精品解析：河北省保定市保定中学1+3贯通实验班2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

2023—2024学年第二学期1+3贯通创新实验班期末考试 数学试卷 考试范围必修一及必修二6.1-6.3 考试分值150分 考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效； 3.考试结束后，将答题卡收回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合等于（ ） A. B. C. D. 2. 设是定义域为的函数，命题“，”，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “角为第一象限角”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. ，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量，则下列命题一定正确的有（ ） ①若，则 ②若，则存在实数，使得 ③若，则 ④ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6. 在正方形中，点E满足，点F满足，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 筒车是一种水利灌溉工具（如图所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为，筒车的半径为，筒车转动的周期为，如图所示，盛水桶在处距水面的距离为.后盛水桶在处距水面的距离为，若，则直线与水面的夹角为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 的最小值是 D. 的最大值是 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在单调递减 D. 该图象向右平移个单位可得的图象 11. 已知函数，若方程有四个不等的实根且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则__________． 13. 已知平面向量，则向量在方向上的投影向量为__________. 14. 如图，正六边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则围成的阴影部分的面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. （1）计算： （2）若，求的值． 16. 已知函数． （1）若，求实数的值； （2）求的最大值． 17. 在等腰梯形中，CD的中点为O，以O为坐标原点，DC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知． （1）求； （2）若点F在线段CD上，，求． 18. 为了丰富市民业余生活，推进美丽阜阳建设，市政府计划将一圆心角为，半径为米的扇形空地如图改造为市民休闲中心，休闲中心由活动场地和绿地两部分组成，其中活动场地是扇形的内接矩形，其余部分作为绿地，城建部门给出以下两种方案： 方案让矩形的一个端点位于上，其余端点位于，上． 方案让矩形的两个端点位于上，其余端点位于，上． 请你先选择一种方案，并根据此方案求出活动场地面积的最大值． 19. 对于函数. （1）若方程恰有一个实根，求实数a的取值范围； （2）设，若对任意，当时，满足，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年第二学期1+3贯通创新实验班期末考试 数学试卷 考试范围必修一及必修二6.1-6.3 考试分值150分 考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效； 3.考试结束后，将答题卡收回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】变量分别从集合中取值即可，要做到不重不漏. 【详解】当时，； 当时，； 当或时，； 所以. 故选：B. 2. 设是定义域为的函数，命题“，”，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据存在量词命题的否定是全称量词命题，准确改写，即可求解． 【详解】解：根据存在量词命题的否定是全称量词命题， 则命题“，”的否定为“，”， 故选：A. 3. “角为第一象限角”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数值的正负与角所属象限关系进行判断. 【详解】若角在第一象限角，则 ，， 若 ，则在第一象限或第三象限， 若，则在第一象限或第二象限或轴正半轴上，所以角在第一象限； 综上所述：角在第一象限是且的充要条件. 故选：C 4. ，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性即可得出，，的大小关系． 【详解】， ，， ． 故选：． 5. 已知平面向量，则下列命题一定正确的有（ ） ①若，则 ②若，则存在实数，使得 ③若，则 ④ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，利用向量相等的条件分析判断，对于②③，举例判断，对于④，利用向量的数乘运算判断. 【详解】对于①，因为，所以，所以①正确； 对于②，当时，满足，但是不存在实数，使得，故②错误； 对于③，零向量与任何向量平行，因此当，满足，但是未必成立，故③错误； 对于④，向量是与平行的向量，而是与平行的向量，因此未必成立，故④错误， 故一定正确的只有1个， 故选：B． 6. 在正方形中，点E满足，点F满足，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算，结合平面向量基本定理求解即得. 【详解】在正方形中，， 由，得，又， 因此 ， 而，且不共线，于是. 故选：D 7. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数奇偶性和特殊点，排除不符合的选项即可. 【详解】函数的定义域为，， 因此是上的偶函数，其图象关于轴对称，选项C，D不满足； 又，所以选项B不满足，A符合题意. 故选：A 8. 筒车是一种水利灌溉工具（如图所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为，筒车的半径为，筒车转动的周期为，如图所示，盛水桶在处距水面的距离为.后盛水桶在处距水面的距离为，若，则直线与水面的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先做出辅助线，然后结合几何体的特征进行计算即可求得直线与水面的夹角． 【详解】如图， 过作直线与水面平行， 过 作，垂足为点，过 作，垂足为点， 设，，则，其中， 则，， 所以，， 所以， 整理可得， 因为，则，所以，，解得. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 的最小值是 D. 的最大值是 【答案】BD 【解析】 【分析】利用特殊值进行验证排除，可得A的正误；根据不等式性质，可得B的正误；利用基本不等式可判断C，D的正误． 【详解】解：对于A，若，，时，，即不成立，故A错误； 对于B，若，对不等式两边同时平方则，故B正确； 对于C，因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，显然取等条件不成立， 故的最小值不可能是，故C错误； 对于D，因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确． 故选：BD． 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在单调递减 D. 该图象向右平移个单位可得的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，即可得出结论． 【详解】解：根据函数的部分图象， 可得，，所以， 利用五点法作图，可得，可得， 所以，可得函数的最小正周期为，故A正确； ，为的最小值，故函数的图象关于直线对称，故B正确； 当，，不是正弦函数的单调区间，故C错误； 把的图象向右平移个单位可得的图象，故D正确， 故选：ABD． 11. 已知函数，若方程有四个不等的实根且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】作出函数的图象，结合图象，可判定A正确；根据，由对数式的运算，可判定B错误；由关于直线对称，得到，结合二次函数的性质可得的范围，可判定C正确；由，结合不等式的性质可判定D错误. 【详解】作出函数，如图所示， 结合图象，要使有四个不等的实根，则，所以A正确； 由图可知，则， 因为，可得，即， 所以，所以B错误； 由图可得，令，则， 因为关于直线对称，所以，所以， 则， 又因为，可得，所以，所以C正确； 当时，，令，可得， 所以，结合图象知，同增同减， 所以，所以D错误． 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数定义将化为，代入解析式即可． 【详解】因为奇函数满足当时，， 所以． 故答案为：. 13. 已知平面向量，则向量在方向上的投影向量为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由投影向量的公式，结合向量数量积和模的坐标运算求解. 【详解】平面向量，则，， 向量在方向上的投影向量为. 故答案为：. 14. 如图，正六边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则围成的阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆半径得到为等边三角形得出，则阴影部分的面积用扇形与等边三角形面积表示即可． 【详解】如图，连接. 由题意知，线段的长度都等于半径， 所以，为正三角形，则， 故的面积为， 扇形的面积为， 由图形的对称性可知，扇形的面积与扇形的面积相等， 所以阴影部分的面积. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. （1）计算： （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）2. 【解析】 【分析】（1）利用指数对数运算法则即可； （2）先利用诱导公式求出，然后利用同角三角函数基本关系式即可． 【详解】（1）原式． （2），， 所以． 16. 已知函数． （1）若，求实数的值； （2）求的最大值． 【答案】（1）或 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）将条件代入运算可得解； （2）换元，令，，化为，分类讨论求出的最大值. 【小问1详解】 函数， 所以 整理得，解得或． 【小问2详解】 因为， 设，则，化为， 则为二次函数，开口向下，对称轴为， 所以当，即时，的最大值为； 当，即时，的最大值为； 当，即时，的最大值为； 所以当时，的最大值； 当时，的最大值为； 当时，的最大值为． 17. 在等腰梯形中，CD的中点为O，以O为坐标原点，DC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知． （1）求； （2）若点F在线段CD上，，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标，再利用数量积的坐标表示计算即得. （2）设出点的坐标，利用给定的数量积求出点的坐标，再利用向量夹角公式计算即得. 【小问1详解】 依题意，y轴是等腰梯形的对称轴，则，由， 得，， 所以. 【小问2详解】 设，则， ，解得，即，，而， 所以. 18. 为了丰富市民业余生活，推进美丽阜阳建设，市政府计划将一圆心角为，半径为米的扇形空地如图改造为市民休闲中心，休闲中心由活动场地和绿地两部分组成，其中活动场地是扇形的内接矩形，其余部分作为绿地，城建部门给出以下两种方案： 方案让矩形的一个端点位于上，其余端点位于，上． 方案让矩形的两个端点位于上，其余端点位于，上． 请你先选择一种方案，并根据此方案求出活动场地面积的最大值． 【答案】方案1：；方案2：. 【解析】 【分析】方案，如图所示，设，将，都用表示，再根据矩形的面积公式结合三角恒等变换化简，再根据三角函数得性质即可得出结论 方案，如图所示，过点作的垂线分别交，于，，设，将，都用表示，从而可将矩形的面积表示成的函数，最后由三角函数的性质即可得解． 【详解】解：选择方案， 如图所示，矩形内接于扇形， 在直角中，设，则， 在直角中，可得， 所以， 设矩形的面积为， 则 由，可得， 当，即时， 平方米 所以，当时，活动场地面积取得最大值，最大值为平方米． 选择方案， 如图所示，矩形内接于扇形， 过点作的垂线分别交，于， 由对称性可知，平分， 在直角中，设，则， 在直角中，可得， 所以， 设矩形的面积为， 则 ， 由，可得， 当，即时，平方米， 因此，当时，活动场地面积取得最大值为平方米． 19. 对于函数. （1）若方程恰有一个实根，求实数a的取值范围； （2）设，若对任意，当时，满足，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原方程可转化为，分类讨论即可； （2）将转化为，分别求最大值和最小值，再求a范围. 【小问1详解】 方程恰有一个实根， 转化为方程恰有一个实根， 所以， 由①可得，，即， 当时，方程有唯一解，满足②， 所以符合条件； 判别式， 当时，方程有两相等根，满足②， 所以符合条件； 当且时，方程有两不等根， 若满足②，则， 若满足②，则， 所以当时方程恰有一个实根； 综上，实数的取值范围为； 【小问2详解】 令，则在上为减函数，在上为增函数， ∴函数在上为减函数， 当时，满足， 则， ∴，即对任意的恒成立， 设，又， 所以函数在单调递增， 所以， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $