以原点O到直线l的距离小于等于1，即≤1，解得0≤k≤，即实数k的取值范围是. 7.(5分)如图，在△ABC中，A(5，-2)，B(7，4)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则点C的坐标为　　　　，|AC|=　　　　.  解析:设C(x，y)，由题意得解得所以点C的坐标是(-5，-4)，|AC|==2. 答案:(-5，-4)　2 8.(5分)经过两条直线x+3y-10=0和3x-y=0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为　　　　.  解析:设所求直线l的方程为x+3y-10+λ(3x-y)=0，即(1+3λ)x+(3-λ)y-10=0.因为原点到直线的距离d==1，所以λ=±3，即直线方程为x-1=0或4x-3y+5=0，所以所求直线的条数为2. 答案:2 9.(5分)若某直线被两条平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2，则该直线的倾斜角大小为　　　　.  解析:由两条平行直线的距离公式，可得直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0的距离为d==.又直线被两条平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2，即该直线与直线l1的夹角为30°，又直线l1的倾斜角为45°，则该直线的倾斜角大小为15°或75°. 答案:15°或75° 10.(5分)已知点到直线的距离是该点到直线上任意一点距离的最小值.如果把一个给定点到线段上任意一点的距离的最小值定义为该点到该线段的距离，则点P(1，1)到线段l:x-y-3=0(3≤x≤5)的距离为　　　　.  解析:过点P作PM⊥l于点M，∵kl=1，∴kPM=-=-1，∴直线PM:y-1=-(x-1)，整理得x+y-2=0，与x-y-3=0联立，解得x=，y=-，交点M.∵<3，即点M不在线段x-y-3=0(3≤x≤5)上，∴当x=3时，点P与(3，0)为点P到线段的距离的最小值，此时d==. 答案: 11.(5分)如图，已知直线l1:x+y-1=0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，l2的方程为　　　　　　.  解析:设l2的方程为y=-x+b(b>1)，则题图中A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b)，所以AD=，BC=b，梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离，故h==(b>1)，由梯形面积公式得×=4，所以b2=9，b=±3.但b>1，所以b=3，从而得到直线l2的方程为x+y-3=0. 答案:x+y-3=0 12.(10分)已知△ABC的顶点坐标为A(0，5)，B(1，-2)，C(-5，4). (1)求△ABC的BC边上的高所在直线的方程;(4分) (2)求直线AB的方程及△ABC的面积.(6分) 解:(1)根据两点的斜率公式，可得kBC==-1，根据两条直线垂直时的斜率关系可知，所求直线的斜率为1，而高线经过点A(0，5)，由直线斜截式方程得y-5=x， 故所求直线的方程是x-y+5=0. (2)根据两点的斜率公式，可得kAB==-7，又因为经过点A(0，5)，所以由直线斜截式方程得y-5=-7x，故直线AB的方程是7x+y-5=0，由两点间距离公式可得|AB|==5，由点到直线距离公式，可得点C到AB的距离是d==，所以△ABC的面积是S△ABC=×5×=18. 13.(10分)如图，正方形ABCD中，在BC上任取一点P(点P不与B，C重合)，过点P作AP的垂线PQ交角C的外角平分线于点Q.用坐标法证明:|AP|=|PQ|. 证明:以B为原点，射线BC，BA分别为x，y轴的正半轴建立平面直角坐标系.如图所示，设正方形的边长为a，则A(0，a)，C(a，0)，设点P的坐标为(t，0)(0<t<a).kAP=-，lPQ:y=(x-t)　①， lCQ:y=x-a　②. 联立①②可得Q(a+t，t)(或利用三角形全等求得点Q坐标). ∵|AP|= ，|PQ|= ，∴|AP|=|PQ|. 14.(15分)已知直线l1:mx+y-m-2=0，l2:3x+4y-n=0. (1)求直线l1的定点P，并求出直线l2的方程，使得定点P到直线l2的距离为;(7分) (2)过点P引直线l分别交x，y轴正半轴于A，B两点，求使得△AOB面积最小时，直线l的方程.(8分) 解:(1)直线l1:mx+y-m-2=0， 即m(x-1)+y-2=0，令x-1=0，解得x=1，y=2，可得直线l1的定点P(1，2). ∵定点P(1，2)到直线l2:3x+4y-n=0的距离为=，∴n=3或n=19，故直线l2:3x+4y-3=0或3x+4y-19=0. (2)由过点P引直线l分别交x，y轴正半轴于A，B两点，设A(a，0)，B(0，b)，则P，A，B三点共线，=，∴ ab=2a+b≥2， 令t=ab>0，则有t2-8t≥0，解得t<0(舍去)或t≥8，∴t的最小值为8.∴△AOB面积为ab最小值为4，此时a=2，b=4，直线l的斜率为-2，直线l的方程为y-2=-2(x-1)， 即2x+y-4=0. 120 / 154 学科网（北京）股份有限公司 $$