河北保定市第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．样本数据2，3，4，1，5的中位数为 A．1 B．2 C．3 D．4 2．复数的虚部是 A． B． C． D． 3．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则 A． B． C． D． 4．向量在向量上的投影向量为 A． B． C． D． 5．在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 6．在中，点在线段上，，点是线段的中点．设，，则 A． B． C． D． 7．已知梯形按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形，且，，，现将梯形绕旋转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为 A． B． C． D． 8．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，角C的角平分线交于点D，则线段的最大值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知i为虚数单位，下列说法中正确的是 A．若，则 B． C．是纯虚数 D．若，则 10．已知一组样本数据，，，的方差，则 A．这组样本数据的平均数为2 B．数据，，，的方差为 C．若，，，的平均数为1，方差为10，，，，的平均数为3，方差为6，则，，，的方差为9 D．现构造新的样本数据，，，，，则该组样本数据的方差大于原样本数据的方差 11．已知正方体的棱长为4，P，Q分别是棱，上的点（不包括端点），且，则下列说法正确的是 A．正方体的外接球的表面积为 B．若平面与平面的交线为l，则 C．若平面与平面所成的二面角为，的面积为S，则 D．若，则平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，则________． 13．如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为的球）．三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切．若汤圆的顶部与碗口齐平，则________． 14．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的中线的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数； （2）将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，按三组人数比例用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取6人，求从这三个组分别抽取的学生人数． 16．（本小题满分15分） 如图，在三棱柱中，，，点是的中点． （1）求证：平面； （2）若侧面为菱形，求证：平面． 17．（本小题满分15分） 如图，平面内四点，，，，满足，，，． （1）若，， （ⅰ）求的面积； （ⅱ）求． （2）若，，求． 18．（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面，二面角的大小为． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 19．（本小题满分17分） 如图，已知是边长为1的正的外心，，，，为边上的等分点，，，，为边上的等分点，，，，为边上的等分点． （1）当时，求的值； （2）当时． （ⅰ）求的值（用含，的式子表示）； （ⅱ）若，求集合中最大元素与最小元素． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学参考答案、提示及评分细则 1．C 2．B 3．A 4．A 5．B 6．D 7．D 8．C 9．BC 10．ABC 11．BCD 12． 13． 14． 15．解：（1）由频率分布直方图可知， 2分 解得， 4分 身高在及以上的学生人数为． 6分 （2）A组人数为， 7分 B组人数为， 8分 C组人数为， 9分 由题意可知A组抽取人数为， 10分 B组抽取人数为， 11分 C组抽取人数为， 12分 故A，B，C三个组分别抽取的学生人数为3，2，1． 13分 16．证明：（1）连接交于E，连接， 由为三棱柱，则为平行四边形，所以E是中点， 2分 又D是的中点，故在中， 4分 平面，平面， 6分 所以平面． 7分 证明：（2）由，， 9分 而，，平面， 10分 所以平面， 11分 又平面，则，由侧面为菱形，故， 13分 又，，平面， 14分 故平面． 15分 17．解：（1）（ⅰ）因为，，，，， 所以， 2分 又，所以， 3分 又，所以． 5分 （ⅱ）， 7分 所以． 8分 （2）因为，设，则，， 在中，由正弦定理可得， 即， 10分 所以， 即， 所以，即， 12分 因为，所以，，所以， 14分 所以． 15分 18．（1）证明：连接，因为为中点， 所以，因为，所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以，在中，所以， 2分 又因为平面，平面， 所以， 4分 又，，平面，所以平面， 5分 又平面，所以平面平面． 6分 （2）解：由平面，平面，所以， 又，，，平面，所以平面， 又平面，所以， 故为二面角的平面角，，， 7分 在中，作，垂足为， 由（1）知，平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 8分 则直线为直线在平面上的射影， 所以为直线与平面所成的角， 9分 因为，所以四边形为平行四边形，所以， 10分 在中，，，， 11分 ． 12分 （3）解：在三棱锥中，平面， 所以为三棱锥底面上的高， 又因为，所以， 14分 在三棱锥中，设到平面的距离为， 因为， 所以， 16分 又因为，所以． 17分 19．（1）解：当时，，， 1分 ，， 2分 又为等边三角形，且边长为1，为外接圆的圆心， 所以， ， 3分 则，． 4分 （2）解：（i）因为为等边三角形，为外接圆的圆心，所以， 则，， 5分 又，所以，分别为，的5等分点，又， 所以，； 6分 所以 ． 8分 （ⅱ）因为， 所以 ； 9分 同理可得：，； 10分 所以； 令． 11分 1）当时，时， ， 因为，所以时取最大值， 则； 时，， 因为，所以时取最小值，则， 则当时，； 13分 2）当时， 时，， 因为，所以时取最大值，则； 时，， 因为，所以时取最小值，则， 则当时，． 15分 综上所述：的最大值为，最小值为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $