广东广州市华南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

高二期末考试试题 数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1.开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将姓名、班级、考号等信息填写在答题卡指定区域。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定区域内的相 应位置上，不得使用涂改液，不得使用计算器。不按以上要求作答的答案无效。 4,考生必须保持答题卡的整洁。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.在空间直角坐标系Oxz中，点M(1,2,3)到Ozx平面的距离为() A.1 B.2 C.3 D.10 2.己知函数f(x)=cosx+f'(0)·e2x,则f'(0)=() A.-1 B.0 C.1 D.2 1 4 1 C. 1 :3 1 B. 6 4函数f0=x 二ax2+1在(1,2)上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是() 3 A.a>1 B.a>2 C.a<1 D.a<2 5某电影院一排有5个连续座位，甲、乙、丙等5人随机就座，己知甲不坐在两端，且乙与丙之间 恰好隔2个人，则不同的就座方式共有() A.8种 B.12种 C.16种 D.24种 6.若函数f(x)=1nx+x-2e-m的最大值为-1，则实数m=（ ) A.0 B.1 C.2 D.e 7如图1，直线1交椭圆E: x +卫=1于A,B两点，分别交x轴正半 B 43 轴、y轴正半轴于C,D两点，且|AC=DB,则直线l的斜率为( 图 A 、1 D 4 B.-1 2 C.3 4 第1页共4页 8.实数4，b满足b>0,a>0,且 +2n6+)=a+方则〈） ea-1 A.ea>b+1 B.ea<b+l C.b>n(a+1) D.b<In(a+1) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列结论正确的是() A.一个盒子里装有质地均匀的小球10个，其中红球4个，黑球6个，从中抽取2个小球，记取 到红球的个数为随机变量X,则E(2X)= 8 B.相关系数”的绝对值越小，两个变量之间的线性相关程度越强 C.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到x≈9.852，根据小概率值=0.005的x独 立性检验：5=7.879，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% D.若随机变量X服从正态分布N(3,o2),且P(X≤4)=0.7，则P(2<X<4)=0.45 10.已知双曲线的一支B: --x2=1(y>0),圆C:x2+(y+2)2=3,则() 3 A.E的渐近线方程为y=±√3x B.E的渐近线与圆C相交 C.圆C上恰有三个点到E的一条渐近线的距离为1 D.与E和圆C各恰有一个公共点的直线不止6条 1.已知随机变量X-B0,D)(0<p<1,n∈Nn≥2)，设函数()-会P(X=利，记 g(x)=f(x)-x,则() A.f(x)=[I-p)+px]” B.对任意n,P,f'(I)=E(X恒成立 C.存在n,P,使得函数y=g(x)在区间(0,1)内有零点 D.任意P,对任意西，∈(0，)，且5≠x,函数g(田满足g(十5)>)+8) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(2x-1)的展开式的各项系数的和为 13.已知等比数列{a,},公比q=2,且4a4…a42=22，则446,42=一 第2页共4页 14.在世界杯期间，有3种不同的纪念品：纪念品A(大力神杯模型)、纪念品B(官方用球)、纪念 品C(官方吉祥物).甲、乙、丙三位球迷独立随机地选择纪念品，对于每个人来说，每种纪念品 选与不选都是等可能的.则至少有一种纪念品被甲、乙、丙三人都选中的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(共13分) 已知数列{a,),满足凸}是等差数列，且a=6,a,=30. n (1)求数列{an}的通项公式； 2)设数列一的前项和为S证明：S< an 16.(共15分) 如图，正三棱柱ABC-A,B,C:的所有棱长都为2，且CD=1CG 2 (1)求证：AB,⊥平面ABD; (2)求平面ABD与平面ABD的夹角的余弦值. B 17.(共15分) 在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:y2=2Px(p>0)的焦点为F,A(x,y),B(x,y2)为抛物 线C上两个不同的动点.当AB中点横坐标为2时，AF|+BF=6 (1)求抛物线C的方程： (2)若直线AB过点D(2,O),在x轴上是否存在点T,使得T恒在以线段AB为直径的圆内？若存 在，求出点T横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由. 第3页共4页 18.(共17分) 一只蚂蚁在一个正方体的表面上爬行，记这个正方体的6个面分别为1，C2,3,4,,06 其中，6是与，相对的面.初始时刻，蚂蚁所在的面为1，之后每过一秒，不知疲倦的蚂蚁都会 等可能地爬到相邻的四个面中的某一个， (1)分别求第3秒末，蚂蚁位于面a1和面的概率； (2)求第n(neN)秒末蚂蚁位于面o1的概率Pn; (3)对于随机变量X1,X2,,Xm(n∈N),若定义随机变量Y=X1+X,十+Xm,则有 E(Y)=∑E(X,).记从初始时刻到第n秒末，蚂蚁位于面a,的总次数为随机变量Z,求(Z). =1 19.(共17分) 己知函数f(x)=xx-x. (1)求y=f(x)在x=x(x>O)处的切线方程： (2)已知a,b∈R，曲线y=f(:)上的两点(x,f(x),(x,f(x)(:<x)处的切线都经过点 (a,b).证明： (i)a>0,且b<f(a: (i)若b<-1,当点取得最小值时，求a+b的值. 第4页共4页高二期末考试 数学参考答案及评分标准 一、选择题： 1.【答案】B 【详解】点M到Oxz平面的距离为y上2， 2.【答案】B 【详解】由于函数f(x)=cosx+f(0)e2,则其导函数为：f'(x)=-sinx+2f'(0)e2x, 代入x=0,可得：f'(0)=sin0+2f'(0)e°，解得：f"(0)=0 3.【答案】D 根银公式P(A--P(A+P到P叫AB),即)子P川4B):解得P(4D)-月 234 所以P(到A)=A P(AB)1 1 2×4=2 3 4.【答案】A f'(x)=x2-ax=x(x-a)<0在(1,2)上有解，即a>x在(1,2)有解，故a>1. 5.【答案】C 【详解】 第一步，先从除甲、乙、丙外的两个人选一个人和甲一起排在乙丙之间，共有C4=4: 第二步，乙丙可以交换位置，共有A=2种站法： 第三步，乙丙和中间的两个人看作一个整体，和剩余的1个人排序，共有A3=2种排法： 由分步乘法计数原理，共有4×2×2=16种排法. 6,【答案】B 【详解】法一：f(x)=x+x-2em的定义域为(0+o),f'(x)=是+1-2em, 易得f'(x)在(0，+∞)上单调递减，当x→0时，∫'(x)→+o,当x→+m时，f'(x)→-0 所以存在∈(0，+∞)，使得f(6)=0,即1+1=25m, 则当x∈(0，)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，当x∈(，+∞)时，'(x)<0,f(x)单调递减， 所以f(x)a=f(6)=ln6+6-2eo-"=-1, 即+与名0，西数)-h在@+)上单调造指，且g)=0,所以=山， 所以e-m=1,解得=1. 第1页共9页 法二：由常用不等式lnx≤x-1,ex≥x+1,得 f(x)=nx+x-2e-m≤(x-1)+x-2(x-m+1)=2m-3,当且仅当x=m=1时取等号， f(x)≤2m-3=-1成立. 7.【答案】D 【详解】设A(:,),B(x2,y),C(,0),D(0,m代入椭圆， 43 ,相减， 43 得s-X±)+-X0+2=0,即5x+以-3 3 (x-x2)x+x2)41 会品做品则丹9 8.【答案】A 【】因为b>0,所以h6+0>0,。a-方2n6+0分0). 即、1 即e-1a<eo-1 6+0@= -a在(0，+o)单调递减，故a>n(b+1), 即ea>b+1. 9.【答案】AC 对AX服从超几何分布，E(2X)=2B(x)=2x2×4=8, 105’A正确 选项B,根据样本相关系数的性质：两个随机变量线性相关程度越强，样本相关系数？的绝 对值越接近1，越接近0说明相关程度越弱，B错误： 选项C,计算得X2≈9.852>5=7.879，根据独立性检验规则，可以推断X与Y有关联， 此推断犯错误的概率不超过0.5%，C正确： 选项D,正态分布N3,o)的对称轴为x=3,已知P(X≤4)=0.7， 则P(X>4)=0.3,由对称性得P(X<2)=P(X>4)=0.3, 因此P(2<X<4)=P(X≤4)-P(X≤2)=0.7-4-0.70.4≠0.45，D错误. 10.【答案】ABD 【详解】对A,双曲线”-x=1的渐近线为y=3x,A正确 3 对B,圆心到直线y=±√x的距离为d= +W序1<v5,海近线与圆相交，B正确 对C,d=1<√3且√3-1<1，故圆上只有两个点到E的一条渐近线的距离为1，C错误. 第2页共9页 对D,与E和圆C各恰有一个公共点的直线有四类，类型一，直线与圆和双曲线的一支都相 切，有两条(y=√2x+1,y=-√2x+1)；类型二：直线平行y轴，与圆相切，与双曲线 的一支相交（x=√3，x=-√3)：类型三：直线平行渐近线，与圆相切，与双曲线的一支 相交(y=√5x+(←2+2V5),y=-5x+(-2+25);类型四：直线与圆相切，与双曲线 的两支都相交，此时与单支只有一个交点，这样的直线有无数条D正确 11.【答案】ABC 【详解】对A,)品PX=)-会cpQ-p八-0-)+p,A正确 对B,f'(x)=p[(I-p)+xp]-,f'(1)=np[I-p)+p1=p,f')=E(X),正确. 对C,g(0)=(1-p)”>0,g(1)=0,g'(x)=np[(1-p)+xp]-1在(0,1)单调递增， g(0)=np[1-p)]-1-1,g'(1)=p-1,要使y=g(x)在区间(0,1)内有零点，则 y=g(x)在(0,1)不单调递减，故nP需满足 发0>0取n=3P=子满足C正确 g'(0)<0 对D,g'(x)=p[(1-p)+xp]-1在(0,1)单调递增，y=g(x)为下凸函数，故 g十5)<)+8)，D错误 2 二、填空题： 12.【答案】1 【解12x--c2()-2c2,令x=1,得2xr展开 ts n 式各项系数和为1. 13.【答案】256 【详解】q44…42=2”，4aa,a40、444ga1、4a6a,a42成等比，公 比为2，放aa46a,=(2)=21,aa4,4=24×24=2°=256 14【答案】169 512 1.111 【详解】A同时被甲、乙、丙选中的概率为二×二×二 2228 1.111 B同时被甲、乙、丙选中的概率为二×二× 2228 第3页共9页 1111 C同时被甲、乙、丙选中的概率为二×二×二 2228 根据容斥原理， 至少有一种纪念品被三人都选中的概率：P= CiR5 888 三、解答题： 5)解：设等差数列省的公差为d,由6,10 …2分 1 得10=6+2d,故d=2. …4分 =6+2(-1)=2n+4,即a,=2n0+2)n∈N) ……6分 n (2)证明：由 =1-2-1) a,2n(n+2)4nn+2 …8分 0n=1时，S=1=13 468 …9分 …10分 3 .1 111)=311+1) 1+ …11分 4 2n+1n+284n+1n+21 图的0周s 3 …12分 踪上知，nEN,S< …13分 16.(1)取BC中点O,连结AO. :△ABC为正三角形，AO1BC, :正三棱柱ABC-AB,C中，平面ABC⊥平面BCCB,交线为BC, AO⊥平面BCCB. …2分 法一：BDC面BB,C,C,所以AO⊥BD …3分 tan∠cBD三=5；tam∠BBO=OB=1 BB2故∠CBD=∠BB,O. 又因为∠B0+∠B08-于所以∠CaD+∠A0B-牙放801D4分 B,O∩AO=O,B,O,AOC面AOB1,故BD⊥面AOB. ABC面AOB1,故BD⊥AB1 …5分 四边形AABB是正方形，AB1⊥AB …6分 第4页共9页 又BD∩AB=B,BD,ABC面ABD,故AB⊥面ABD.…7分 法二：取B,C中点O,以O为原点，OB,OO,OA的方向为x,y,z轴 的正方向建立空间直角坐标系Oz,则 B1,0,0,D(-1,10),4(0,2,V5),4A(0,0,V5),B4,2,0,…3分 .AB=1,2,-V5),BD=(-2,1,0),BA=(-1,2,V3),…4分 :AE.BD=-2+2+0=0'AB1BD …5分 :AE.BA=-1+4-3=0,AB1BA …6分 又BD,BAC平面ABD,BD∩BA1=B,∴AB,⊥平面ABD …7分 (2)解：由(1)可得，AB=1,0,-√3)，BD=(-2,1,0) …8分 (若第(1)问未建系，这里的1分为建系的分) 设平面ABD的法向量为n=(x,y,2) nAB=0,即x-V3z=0, …10分 则nBD=0 -2x+y=0 令x=V5,得n=(5,25,1), …11分 由(1)知AB,⊥平面ABD.AB,为平面ABD的法向量 …12分 设平面ABD与平面ABD的夹角为O, cos=cos<nAB n.AB 5+43-√36 …14分 nAB V3+12+1.2W54 故平面ABD与平面A,BD的夹角的余弦值为V6 …15分 4 1几解：(1)由抛物线的定义知：ABN卡x+号+x+号=++P:1分 2 2 因为当+x=2,AF1+|BF卡6，则6=4+p,即D=2, …2分 2 所以抛物线C的方程为y2=4x …4分 (2)设直线AB的方程为x=y+2,设T(t,0) …5分 联立直线方程与抛物线方程： 第5页共9页 [y2=4x 整理得：y2-4y-8=0 x=y+2 …6分 判别式△=(4m2+32>0恒成立， …7分 由韦达定理得：乃+y2=4m,yy3=-8 …8分 法一：由TA=(x-t,),TB=(x,-t,y),TA·TB=(-)x2-)+y 将x=y+2,x3=y,+2代入： TA-TB=m2+1)yy+(2-t)(y+y)+(2-t)2<0, …10分 代入韦达定理，得-8(m+1)+4m(2-)+(2-t)2<0, 整理得：-4tmm2+t2-4t-4<0, …11分 由题意T恒在以线段AB为直径的圆内等价于-4+t2-4t-4<0对Vm∈R恒成立。 -4t=0 -4t<0 或 t2-4t-4<0 t2-4t-4<0 …13分 解得0≤t<2+2√2， …14分 综上，存在这样的点T(t,0),横坐标0≤t<2+2W2满足要求 …15分 法二：x+x2=(y1+y2)+4=4m+4,故圆心为(2m2+2,2m) 1AB=V1+m21片-为卡V1+m×VG+)2-4yy=4V0+m)2+m),10分 圆的方程为：[x-(2m2+2)]2+(y-2m)2=41+m2)(2+m2) 点T(t,0)在圆内，故(2m2+2-t)2+(2m)2<41+m2)(2+m2), 整理，得-4m2+t2-4t-4<0,下同法一 …11分 18.解：(1)设第i秒末，蚂蚁位于面必1为事件A,位于与%相邻的面为事件B,位于面6 为事件C,则 …1分 P4)=P(B,4)=PB,)xP4,IB,)=X1-1 …2分 248 PC,)=P(B,C)=P(B,)×PCIB,)=248 111 …3分 第6页共9页 1 因此，第3秒末，蚂蚁位于面C,和面的概率都为 …4分 8 (2)由(1)知Pn=P(A) …5分 (若第(1)问没有设事件表达第n的状态，这里需要设事件才得1分) 依题意，P4)-Pc)-0,P)-1,P8)分P4)-2C)-月 …6分 当n22时.PA)-PB)PC)寻P).故a=PC).7分 P4)-PB)-0P4）PC》02PA》 故=42 11 …8分 上些是为R石之》.且贝-合君 62 因此，化名是以一名为言项。一片为公比的学比微列 …9分 (n∈N).…11分 6 aC)-)-A-g吉款Oe …12分 [0第秒末蚂蚁不在。 定义随机变量X,= 第秒末蚂蚁在o。 …13分 则Z=立x,(X)-n …14分 =1 =00)空Ag打 …15分 1 6T3 …16分 1-( 故机变景乙的数学期型为后十(-司 …17分 19.(1)f'(x)=nx,切点为(xo,1n右-x),切线斜率k=nx,…1分 切线方程：y-(x1nx-x)=nx(x-x), …2分 整理，得切线y=xnx-x …3分 (2)(i)y=f(x)过点(a,b)可以作至少2条切线，把(a,b)代入y=x)x-x, 第7页共9页 得b=anx。-x,令F(x)=anx-x-b,则问题转化为y=F(x)至少有两个零点. …4分 F'()=a-1=a-x ①若a≤0，则F'(x)<0,y=F(x)在(0，+o)单调递增，y=F(x)至多只有1个零点， 不合题意，舍去 …5分 ②若a>0,令F'(x)=0,得x=a, x∈(0，a,F'(x)>0,y=F(x)单调递增： x∈(a,+o),F'(x)<0,y=F(x)单调递减： …7分 x→0+，F(x)→-0， 对数函数增长速度比一次函数慢，当x足够大时，F(x)=alnx-x-b<0,…8分 y=F(x)有两个零点，则F(ad)=ana-a-b>0,即b<alna-a=f(a) 综上可知，a>0,且b<f(a). …9分 (i)b<-1,则F(1)=-1-b>0, 由(i)知F(x)在(0,1)存在一个零点，在(1，+∞)存在一个零点，且<x2, 所以0<x<1<x,F(x)=F()=0, 05一 得： …10分 Inx Inx,Inx,-Inx 令空，则+四，又5+b5 …11分 x In Int nag片，分 ∴μ(t)在(1+∞)单调递增，又μ(1)=0，故(t)>0,即(t)在(1，+o)单调递增.。 ∴当=正取最小值时，p)取最小值，即5取最小值。 …13分 x Inx 令Mext6,则M'()= (tng2-(ce(0,1), 第8页共9页 令N(x)=-bnr-x-b,则V(d=b-x>0(xe(0,1), N在(O)单涧道塔.又N日0，N0=1-b>0, 使得N(x)=0,当x∈(0，)时，N(x)<0,当x∈(x,1)时，N(x)>0, 且有-bs-5-b=0,即+b-b,放5=飞时，M5)有最小值， Inx 即1=点有最小值，此时a=点+b_5+也=-b, …15分 Inx Inx 且M(x)在(0，x3)单调递减，在(x,1)单调递增， 所以M(x)在x=?处取得最小值， …16分 故t=点取得最小值时a+b=0. …17分 第9页共9页