4.1—4.3 一元二次函数 、一元二次不等式解法及其应用 讲义-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

4.1-4.3 二次函数与一元二次方程、不等式BS 思维导图 目录 考点一 二次函数 2 考点二 解无参数一元二次不等式 3 考点三 解含有参数的一元二次不等式 6 考点四 一元二次不等式求参数 8 考点五 一元二次不等式的应用 15 考点一 二次函数 例1．二次函数的图象向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用函数的图象变换可求得变换后的图象对应的函数解析式. 【详解】将二次函数的图象向上平移个单位长度得到函数的图象， 再向右平移个单位长度得函数的图象， 故选：B. 例2．已知二次函数，下列结论正确的是（    ） A．其图像的开口向上 B．图像的对称轴为直线 C．当时，随的增大而减小 D．函数有最小值3 【答案】C 【分析】求得二次函数图像的开口方向判断选项A；求得二次函数图像的对称轴判断选项B；求得二次函数当时的单调性判断选项C；求得3为函数最大值否定选项D. 【详解】选项A：二次函数开口向下.判断错误； 选项B：二次函数图像的对称轴为直线.判断错误； 选项C：二次函数当时，随的增大而减小.判断正确； 选项D：当时，函数有最大值3，该函数无最小值.判断错误. 故选：C 例3．已知二次函数图象的顶点坐标为，且过点，则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设二次函数的解析式为，将点的坐标代入函数解析式，求得的值，即可得解. 【详解】设二次函数的解析式为，将点的坐标代入函数解析式得，解得，所以，二次函数解析式为. 故选：C. 考点二 解无参数一元二次不等式 【例1】解下列不等式： (1)；(2)；(3)； 【答案】(1)或；(2)；(3)或. 【解析】(1)不等式即为，解得或， 因此，不等式的解集为或； (2)不等式即为，解得， 因此，不等式的解集为； (3)不等式即为，即，解得或.因此，不等式的解集为或. 思考：不等式；怎么解？ 变式训练： 1、解下列一元二次不等式： (1)；(2) 【答案】(1)；(2). 【解析】(1)不等式，即，对应抛物线开口向下，不等式解集为“两根之间”，所以解集为 (2)，化简，对应方程，方程的根所以解集为. 2、解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． (5)x2＋3x－5＞0 (6)－2x2＋3x－2＜0； (7)－2＜x2－3x≤10． 【答案】(1)或；(2)；(3)或； (4).(5)(6)R(7)[－2，1)∪(2，5] 【解析】(1)由题意，不等式，则不等式的解集为或； (2)由题意，不等式，则不等式的解集为； (3)由题意，不等式，则不等式的解集为或； (4)由题意，不等式，则不等式的解集为； (5)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为 (6)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R (7)原不等式等价于，①可化为x2－3x＋2＞0，解得x＞2或x＜1 ②可化为x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5．故原不等式的解集为[－2，1)∪(2，5] 3．不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，可得， 所以或，所以不等式的解集为或. 4．使“”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先解一元二次不等式，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】由，即，解得， 因为真包含于，所以是成立的一个充分不必要条件. 故选：A 5.（多选题）下列不等式的解集是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据一元二次不等式的解法及完全平方数的性质判断即可. 【详解】对于A：恒成立， 即不等式的解集为，故A错误； 对于B：不等式，即，即， 解得，所以不等式的解集为，故B错误； 对于C：不等式，即，因为恒成立， 所以不等式的解集为空集，故C正确； 对于D：不等式，即，因为恒成立， 所以不等式的解集为空集，故D正确； 故选：CD 6．不等式的解集是________. 【答案】 【解析】原不等式可化为即，所以， 故，所以原不等式的解集为.故答案为：. 考点三 解含有参数的一元二次不等式 【例1】解关于的不等式: 【答案】当时，解集为 ；当 时，解集为或； 当时，解集为或；当 时，解集为； 当 时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 【解析】由则 因为，故对分情况讨论 当时，则，所以，不等式的解集为 当 时，由，不等式的解集或 当时，不等式的解集为或 当 时，不等式的解集为 当 时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 变式训练： 1．求关于的一元二次不等式的解集． 【答案】详见解析. 【解析】，，令，，， (1)当时，即，解集为，或． (2)当时，即，解集为． (3)当时，即，解集为，或． 2．解关于x的不等式． 【答案】分类讨论，答案见解析. 【解析】当时，不等式的解为； 当时，不等式对应方程的根为或2， ①当时，不等式即的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为； ④当时，不等式的解集为. 综上所述，当时，不等式解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 3．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. 【答案】见解析 【解析】原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0 当a＝0时，原不等式解为x>1. 当a<0时，不等式可化为， ∵，∴或x>1. 当a>0时，原不等式可化为 若，即a>1，则； 若，即a＝1，则； 若，即0<a<1，则. 综上所述，当a<0时，原不等式的解集为或； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}； 当0<a<1时，原不等式的解集为； 当a＝1时，原不等式的解集为； 当a>1时，原不等式的解集为. 考点四 一元二次不等式求参数 【例1】设一元二次不等式的解集为则的值为( ) A．1 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】由题意可知方程的根为，所以有 例2．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况，结合不等式恒成立求参数的取值范围. 【详解】当时，不等式为对一切实数都成立，符合题意， 当时，要使得不等式对一切实数都成立， 则，解得， 综上所述，的取值范围为. 故选：D． 例3．对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】参变分离可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为对任意的，恒成立， 所以对任意的，恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，解得，即的取值范围为. 故选：D 变式训练： 1．已知关于的不等式的解集是，则的值是( ) A． B．11 C． D．1 【答案】C 【解析】若关于的不等式的解集是，则2，3是方程的根，故，故，故选：． 2．一元二次不等式的解集是，则的值是( ) A．10 B．-10 C．14 D．-14 【答案】D 【解析】根据题意，一元二次不等式的解集是， 则方程的两根为和， 则有，解可得，，则，故选：． 3．关于的不等式的解集为，则 _____________. 【答案】-1 【解析】由题意，方程有一个根为1，得，则不等式为，其解集为，得，，所以答案为-1. 4．已知关于的不等式的解集是，则_____. 【答案】 【解析】因为不等式等价于，又其解集是，所以和是关于的方程的两个根， 因此，解得，故答案为 5．已知不等式的解是或， 不等式的解集为 . 【答案】或 【分析】由题意可得，2和3是方程的两个根，然后利用根与系数的关系表示出，代入中求解即可 【详解】因为不等式的解是或， 所以，2和3是方程的两个根， 所以，解得， 所以不等式可化为， 因为，所以，得， 解得或， 所以不等式的解集为或， 故答案为：或 6．关于的不等式的解集为. (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)；(2). 【解析】(1)关于的不等式的解集为， ∴，且﹣1和2是方程的两实数根， 由根与系数的关系知，，解得； (2)由(1)知，时， 不等式为， ∴不等式的解集是. 7、若命题“，”是假命题，则实数的最小值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由题意可得命题的否定为真命题，进而可得出答案. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以其否定“，”是真命题， 则，解得， 所以实数的最小值为. 故选：D. 8、若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】依题意可得不等式对任意实数x均成立，对二次项系数分类讨论即可得实数a的取值范围. 【详解】将不等式整理可得， 即不等式对任意实数x均成立， 当，即时，不等式变为，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得实数a的取值范围是. 故选：B 9、不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，结合二次函数的性质分析讨论即可得解. 【详解】当，即时，恒成立， 当时，因为对恒成立， 所以，解得， 综上，， 即实数a的取值范围为. 故选：C 10、不等式的解集为，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】分，讨论，当时，根据二次函数性质可解. 【详解】当时，恒成立，满足题意； 当时，由题知，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 11、若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解. 【详解】因为“，使”是假命题， 所以“，”为真命题， 其等价于在上恒成立， 又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 12、已知不等式. (1)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质，分与两类进行讨论求解即可； （2）根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质，分、和三类进行讨论求解即可； 【详解】（1）①若，则原不等式可化为，显然恒成立， ②若，则不等式恒成立， 等价于 ，解得， 综上，实数m的取值范围是. （2）①当时，则原不等式可化为，显然恒成立， ②当时，函数的图象开口向上，对称轴为直线， 若时不等式恒成立， 则，解得， ③当时，函数的图象开口向下， 若时不等式恒成立， 则，解得， 综上，实数m的取值范围是. 13、当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】. 【分析】条件可转化为的根一个小于1，另一个大于2，结合二次方程区间根结论列不等式求范围. 【详解】因为当时，不等式恒成立， 所以的根一个小于1，另一个大于2， 如图，可得，解得，    所以的取值范围是. 14、设函数，当时，其函数值恒大于等于零.求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性求解即可. 【详解】在上单调递增， 令， 因为对恒成立， 所以，则，解得：. 故实数a的取值范围为. 15关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】将问题转化为，时的最大值小于或等于． 【详解】设，，则的最大值小于等于0． 而，∴对称轴， 而当时，；当时，， ∴的最大值为，即，故实数的取值范围是． 考点五 一元二次不等式的应用 例1．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 变式训练： 1．（多选）为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3升后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的75％，则V的可能取值为（    ）． A．4 B．40 C．8 D．28 【答案】CD 【分析】求出第一次、第二次稀释后的浓度，根据第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的列式，解不等式可得结果. 【详解】第一次稀释后，药液浓度为， 第二次稀释后，药液浓度为， 依题意有，即，解得， 又，即，所以. 故选：CD. 15 学科网（北京）股份有限公司 $4.1-4.3一元二次函数、一元二次不等式解法及应用BS 思维导图 4=b2-4ac 4>0 4=0 4<0 y=ax+bx+d (a>0)的图象 女 可，=x 有两个不相等的实数根 x+bx+c-0 关系 -b- (a>0)的根 2a ,=b+ 有两个相等的实数 2a 根×=名=2 没有实数根 二次 函数 三个二次 ax+bx+c>0 {xx<,或x>x】 个 (a>0)的解集 ax+bx+c<0 xlx<x<x) e e (a>0)的解集 一元二次解法（无参数） 因式分解三 配方法 判别式 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论： 含参的一元二次 (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式△进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论. ①一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，利用判别式来求解。 ②一元二次不等式f(x)≥0在x∈[a,b]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性， 恒 求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围. ③一元二次不等式对于参数m∈[a,b]恒成立确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知 题 道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数。 目录 考点一一元二次函数 .2 考点二解无参数一元二次不等式 …3 考点三解含有参数的一元二次不等式 考点四一元二次不等式求参数. .5 考点五一元二次不等式的应用. …8 1 考点一一元二次函数 例1.二次函数y=2x的图象向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达 式为( A.y=2x+1P+2 B.y=2x-1P+2 C.y=2x+1-2 D.y=2x-1-2 例2.已知二次函数y=-2(X+1+3°下列结论正确的是（ A.其图像的开口向上B.图像的对称轴为直线X=1 C.当x>-1时，y随X的增大而减小D.函数有最小值3 例3.已知二次函数图象的顶点坐标为1,1，且过2,2点，则该二次函数的解析式为() Ay=-1B.y=-x-1f+1c.y=x-1+1D.y=x-1+1 考点二解无参数一元二次不等式 【例1】解下列不等式： ①r-x-6>0,225x-10x+1>0,6)-2x2+x+1<0, 思考：不等式x+>0:2x+1>1怎么解？ °x-2 X-2 变式训练： 1、解下列一元二次不等式： ①-x2+7x>6:a4(2x2-2x+1)>x(4-x) 2、解下列不等式： ①3r2-x-4>0 a)r-x-12s0 6)r+3x-4>0 4)16-8x+x2≤0 1 (5)2x2+3x-5>0 (6)-2x2+3x-2<0: (7)-2<x2-3x≤10. 3.不等式1-xx-3<0的解集是() A.-1,3 B.-3,1 c.{xx<1或x>3} D.{xx<-3或x>1} 4.使“x2+5x-6<0”成立的一个充分不必要条件是() A.-5<X<1B.-5<x<2 c.-7<x<1 D.-7<X<2 5.(多选题)下列不等式的解集是空集的是() A.x2-X+1>0 B.-2x+x+1>0 C.2x-x2>5 D.X2+X<-2 x-222 6.不等式x-1的解集是 考点三解含有参数的一元二次不等式 【例1】解关于x的不等式：ar-(a+2)x+2a>0(a∈R. 变式训练： 1.求关于x的一元二次不等式r--aa+l)>0的解集 2.解关于x的不等式r-2(a+)x+4>0aeR) 4 3.解关于x的不等式aw2-(a+1)x+1<0. 考点四一元二次不等式求参数 【例1)设一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为-1<x<2乃则ab的值为) A.1 B.4 C.4 D.2 例2.若不等式16kx2+8x+3>0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围为() A.{k0<k<3 B.{k0≤k≤3 C.k0<k≤3 D.k|0≤k<3 例3.对任意的x∈0，+oo,x2-2x+1>0恒成立，则m的取值范围为( A.1,+∞B.-1,1C.-00,1D.-0o,1 变式训练： 1.已知关于不的不等式-ar-h<0的解集是 (2,3)a+b ，则”的值是() 5 A.-11 B.11 c.-1 D.1 11Y 2.一元二次不等式ax2+bx+2>0的解集是2’'3，则a+b的值是() A.10 B.-10 C.14 D.-14 3.关于x的不等武x+p心-2<0的解集为(q,l,则p+g= 4.已知关于x的不等式x+1 5.已知不等式ax2+bx+c<0a≠0的解是或x>3,不等式bx2+ax+c>0的解集为 6,关于x的不等式ar+br+2>0的解集为{1<x<2 0求a,b的值： (②四求关于无的不等式r-ax-2>0 的解集。 7、若命题“3x∈R,x+4x+t<0”是假命题，则实数t的最小值为( A.1B.2C.3D.4 8、若不等式ax2+2ax-4<2x2+4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是( A.-2,2B.-2,2; C.-0-2U2,+o:D.-0,-2. 9、不等式a-2x2+2a-2x-4<0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围为( A.-∞，2 B.-∞，-2 C.-2,2 D.-2,2 10、不等式kx-kx+1>0的解集为R,则实数k的取值范围为 11、若“3x∈(0，+∞，使x2-ax+4<0”是假命题，则实数a的取值范围为 12、己知不等式mx-mx+2≥0. (1)当x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围： (2)当3≤x≤5时不等式恒成立，求实数m的取值范围. 13、当1≤X≤2时，不等式x+mx+4<0恒成立，求实数m的取值范围. 14、设函数y=x2+10x-a+3,当X∈-2，+∞时，其函数值恒大于等于零.求实数a的取值范围. 15关于x的不等式3x2-14x+m≤0在区间1,3上恒成立，求实数m的取值范围. 个 考点五一元二次不等式的应用 例1.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元， 日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入. 则这批台灯的销售单价X(单位：元)的取值范围是( A.B.6 C.D. 变式训练： 1.(多选)为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒 出5升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3升后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积 的75%，则V的可能取值为( A.4B.40C.8D.28 8