精品解析：江西省吉安市遂川县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

二〇二五年上半年期末考试 八年级数学试题卷 说明：本试卷6页，六个大题，23个小题，满分120分．考试用时120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 若分式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 全体实数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件．分式的分母不能为0，因此需满足分母，从而确定的取值范围． 【详解】解：分式有意义的条件是分母． 解此不等式得， 因此的取值范围是． 故选C． 2. 下列图案中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此即可求解． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，符合题意； C、该图形是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 已知等腰的一个外角的度数为，则其底角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角，根据外角的定义，得到等腰三角形的一个内角为，进而得到该角为顶角，根据两个底角相等，且三角形的内角和为180度进行求解即可． 【详解】解：∵等腰的一个外角的度数为， ∴等腰三角形的一个内角为； ∵， ∴该角只能是顶角， ∴等腰三角形的底角的度数为：； 故选A． 4. 如果，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，则：，原式错误，不符合题意； B、，则：，原式错误，不符合题意； C、，则：，正确，符合题意； D、，则：，原式错误，不符合题意； 故选C． 5. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解，根据因式分解的方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，原分解错误，不符合题意； C、，原分解错误，不符合题意； D、，原分解错误，不符合题意； 故选A． 6. 如图，的对角线交点为O，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质和等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，由四边形是平行四边形得，，得，，根据三角形内角和定理得，故可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法解答即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 【答案】有两个角互余的三角形是直角三角形． 【解析】 【详解】解：定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是有两个角互余的三角形是直角三角形． 9. 关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，根据 “同大取大” 原则即可得出答案． 【详解】解：根据 “同大取大” 原则得出， 故答案为：． 10. 在平面直角坐标系中，点绕点顺时针旋转后的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转：利用旋转的性质得到旋转变化后的线段长度，然后根据点的坐标的表示方法确定图形中特殊点的坐标． 根据旋转的性质求解即可． 【详解】如图所示， 由图可得，点绕点顺时针旋转后的点的坐标是． 故答案为：． 11. 已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据当时，分式无意义，得；当时，此分式的值为0，得到，代入解答即可． 【详解】解：根据当时，分式无意义，得，解得； 当时，此分式的值为0，得到，解得， 故． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值为零，分式无意义的条件，求代数式的值，有理数的乘方，熟练掌握条件是解题的关键． 12. 如图，已知中，，，，点P在边上，则当长为整数值时，的长为______． 【答案】1或4或7 【解析】 【分析】过点A作，垂足为E，连接，证明出是等腰直角三角形，勾股定理求出，得到，求出，然后利用无理数的估算得到，得到，然后根据的长为整数分情况讨论求解即可． 【详解】解：如图，过点A作，垂足为E，连接． ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵点P在边上 ∴， ∵的长为整数， 如图，当时，点E和点P重合，即点 ∴； 当时，即点C和点重合 ∴ ∴，． 综上所述，的长为1或4或7． 故答案为：1或4或7． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，无理数的估算等知识，解题的关键是分情况讨论． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，算术平方根，有理数的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算算术平方根，有理数的乘方，然后计算加法； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】（1）解： ； （2）解： 方程两边都乘以，得． 解这个方程，得． 经检验：是原分式方程的解． 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算法则、代数式求值等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 15. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，根据一元一次不等式组的解法先求出两个不等式的解集，再在数轴上表示这两个不等式的解集，进而得到不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得． ∴不等式组的解集为． 解集在数轴上表示如图所示： 16. 如图，在平行四边形中，点E是边上一点．请仅用无刻度直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）在图（1）中，，作一个三角形，使其面积为的两倍； （2）在图（2）中，E为的中点，在作一点F，使线段． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）连接，即为所求，平行四边形得到，则等高，而，故； （2）连接交于点，连接并延长交即为点，根据平行四边形得到，，继而可证明，则，那么可证明四边形为平行四边形，则． 【小问1详解】 解：在图1中，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，点即为所求： 17. 如图，四边形是平行四边形，，，交于点，交于点，其中，与交于点与交于点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定，掌握平行四边形的判定和性质是关键． 根据题意可得四边形和四边是平行四边形，则，，，运用角边角即可求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴四边形和四边是平行四边形， ∴，， 在和中， ， ∴． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某商场为了促销商品，推出了两种优惠方案． 方案一：购买商品满500元，超出部分打八折； 方案二：一律按原价的九折优惠． （1）当购买商品原价为880元时，分别求出两个方案所需价钱，哪种方案更优惠？ （2）已知某商品的原价为x元（），试说明随着商品价格的变化，哪种方案更优惠？ 【答案】（1）方案一需（元），方案二需（元），方案一更优惠 （2）当时，方案二更优惠；当时，方案一和方案二一样优惠；当时，方案一更优惠 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用、列代数式、解一元一次不等式等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）分别按“方案一”和“方案二”求得所需要的钱，然后再比较即可； （2）先列出方案一需：（元），方案二需，再分、、三种情况解答即可． 【小问1详解】 解：方案一需：（元）； 方案二需：（元）； ∵804元＞792元， ∴方案一更优惠． 【小问2详解】 解：方案一所需价钱：（元）； 方案二所需价钱：（元）； ①由，解得； ②由，解得； ③由，解得． ∴当时，方案二更优惠； 当时，方案一和方案二一样优惠； 当时，方案一更优惠． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，请直接写出顶点，的坐标； （2）若和关于原点成中心对称图形，请直接写出的各顶点的坐标； （3）将绕着点按顺时针方向旋转得到，请在坐标系中画出． 【答案】（1）， （2），， （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，关于原点对称的点的特征，画旋转图形． （1）根据平移后坐标为，得出平移变换是向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，即可解答； （2）根据关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数，即可解答； （3）根据旋转的性质，先画出点，再依次连接即可． 【小问1详解】 解：∵平移后坐标为， ∴平移变换是向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度， ∵，， ∴，． 【小问2详解】 解：∵和关于原点成中心对称图形，且，，， ∴，，． 【小问3详解】 解：根据旋转的性质，画图如下： 20. 如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E， （1）求证：BE=CD； （2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD， ∴∠B+∠C=180°，∠AEB=∠DAE， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠BAE=∠DAE， ∴∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE，∴BE=CD； （2）. 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线易证∠BAE=∠BEA，根据等腰三角形的性质可得AB=BE； （2）易证△ABE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AE=AB=4，AF=EF=2，由勾股定理求出BF，再由AAS证明△ADF≌△ECF，即△ADF的面积=△ECF的面积，因此平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF，即可得出结果． 【详解】（1） 略 （2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AE=AB=4， ∵BF⊥AE， ∴AF=EF=2， ∴BF=， ∵AD∥BC， ∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E， 在△ADF和△ECF中， ， ∴△ADF≌△ECF（AAS）， ∴△ADF的面积=△ECF的面积， ∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF=×4×2=4． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质． 五、（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21. 某工厂计划生产3600个零件，现有甲、乙两个车间都具备生产能力．已知甲车间单独生产完成这批零件比乙车间单独生产完成这批零件多用6天；乙车间每天生产的数量是甲车间每天生产数量的1.5倍． （1）求甲、乙两个车间每天分别生产的零件数量； （2）若甲车间生产的费用是每天1000元，乙车间生产的费用是每天1800元．若工厂计划让甲、乙两个车间共同生产这批零件，且总费用不超过19000元，则甲车间最少生产多少天？ 【答案】（1）甲车间每天生产的零件数量为200个，则乙车间每天生产的零件数量为300个 （2）甲车间最少生产13天 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）设甲车间每天生产的零件数量为x个，则乙车间每天生产的零件数量为1.5x个，根据题意得出分式方程，解方程即可； （2）设甲车间最少生产a天，根据题意得出，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设甲车间每天生产的零件数量为x个，则乙车间每天生产的零件数量为1.5x个， 根据题意得， 解得， 经检验：是原分式方程的解． ∴（个） 即甲车间每天生产的零件数量为200个，则乙车间每天生产的零件数量为300个． 【小问2详解】 设甲车间最少生产a天．根据题意， 得， 解得， 答：甲车间最少生产13天． 22. 阅读下列材料 如果，求x的取值范围． 解：根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，得或，分别解这两个不等式组，得第一个不等式组的解集为，第二个不等式组的解集为．故当或时，． 解决问题 （1）试利用上述方法，求不等式的解集； （2）如图，直线：与x轴交于点，直线：与x轴交于点，根据图象，请你直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，一次函数与一元一次不等式，熟练掌握题干中给出的计算方法，是解题的关键： （1）根据题干给出的方法，进行求解即可； （2）直接利用图象法，求出一个图象在轴上方，一个图象在轴下方时，的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴或， 解得：或； 【小问2详解】 ∵， 故一个图象在轴上方，一个图象在轴下方时符合题意， ∵直线：与x轴交于点，直线：与x轴交于点， ∴由图象可知：的解集为：或． 六、（本大题共12分） 23. 【课本再现】 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （1）请你完成以下证明： 已知：如图，是的中位线．求证：，． 【类比迁移】 （2）如图，是线段的中点，点在上，交于点，且，试判断线段和的数量关系并说明理由．小明发现可以类比以上思路进行证明：如图，延长至点，使，连接，易证…… 请你完成以上证明过程． 【方法运用】 （3）如图，在中，，，为射线上一个动点（在点右侧），把线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，是的中点，连接，，，． 请你判断线段和的数量关系并说明理由； 若，，请直接写出的长． 【答案】（）证明见解析；（），理由见解析；（），理由见解析；的长为或． 【解析】 【详解】（）延长至，使，连接证明，则有，，然后证明四边形是平行四边形，所以，，从而有，； （）延长至点，使，连接，同（）理，则，，然后证明，故有，从而求证； （）延长至点，使，连接，，先证，得，，则，由线段绕点逆时针旋转得到线段，，再证得，，然后证是等边三角形，即可得出结论； 分两种情况，当为的中位线时；当不是的中位线时两种情况分析即可． 解：（）证明：如图，延长至，使，连接， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，； （）， 理由如下：如图，延长至点，使，连接， 同（）理， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （）．理由如下： 如图，延长至点，使，连接，， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即； 解：由题意知，， 分是的中位线和不是的中位线两种情况求解， 当是的中位线时，， ∴； 当不是的中位线时，如图，取中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， 综上可知：的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，旋转的性质，平行四边形的性质，中位线，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等角对等边，旋转的性质，平行四边形的性质，中位线，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二五年上半年期末考试 八年级数学试题卷 说明：本试卷6页，六个大题，23个小题，满分120分．考试用时120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 若分式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 全体实数 2. 下列图案中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等腰的一个外角的度数为，则其底角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 4. 如果，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的对角线交点为O，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式：______． 8. 定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 9. 关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是______． 10. 在平面直角坐标系中，点绕点顺时针旋转后的点的坐标是______． 11. 已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0，则______． 12. 如图，已知中，，，，点P在边上，则当长为整数值时，的长为______． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解方程：． 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 16. 如图，在平行四边形中，点E是边上一点．请仅用无刻度直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）在图（1）中，，作一个三角形，使其面积为的两倍； （2）在图（2）中，E为的中点，在作一点F，使线段． 17. 如图，四边形是平行四边形，，，交于点，交于点，其中，与交于点与交于点．求证：． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某商场为了促销商品，推出了两种优惠方案． 方案一：购买商品满500元，超出部分打八折； 方案二：一律按原价的九折优惠． （1）当购买商品原价为880元时，分别求出两个方案所需价钱，哪种方案更优惠？ （2）已知某商品的原价为x元（），试说明随着商品价格的变化，哪种方案更优惠？ 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，请直接写出顶点，的坐标； （2）若和关于原点成中心对称图形，请直接写出的各顶点的坐标； （3）将绕着点按顺时针方向旋转得到，请在坐标系中画出． 20. 如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E， （1）求证：BE=CD； （2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积． 五、（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21. 某工厂计划生产3600个零件，现有甲、乙两个车间都具备生产能力．已知甲车间单独生产完成这批零件比乙车间单独生产完成这批零件多用6天；乙车间每天生产的数量是甲车间每天生产数量的1.5倍． （1）求甲、乙两个车间每天分别生产的零件数量； （2）若甲车间生产的费用是每天1000元，乙车间生产的费用是每天1800元．若工厂计划让甲、乙两个车间共同生产这批零件，且总费用不超过19000元，则甲车间最少生产多少天？ 22. 阅读下列材料 如果，求x的取值范围． 解：根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，得或，分别解这两个不等式组，得第一个不等式组的解集为，第二个不等式组的解集为．故当或时，． 解决问题 （1）试利用上述方法，求不等式的解集； （2）如图，直线：与x轴交于点，直线：与x轴交于点，根据图象，请你直接写出关于x的不等式的解集． 六、（本大题共12分） 23. 【课本再现】 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （1）请你完成以下证明： 已知：如图，是的中位线．求证：，． 【类比迁移】 （2）如图，是线段的中点，点在上，交于点，且，试判断线段和的数量关系并说明理由．小明发现可以类比以上思路进行证明：如图，延长至点，使，连接，易证…… 请你完成以上证明过程． 【方法运用】 （3）如图，在中，，，为射线上一个动点（在点右侧），把线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，是的中点，连接，，，． 请你判断线段和的数量关系并说明理由； 若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $