（第二章）2.1-2.2 函数的概念及表示 讲义-2026-2027学年高一上学期 数学 北师大版 必修第一册

2.1 函数的概念BS 2.2 函数的表示法 BS 思维导图 目录 考点一 函数的概念与判断 2 考点二 求函数值 7 考点三 定义域 9 考点四 判断是否是同一函数 16 考点五 函数的表示方法 24 考点六 求函数值域 26 考点七 求函数解析式 34 考点八 分段函数 41 考点一 函数的概念与判断 知识点： 函数 两集合A、B 设A，B是两个非空数集 对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x， 在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y＝f(x)，x∈A 【例1】下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 如图，C选项中，在x允许的取值范围内取x＝x0，此时函数y与之对应的有2个值，y＝y1，y＝y2，不符合函数的定义.其它三个选项都符合函数的定义. 故选：C． 典例： 1．设，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集合到的函数关系的有(    )个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】由函数的定义知，①不能表示集合到的函数关系，因为图中y的范围是[0，2]； ②不能表示集合到的函数关系，因为图中y的范围是[0，2]； ③不能表示集合到的函数关系，因为对于一个x，可能有两个y值与之对应； ④能表示集合到的函数关系. 故满足题意的有④，共1个. 故选：A. 变式训练： 1．如图所示，表示函数图像的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据函数的定义知，一个有唯一的对应，由图象可看出，只有选项B的图象满足这一点．故选：B． 2．下列各图中能作为函数图像的是( )． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】A 【解析】对①②，对于定义域内的任意一个，都有唯一的值与对应，则①②正确； 对③，在内，此时一个有两个值与对应，则③错误； 对④，在内，此时一个有两个值与对应，则④错误； 故选：A 3．判断下列对应是否为函数： (1)x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}； (2)x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}； (3)x→y＝3x＋1，x∈R，y∈R. 【答案】(1)不是；(2)是；(3)是 【解析】(1)根据函数概念知，当时，在没有值与对应，所以不是函数； (2)根据函数概念，当时，，所以对于每一个值，都有唯一的值与之对应，所以是函数； (3)根据函数概念，对于每一个值，都有唯一的值与之对应，所以是函数； 4．在下列图象中，函数的图象可能是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，存在一个自变量对应两个值，错误；对于B，存在自变量对应两个值，错误；对于C，存在自变量对应两个值，错误；对于D，定义域内每个自变量都有唯一实数与之对应，正确，故选D. 5、下列图象中，不能作为函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义知，定义域内的任意的自变量，只能有唯一的与对应，逐项判定，即可求解. 【详解】根据函数的定义知，对于定义域内的任意的自变量，只能有唯一的与对应， 选项ABD中，每一个都有唯一的与对应，满足函数的定义，可以表示函数； 选项C中，出现一个都有两个与对应，不满足函数的定义，不可以表示函数. 故选：C. 6、设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数对应关系可得,对于集合M中的每个数,集合N中都有唯一且确定的数与之对应. 【详解】对于A,集合M中的3对应了集合N中的两个数,A错误; 对于B,集合M中的2对应了集合N中的两个数,B错误; 对于C,集合M中的每个数在集合N中都有唯一的数对应,C正确; 对于D,集合M中的3对应了集合N中的两个数,D错误, 故选:C. 7、给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】ACD选项，可举出反例；B选项，利用函数的定义作出判断. 【详解】A选项，，当时，，由于，故A选项不合要求； B选项，，存在唯一确定的，使得，故B正确； CD选项，对于，不妨设，此时，解得， 故不满足唯一确定的与其对应，不满足要求，CD错误. 故选：B 考点二 求函数值 【例1】求下列函数的函数值： （1）已知，求; （2）已知，求; （3）已知，，求； 解:（1）将代入函数，得； （2）将代入函数，得； （3）将代入，得， 将代入，得，所以 思考：在（3）中，求，. 变式训练： 1．已知，则( ) A．15 B．21 C．3 D．0 【答案】D 【解析】根据的解析式，有.故选：D 2．若函数，则______________． 【答案】-1 【解析】当时,故. 故答案为： 3、已知函数，则 ． 【答案】21 【分析】代入求值即可． 【详解】由，可得． 故答案为：21. 4．若函数f(x)＝，g(x)＝，则的值为____________. 【答案】 【解析】.故答案为： 5．已知f(x)＝ (x≠－1)，g(x)＝x2＋2，则f(2)＝________，f(g(2))＝________. 【答案】 【解析】因为，故可得；又，故可得； 故.故答案为：；. 6．已知定义域为的函数和.求和的值. 【答案】， 【详解】因为定义域为的函数和， 所以，， 所以，. 7．已知函数f(x)＝. (1)求f(2)＋f()，f(3)＋f()的值； (2)求证：f(x)＋f()是定值； (3)求f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2012)＋f()的值． 【答案】(1)1，1；(2)证明见解析；(3)2011. 【解析】(1)∵f(x)＝， ∴f(2)＋f()＝＋＝1，f(3)＋f()＝＋＝1. (2)证明：f(x)＋f()＝＋＝＋＝＝1. (3)由(2)知f(x)＋f()＝1， ∴f(2)＋f()＝1，f(3)＋f()＝1，f(4)＋f()＝1，…，f(2012)＋f()＝1. ∴f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2012)＋f()＝2011. 8．已知，则_________． 【答案】 【解析】，， 所以 故答案为： 考点三 定义域 【例1】函数的定义域为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，解得x≥且x≠2． ∴函数的定义域为．故选：C． 【例2】已知的定义域为， (1)求的定义域； (2)求的定义域 【答案】(1)(3，5)；(2). 【解析】(1)的定义域为，，则，即的定义域为； (2)的定义域为；由得，即的定义域为． 【例3】．若函数的定义域是，则函数的定义域是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域是，的定义域须满足， ，解得，所以函数的定义域为.故选：C. 【例4】已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数的定义域是，等价于不等式对任意恒成立，分和两种情况求出实数的取值范围即可. 【详解】因为函数的定义域是， 所以不等式对任意恒成立， 当时，，对任意恒成立，符合题意； 当时，，即，解得：， 综上，实数的取值范围是; 故选：D 典例： 1．函数的定义域是（    ） A． B．∪ C． D． 【答案】B 【分析】利用根式、分式和零次幂有意义，列关系计算即可. 【详解】依题意得得∪. 故选：B. 2．求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，由于函数定义域为， 故，即，解得， 所以函数的定义域为； （2）因为函数的定义域为，即， 所以，所以函数的定义域为， 由，得， 所以函数的定义域为. 3．已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质，结合复合函数的定义域性质进行求解即可. 【详解】由， 于是有， 故选：C 4．已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】由题意知恒成立，然后根据二次项系数是否为0，进行分类讨论，求出结果即可. 【详解】因为函数的定义域是R，即恒成立， （1）若，则有意义，符合题意； （2）若，则，解得， 综上实数a的取值范围是， 故选：B. 5．已知函数的定义域为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据函数定义域求出，利用基本不等式可求答案. 【详解】由题可知，且，即，所以， 当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为4. 故选：C. 变式训练： 1．函数的定义域是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得：，且，得到，且，故选：D 2．函数的定义域为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 ，可得 ， 所以函数的定义域为 .故选A. 3．已知函数的定义域为(－1，0)，则函数的定义域为________． 【答案】 【解析】由－1<2x＋1<0，得－1<x<－，所以函数f(2x＋1)的定义域为 4．设的定义域为，则函数的定义域是___________. 【答案】 【解析】∵函数的定义域为， ∴函数满足， 解不等式，得，即函数的定义域是，故选A 5．已知函数的定义域为，求的定义域 . 【答案】 【解析】由题意，函数的定义域为， 则函数满足，解得，即， 即函数的定义域为. 6．函数的定义域是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，得，解得．∴定义域为． 故选：B． 7．函数的定义域是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】要使函数有意义，则：， 解得，所有的定义域为：，故选：A 8．已知的定义域为，则函数的定义域为 ( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的定义域为，故函数有意义只需即可，解得，选B． 9．已知的定义域为，的定义域是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的定义域为；；； 的定义域为；；； 的定义域为．故选：D． 10．函数的定义域是指自变量的取值范围，则函数的定义域为（    ） A． B．且 C． D．或 【答案】C 【分析】根据题意知，解不等式即可求解. 【详解】根据题意，要使函数有意义，需满足，即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C 11、已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】整体代入法求函数的定义域，再由有意义的条件，求定义域. 【详解】因为函数的定义域是，由，解得， 所以函数的定义域为. 要使有意义，则，解得， 所以的定义域是. 故选：. 12、若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求得的取值范围，此范围也即为中的范围，也即通过函数的定义域求解，从而可得结论． 【详解】函数的定义域是，，所以的定义域是， 故对于函数，有，解得， 从而函数的定义域是， 故选：D. 13、已知函数的定义域为，则的定义域为 . 【答案】 【分析】由题意，可得，即的定义域为，进而根据，解不等式即可得答案. 【详解】因为函数的定义域为，即， 所以，即的定义域为， 所以，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 考点四 判断是否是同一函数 判断方法：根据函数的定义，判断各选项中两函数的定义域、对应关系以及值域是否相同，如有不同即可判断不是同一函数， 【例1】（1）函数和是同一个函数吗？为什么？ （2）函数和是同一个函数吗？为什么？ 解:（1）因为函数的定义域为，函数的定义域为， 所以和不是同一个函数. （2）因为函数和的定义域都为， 而函数的等号右边分子分母同时除以得， 所以函数和的对应关系相同，所以和是同一函数. 【例2】下列四组函数中,表示同一函数的是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A:， ，两个函数的定义域和对应关系都相同,表示同一函数； 对于B:的定义域为R,的定义域为,两个函数的定义域不同,不是同一函数; 对于C.的定义域为,的定义域为,两个函数的定义域不同,不是同一函数; 对于D.的定义域为,的定义域为或,两个函数的定义域不同,不是同一函数. 典例： 1．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．与 【答案】C 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故A错误； 对于B，，，表达式不同，不是同一函数，故B错误； 对于C，两函数的定义域，表达式和值域均相同，是同一函数，故C正确； 对于D，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故D错误. 故选：C. 2．中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，A不是； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域 为或，两个函数定义域不同，B不是； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，且， 两个函数定义域相同，对应法则也相同，C是； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，D不是. 故选：C 变式训练： 1．下列各组函数中，表示同一个函数的是__________(填序号). (1)y＝x－1和y＝；(2)y＝x0和y＝1； (3)f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2；(4)f(x)＝和g(x)＝. 【答案】(4) 【解析】(1)的定义域为；的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数； (2)的定义域为；的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数； (3)两个函数的对应关系不同，故不是同一个函数； (4)因为两个函数的定义域均为，且，故两函数是同一个函数. 2．下列函数；；；与函数是同一函数的是________. 【答案】 【解析】定义域是，所以与函数不是同一函数； 定义域是，所以与函数不是同一函数； ，所以与函数是同一函数； ，所以与函数不是同一函数. 故答案为： 3．下列与函数是同一个函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】定义域相同且对应关系相同，则两个函数相同，进而得到答案. 【详解】函数定义域为R. 对A，函数定义域为，故错误； 对B，函数定义域为，故错误 ； 对C，函数定义域为R，函数为，对应关系不同，故错误； 对D，函数定义域为R，函数可化简为，故正确. 故选：D. 4．下列各组函数表示相同函数的是（        ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据函数的定义域及对应法则判断是否为同一函数即可. 【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数； 对于B中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数； 对于C中，函数与的定义域和对应法则都相同，所以表示相同的函数； 对于D中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数. 5.（多选题）下列各组函数不是同一函数的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ABC 【分析】利用同一函数的定义对每一个选项逐一判断得解. 【详解】对于A，函数的定义域是，函数的定义域是，两个函数定义域不同，故这两个函数不是同一个函数； 对于B，函数的定义域是，函数的定义域是或，两个函数的定义域不同，故这两个函数不是同一个函数； 对于C，函数，，两个函数的对应关系不相同，故这两个函数不是同一个函数； 对于D，函数和的定义域都是，两个函数的对应关系也相同，故这两个函数是同一个函数. 故选：ABC. 6.（多选题）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【分析】根据函数的定义，判断各选项中两函数的定义域、对应关系以及值域是否相同，如有不同即可判断不是同一函数，即可得答案. 【详解】对于A，与的定义域都是R，对应关系相同， 值域相同，故与是同一函数，A正确； 对于B，与的对应关系不同，故二者不是同一函数，B错误； 对于C，与，前者的定义域为R，后者定义域为， 故二者不是同一函数，C错误； 对于D，，与的定义域以及对应关系都相同， 故二者是同一函数，D正确， 7、下列各组中的函数，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据定义域及对应关系判断是否是同一函数. 【详解】选项A，，，两个函数的定义域不同，不是同一函数； 选项B，，，两个函数的定义域不同，不是同一函数； 选项C，，，两个函数的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数； 选项D，，，即，是同一函数， 故选:D． 8、中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先求函数的定义域，定义域不同则不是同一个函数，定义域相同再看对应关系是否相同，对应关系相同则是同一个函数，对应关系不同则不是同一个函数. 【详解】对于A，和定义域均为R， ， 故和定义域相同，对应关系不同，和不是同一个函数，故A错误； 对于B，和定义域均为R，， 故和定义域相同，对应关系相同，和是同一个函数，故B正确； 对于C，定义域为，定义域为R， 故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故C错误； 对于D，定义域为R，定义域为， 故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故D错误； 故选：B. 9、下列函数中与函数相等的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A，的定义域为，而的定义域，故两者不是相等函数，故A错误； 对B，，其定义域为，则其与为相等函数，故B正确； 对C，的定义域为，而的定义域为，故两者不是相等函数，故C错误； 对D，，与的对应法则不同，故两者不是相等函数，故D错误. 故选：B. 10、下列各组中的两个函数是同一函数的是（    ） ①，；②，；③，；④，． A．①② B．②③ C．③ D．③④ 【答案】C 【详解】对于①中，函数与， 则两个函数的定义域不同，所以不是同一函数； 对于②中，函数，与的对应关系不同，所以不是同一函数； 对于③中，函数，与， 可得两函数的的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数； 对于④中，函数，与， 可得两函数的的定义域不同，所以不是同一函数． 综上，是同一函数的只有③． 故选：C． 11．（多选）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A正确； 对于选项B：的定义域为， 的定义域为， 定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故B错误； 对于选项C：的定义域，的定义域， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故C正确； 对于选项D：的定义域为，的定义域为， 定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故D错误. 故选：AC. 12．（多选）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【详解】对A：只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A正确； 对B：因为函数的定义域为，函数的定义域为，所以与不是同一个函数，故B错误； 对C：函数与的定义域都是，对应关系一样，故它们是同一个函数，故C正确； 对D：函数的定义域是：，函数的定义域是：，定义域不一致，所以它们不是同一个函数，故D错误. 故选：AC 13．（多选）下列各组中不是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．，. 【答案】BD 【详解】选项A：的定义域为，此时，故两个函数是同一个函数； 选项B：的定义域为，的定义域为，定义域不同，故不是同一函数； 选项C：两个函数的定义域都是，，故是同一个函数； 选项D：函数的定义域为，函数的定义域是，定义域不同，故不是同一函数， 故选：BD 考点五 函数的表示方法 知识点01 函数的三种表示方法 1.解析法∶利用解析法表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域. 2.列表法∶就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．比如我们生活中经常遇到的列车时刻表、银行的利率表等.其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量相对应的函数值.这种表示法常常被应用到实际生产和生活中去. 3.图像法∶函数图象的形状不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可能是一些点、一些线段、一段曲线等，但不是任何一个图形都是函数图象. 例1．（多选）下列结论中正确的是（    ） A．任意一个函数都可以用解析式表示 B．函数，的图象是直线上一些孤立的点 C．表格可以表示是的函数 有理数 无理数 y 1 D．图象 可以表示函数的图象 【答案】BC 【分析】利用函数的定义及表示方法一一判定选项即可. 【详解】对于A项，并非所有函数都有解析式，故A错误； 对于B项，函数，，是直线上对应的五个点，故B正确； 对于C项，表格表示函数，因为对于任意自变量，都有唯一的函数值与之对应，故C正确； 对于D项，图中对于任意自变量，并非都有唯一的函数值与之对应，故D错误. 故选：BC 变式训练： 1．某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间（分钟）与相应话费（元）之间的函数图像如图所示，则与之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】根据函数图象利用待定系数法求解即可. 【详解】由图知，当时，设函数为，则 ，得，所以， 当时，设函数为，则 ，解得， 所以， 综上与之间的函数关系式为. 故答案为： 考点六 求函数值域 【例1】求函数的值域： 解：依题意得，， ∵ ∴， 则的值域为 【例2】求下列函数的值域： (1)；(2)；(3)（）；(4). 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）∵，∴,∴的值域为. （2），显然,所以,故函数的值域为. （3）由,知.则, 当且仅当,即时,上式取“”．∴（）的最小值为8. 故函数（）的值域为. （4）设,则,且,所以， 由,结合函数的图象得原函数的值域为.    典例： 二次函数类： 1．（多选）已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【分析】由一元二次函数的单调性和最值即可求解. 【详解】因为函数， 所以该函数在上单调递减，在上单调递增，最小值在处取得且为2. 令或， 所以若函数在区间上有最大值3、最小值2时，则. 故选：AB 2、函数的值域是( ) C. 解：由二次函数图像可知，D 3、求函数的值域. 解：由二次函数图像可得，值域为： 4．已知函数，则该函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，解得， 所以函数的定义域为， 则，因为，所以， 所以，则，所以， 显然，所以，即该函数的值域为.故选：D “一次”比“一次”类： 1、函数的值域为_________。 解：由图像可得， 2、函数的值域为_________。 解：换元由图像可得， 3．已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解. 【详解】依题意，， 显然，则，于是， 所以函数的值域是. 故选：C 不齐次类： 1．若，则函数在上的值域是______________． 【答案】 【详解】， 任取，，且， 则， 所以，所以函数在上单调递增， 则，， 所以函数在上的值域是. 故答案为：. 2、函数的值域为_________。 3．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】结合题意：， 当时，； 当时，，当且仅当， 即，原式取得最小值； 另一方面，因为，所以，即; 当时，， 当且仅当，即，原式取得最大值; 另一方面因为， 令，则，所以，所以 所以，即; 综上所述：函数的值域是. 故选：A. 变式训练： 1．已知则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由有意义可得， 设，则，，所以，所以，故选：C. 2．函数在上的值域是 ． 【答案】 【详解】因为， 又，所以，所以，所以， 所以.故答案为： 3．函数的值域为 . 【答案】 【详解】由可得，故， 又，当且仅当，即时取等号， 故，故函数的值域为，故答案为： 4．函数的值域为 【答案】 【详解】设，，所以， 由图象易知值域为. 故答案为：. 5．函数的值域为 ． 【答案】 【详解】设，则，， 所以，因为，在上单调递减，所以，所以函数的值域为．故答案为：. 6．求函数的值域． 【答案】 【详解】设，则， 函数可化为，对称轴为， 所以该函数在上单调递减，所以当时，， 所以原函数的值域为. 7．已知函数的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．    (1)写出函数的解析式、定义域和值域； (2)求，的值． 【答案】(1)，定义域为，值域为； (2)，. 【详解】（1）根据题意及图象可知：当时，可设线段解析式为， 将点代入解析式可得，即； 当时，图象为抛物线一部分，可设解析式为， 由图象可知其顶点为且过点，所以， 即， 则， 结合图象，所以的定义域为，值域为； （2）由上可知，， 即，. 8．求下列函数的值域． (1)，；(2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， 在区间上单调递增，所以值域为. （2）的定义域是， ，由于，所以，所以值域为. 9、函数f(x)＝x＋的值域为________． 【答案】(－∞，1]． 【分析】利用换元法,令,则,,即可求得答案. 【详解】函数的定义域为，令， 则．∴， 故t＝1(即x＝0)时，y有最大值1，故值域为(－∞，1]． 故答案为: . 考点七 求函数解析式 【例1】根据下列条件，求的解析式. (1)f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9； (2)f(x＋1)＝x2＋4x＋1； (3). 【答案】(1)f(x)＝x＋3；(2)f(x)＝x2＋2x－2；(3) 【解析】(1)解由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0) ∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9， 即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，由恒等式性质，得∴a＝1，b＝3 ∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3. (2)设x＋1＝t，则x＝t－1f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1 即f(t)＝t2＋2t－2.∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2. (3)解，将原式中的x与互换，得. 于是得关于f(x)的方程组解得. 典例： 1．已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】设， 由题意可知， 所以，解得或， 所以或. 故选：AD. 2．已知是二次函数，且，若，则的解析式为______. 【答案】 【详解】由已知设， 因为，所以， 因为， ， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 3．已知f()＝x，则f(x)的表达式为(　  　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令,则,故 故选B 4．已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过化简即可得出函数的解析式. 【详解】因为，∴， 故选：A. 5．已知对于任意实数x，函数f（x）都满足f（x）+2f（2-x）=x，则f（x）的解析式为______． 【答案】 【详解】由题意，因为f（x）+2f（2-x）=x①； ∴f（2-x）+2f（x）=2-x②； ①②联立解得. 故答案为． 变式训练： 1．根据下列条件，求f(x)的解析式. (1)f(f(x))＝2x－1，其中f(x)为一次函数； (2)f(2x＋1)＝6x＋5； (3)f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x. 【答案】(1)或；(2)f(x)＝3x＋2；(3). 【解析】(1)由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝2x－1由恒等式性质，得 或 ∴所求函数解析式为或 (2)设2x＋1＝t，则 ∴f(x)＝3x＋2. (3)将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x， ∴联立以上两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x， 2． (1)已知函数是一次函数，若，求的解析式； (2)已知是二次函数，且满足，，求的解析式． 【答案】(1)或；(2)． 【解析】(1)设，则， 又，所以，，解得或， 因此，或； (2)，则， ，即， 即，所以，解得. 因此，. 3、已知函数，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的解析式，用代换，即可得的解析式. 【详解】因为函数，所以 故选：D. 4．（多选） 设，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】代入求解，即可求解. 【详解】，，，     所以，，BD正确，AC错误， 故选：BD 5、已知是二次函数，且，，则 ． 【答案】 【分析】由题意设，通过待定系数法得出关于的方程组即可求解. 【详解】因为，是二次函数，所以设， 又因为， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 6、若函数，且，则实数a的值为 . 【答案】 【分析】先求出函数解析式，进而求解结论. 【详解】函数，又的值域为， ， ，可得，解得. 故答案为：. 7、设，，则 ． 【答案】 【分析】直接由的定义即可代入得解. 【详解】由题意. 故答案为：. 8．（1）已知，求函数的解析式． （2）已知，求函数的解析式． 【答案】（1）（2） 【详解】（1）（换元法）：令，，则， 所以， 所以函数的解析式为； （2）（换元法）：  令，则，， 所以，即； 9．（多选）已知，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用配凑法求出函数解析式，再逐项判断作答. 【详解】依题意，，因此，BC错误，D正确； 显然，A正确. 故选：AD 10．已知，则＝ . 【答案】 【分析】根据配凑法求解，注意定义域的求解. 【详解】因为，所以， 所以，其中. ∴. 故答案为： 11． (1)已知，求的解析式； (2)已知，求的解析式． 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)由题意得：定义域为 设，则 (2)由…①得：…② ①②联立消去得： 12．已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得①， 又②，①＋②得：，解得， 13、（1）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （2）已知，求的解析式． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求解即得. （2）根据给定条件，利用方程法求解即得. 【详解】（1）由是二次函数，设， 由，得，由，得， 化简并整理得，因此，解得， 所以. （2）用替换中的x，得， 由，解得， 所以. 考点八 分段函数 【例1】已知函数，则的值为( ) A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由题意得,,,,所以,故选：A. 【例2】设函数若，则实数＝( ) A．－4或－2 B．－4或2 C．－2或4 D．－2或2 【答案】B 【解析】当时，，解得；当时，，解得， 因为，所以，综上，或，故答案选 典例： 1．设，则（    ） A．10 B．8 C．12 D．13 【答案】B 【解析】直接根据分段函数的解析式代入即可得结果. 【详解】因为， 所以， 故选：B. 2．已知函数，若，则的值是（    ） A．3或 B．或5 C． D．3或或5 【答案】B 【分析】根据分段函数的解析式，分类讨论的范围，得到方程，解出即可. 【详解】若，则方程可化为， ∴或（舍去）； 若，则方程可化为 ∴， 综上可得，或， 故选：B. 3、设函数，若，则 4．函数，则的自变量的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况进行讨论，即可求出答案 【详解】当时，即或， 解得或，故或； 当时，， 因为，所以不等式转化成，解得，故； 综上所述，的取值范围为 故选：D 5．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】法一：因为且， 所以当时，，当时，； 当时，， 所以函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为. 法二：画出的草图，如图所示，由图象可知函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为.    故选：D 6．已知，，用表示，中的较大者，记为，当时，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为, 所以,当时, , ,所以, 当时， , ,所以, 所以, 当时,单调递减,所以, 即, 当时,单调递增,所以, 即, 综上,, 即的值域为. 故选：D. 变式训练： 1．设，则等于( ) A．1 B．0 C．2 D．-1 【答案】C 【解析】 ,.故选: C. 2、设函数，则等于（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据题中分段函数解析式运算求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 3、已知函数那么的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】先计算，从而，由此能求出结果. 【详解】解：函数， ， . 故选：A. 4、已知函数，则（    ） A．14 B．5 C．1 D．-1 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式代入计算可得. 【详解】因为，所以.故选：B 5．已知函数y＝，则使函数值为的的值是( ) A．或 B．或 C． D．或或 【答案】C 【解析】当时，令，得，解得； 当时，令，得，解得，不合乎题意，舍去. 综上所述，.故选：C. 6．已知 (1)画出f(x)的图象； (2)若，求x的值； (3)若，求x的取值范围. 【答案】(1)作图见解析；(2)；(3) 【解析】(1)函数的对称轴，当时，；当时，；当时，，则f(x)的图象如图所示. (2)等价于①或②或③ 解①得，②③的解集都为 ∴当时，. (3)由于，结合此函数图象可知,使的x的取值范围是 7．已知函数f(x)＝则f(f(－4))＝________. 【答案】－2 【解析】由题得，所以f(f(－4))=. 故答案为：－2 8．设，则______ 【答案】36 【解析】. 9．设，若，则x的值为 ． 【答案】 【详解】若，则无解；若，则，所以x＝.若，则无解．综上：. 故答案为： 10．已知函数，则f(2)= . 【答案】1 【详解】由已知， 故答案为：1. 11．已知函数，若，则实数_________. 【答案】或 【解析】当时，，解得；当时，，得. 因此，或，故答案为或. 12、设． (1)求的值； (2)若，求t值. 【答案】(1)0 (2)或或 【详解】（1）. （2）当时，，∴； 当时，，解得：； 当时，，∴， 综上所述：或或． 13．函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（    ） 1 2 3 2023 0 A．2023 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】按函数的定义结合图表计算即可 【详解】根据题意，可得，则， 故选：A. 14．（多选）已知函数的图象由如图所示的两段线段组成，则（    ） A． B．不等式的解集为 C．函数在区间上的最大值为2 D．的解析式可表示为： 【答案】BD 【分析】由函数的图象求出函数的解析式，由此分析选项可得答案． 【详解】根据题意，由图象可得，在区间上，函数图象为线段，经过点和， 则其方程为， 在区间上，函数图象为线段，经过点和， 设，，则，解得， 所以其方程为， 综合可得， 对于A，，则，故A错误； 对于B，若，则有或，解得或， 即不等式的解集为，故B正确； 对于C，在区间上，为减函数，其最大值为，故C错误； 对于D，由，故D正确． 故选：BD． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 函数的概念BS 2.2 函数的表示法 BS 思维导图 目录 考点一 函数的概念与判断 2 考点二 求函数值 5 考点三 定义域 7 考点四 判断是否是同一函数 10 考点五 函数的表示方法 13 考点六 求函数值域 15 考点七 求函数解析式 18 考点八 分段函数 21 考点一 函数的概念与判断 知识点： 函数 两集合A、B 设A，B是两个非空数集 对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x， 在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y＝f(x)，x∈A 【例1】下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是(　　) A． B． C． D． 典例： 1．设，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集合到的函数关系的有(    )个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式训练： 1．如图所示，表示函数图像的是( ) A． B． C． D． 2．下列各图中能作为函数图像的是( )． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 3．判断下列对应是否为函数： (1)x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}； (2)x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}； (3)x→y＝3x＋1，x∈R，y∈R. 4．在下列图象中，函数的图象可能是( ) A． B． C． D． 5、下列图象中，不能作为函数图象的是（    ） A． B． C． D． 6、设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 7、给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（    ） A． B． C． D． 考点二 求函数值 【例1】求下列函数的函数值： （1）已知，求; （2）已知，求; （3）已知，，求； 思考：在（3）中，求，. 变式训练： 1．已知，则( ) A．15 B．21 C．3 D．0 2．若函数，则______________． 3、已知函数，则 ． 4．若函数f(x)＝，g(x)＝，则的值为____________. 5．已知f(x)＝ (x≠－1)，g(x)＝x2＋2，则f(2)＝________，f(g(2))＝________. 6．已知定义域为的函数和.求和的值. 7．已知函数f(x)＝. (1)求f(2)＋f()，f(3)＋f()的值； (2)求证：f(x)＋f()是定值； (3)求f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2012)＋f()的值． 8．已知，则_________． 考点三 定义域 【例1】函数的定义域为( ) A． B． C． D． 【例2】已知的定义域为， (1)求的定义域； (2)求的定义域 【例3】．若函数的定义域是，则函数的定义域是( ) A． B． C． D． 【例4】已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 典例： 1．函数的定义域是（    ） A． B．∪ C． D． 2．求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 3．已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 5．已知函数的定义域为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 变式训练： 1．函数的定义域是( ) A． B． C． D． 2．函数的定义域为( ) A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为(－1，0)，则函数的定义域为________． 4．设的定义域为，则函数的定义域是___________. 5．已知函数的定义域为，求的定义域 . 6．函数的定义域是( ) A． B． C． D． 7．函数的定义域是( ) A． B． C． D． 8．已知的定义域为，则函数的定义域为 ( ) A． B． C． D． 9．已知的定义域为，的定义域是( ) A． B． C． D． 10．函数的定义域是指自变量的取值范围，则函数的定义域为（    ） A． B．且 C． D．或 11、已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 12、若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 13、已知函数的定义域为，则的定义域为 . 考点四 判断是否是同一函数 判断方法：根据函数的定义，判断各选项中两函数的定义域、对应关系以及值域是否相同，如有不同即可判断不是同一函数， 【例1】（1）函数和是同一个函数吗？为什么？ （2）函数和是同一个函数吗？为什么？ 【例2】下列四组函数中,表示同一函数的是( ) A． B． C． D． 典例： 1．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．与 2．中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 变式训练： 1．下列各组函数中，表示同一个函数的是__________(填序号). (1)y＝x－1和y＝；(2)y＝x0和y＝1； (3)f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2；(4)f(x)＝和g(x)＝. 2．下列函数；；；与函数是同一函数的是________. 3．下列与函数是同一个函数的是（     ） A． B． C． D． 4．下列各组函数表示相同函数的是（        ） A．和 B．和 C．和 D．和 5.（多选题）下列各组函数不是同一函数的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 6.（多选题）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 7、下列各组中的函数，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 8、中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 9、下列函数中与函数相等的函数是（    ） A． B． C． D． 10、下列各组中的两个函数是同一函数的是（    ） ①，；②，；③，；④，． A．①② B．②③ C．③ D．③④ 11．（多选）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 12．（多选）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 13．（多选）下列各组中不是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．，. 考点五 函数的表示方法 知识点01 函数的三种表示方法 1.解析法∶利用解析法表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域. 2.列表法∶就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．比如我们生活中经常遇到的列车时刻表、银行的利率表等.其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量相对应的函数值.这种表示法常常被应用到实际生产和生活中去. 3.图像法∶函数图象的形状不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可能是一些点、一些线段、一段曲线等，但不是任何一个图形都是函数图象. 例1．（多选）下列结论中正确的是（    ） A．任意一个函数都可以用解析式表示 B．函数，的图象是直线上一些孤立的点 C．表格可以表示是的函数 有理数 无理数 y 1 D．图象可以表示函数的图象 变式训练： 1．某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间（分钟）与相应话费（元）之间的函数图像如图所示，则与之间的函数关系式为 ． 考点六 求函数值域 【例1】求函数的值域： 【例2】求下列函数的值域： (1)；(2)；(3)（）；(4). 典例： 二次函数类： 1．（多选）已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2、函数的值域是( ) C. 3、求函数的值域. 4．已知函数，则该函数的值域是（   ） A． B． C． D． “一次”比“一次”类： 1、函数的值域为_________。 2、函数的值域为_________。 3．已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 不齐次类： 1．若，则函数在上的值域是______________． 2、函数的值域为_________。 3．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 变式训练： 1．已知则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．函数在上的值域是 ． 3．函数的值域为 . 4．函数的值域为 5．函数的值域为 ． 6．求函数的值域． 7．已知函数的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．    (1)写出函数的解析式、定义域和值域； (2)求，的值． 8．求下列函数的值域． (1)，；(2). 9、函数f(x)＝x＋的值域为________． 考点七 求函数解析式 【例1】根据下列条件，求的解析式. (1)f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9； (2)f(x＋1)＝x2＋4x＋1； (3). 典例： 1．（多选）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 2．已知是二次函数，且，若，则的解析式为______. 3．已知f()＝x，则f(x)的表达式为(　  　) A． B． C． D． 4．已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．已知对于任意实数x，函数f（x）都满足，则的解析式为______． 变式训练： 1．根据下列条件，求f(x)的解析式. (1)f(f(x))＝2x－1，其中f(x)为一次函数； (2)f(2x＋1)＝6x＋5； (3)f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x. 2． (1)已知函数是一次函数，若，求的解析式； (2)已知是二次函数，且满足，，求的解析式． 3、已知函数，那么等于（   ） A． B． C． D． 4．（多选） 设，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 5、已知是二次函数，且，，则 ． 6、若函数，且，则实数的值为 . 7、设，，则 ． 8．（1）已知，求函数的解析式． （2）已知，求函数的解析式． 9．（多选）已知，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 10．已知，则＝ . 11． (1)已知，求的解析式； (2)已知，求的解析式． 12．已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 13、（1）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （2）已知，求的解析式． 考点八 分段函数 【例1】已知函数，则的值为( ) A．1 B．2 C． D． 【例2】设函数若，则实数＝( ) A．－4或－2 B．－4或2 C．－2或4 D．－2或2 典例： 1．设，则（    ） A．10 B．8 C．12 D．13 2．已知函数，若，则的值是（    ） A．3或 B．或5 C． D．3或或5 3、设函数，若，则 4．函数，则的自变量的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，用表示，中的较大者，记为，当时，的值域为（    ） A． B． C． D． 变式训练： 1．设，则等于( ) A．1 B．0 C．2 D．-1 2、设函数，则等于（    ） A． B．3 C． D． 3、已知函数那么的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 4、已知函数，则（    ） A．14 B．5 C．1 D．-1 5．已知函数y＝，则使函数值为的的值是( ) A．或 B．或 C． D．或或 6．已知 (1)画出f(x)的图象； (2)若，求x的值； (3)若，求x的取值范围. 7．已知函数f(x)＝则f(f(－4))＝________. 8．设，则______ 9．设，若，则x的值为 ． 10．已知函数，则f(2)= . 11．已知函数，若，则实数_________. 12、设． (1)求的值； (2)若，求t值. 13．函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（    ） 1 2 3 2023 0 A．2023 B．0 C． D． 14．（多选）已知函数的图象由如图所示的两段线段组成，则（    ） A． B．不等式的解集为 C．函数在区间上的最大值为2 D．的解析式可表示为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $