1.3　等式性质与不等式性质（4大知识点+6大题型）（讲义+精练）-2027届新高考数学一轮总复习解题妙招精讲与题型整合（新高考专用）

该高中数学高考复习讲义聚焦等式与不等式性质核心考点，按比较大小方法、等式与不等式性质、常用二级结论的逻辑层次梳理知识，通过题型归纳（含数式比较、性质应用等六类）、真题回顾、分层练习等环节，帮助学生构建知识网络，突破由条件求范围等高频难点。 讲义创新采用“解题妙招+生活实例”教学法，如用浓度不等式解释糖水变甜现象培养数学眼光，通过作差作商法强化推理能力，设置基础到压轴题分层训练，助力学生高效掌握性质应用规律，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统支撑。

1.3等式性质与不等式性质 目录 01思维导图与题型归纳… …2 02基础知识点梳理 3 知识点一、两个实数比较大小的方法 …3 知识点二、等式的性质… …3 知识点三、不等式的性质… 3 知识点四、常用二级结论… …4 03真题回顾… 5 04经典题型归纳总结… …8 题型一：数与代数式大小比较（必考基础） 8 题型二：不等式性质的应用（必考基础） 10 题型三：不等式证明…。 …12 题型四：由不等式条件求范围（高频考点)… 15 题型五：不等式综合应用（压轴小题） …17 题型六：浓度相关不等式问题（基础应用题型） …19 05课后拓展精练… 23 1/13 01 思维导图与题型归纳 。。。。。。。。 对称性：a>b与b<a 传递性：a>b,b>c→a>e 可加性：a>ba+c>b+c(c∈R) 不等式的性质 c>0→ac>bc 可乘性：a>b, c=0→ac=bc c<0→ac<bc 可加法则：a>b,c>d→a+c>b+d. 不等式的基本性质 可乘法则：a>b>0,c>d心0→ac>bd心0 作差法 比较两代数式大小的方法 作商法 题型四：由不等式条件求范围 题型一：数与代数式大小比较 题型五：不等式综合应用 题型归纳 题型二：不等式性质的应用 题型六：浓度相关不等式问题 题型三：不等式证明 2/13 02 基础知识点梳理 知识点一、两个实数比较大小的方法 做差法 做商法 与0比较 与1比较 axb a-b>0 >1(a,b>0)或<1a,b<0) b b a=b a-b=0 a b =1(b≠0) a<b a-b=0 a <1(a,b>0或0>1(a,b<0) b 6 知识点二、等式的性质 性质1对称性：如果a=b,那么b=a; 性质2传递性：如果a=b,b=c,那么a=c; 性质3可加（减）性：如果a=b,那么a±c=b±c; 性质4可乘性：如果a=b,那么ac=bc; 性质5可除性：如果a=b,c≠0，那么0=b 知识点三、不等式的性质 性质1对称性：a>b台b<a:a<b台b>a; 性质2传递性：a>b,b>c三a>c;a<b,b<c→a<c; 性质3可加性：a>b台a+c>b>c; 性质4可乘性：a>b,c>0→ac>bc;a>b,c<0→ac<bc; 性质5同向可加性：a>c,c>d→a+c>b+d; 性质6同向同正可乘性：a>b>0,c>d>0→ac>bd; 性质7同正可乘方性：a>b>0→a">b"(neN,n22) 3/13 知识点四、常用二级结论 1、浓度不等式 (①)浓度不等式定理：若a>b>0，m>0,则一定有b+m>b a+m a 通俗的理解：Q克的不饱和糖水里含有b克糖，往糖水里面加入m克糖，则糖水更甜 (②)浓度不等式的倒数形式：设a>b>0，m>0,则有>a+m bb+m 4/13 03 真题回顾 。面厅面。。D。。■ 1.(2024年上海春季高考试题)a,b,ceR,b>c,下列不等式恒成立的是() A.a+b2>a+c2 B.a2+b>a2+c C.ab2>ac2 D.a'b>a'c 2.(2025年高考北京卷数学真题)已知a>0,b>0,则() A.a2+b2>2ab B.1+L1 a b ab C.a+b>ab D.452 a+ba 3.(2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）)若a>b,则() A.In(a-b)0 B.3a<3b C.a3-b3>0 D.a>b 4.(2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版）)若a>b>0,且ab=1,则下列不等 式成立的是() 1 b A.a+- <2<log,(a+b) B. 会<lga+创<a+方 b ,1b C.atplog:(a+b)< D.log2(a+b)<a+- +b2 5.（多选题)(2022年新高考全国Ⅱ卷数学真题)若x,y满足x2+y2-xy=1,则() A.x+y≤1 B.x+y2-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 6.(2022年上海秋季高考数学试题（网络收集版）)x-y≤0，x+y-1≥0，则z=x+2y的最小值是 7.(2010年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学)已知-1<x+y<4且2<x-y<3,则 z=2x-3y的取值范围是 (答案用区间表示) 5/13 04 经典题型归纳总结 。。。。原。。。■。 题型一：数与代数式大小比较（必考基础） 【解题妙招】 比较大小的常用方法 (1)作差法 (2)作商法 (③)构造函数，利用函数的单调性比较大小 例1.(2026·高三·北京·阶段检测)已知a>b>0且ab=10,则下列结论中不一定正确的是() A.Iga+lgb>0 B.Ig(a-b)>0 C.号 g<1 D.I 例2.(2026·高三·辽宁·阶段检测)己知实数x,y,z满足x>y>z,则（) A.(x-y(y-z<0 B.xz>yz c.11 D.1<1 x y x-z y-z 例3.(2026·高三·北京·阶段检测)已知a,b,ceR,且a>b,c>1,ab≠0，则() A.a-c>b-1 B.ac>b c.> b a D.4>b cc 变式1.(2026·四川绵阳·模拟预测)已知a,b∈R,且0akb<1,则() A.a2>b2 B.1>1 c.1>1 D.cosa cosb a+1b+1 变式2.(2026·天津河东·二模)“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技产品 提供涨价方案，经过小组成员分析讨论形成如下四个方案： 方案甲：第一次提价m%,第二次提价n%;方案乙：第一次提价n%,第二次提价m%; 方案丙：第一次和第二次均提价 m+n 2 % 方案丁：第一次提价2m+2n)%,第二次降价(m+n)%; 其中0<n<m<50,则四个方案中提价最多的方案为() A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 6/13 题型二：不等式性质的应用（必考基础） 【解题妙招】 1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明. 2、构造函数，利用函数的单调性。 3、利用特殊值法排除错误选项。 例4.(2026·浙江·一模)对实数x,y,则>y"是“x2x>y2y川”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 例5.(2026·高三·江苏常州·期末)已知实数a,b,则a>b”是“a2>b2”的() A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 例6.已知a,b∈R,且a>b,则下列不等式中一定成立的是() A.a+1>b B.axb+l C.a+1<b+1 D.a-1<b-1 变式3.(2026·高三·山西大同·阶段检测)在x+y,x-y,x-z,y+z-3四个数中() A.任意三个数不能同时等于0 B.任意两个数之和不等于另两个数之和 C.至少有一个数不大于3 D.至少有一个数不小于1 变式4.已知a,b,c满足c<b<a且ac<0,则下列选项中不一定能成立的是() A.csb B.b-a>0 aa c. D.a-c<o ac 题型三：不等式证明 【解题妙招】 证明大小的常用方法 ()作差法 (2)作商法 例7.已知-6<a<8,2<b<3 7/13 (1)求2a+b的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：x2+5x+6与2x2+5x+9. 例8.己知a,a2∈R,M=a,a2,N=a1+a2-1,判断M,N的关系？ 例9.(1)比较大小：x2+y2+2与2(x+2y-2; 2》安如6>0，比我，年与治的大个 a+b 变式5.加油是燃油车用户经常要做的事情，加油时可以有两种不同的策略，第一种是不考虑油价的升降， 每次加油的数量一定；第二种是不考虑油价的升降，每次加油所花费的钱数一定.为了比较哪种加油方式 更经济，请回答以下问题： (1)你认为用下列哪一个标准去比较多次加油哪种策略更经济是合适的？ A.多次加油的钱数总和； B.多次加油的油量总量； C.多次加油的平均单价. (②)为得到一般结论，我们先假定加油两次，设两次加油的单价分别为a,元/升和a,元/升，如果两次加油都 采用第一种策略，设每次加油m升，如果两次加油都采用第二种策略，设每次加油n元，请用上面你选择 的标准比较哪种策略更经济； (3)类比上面的研究过程，比较加油三次哪种策略更经济： (④归纳(2)，(3)的结论，你能得到更为一般的数学结论吗？（只写出结论，不用证明） 变式6.已知a>1,h>0,对任意的实数4，求证： 8/13 (1)a"+2h-a+h>a"+h-a"; (2)1+h)1>1+100h. 题型四：由不等式条件求范围（高频考点） 【解题妙招】 在利用不等式的性质求代数式的取值范围时，需注意以下关键要点： 首先，必须严格遵循不等式的性质。不等式的性质是求解取值范围的基础，任何违反性质的操作都可 能导致结果错误。其次，需警惕多次运用不等式性质时可能导致的变量取值范围扩大。在复杂问题中，若 分步处理不等式，每一步的运算都可能引入额外误差，最终导致所求范围超出实际解集。例如，对不等式 进行多次平方或开方操作时，可能引入非原解集的解。 例10.己知-1≤x+y≤1,1≤x-y≤2，则4x-2y的取值范围是() A.[2,J B.[3,8 c.[2,8] D.[5,10] 例11.(2026·高三·全国·二轮复习)已知2<x<4,-3<y<-1,则， 的取值范围是() x-2v A0 B.2 2 1 C.5<x< D争 例12.已知实数x,y满足1≤x+y≤4，-1≤x-y≤2，则4x-2y的取值范围是() A.-4,10] B.[-3,6 c.[-5,13] D.[-2,10 变式7.2026·高三·广东汕头·期末)已知1<a<3,之b<)则9+0 b 的取值范围是() 4 A.(5,7) B(4 C.(3,13) D. 引 变式8.已知实数x,y满足-4≤x-y≤-1，-1≤4x-y≤5，则9x-y的取值范围是() A.[-7,26 B.[-1,20] C.4,15 D.[1,15] 9/13 题型五：不等式综合应用（压轴小题） 【解题妙招】 综合利用等式与不等式的性质进行求解. 例13.(2026·高三·陕西西安·自主招生)设实数a,b,C,d,e满足a<b<c<d<e,且任意两数 之和共10个数中最小的三个数是32,36,37，最大的两个数是48,51.则= 例14.己知max{a,b,c表示a,b,c中的最大者，若a>0,b>0,则max a方2a2+b的最小值为☐ 例15.（2026·河北邯郸·模拟预测)已知正数x,y,z满足3x+2y+2z≥4或x+3y+3z≥3，记 M=max{x,y,z(M为x,y,z中最大者)，则M的最小值为 变式9.设max{a,b,c表示a,b,c中最大的数，设0<a<b<c<1,且a+b≤1，则 max{b-a,c-b,l-c的最小值为 变式10.(2026·高三·海南海口·阶段检测)已知0<a<b<c<1,且3b≥4a,则max{b-a,c-b,1-c 的最小值是 题型六：浓度相关不等式问题（基础应用题型） 【解题妙招】 b+m b 浓度不等式定理：若a>b>0,m>0,则一定有a+m>a 例16.(1)已知bg糖水中含有ag糖(b>a>0),若再添加mgm>0)糖完全溶解在其中，则糖水变得更 甜了（即糖水中含糖浓度变大）根据这个事实，则 a+m (填>，<，=，≥，≤”之一） b+m 20192019 (2)M= N= 20192016 则M N(填>，<，=，≥，≤”之一). 20232023 20232020 例17.(2026·内蒙古呼和浩特·一模)》若克不饱和糖水中含有b克糖，则糖的质量分数为b,这个质 量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加m克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不 等式6+m、b ->二(a>b>0,m>0)数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出log2 a+m a l10g1s10(用“<”或“>”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式 例18.Q克糖水中含有b克糖，糖的质量与糖水的质量比为二，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添 a 10/13 加m克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为+m>(a>b>0,m>0, a+m a 这个不等式趣称为糖水不等式.根据糖水不等式，下列不等式正确的是() A.万7-2 B.55+2 11√11-2 53+2 C.logs 5<l0g1610 D. Ig7 Ig11 Ig7+1g11 1+lg71+lg111+lg7+lg11 变式11.（多选题）生活经验告诉我们：a克糖水中有b克糖(a>0,b>0,且a>b),若再添加m克糖 （m>0)后，糖水会更甜，于是得出糖水不等式：b<b+m 根据“糖水不等式等知识判断，下列命题 aa+m 一定正确的是（) A.若b>a>0,m>0,则2>b+m aa+m B.若a>b>0,m<0且b+m>0,a+m>0,则2<b+m aa+m b C.若a,b,c为ABC三条边长，则，a+ 1+a1+b1+c -tc D.若a,b,C为ABC三条边长，则，a+b bte ate+atb<2 变式12.（多选题）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖(a>0,b>0,且a>b),若再添加c克糖(c>0) 后，糖水会更甜，于是得出一个不等式： b+C>b.趣称之为糖水不等式”.根据生活经验和不等式的性质 a+c a 判断下列命题一定正确的是() A.若a>b>0,m>0,则+m与2的大小关系随m的变化而变化 a+m a B.若b>a>0,m>0,则白、b+m aa+m C.若a>b>0,c>d>0,则+日<b+c a+d a+c D.若a>0,b>0,则一定有1-6日6aa a b 11/13 05 课后拓展精练 。厅原。C 1.(2026·陕西西安·模拟预测)已知cosa+2sinB=1,且a,Be0,引， 则M=2cosa-cos2B的取值 范围是() A.(0,1 B 2 c.(-1,1 2.(2026·云南昆明·模拟预测)设a>0,b>0,则下列结论正确的是() A.a2+b222(a+b B.a+b2 ≥ab a+b C.b+2a≥22 D. a+b<1 aa+b a2+b2+22 3.设a>b>0,下列不等式不正确的是（) A.absai+b B.ab< a+b 2 、2 C.2ab>ab a+b D.Vab 2ab a+b 4.(2026·浙江·二模)已知a,b∈R且ab0,则a>b是“。方的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(2026·河北雄安·三模)若实数x,y满足y=g3+7),对于以下各式：①x>y>1;②y>x>1; ③x<y<1;④y<x<1,其中不可能成立的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 6.(2026·江苏南通·三模)己知三个不相同的正整数的平均数是11，且最大数与最小数的差为6，则中 间的数为() A.9 B.11 C.13 D.15 7.(2026·北京昌平·二模)设-1<x<0<y<1,则下列不等式一定成立的是() A.1og2 x-log2 y<0 B.分-（分<0 C.x2-y2<0 D.sinx-siny<0 8.(2026·黑龙江哈尔滨·三模)下列各式大小比较中正确的是() A.√7-5>5-5 B.am胥<si 5 C.2In 3<3In 2 D.0. 12/13 9.(多选题)(2026·湖北黄冈·三模)若a>0,b>0,a+b=4,则() Aa-含20 B.+1 C.Va+√b≤2√2 D.12<a2+3b2<48 10.(多选题)(2026·青海西宁·模拟预测)下列不等式中成立的是() A.若a>b>0,则ac2>bc2 B.若a>b>0,则a2>b2 C.若a<b<0,则a2<ab<b2 D.若<B<0,州g日 11.（多选题)(2026·河南·三模)下列说法正确的是() A.若C>C,则a<b B.若a√a>b√b,则a>b a b C.若a<b<0,则a->b-1 D.若-2<a<3,1<b<2,则-4<a-b<2 b 12.已知函数f(x)=gx,若正实数a,b(a<b)满足f(a=f(b),则2024a+2025b的取值范围是 13.(2026·高三·全国·一轮复习)(1)已知2<a<3,-2<b<-1,则2a+b的取值范围是 (2)已知a>b>c,2a+b+c=0,则二的取值范围是 14.(2026·高三·浙江杭州·期中)已知实数a,b满足a2-ab+b2=2,则a2+ab+b2的取值范围为 13/13 1.3　等式性质与不等式性质 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、两个实数比较大小的方法 3 知识点二、等式的性质 3 知识点三、不等式的性质 3 知识点四、常用二级结论 4 03 真题回顾 5 04 经典题型归纳总结 8 题型一：数与代数式大小比较（必考基础） 8 题型二：不等式性质的应用（必考基础） 10 题型三：不等式证明 12 题型四：由不等式条件求范围（高频考点） 15 题型五：不等式综合应用（压轴小题） 17 题型六：浓度相关不等式问题（基础应用题型） 19 05 课后拓展精练 23 知识点一、两个实数比较大小的方法 做差法 与0比较 做商法 与1比较 或 或 知识点二、等式的性质 性质1　对称性：如果，那么； 性质2　传递性：如果，，那么； 性质3　可加(减)性：如果，那么； 性质4　可乘性：如果，那么； 性质5　可除性：如果，，那么. 知识点三、不等式的性质 性质1　对称性：； 性质2　传递性：； 性质3　可加性：； 性质4　可乘性：； 性质5　同向可加性：； 性质6　同向同正可乘性：； 性质7　同正可乘方性：. 知识点四、常用二级结论 1、浓度不等式 (1) 浓度不等式定理：若，，则一定有> 通俗的理解：克的不饱和糖水里含有克糖，往糖水里面加入克糖，则糖水更甜 (2) 浓度不等式的倒数形式：设，，则有>. 1．（2024年上海春季高考试题），，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确； 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误． 故选：B． 2．（2025年高考北京卷数学真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 3．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））若a>b，则（ ） A．ln(a−b)>0 B．3a<3b C．a3−b3>0 D．│a│>│b│ 【答案】C 【解析】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C． 4．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，且，所以 设，则，所以单调递增， 所以 ，所以选B. 5．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 6．（2022年上海秋季高考数学试题（网络收集版）），，则的最小值是___________. 【答案】/ 【解析】设，则，解得， 所以，， 因此，的最小值是. 故答案为：. 7．（2010年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学）已知且，则 的取值范围是 _______ （答案用区间表示） 【答案】（3,8） 【解析】设， 则，解得 ，即， 又且， 且， . 故答案为：（3,8） 题型一：数与代数式大小比较（必考基础） 【解题妙招】 比较大小的常用方法 (1)作差法 (2)作商法 (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小. 例1．（2026·高三·北京·阶段检测）已知且，则下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A：，A正确； 对于B：取，，，，B错误； 对于C：因为，所以，因为，所以，当时，，此时，，选项C正确； 当时，，根据均值不等式，，因为，故，选项C正确； 对于D：因为，所以，因为，所以， ，选项D正确. 例2．（2026·高三·辽宁·阶段检测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】实数满足， ，，A项错误； ，但是正负不确定，B项错误； ，但是正负不确定，C项错误； ，所以，D项正确. 例3．（2026·高三·北京·阶段检测）已知，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，当，，时，，故A错误； 对于B，当，，时，，故B错误. 对于C，当，，时，，故C错误； 对于D，因为，，所以，故D正确. 变式1．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为，所以，即，故A错误； 对于B，当时，，，此时，故B错误； 对于C，， 因为，所以，即，又因为，所以， 因此，即，故C正确； 对于D，余弦函数在上单调递减，所以， 又因为函数为偶函数，所以，故D错误. 变式2．（2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技产品提供涨价方案，经过小组成员分析讨论形成如下四个方案： 方案甲：第一次提价，第二次提价；方案乙：第一次提价，第二次提价； 方案丙：第一次和第二次均提价； 方案丁：第一次提价，第二次降价； 其中，则四个方案中提价最多的方案为（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【解析】设商品原价为， 对于甲：最终价格为； 对于乙：最终价格为； 所以甲、乙方案结果相同， 对于丙：最终价格为； 由均值不等式，，所以方案丙的最终价格高于甲、乙， 对于丁：最终价格为：，该式存在负项，所以明显小于其他方案的结果， 综上，提价最多的是方案丙. 题型二：不等式性质的应用（必考基础） 【解题妙招】 1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明． 2、构造函数，利用函数的单调性． 3、利用特殊值法排除错误选项. 例4．（2026·浙江·一模）对实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】对实数，当时，，则， 当时，，则， 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 例5．（2026·高三·江苏常州·期末）已知实数，则“”是“”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若，不妨取,,此时,所以不能推出， 若等价于,因为，所以, 即能推出, 综上，“”是“”的必要且不充分条件， 故选：B 例6．已知，且，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，且， 所以，，故CD错误； 因为，，所以即恒成立，故A正确； 取，，则，但此时，故B未必成立. 故选：A 变式3．（2026·高三·山西大同·阶段检测）在四个数中（    ） A．任意三个数不能同时等于0 B．任意两个数之和不等于另两个数之和 C．至少有一个数不大于3 D．至少有一个数不小于1 【答案】D 【解析】当时，，A错误； 令，则，， 若，即，则四个数相等，B错误； 不妨取， 则，C错误； 记为四个数中最大的数， 当时， 故， 当时，，（时的条件不唯一）； 当时， 不妨设，则只需考虑且的情况， 此时，故，故当时，， 综上所述，，D正确； 故选：D. 变式4．已知a，b，c满足且，则下列选项中不一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，不等式 两边同除以正数，不等号方向不变，因此 一定成立，A正确； 由 得 ，又 ，负数除以负数结果为正，因此 一定成立，B正确； 取，满足条件，但此时，C错误； 由得 ，且，正数除以负数结果为负，因此一定成立，D正确. 题型三：不等式证明 【解题妙招】 证明大小的常用方法 (1)作差法 (2)作商法 例7．已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 【解析】（1），， ， ； （2）， ． 例8．已知，，，判断M，N的关系? 【解析】由. ①当时，，即； ②当时，，即； ③当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，，即. 综上所述，当或时，； 当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，. 例9．（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 【解析】（1） ， 因为，所以， 即. （2）由，得，，， 因此， 所以. 变式5．加油是燃油车用户经常要做的事情，加油时可以有两种不同的策略，第一种是不考虑油价的升降，每次加油的数量一定；第二种是不考虑油价的升降，每次加油所花费的钱数一定．为了比较哪种加油方式更经济，请回答以下问题： (1)你认为用下列哪一个标准去比较多次加油哪种策略更经济是合适的？ A．多次加油的钱数总和； B．多次加油的油量总量； C．多次加油的平均单价. (2)为得到一般结论，我们先假定加油两次，设两次加油的单价分别为元/升和元/升，如果两次加油都采用第一种策略，设每次加油升，如果两次加油都采用第二种策略，设每次加油元，请用上面你选择的标准比较哪种策略更经济； (3)类比上面的研究过程，比较加油三次哪种策略更经济； (4)归纳（2），（3）的结论，你能得到更为一般的数学结论吗？（只写出结论，不用证明） 【解析】（1）对于A，多次加油的钱数总和：总花费受总油量影响，策略不同导致总油量不同，无法直接比较经济性； 对于B，多次加油的油量总量：总油量受油价变化影响，但未考虑总花费，无法反映成本效率； 对于C，多次加油的平均单价：定义为总花费除以总油量，即单位油量的平均成本，能直接衡量经济性（平均单价越低越经济）， 所以合适的是C. （2）第一种策略，两次加油的平均单价为； 第二种策略，两次加油的平均单价为， 而，当且仅当时取等号，因此当时，， 所以第二种策略更经济. （3）设三次加油的单价分别为元/升、元/升和元/升，， 第一种策略，每次加油升，三次加油的平均单价为； 第二种策略，每次加油元，三次加油的平均单价为， 则 ，即， 当且仅当时取等号，当不全相等时，， 所以第二种策略更经济. （4）由(2)(3)可以归纳出更一般结论：在多次加油的情况下，油价不全相等时，每次加油所花费的钱数一定的策略总比每次加油的数量一定的策略更经济. 变式6．已知，，对任意的实数，求证： (1)； (2)． 【解析】（1）证明：因为，，都是正数且，，可得， 所以，也是正数． 又因为， 即得． （2）证明：由于对正数和，可得， 故，则， 从而， 两端次方得． 题型四：由不等式条件求范围（高频考点） 【解题妙招】 在利用不等式的性质求代数式的取值范围时，需注意以下关键要点： 首先，必须严格遵循不等式的性质。不等式的性质是求解取值范围的基础，任何违反性质的操作都可能导致结果错误。其次，需警惕多次运用不等式性质时可能导致的变量取值范围扩大。在复杂问题中，若分步处理不等式，每一步的运算都可能引入额外误差，最终导致所求范围超出实际解集。例如，对不等式进行多次平方或开方操作时，可能引入非原解集的解。 例10．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可知， 由可得，又， 所以，即的取值范围是. 例11．（2026·高三·全国·二轮复习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原式的分子和分母同时除以，得， 由条件得，，所以，即， 所以， 所以，则则的取值范围是. 故选：D. 例12．已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 所以，解得， 即， ， 则， 因此. 故选：D. 变式7．（2026·高三·广东汕头·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 又，所以，则. 故选：C 变式8．已知实数满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设， 则，解得，所以； 又，， 所以， 所以. 故选：B. 题型五：不等式综合应用（压轴小题） 【解题妙招】 综合利用等式与不等式的性质进行求解. 例13．（2026·高三·陕西西安·自主招生）设实数，，，，满足，且任意两数之和共10个数中最小的三个数是，最大的两个数是.则________. 【答案】// 【解析】因为，且任意两数之和共10个数中最小的三个数是，所以，所以. 因为最大的两个数是，所以，所以. 因为，所以，所以. 所以. 故答案为：. 例14．已知表示中的最大者，若，，则的最小值为_____. 【答案】3 【解析】设， 则， 因为，，所以， 所以，所以， 所以，解得， 所以m的最小值为3，即的最小值为3． 故答案为：3． 例15．（2026·河北邯郸·模拟预测）已知正数x，y，z满足或，记（M为x，y，z中最大者），则M的最小值为______． 【答案】 【解析】若，由，可得， 所以，即， 若，则有，所以，即， 故的最小值为． 故答案为： 变式9．设表示，，中最大的数，设，且，则的最小值为__________． 【答案】/0.2 【解析】令其中， 所以， 因为，则，即， ， 则,故,则， 当且仅当且时等号成立， 如取时可满足等号成立， 所以的最小值为， 故答案为： 变式10．（2026·高三·海南海口·阶段检测）已知，且，则的最小值是_________. 【答案】 【解析】令其中， 所以， 若，则，故， 令， 因此,故,则， 当且仅当等号成立，取时可满足等号成立， 可知的最小值为， 故答案为：. 题型六：浓度相关不等式问题（基础应用题型） 【解题妙招】 浓度不等式定理：若，，则一定有> 例16．（1）已知糖水中含有糖（），若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）.根据这个事实，则__________.（填“>，<，=，≥，≤”之一）. （2），，则M________N（填“>，<，=，≥，≤”之一）. 【答案】 【解析】（1）∵， 又∵，， ∴，即； （2）因为，， 故. 故答案为：；. 例17．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出___________(用“”或“”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式___________. 【答案】 【解析】空1：因为，所以可得： ； 空2：由空1可得：，即. 故答案为：； 例18． 克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，，A错误； 对于B，，，则，B错误. 对于C，由，得，C正确； 对于D，，D错误； 故选：C 变式11．（多选题）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜，于是得出“糖水不等式”：.根据“糖水不等式”等知识判断，下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，且，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 【答案】ACD 【解析】对于A，， ，即，故A正确； 对于B，当，时，，，故B错误； 对于C，由题，，则， ， 又，所以，故C正确； 对于D，，，， ，故D正确. 故选：ACD. 变式12．（多选题）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（    ） A．若，，则与的大小关系随m的变化而变化 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则一定有 【答案】BCD 【解析】对于A，，， ，，故A错误， 对于B，，， ，，故B正确， 对于C，，， ，， ， ，故C正确， 对于D，，， ，， ，故D正确， 故选：BCD 1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，且，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，， 可得， 即， 将代入，可得. 2．（2026·云南昆明·模拟预测）设，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，若取，但，不满足，故A错误； 对于B，若取，，则，不满足，故B错误； 对于C，因，当且仅当时取等， 即当时，取得最小值，而,故C错误； 对于D，令，则可看作关于的一元二次方程有正数解， 所以，整理得，此时可看作关于的一元二次不等式有正数解， 则，可得，因，则得，当时取等，故D正确. 3．设，下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，，即； ，得，即，故A正确； 对于B，，由均值不等式得，即，，故B正确； 对于C、D ，，由均值不等式得，； ，即，故C错误，D正确. 4．（2026·浙江·二模）已知且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为， 由，所以，故，充分性成立， 由，得或，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 5．（2026·河北雄安·三模）若实数，满足，对于以下各式：①；②；③；④，其中不可能成立的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】， 若，由在上单调递减， 则，故，即， 又， 故，故①可能成立，②不可能成立； 若，则，故，即， 又， 故，故③可能成立，④不可能成立； 故其中不可能成立的个数是. 6．（2026·江苏南通·三模）已知三个不相同的正整数的平均数是11，且最大数与最小数的差为6，则中间的数为（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【解析】三个不相同的正整数分别为，， 则，， 故，则，故，解得， 又，即，解得， 故，又为正整数，故，故，中间值为11. 7．（2026·北京昌平·二模）设，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项A：，取特殊值，，则，，原不等式不成立，故A错误. 选项B：指数函数在上单调递减，由，得，即，故B错误. 选项C：.取特殊值，，则，，，不等式不成立，故C错误. 选项D：正弦函数在上单调递增，由，得，即，不等式恒成立，故D正确. 8．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）下列各式大小比较中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，因为， ， 由于，则， 即，故A错误； 对于B，由，则，而，则，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由，， 则，故D正确. 9．（多选题）（2026·湖北黄冈·三模）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，因为，，，所以， 当且仅当时取等号，即，所以，所以A不正确； 对于B，因为， 当且仅当时取等号，所以B正确； 对于C，因为，所以， 当且仅当时取等号，所以C正确； 对于D，因为，，且，所以， 又因为，可得，所以D不正确. 10．（多选题）（2026·青海西宁·模拟预测）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】对于A：当时， ，故A错误； 对于B：因为，则，故得，故B正确； 对于 C：若取，，满足， 因，，，显然不满足，故 C错误； 对于D：由，得且， 因，可得，故D正确. 11．（多选题）（2026·河南·三模）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【解析】选项A，已知 ，因为 ，当 时，，不满足 ，所以 ，则 ． 不等式 两边同时除以 ，不等号方向不变，可得 ． 当 时，满足 ，但此时 ，所以选项A错误． 选项B，已知 ，因为 和 都有意义，所以 ． 不等式两边同时平方，不等号方向不变，可得 ，即 。 因为函数 在 上单调递增，所以由 可得 ，选项B正确。 选项C， ， 因为 ，所以 ，，则 ， 所以 ，即 ，选项C错误． 选项D，已知 ，不等式两边同时乘以 ，不等号方向改变，可得 ， 又因为 ，根据不等式的性质，两个不等式相加，不等号方向不变， 可得 ，即 ，选项D正确． 12．已知函数，若正实数满足，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】因为单调递增，函数的图象如下图所示： 由可知，又因为，所以； 则， 又因为函数在上单调递增，所以； 所以的取值范围是. 故答案为： 13．（2026·高三·全国·一轮复习）（1）已知，，则的取值范围是________． （2）已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】（1）因为，所以，因为， 所以，所以的取值范围是. （2）因为，所以. 因为，所以，即，解得. 将代入中得，即， 得，所以，所以的取值范围是. 故答案为：（1）；（2）. 14．（2026·高三·浙江杭州·期中）已知实数a，b满足，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】设， 联立，解得：，， 所以，解得， 又，解得， 所以的取值范围是． 故答案为： 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $