精品解析：江西赣州市章贡区2025—2026学年第二学期期末考试八年级数学试题卷

2025-2026学年第二学期期末考试八年级数学试题卷 说明：1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效． 一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 如图，某加油站加油机的数据显示牌，金额随油量的变化而变化，则下列说法正确的是（ ） A. 金额是因变量 B. 单价是自变量 C. 油量是常量 D. 油量是单价的函数 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的上四分位数为（ ） A. 140 B. 150 C. 163 D. 180 4. 如图，在中，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 某快递公司每天上午9:30至10:30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（）之间的函数关系图象如图所示，则从开始，当两仓库快递件数相同时，经过了（ ） A. B. C. D. 6. 如图，图1是由边长均为1的小正方形和构成，可以用其面积关系验证勾股定理，将图1按图2所示“嵌入”长方形，则该长方形的面积为（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 110 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 8. 将数据34，23，21，56，61，57，83，25分成两组，以便找到组内离差平方和最小的分组方法，那么分法有___________种． 9. 已知一组数据：3，5，5，8，9的平均数是6，则这组数据的中位数为___________． 10. 在理想状态下，某型号电动自行车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图，则理想状态下，该电动自行车充满电最远骑行距离为________． 11. 如果一次函数的图象无论取何值时都经过一个定点，那么这个定点的坐标是___________． 12. 在一次课后延时服务数学思维拓展课上，小晨同学把手边上一张邻边长分别为，（其中）的平行四边形纸片如图那样折一下，剪下一个边长等于的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去，并在第三次操作后剩下的平行四边形还是菱形，则的值___________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算以下各题 （1）计算：； （2）按照“组内离差平方和达到最小”的方法，班上小馨同学将一组数据分成了两组和，求这样分组的组内离差平方和___________． 14. 如图，在中，点在边上，，点为线段上一点，．求证：． 15. 如图，在中，，点是斜边的中点，以为边作正方形，且正方形的面积为16．求的面积． 16. 如图，在中，点E为的中点．仅用无刻度直尺在给定图形中画图． （1）在图1中，画的中点M； （2）在图2中，点P为边上一点，在上找点N，使得． 17. 中国古代有很多极为精巧的发明，榫卯结构就是其一，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸部位相结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为，其凸出部分的长度为，若个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为．求出与的函数关系式，并求100个相同的木构件紧密拼成一列时的总长度是多少． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为和的两个小正方形木料． （1）裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______； （2）求剩余木料（阴影部分）的面积． 19. 2026年是“十五五”规划开局之年，全国两会在北京召开．某校举办了“学习两会精神，争做好少年”的知识竞赛．学校分别从八、九年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（采用百分制，学生成绩均不低于60分，用表示，分为4个等级：A．；B．；C．；D．），并对竞赛成绩进行了整理、描述、分析、得到部分信息如下． 信息1 八年级被抽取的20名学生成绩如下：63，65，66，73，75，77，78，79，82，84，84，86，86，86，89，95，97，98，98，99． 九年级被抽取的学生成绩在组的数据为：85，85，85，86，87，88，88． 信息2 八、九年级被抽取学生成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 八年级 83 84 九年级 83 85 120 信息3 根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ， ； （2） 年级的成绩更整齐（填“八”或“九”）； （3）根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级的竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条即可）． 20. 如图，平行四边形中，的平分线交边于点，的平分线交边于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）记、的交点为，连接．若，，，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置内液面的高度，当液面与探针接触时开始记录实验数据．设探针浸入液面以下的长度为（单位：），装置内液体体积为（单位：）．下表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度（单位：） 装置内液体体积（单位：） 第1次实验 5 100 第2次实验 10 150 若探针粗细忽略不计，已知与满足一次函数关系．解决下列问题： （1）求与之间的函数表达式； （2）当探针浸入液面以下的长度为12时，求装置内液体的体积； （3）当探针与液面刚接触时，求装置内液面的高度． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象（是常数且）分别与轴和轴交于点和点，一次函数的图象（是常数且）分别与轴和轴交于点和点，直线与交于点． （1）求和的值； （2）不等式的解集为___________；方程组的解为___________． （3）若点是直线上一点，且，求点的坐标． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【问题情境】 在综合实践课上，老师让同学们探究了“平面直角坐标系中的矩形旋转问题”．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，点，点．操作发现：以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，． （1）如图1，当点落在边上时，求点的坐标 【继续探究】 （2）如图2，当点落在线段上时，与交于点，求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，当点落在边上时，点是轴上任意一点，点是平面内任意一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末考试八年级数学试题卷 说明：1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效． 一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 如图，某加油站加油机的数据显示牌，金额随油量的变化而变化，则下列说法正确的是（ ） A. 金额是因变量 B. 单价是自变量 C. 油量是常量 D. 油量是单价的函数 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了函数的定义，在一个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，此时y是x的函数，x是自变量．根据函数的定义依次判断． 【详解】解：油量是自变量，金额是因变量，单价是常量，金额是油量的函数， 观察四个选项，只有A正确． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式加减乘除运算法则，逐个判断选项即可得到结果． 【详解】解：A选项：与不是同类二次根式，无法合并，，故A错误； B选项：，故B错误； C选项：，故C正确； D选项：，故D错误． 3. 将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的上四分位数为（ ） A. 140 B. 150 C. 163 D. 180 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据箱线图可知，则该组数据的上四分位数为163． 4. 如图，在中，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先运用三角形内角和定理求得，然后根据平行四边形的对角相等即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 5. 某快递公司每天上午9:30至10:30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（）之间的函数关系图象如图所示，则从开始，当两仓库快递件数相同时，经过了（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可． 【详解】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为：， 根据题意得， 解得， ∴； 设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为：， 根据题意得， 解得， ∴， 联立， 解得， ∴当两仓库快递件数相同时，经过了． 6. 如图，图1是由边长均为1的小正方形和构成，可以用其面积关系验证勾股定理，将图1按图2所示“嵌入”长方形，则该长方形的面积为（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 110 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于点O，延长交于点P，证，得，同理，得，进而求得，即可解决问题． 【详解】解：延长交于点O，延长交于点P，如图2所示： 根据题意可得， 四边形是正方形， ， ， 又中，， ， 在和中， ， ， ， 同理：， ， ，即， ， ， 长方形的面积为：． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求解不等式即可得到结果． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得， 解不等式得． 8. 将数据34，23，21，56，61，57，83，25分成两组，以便找到组内离差平方和最小的分组方法，那么分法有___________种． 【答案】 【解析】 【分析】依据题意，因为共有8个数据，则其中有7个分隔，从而可以判断得解． 【详解】解：将给定数据从小到大排序： 其中有7个分隔，故分法有种． 9. 已知一组数据：3，5，5，8，9的平均数是6，则这组数据的中位数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据中位数的定义，先将数据从小到大排序，再找出最中间的数即可得到结果． 【详解】解：将这组数据从小到大排列为，，，，，这组数据共有个，数据个数为奇数，因此中位数为排序后最中间的数，即第个数，所以中位数为． 10. 在理想状态下，某型号电动自行车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图，则理想状态下，该电动自行车充满电最远骑行距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设，将图象中、代入表达式解二元一次方程组即可得到与的关系式，令求解即可得到答案． 【详解】解：设电池剩余的能量与骑行里程之间的关系为， 将、代入得， 解得， ， 当时，，解得． 11. 如果一次函数的图象无论取何值时都经过一个定点，那么这个定点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】将原一次函数解析式整理，分离出参数，由定点坐标与的取值无关，令的系数为求出，再代入解析式求出，即可得到定点坐标． 【详解】解： ∵无论取何值，函数图象都经过定点，即与无关， ∴令的系数为，得 解得 将代入变形后的解析式，得 ∴这个定点的坐标为． 12. 在一次课后延时服务数学思维拓展课上，小晨同学把手边上一张邻边长分别为，（其中）的平行四边形纸片如图那样折一下，剪下一个边长等于的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去，并在第三次操作后剩下的平行四边形还是菱形，则的值___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况画出图形，根据菱形的性质和平行四边形的性质，列出关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：①如图，经历三次折叠后，四边形为菱形， 四边形为菱形， ， ， 四边形为菱形， ， ， 四边形为菱形， ， ， 四边形为菱形， ，即， 解得：； ②如图，经历三次折叠后，四边形为菱形， 四边形为菱形， ， ， ， ∵四边形，，都为菱形， ， ， 解得：； ③如图，经历三次折叠后，四边形为菱形， ∵四边形，为菱形， ∴， ∴， ∵四边形、四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，的值为或或15． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算以下各题 （1）计算：； （2）按照“组内离差平方和达到最小”的方法，班上小馨同学将一组数据分成了两组和，求这样分组的组内离差平方和___________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）本题考查二次根式化简与绝对值运算，先将各项化为最简二次根式，去掉绝对值符号后合并同类二次根式即可得到结果． （2）根据组内离差平方和的计算方法，先分别求出两组的平均数，再计算每组内各数据与平均数差的平方和，相加即可得到总组内离差平方和． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 计算分组的组内离差平方和 对于第一组，计算得平均数为  第一组离差平方和为  对于第二组，计算得平均数为  第二组离差平方和为  总组内离差平方和为． 14. 如图，在中，点在边上，，点为线段上一点，．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，先根据四边形是平行四边形，得，，再证明，即可作答． 【详解】略 15. 如图，在中，，点是斜边的中点，以为边作正方形，且正方形的面积为16．求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形面积求出，根据直角三角形中斜边中线等于斜边一半，求出，根据勾股定理求出，最后根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点M是斜边的中点 ∴， ， ． 16. 如图，在中，点E为的中点．仅用无刻度直尺在给定图形中画图． （1）在图1中，画的中点M； （2）在图2中，点P为边上一点，在上找点N，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，交于点O，连接，延长交于点M，点M即为所求； （2）连接交于点O，连接，交于点J，连接，延长交于点N，点N即为所求． 【小问1详解】 解：如图中，点M即为所求； 理由：在中，，点是的中点， ∴是和的中位线， ∴， ∴， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∴ 又点E为的中点． ∴， ∴，即点M是的中点； 【小问2详解】 解：如图，点N即为所求． 理由：由（1）得是的中位线，则是的中位线， ∴ ∴． 17. 中国古代有很多极为精巧的发明，榫卯结构就是其一，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸部位相结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为，其凸出部分的长度为，若个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为．求出与的函数关系式，并求100个相同的木构件紧密拼成一列时的总长度是多少． 【答案】 【解析】 【分析】根据一个木构件的长度为，两个木构件上的凹凸部分紧密连接，每增加一个木构件，长度增加，得出函数解析式，然后将代入函数解析式，求出结果即可． 【详解】解：由题意得：， 把代入得：， 即100个相同的木构件紧密拼成一列时的总长度是． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为和的两个小正方形木料． （1）裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______； （2）求剩余木料（阴影部分）的面积． 【答案】（1）4， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的面积公式求解即可； （2）根据（1）所求正方形的边长，得出两个阴影部分的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵两个小正方形的面积为和， ∴两个小正方形的边长为，； 【小问2详解】 解：． 19. 2026年是“十五五”规划开局之年，全国两会在北京召开．某校举办了“学习两会精神，争做好少年”的知识竞赛．学校分别从八、九年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（采用百分制，学生成绩均不低于60分，用表示，分为4个等级：A．；B．；C．；D．），并对竞赛成绩进行了整理、描述、分析、得到部分信息如下． 信息1 八年级被抽取的20名学生成绩如下：63，65，66，73，75，77，78，79，82，84，84，86，86，86，89，95，97，98，98，99． 九年级被抽取的学生成绩在组的数据为：85，85，85，86，87，88，88． 信息2 八、九年级被抽取学生成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 八年级 83 84 九年级 83 85 120 信息3 根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ， ； （2） 年级的成绩更整齐（填“八”或“九”）； （3）根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级的竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条即可）． 【答案】（1），， （2）八 （3）八年级更好， 理由如下： 两个年级的平均数相同，八年级的众数比九年级的众数大， ∴八年级学生的知识竞赛成绩更好． 【解析】 【分析】（1）根据众数的定义可得a的值，结合扇形统计图的数据可得b的值，根据九年级B组人数占比进一步可得c的值； （2）根据方差的含义判断即可． （3）根据八年级的众数比九年级的大即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵八年级竞赛成绩为86分的人数最多， ∴八年级竞赛成绩的众数为86分，即； ∵九年级竞赛成绩在A组的人数占比为， ∴； ∵九年级被抽取的学生成绩在组的数据为：85，85，85，86，87，88，88， ∴第10个，第11个数据为，， ∴中位数， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵八年级同学的成绩的方差为，九年级同学的成绩的方差为，， ∴八年级的成绩更整齐． 【小问3详解】 略 20. 如图，平行四边形中，的平分线交边于点，的平分线交边于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）记、的交点为，连接．若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用平行四边形的性质和角平分线，证明四边形的两组对边分别平行，得出其为平行四边形；再通过等角对等边证明一组邻边相等，从而证得四边形是菱形． （2）先根据菱形的性质和已知条件，证明为等边三角形，求出相关线段的长度；再通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出的长度． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴平分，即， 过点作于点， 在中， ， 在中， ∵，， ∴，， 设，则， ，， 又∵，即， 解得（负值已舍）， ∴，， ∴， 在中， ． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置内液面的高度，当液面与探针接触时开始记录实验数据．设探针浸入液面以下的长度为（单位：），装置内液体体积为（单位：）．下表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度（单位：） 装置内液体体积（单位：） 第1次实验 5 100 第2次实验 10 150 若探针粗细忽略不计，已知与满足一次函数关系．解决下列问题： （1）求与之间的函数表达式； （2）当探针浸入液面以下的长度为12时，求装置内液体的体积； （3）当探针与液面刚接触时，求装置内液面的高度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用： （1）根据题目给出的两组对应数值，利用待定系数法设出一次函数解析式，列方程组求解和； （2）将的值代入求得的函数解析式中，计算对应的值； （3）理解“探针与液面刚接触”意味着浸入长度，此时对应的体积即为初始体积，结合圆柱体积公式，利用体积的变化量与高度的变化量成正比来求解液面高度 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为， 根据题意，将和代入得， ， 解得：， 与之间的函数表达式为． 【小问2详解】 解：当时， ． 【小问3详解】 解：当探针与液面刚接触时，． 将代入， 得：， 由题意知，当从变为时， 从50变为100． ∵装置为圆柱形，体积与高度成正比， ∴体积增加时， 高度增加． ∴当体积为时，液面的高度为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象（是常数且）分别与轴和轴交于点和点，一次函数的图象（是常数且）分别与轴和轴交于点和点，直线与交于点． （1）求和的值； （2）不等式的解集为___________；方程组的解为___________． （3）若点是直线上一点，且，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）将点分别代入一次函数和得，求解即可得出答案； （2）根据两函数的交点坐标为点并结合图象即可得出答案； （3）先求出，，求出，设，得出，结合，得出，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：将点分别代入一次函数和得：， 解得：； 【小问2详解】 解：两函数的交点坐标为点， 结合图象可得：不等式的解集为； 方程组的解为； 【小问3详解】 解：由（1）可得：直线的表达式为，直线的表达式为， 在中，令，则，解得， ， 在中，令，则， 解得， ， ， ， 点是直线上一点， 设， ， ， ， 解得：或， 点的坐标为或． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【问题情境】 在综合实践课上，老师让同学们探究了“平面直角坐标系中的矩形旋转问题”．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，点，点．操作发现：以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，． （1）如图1，当点落在边上时，求点的坐标 【继续探究】 （2）如图2，当点落在线段上时，与交于点，求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，当点落在边上时，点是轴上任意一点，点是平面内任意一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明：四边形是矩形， ， 点在线段上， ， 由旋转的性质得：， 在和中，， ∴， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质得到，，，再根据旋转的性质得到，根据勾股定理求出的长，从而可得的长，由此即可得； （2）先根据旋转的性质得到，，从而可得，再证明，得出，然后证明，得出； （3）分三种情况讨论：①当四边形为菱形时；②当四边形为菱形时；③当四边形为菱形时，利用菱形的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵矩形是由矩形旋转得到， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在，求解过程如下： 设点的坐标为，点的坐标为， 由题意，分以下三种情况： ①如图，当四边形为菱形时， 则， ， 解得或， 当时，点的坐标为， 菱形的对角线互相平分， ， 解得， 即此时点的坐标为； 当时，点的坐标为， 菱形的对角线互相平分， ， 解得， 即此时点的坐标为； ②如图，当四边形为菱形时， 菱形的对角线互相垂直且平分， 点与点关于轴对称， ， ； ③如图，当四边形为菱形时， 菱形的对角线互相平分， ， 解得， ， 又四边形为菱形， ， ，即， 解得， 则此时点的坐标为， 综上，存在点使以为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $