（第一章）3.1 等式与不等式的性质 讲义-2026-2027学年高一上学期 数学 北师大版 必修第一册

3.1不等式的性质 思维导图 目录 考点一 不等式性质 2 考点二 比较大小 9 考点三 代数式的取值范围 12 知识点1不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 考点一 不等式性质 【例1】（1）对于任意实数a，b，c，则下列四个命题： ①若，，则；②若，则； ③若，则；④若，则. 其中正确命题的个数为( ) A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【解析】时，若，则，①错误； 若，则，②错误； 若，则，∴，③正确； ，若，仍然有，④错误． 正确的只有1个．故选：C． （2）．若、、为实数，则下列命题正确的是( ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解析】对于A选项，若，则，故A不成立； 对于B选项，，在不等式同时乘以，得， 另一方面在不等式两边同时乘以，得，，故B成立； 对于选项C，在两边同时除以，可得，所以C不成立； 对于选项D，令，，则有，，，所以D不成立. 故选B. 典例： 1．下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ABC 【分析】运用不等式的性质，结合差比法进行判断即可. 【详解】A：因为，所以，即，因此，所以本选项说法正确； B：因为，所以，而，所以，因此本选项说法正确； C：，因为，， 所以，因此本选项说法正确； D：当时，，显然成立，，显然不成立， 所以本选项说法不正确， 故选：ABC 2．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若、、，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】当时可判断A，根据不等式性质可判断B，作差法比较大小可判断C，取特殊值可判断D. 【详解】解：对于A选项，当时不满足，故错误； 对于B选项，由不等式性质知，两边同时乘以，可得，故正确； 对于C选项，若，则， 故，即，故正确； 对于D，取，可知不正确，故D错误. 故选：BC 3．已知∈R，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对于ABC项：根据不等式的性质逐项判断.对于D项，使用作差法比大小. 【详解】对于A：因为，所以，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，两边同乘以得，故B正确； 对于C：因为，所以，所以，又，两式相乘得 ，故C错误； 对于D：, 因为，所以,所以，所以，故D正确. 故选：ABD 变式训练： 1．下列命题正确的是( ) A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【解析】A.若，则，取 不成立 B.若，则，取 不成立 C. 若，，则，正确 D. 若，，则，取 不成立故答案选C 2．下列结论正确的是( ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A，取时，，则A错误； 对于B，取时，，则B错误； 对于C，因为，所以由不等式的性质可知，则C正确； 对于D，取时，，则D错误；故选：C 3．已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用不等式的性质逐一判断选项，可得答案． 【详解】，，，A错误，B错误； ，，C错误； ，，D正确； 4．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】利用不等式的性质或举反例的方法来判断各选项中不等式的正误. 【详解】对于A选项，若且，则，该选项错误； 对于B选项，取，，，，则，均满足，但，B选项错误； 对于C选项，取，，则满足，但，C选项错误； 对于D选项，由不等式的性质可知该选项正确，故选D. 5．若则一定有( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】本题主要考查不等关系．已知,所以，所以，故．故选 6、下列说法正确的是（    ）. A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】对于A，举一个反例即可；对于B，先由得，再由得；对于C，举一个反例即可；对于D，作差，根据差值的正负即可判断. 【详解】对于A，若，不一定有，如当时，故A错误； 对于B，因为，所以， 又因为，所以，故B错误； 对于C，若，，则不一定成立， 如当，时，，此时，故C错误； 对于D， ， 因为，，所以， 所以，故，故D正确. 故选：D. 【详解】对于A：由得，错误； 对于B：由，则有，即，正确； 对于C：由得，则根据不等式的性质有，即， 由可得，错误； 对于D：由得，则，即，错误. 故选：B 7、已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】由条件结合充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】由，可得： 若，则，当时，，故不能推出； 若，则当时，，可得，也不能推出． 综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 8、已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质判断D；举例说明即可判断ABC. 【详解】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，但不成立，故B错误； C：当时，，故C错误； D：由，得，故D正确. 故选：D 9、已知，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据题意，结合不等式的基本性质，以及特例和作差比较法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，例如：，满足，但，所以A不正确； 对于B中，例如：，满足，但，所以B不正确； 对于C中，由， 因为，可得且，所以，所以C正确； 对于D中，由，可得，可得， 所以，所以D不正确. 故选：C. 10、已知且，．则下列关系一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质即可判断A选项，利用特殊值法可排除BC，利用作差比较法可判断D选项. 【详解】由题意可知，， 对于A，由，， 根据同向可加性得，故A正确； 对于B，取，验证B错误； 对于C，若，等式不成立，故C错误； 对于D，两式做差得， 因为， 所以， 所以，故D正确. 故选：AD. 考点二 比较大小 例1、已知a，b均为正实数，试利用作差法比较与的大小. 【答案】 【解析】∵ . 又a，b均为正实数， 当时，； 当时，， 则. 综上所述，. 例2、若，设，，则M，N的大小关系是 ． 【答案】 【详解】因为，， 则， 且，则， 可得，即. 故答案为：. 变式训练： 1．若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．a，b大小不确定 【答案】A 【解析】利用作差法计算比较大小，可得答案． 【详解】， 故选：A 2．设，，则与的大小关系是 . 【答案】 【分析】利用作差法得，变形后判断出的符号，由此可得出与的大小关系. 【详解】作差得，故答案为. 3．已知，求证：. 【答案】详见解析 【分析】可先证明分母成立，先根据同向可乘性进行求证 【详解】. ∵，∴，∴. ∵，∴ 4、已知，，求证：. 【答案】证明见解析. 【解析】， 因为，，所以，，故，即证：. 5、设a、b为实数，比较与的值的大小. 【答案】 【详解】由， 又a、b为实数，，，则， 所以. 6、已知，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】 ， 因为，所以，又，所以， 所以. 7、试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 思考：与． 【答案】(1) ，理由见解析 (2) ，理由见解析 【分析】（1）作差法比较大小； （2）两式平方比较大小； 【详解】（1） 理由： ， 估算是，估算是，所以， 因此 . （2） 理由：将两式平方， ，显然， 所以 . 8、设x是实数，比较与的值的大小. 【答案】 【分析】通过差比较法证得两者的大小关系. 【详解】，， 因为，所以， 即. 9、设，比较与的值的大小． 【答案】 【详解】 ， 因为，所以， 所以，所以. 考点三 代数式的取值范围 【例1】（1）（多选题）已知，，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 (2)已知，，求的范围 【答案】（1）ACD 【解析】(1) 【分析】根据不等式的性质，对各个选项进行计算，即可求出结果. 【详解】对于，因为，所以，所以的取值范围为，故正确； 对于，因为，，所以，，所以的取值范围为，故不正确； 对于，因为，所以，又，所以的取值范围为，故正确； 对于，因为，，所以的取值范围为，故正确； 故选：ACD. （2）思考：将两边同时乘以得，将与两式相加得，将与两式相加得 ，，所以(. 这样做对吗？？？ 正解：设，则，得，即 因为，， 所以，，则 . 典例： 1．已知实数满足： (1)，求的取值范围； (2)求的取值范围. 【答案】(1)的取值范围为，的取值范围为；(2)的取值范围为. 【详解】（1）因为，所以，又因为，所以； 因为，所以，又因为，所以； 所以的取值范围为，的取值范围为； （2）令，， 所以，解得， 因为， 所以， 所以， 所以的取值范围为. 变式训练： 1．若，则的范围为_______________ 【答案】 【解析】依题意可知，由于，由不等式的性质可知.故填：. 2、已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质计算可得. 【详解】由题意可知，, 所以. 故选：D. 3、已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式倒数性质求的范围，然后同向不等式相乘可解． 【详解】因为，所以，， 又，所以. 故选：D. 4．（多选）已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由不等式的性质直接求解. 【详解】因为，，则，，故A、C正确； 由题，故，B错误； ，则，故，D正确； 故选：ACD. 5．已知，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据不等式性质可得的取值范围. 【详解】因为，， 所以； 即的取值范围为. 故答案为：. 6．若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据已知条件结合不等式性质求范围即可. 【详解】因为,所以, 又因为,所以. 故答案为：. 7．若实数，满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由不等式的加法性质可求. 【详解】由，，， 则，，， 又，所以, 所以的取值范围为. 故答案为：. 8．已知，，求下列各式的取值范围. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用不等式的加法性质即可求解. （2）利用不等式的减法性质即可求解. （3）利用不等式的乘法性质即可求解. （4）利用不等式的除法性质即可求解. 【详解】（1）∵，∴.又∵，∴. （2）∵，∴.又∵，∴. （3）∵，，∴. （4）∵，∴.由，可得. 9、已知，，求及的取值范围． 【答案】，. 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出范围即可. 【详解】由，得，又，所以； 由，，得，，所以. 10．已知，，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令4a﹣2b＝x(a﹣b)+y(a+b)，即，解得：x＝3，y＝1，即4a﹣2b＝3(a﹣b)+(a+b). ∵1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，∴3≤3(a﹣b)≤6，∴5≤(a﹣b)+3(a+b)≤10 故选：B． 11．已知二次函数的图象过原点，且，则的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 二次函数的图像过原点， 设二次函数为：， ，， ……①，……②， 则3①+6②得：即，故选：B. 12.已知，，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 解析：令 则，∴，又，…∴①， ∴…②∴①②得．则．故选C． 13.已知实数，满足，，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B 解析：令，，, 则 又，因此，故本题选B. 14．(多选)已知，则的取值可以为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】ABC 【分析】设出，求出，再利用不等式的性质求解. 【详解】设， 则，解得， ， ， ， 即， 故选：ABC. 15． 已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】解：设， 所以，解得， 因为，， 则， 因此，. 故答案为：. 16．已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由不等式的性质求解. 【详解】，， 设， 所以，解得：， 所以， 又， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 17．实数，满足，．则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，求出、，再根据不等式的性质计算可得. 【详解】设，所以，解得， 即， 因为，所以， 又，所以， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 18．设实数x，y满足，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用待定系数法得出，结合不等式的基本性质即可得解. 【详解】设， 则，解得，所以， 因为，，所以，， 所以，即. 因此的取值范围是. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $3.1不等式的性质 思维导图 a=beb=a a=b,b=c→a=c a=b→a±c=btc a=b→ac=bc 等式 a b 性质 a=b,c≠0台二= cc a=b,c=d→a+c=b+d a=b≥0→a”=b"(n∈W,n≥1) 等式 a=b≥0→Na=0b(meN,n≥2) 性质 a>beb<a a>b,b>c→a>c a>ba+c>b+c a>b,c>0ac>bc;a>b,c<0ac<bc 不等 式性质 a>b,c>d=a+c>b+d a>b>0,c>d>0ac>bd a>b>0→a”>b(neWn≥1) a>b>0→Wa>Vb(neW,n≥2) 目录 考点一不等式性质.. ……2 考点二比较大小…5 考点三代数式的取值范围.…… …7 知识点1不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 心b→b≤a 台 2 传递性 Pb,b>c→心c 不可逆 3 可加性 Db台a+c>b+c 可逆 →c>bc 4 可乘性 c的符号 →aC<bc 5 同向可加性 →a+c>b+d 同向 6 同向同正可乘性 →ac≥bd 同向 7 可乘方性 心b>0→db'(n∈N,e2) 同正 考点一不等式性质 【例1】(1)对于任意实数a,b,c,则下列四个命题： ①若a>b,c≠0，则ac>bc:@若a>b,则ac2>bc 11 ③若ac2>bc2,则a>b;④若a>b,则ab. 其中正确命题的个数为() A.3 B.2 C.1 D.0 (2).若a、b、c为实数，则下列命题正确的是() A.若a>b,则ac2>bc B,若a<b<0,则a>ab>b 11 b、a C.若a<b<0,则ab D.若a<b<0,则ab 典例： 1.(多选)下列说法中，正确的是() A品总，则。办 B.若a>b,c<d,则a-c>b-d ,a+m、a C.若b>a>0,m>0,则b+m>b 11 D.若a2>b2,ab>0,则ab 2.(多选)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数 学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若 a、b、c∈R,则下列命题正确的是() a b A.若a>b,则ac2>bc2 B.若。>，则a>b bb+c C.若a<b<c<0,则aa+c D.若a>b,则a2>b2 3.(多选)已知a,b,C∈R,则下列结论正确的是() A.若ac2>bc2,则a>b B.若a<b<0,则a2>ab a<b C.若c>a>b>0则c-ac-b 0若a>b>1,则a名b日 变式训练： 1.下列命题正确的是() 11 A.若a>b,则ab B.若a>b,则a2>b2 C.若a>b,c<d,则a-c>b-d D.若>b,c>d,则ac>bd 2.下列结论正确的是() 心 1、1 A.若a>b,则ba B.若a2<b2,则a<b c.若a>b,c>d则a-d>b-c D.若a>b,则ac2>bc 3.已知a<b<0,则下列不等式成立的是() A.a2<b2 8.11 C.ab<b2 a b 0.b、9 a b 4.下列说法正确的是（) A.若a>b,则ac>bc B.若a>b,c>d,则ac>bd c.若a>b,则a2>b2 D.若a>b,c>d,则a+c>b+d 5.若a>b>0,c<d<0,」 则一定有() a、b a、b a b A.c d B.c d C.dc D.d c 6、下列说法正确的是( A.若a>b,则a>bB.若a>b>0,c<d<0,则g>b 'd c C.若a>b,c<d,则a+c>b+dD.若a>b>0,c<0,则b-C>b a-c a 、已知a,b∈R,则士<”是“a>b”的( ) a b A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 8、已知a,b,c∈R且a>b,则下列不等式一定成立的是( ) A.<6B.a2>b a b C.alcl>blcl D.asb c2+1c2+1 9、已知a,b,c∈R,则下列命题为真命题的是( A.若a>b,则a>b2B.若a<b,则a2<b2 C.若a>b,则a(c2+1>b(c2+1)D.若a<b<0,则< a b 10、(多选)已知a,b,c,d∈R且a>b,c>d.则下列关系一定成立的有( A.a-d>b-c B.ac>bd C.ac>bc2 D.ac+bd>ad+bc 考点二比较大小 例L、已知ab均为正实数，试利用作差法比较“+分与Q6+b 的大小 例2、若x<y<0设M=X+yx-yrN=X-yx+y则M,N的大小关系是 一· 变式训练： 1.若a=(x+2)(x+3),b=(x+1)(x+4),则下列结论正确的是() A.a>b B.a<b C.a≥b D.a,b大小不确定 5 2.设m=x2+y,n=2y,则m与n的大小关系是 3.已知a>b>0,c<d<0,求i证：b<,a a-c b-d c、c 4、已知a>b>0,c<0,求证：ab. 5、设a、b为实数，比较a+b与2a-2b-2的值的大小. 6、已知a≥-1，求证：a+1≥a2+a. 7、试比较下列各数的大小，并说明理由： ()3+3与2+V5 (②3+V5与V2+V6 思考：V7-3与V6-2. 8设x是实数，比较x+1x-x+1与x-1x+x+1的值的大小 9、设a>b0,比2号8与号值的大小 6 考点三代数式的取值范围 【例1】(1)（多选题）已知2<x<3,2<y<3,则下列说法正确的是() A.2x+y的取值范围为(6,9】 B.2x-y的取值范围为(2,3) C多的取丝范固为号，多 D.xy的取值范围为4,9】 (2)已知1≤a-b≤2,2≤a+b≤3，求2a-4b的范围 个 典例： 1.已知实数a,b满足： b (1)1<a<2,2<b<6,求2a+b,a的取值范围： 1<a+b<3,3<2a+b<5,2a-b (2) 求 的取值范围. 变式训练： 1.若 ,则a-2b 2<a<5,3<b<10 的范围为 2、已知2<a<3,-2<b<-1,则2a-b的取值范围是( A.2a-b16≤2a-b≤7B.2a-b2<2a-b<5 c.2a-b14≤2a-b≤7D.2a-b15<2a-b<8 3、已知1<a<3,3<b<6,则b的取值范围为( ) 2a 1<b<3 号20B2c6c12%6D220 2a 4.(多选)己知实数x,y满足1<x<6,2<y<3,则() A.3<x+y<9B.-1<x-y<3 Q.2w<18D六6 5.已知x>3,y>4,则y的取值范围为一 6.若8<x<10,2<y<4,则X的取值范围为 7若实数x,y满足·X<y分则xy的取值范围为一· 8.已知2<m<4,3<n<5,求下列各式的取值范围. (1)m+2n;(2)m-n;(3)mn; 4” 9、已知-1<x<4,2<y<3,求x-y及3x+2y的取值范围. 10.已知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4，则4a-2b的取值范围是() A.[B,121 B.510‘c.612☑ D.B,10 1.已知二次函数少=f0 的图象过原点， 1≤-)≤2,3sf0≤4，则)的取值范围为() 3963 A.[6,10] B.[21,30] 2’2 D.[4,12] 2已知-1sx+y≤11sx-ys3则8 的取值范围是() A.[2,2] B日到e22].2 9 13已知实数.'满足4≤-y≤-1,1≤4-y≤5则9r-的 ，则的取值范围是() A.[-7,26 B.[-1,20] c.[4,15] D.L,15] 14.(多选)已知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4，则2a-b的取值可以为( A.3B.4C.5D.6 15.已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，则4a-2b的取值范围为 16.已知-2<3a+2b<3,2<a-3b<4,则5a+7b的取值范围是 17.实数a,b满足4≤a+b≤7,2≤a-b≤3.则3a-2b的取值范围是 18.设实数x,y满足3≤2x+y≤5,1≤x-y≤7，则3x-2y的取值范围为一· 10