精品解析：江西省吉安市遂川县2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

二〇二六年上半年期末检测 八年级数学试卷 说明：本试卷6页，六个大题，23个小题，满分120分．考试用时120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分式的定义：若表示两个整式，中含有字母且，则形如的代数式为分式，根据分式的定义判断各选项即可． 【详解】解：A、是整式，不符合分式定义； B、的分母中含有字母，符合分式定义； C、的分母是常数，属于整式，不符合分式定义； D、是单项式，属于整式，不符合分式定义． 2. 已知，下列不等式变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据不等式的基本性质判断： ∵不等式两边加同一个数，不等号方向不变，已知，两边加可得，故A变形正确； ∵ 不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变，两边乘可得，故B变形正确； ∵两边乘可得，再两边减可得，故D变形正确； ∵ 不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变， ∴ 两边乘可得，与选项C的不符，故C变形错误． 3. 传统纹样作为我国古代各民族美学的集中呈现，在多个领域都有广泛应用．下列纹样中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 4. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义：因式分解是将多项式变形为几个整式乘积的形式，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、是整式乘法，结果为多项式和的形式，不是因式分解，不符合题意； B、右边是和的形式，不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、右边是和的形式，不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、将多项式变形为两个整式与的乘积，符合因式分解的定义，符合题意． 5. 下列命题中，其逆命题是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 两直线平行，内错角相等 C. 等边对等角 D. 平行四边形的对角线互相平分 【答案】A 【解析】 【分析】根据逆命题的定义交换原命题的条件和结论得到各选项的逆命题，再逐一判断逆命题的真假，即可得到答案． 【详解】逆命题是交换原命题的条件与结论得到的命题，逐一分析如下： 选项A，原命题为“对顶角相等”，逆命题为“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，例如两个不同位置的直角相等但不是对顶角，因此该逆命题是假命题； 选项B，逆命题为“内错角相等，两直线平行”，是平行线的判定定理，是真命题； 选项C，逆命题为“等角对等边”，是等腰三角形的判定定理，是真命题； 选项D，逆命题为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，是平行四边形的判定定理，是真命题． 6. 如图，在中，，分别是和上的点，从以下条件：①；②；③；④；选其中一个就能判定四边形是平行四边形的有（ ） A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，即，再根据平行四边形的判定定理对各个条件进行逐一判断即可 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ． 若选①， ，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 故①能判定四边形是平行四边形； 若选②， ，， 四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， 故②能判定四边形是平行四边形； 若选③， ， ． ， ， ． ， 四边形是平行四边形， 故③能判定四边形是平行四边形； 若选④， ，，此时四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形， 故④不能判定四边形是平行四边形； 综上所述，能判定四边形是平行四边形的有①②③． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一个正五边形的外角和为________． 【答案】 【解析】 【分析】任意多边形的外角和为． 【详解】解：正五边形的外角和为． 8. 当________时，分式有意义． 【答案】 【解析】 【分析】分式有意义的条件为分母不等于零，据此列出一元一次不等式求解即可得到结果． 【详解】解：根据分式有意义的条件，可得 ． 9. 在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位长度得到点，则点在第________象限． 【答案】三 【解析】 【分析】先根据平移规律求出点的坐标，再由各个象限点的坐标特征判断点所在象限即可． 【详解】解：将点向左平移5个单位长度，得到点的坐标为，即， 再由点的横、纵坐标均为负数可得点在第三象限． 10. 如图，直线经过，两点，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数与一元一次不等式的关系，求不等式的解集，即确定直线在轴下方部分对应的自变量的取值范围． 【详解】解：由图象可知，直线与轴交于点． 观察图象，当时，直线的图象在轴下方，即． 不等式的解集为． 11. 如图，的对角线与交于点，为的中点，，，，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行四边形对角线互相平分得到为中点，结合是中点，由三角形中位线定理求出长度；再在中，根据勾股定理求出，进而得到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线、交于点， ∴是中点，， ． ∵为的中点，是中点， ∴是的中位线， ∴． 又∵平行四边形对边相等，，， ． 已知，即为直角三角形，． 在中，由勾股定理： ， 平行四边形对角线互相平分， ∴， ． 12. 在中，，，，点在上，，若点是三边上的一个动点，当时，的长为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】先根据直角三角形的性质以及勾股定理求解，，再分情况讨论：当点P在边上时；当点P在边上时；当点在上时，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：在中，， ∴，， ∵， ∴， 如图，当点P在边上时， ∵， ∴，， 当点P在边上时，过点作于点 ∴ ∴ ∵ ∴ 在中，由勾股定理可知， ∴ 整理得， 解得 当点在上时， 在和中，根据勾股定理有， ∴， ∵，，， ∴ 解得（舍负） 综上：当时，的长为或或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成各题 （1）因式分解：； （2）如图，，，求证：． 【答案】（1） （2）证明：在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）先提公因式，再由平方差公式因式分解即可； （2）由两个直角三角形的判定定理得到，再由全等性质即可得证． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 略 14. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 在数轴上表示不等式解集为： ． 【解析】 【分析】先分别解出一元一次不等式，再由大小小大取中间得出不等式组解集，并用数轴表示不等式解集的方法画出数轴即可． 【详解】解：， 解①得； 解②得； 原不等式组的解集为，画数轴略． 15. 化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 解：原式 …… 解：原式 …… （1）甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）②，③ （2）解：甲同学的解法： 原式 ； 乙同学的解法： 原式 ． 【解析】 【分析】（1）根据所给的解题过程即可得到答案； （2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可； 乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可． 【小问1详解】 解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：②，③； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 16. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A在格点上．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点在格点上． （1）在图①中以点A为顶点，画一个面积为6的平行四边形． （2）在图②中以点A为对角线交点，画一个面积为6的平行四边形． 【答案】（1） 解：如图，平行四边形即为所求； 由图可知：平行四边形的面积； （2） 解：如图，平行四边形即为所求； 由图可知：平行四边形的面积． 【解析】 【分析】（1）根据要求，画出平行四边形即可； （2）根据要求，画出平行四边形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查网格作图，平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键． 17. 如图，将沿射线的方向平移个单位长度到的位置，点，，的对应点分别为，，． （1）若，求的长度； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平移性质求解即可； （2）由平移性质得到四边形是平行四边形、，进而由平行四边形对角相等得出，从而确定答案． 【小问1详解】 解：由题意可知， ， ； 【小问2详解】 解：由题意可知，，， 四边形是平行四边形， ， 则． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 科技改变世界，随着无人驾驶技术的高速发展，在我们县城也能看到快递公司无人投递车的身影了．某快递公司为提高配送的准确性和工作效率，分别投入A型无人投递车与B型无人投递车承担快递运送任务．已知A型车运送720件快递所用的时间与B型车运送600件快递所用的时间相等，且A型车每小时比B型车多运送20件． （1）求A型无人投递车每小时可运送的快递数量； （2）快递公司计划再购进A，B两种型号的无人投递车共20台．若要保证购进的这批无人投递车每小时的运送量不少于2200件，求至少应购进多少辆A型无人投递车． 【答案】（1）件 （2）辆 【解析】 【分析】（1）根据A型车运送720件与B型车运送600件所用时间相等的等量关系列分式方程，求解检验后得到结果； （2）根据总每小时运送量不少于2200件的要求列不等式，求解得到最小购进数量． 【小问1详解】 解：设B型无人投递车每小时运送件快递，则A型无人投递车每小时运送件快递．由题意得 ， 解得． 经检验，是原分式方程的解，符合实际意义． 则． 答：A型无人投递车每小时可运送120件快递． 【小问2详解】 解：设购进辆A型无人投递车，则购进辆B型无人投递车．由题意得， 整理得， 解得． 答：至少应购进10辆A型无人投递车． 19. 【阅读材料】形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用 （1）用配方法因式分解：． 解：原式 （2）用配方法求代数式的最小值， 解：原式 ∵， ∴， ∴的最小值为． 【解决问题】（1）若代数式是完全平方式，则常数k的值为__________， （2）因式分解：； 【拓展应用】（3）用配方法求代数式的最小值． 【答案】（1）25；（2）；（3）4 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、利用配方法因式分解，熟练掌握配方法是解题关键． （1）利用完全平方公式即可得； （2）利用配方法把配凑成，由此即可得； （3）将配凑成，利用完全平方公式求解即可得； 【详解】解：（1）∵代数式是完全平方式， ， ， ， （2） ， （3） ， ， ， 的最小值为4； 20. 如图，在四边形中，是的中点，与相交于点，，． （1）求证；四边形是平行四边形； （2）若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：， 点是中点， 点是的中点， 是的中位线，则，且， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）先由三角形中位线的判定与性质得到，且，再结合已知条件确定，且，最后结合平行四边形的判定定理求证即可； （2）由（1）中求证过程，结合已知条件，根据四边形的面积为，代入线段长计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，由（1）知， ， 由（1）知，则， ， ， 四边形的面积为． 五、（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21. 我们定义：如果两个分式与的差等于2，则称是的“友好分式”．例如分式，，因为，所以是的“友好分式”． （1）已知分式，，请通过计算判断是否为的“友好分式”； （2）已知分式，，且是的“友好分式”，若当为整数时，分式的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； 【答案】（1）不是的“友好分式”，计算如下： ， ∵， ∴C不是D的“友好分式”． （2），所有符合条件的的值之和为 【解析】 【分析】（1）根据“友好分式”的定义计算，化简后判断结果是否等于2即可判断； （2）根据定义列等式求出E，化简P后结合分式有意义的条件，根据x和P均为整数找出符合条件的x值，再计算其和即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵P是Q的“友好分式”， ∴， ∴， ∴，化简得：， ∴， ∵有意义， ∴， ∵是整数， ∴的值为、， ∴或2或或3， ∵， ∴或2或3， ∴所有符合条件的的值之和为． 22. 如图，在等边中，，点在边上（点不与线段的端点重合），连接，过点作的垂线，交所在直线于点，并过点作的平行线，交于点． （1）当点在边上时，的取值范围是________； （2）当点在边上时，是否存在的情况？如果存在，求此时的度数，如果不存在，说明理由； （3）当点在的延长线上时，是否存在的情况，若存在，求的度数；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在， （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由题意，分析出的最小值与最大值情况即可得到答案； （2）设，根据平行性质、等边三角形性质及三角形内角和定理列式求解即可； （3）由等边三角形性质、平行线性质得到相关线段及角度关系，再由三角形全等的判定与性质得到，最后由等腰直角三角形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 解：当点在点时，有最小值，为； 当点在中点时，有最大值，如图所示： 最大值为， 综上所述，的取值范围是； 【小问2详解】 解：设， ， ，， 则， 在等边中，，则， ， ， 则，解得， 在中，，，则； 【小问3详解】 解：在等边中，，， ， ， ，，， 是等边三角形，即， 则， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形，则． 六、（本大题共12分） 23. 【问题背景】 （1）如图1，，，，可以由通过旋转变换得到，旋转中心是点__________，旋转方向是__________，旋转角的大小为________； 【变式迁移】 （2）如图2，，，连接，试猜想，，之间的数量关系，并加以证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，以为直角边，为直角顶点作等腰，连接，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）；逆时针；； （2）解：． 证明：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 将绕点逆时针旋转，使与重合，得到，连接． 由旋转性质得：，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 代入得； （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质判断即可； （2）根据等腰直角三角形的判定和性质得到，，将绕点逆时针旋转，使与重合，得到，连接，由旋转性质得：，，，，根据等腰直角三角形的判定和性质得到，，可知，根据勾股定理得到，可知； （3）根据等腰直角三角形的判定和性质得到，，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，连接，可知是等腰直角三角形，得到，，进而得到，根据勾股定理得到，即可求出线段的长度． 【小问1详解】 解：由旋转得到，两个三角形对应顶点的公共交点为，且对应点到的距离相等，因此旋转中心为点；点旋转到点，旋转到，旋转方向为逆时针，旋转角等于； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：∵等腰， ∴，， 如图，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，连接， 则，，， 因此是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二六年上半年期末检测 八年级数学试卷 说明：本试卷6页，六个大题，23个小题，满分120分．考试用时120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，下列不等式变形错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 传统纹样作为我国古代各民族美学的集中呈现，在多个领域都有广泛应用．下列纹样中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，其逆命题是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 两直线平行，内错角相等 C. 等边对等角 D. 平行四边形的对角线互相平分 6. 如图，在中，，分别是和上的点，从以下条件：①；②；③；④；选其中一个就能判定四边形是平行四边形的有（ ） A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一个正五边形的外角和为________． 8. 当________时，分式有意义． 9. 在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位长度得到点，则点在第________象限． 10. 如图，直线经过，两点，则不等式的解集为________． 11. 如图，的对角线与交于点，为的中点，，，，则的长度为________． 12. 在中，，，，点在上，，若点是三边上的一个动点，当时，的长为________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成各题 （1）因式分解：； （2）如图，，，求证：． 14. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 15. 化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 解：原式 …… 解：原式 …… （1）甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 16. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A在格点上．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点在格点上． （1）在图①中以点A为顶点，画一个面积为6的平行四边形． （2）在图②中以点A为对角线交点，画一个面积为6的平行四边形． 17. 如图，将沿射线的方向平移个单位长度到的位置，点，，的对应点分别为，，． （1）若，求的长度； （2）若，，求的度数． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 科技改变世界，随着无人驾驶技术的高速发展，在我们县城也能看到快递公司无人投递车的身影了．某快递公司为提高配送的准确性和工作效率，分别投入A型无人投递车与B型无人投递车承担快递运送任务．已知A型车运送720件快递所用的时间与B型车运送600件快递所用的时间相等，且A型车每小时比B型车多运送20件． （1）求A型无人投递车每小时可运送的快递数量； （2）快递公司计划再购进A，B两种型号的无人投递车共20台．若要保证购进的这批无人投递车每小时的运送量不少于2200件，求至少应购进多少辆A型无人投递车． 19. 【阅读材料】形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用 （1）用配方法因式分解：． 解：原式 （2）用配方法求代数式的最小值， 解：原式 ∵， ∴， ∴的最小值为． 【解决问题】（1）若代数式是完全平方式，则常数k的值为__________， （2）因式分解：； 【拓展应用】（3）用配方法求代数式的最小值． 20. 如图，在四边形中，是的中点，与相交于点，，． （1）求证；四边形是平行四边形； （2）若，，，求四边形的面积． 五、（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21. 我们定义：如果两个分式与的差等于2，则称是的“友好分式”．例如分式，，因为，所以是的“友好分式”． （1）已知分式，，请通过计算判断是否为的“友好分式”； （2）已知分式，，且是的“友好分式”，若当为整数时，分式的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； 22. 如图，在等边中，，点在边上（点不与线段的端点重合），连接，过点作的垂线，交所在直线于点，并过点作的平行线，交于点． （1）当点在边上时，的取值范围是________； （2）当点在边上时，是否存在的情况？如果存在，求此时的度数，如果不存在，说明理由； （3）当点在的延长线上时，是否存在的情况，若存在，求的度数；若不存在，说明理由． 六、（本大题共12分） 23. 【问题背景】 （1）如图1，，，，可以由通过旋转变换得到，旋转中心是点__________，旋转方向是__________，旋转角的大小为________； 【变式迁移】 （2）如图2，，，连接，试猜想，，之间的数量关系，并加以证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，以为直角边，为直角顶点作等腰，连接，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $