第2章 实数的初步认识 单元测试 2026—2027 学年苏科版数学八年级上册-

**基本信息** 本卷为初中数学实数初步认识单元复习卷，总分100分，通过选择、填空、解答题三题型，覆盖无理数、平方根、估算等核心知识，融入数形结合、文化传承素材，适配单元复习检测，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|无理数识别、实数比较、平方根性质|基础巩固，如无理数判断、平方根概念辨析| |填空题|10/20|算术平方根、科学记数法、新定义运算|能力提升，如秦九韶公式面积估算、取整运算| |解答题|9/64|实数计算、方程求解、数形结合探究|创新应用，如剪拼正方形求边长、类比探究√10近似值，体现转化思想|

第2章 实数的初步认识 单元测试 总分：100分（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1 2 3 4 5 6 7 8 B C B A C B B B 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9. 10. ＜ 11. 12. 13. 14. 15.22或 16. 17.3 18. 4 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分） 【答案】 【分析】先根据算术平方根、立方根定义计算，再加减运算即可． 【详解】解： ．（6分） 20．（6分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ；（3分） （2）解：， ， ， ．（6分） 21．（6分） 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：；（3分） （2）解：∵， 或．（6分） 22．（6分） 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据算术平方根的定义和立方根定义列方程求解即可； （2）将a、b代入中求值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是3， ， 解得， 的立方根是2， ，即， 解得；（3分） （2）解：由（1）知，， ， 的平方根是．（6分） 23．（6分） 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据题意可得，，从而可得，，代入所求式子，最后结合立方根的定义计算即可得出结果； （2）先将式子整理为，再结合题意求得，最后由平方根的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，m和n是有理数， ∴，， 解得，， ∴， ∴的立方根为；（3分） （2）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∵m和n是有理数， ∴， 解得， ∵m，n是x的平方根， ∴．（6分） 24．（8分） 【答案】(1)； (2)第一块玻璃的边长比多出的长度小于第二块玻璃的边长比少的长度． 【分析】（1）利用结合作差法比较与的大小即可； （2）求解第一块的边长为，第二块的边长为，设第一块玻璃的边长比多出的长度为a，第二块玻璃的边长比少的长度为b，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴．（4分） （2）解：∵第一块面积为，第二块面积为， ∴第一块的边长为，第二块的边长为， 设第一块玻璃的边长比多出的长度为a，第二块玻璃的边长比少的长度为b， ∴，， ∴， ∵，， ∴，． ∴，即． ∴第一块玻璃的边长比多出的长度小于第二块玻璃的边长比少的长度．（8分） 25．（8分） 【答案】(1)① (2)①内部正方形的边长为；② 【分析】（1）分析材料即可； （2）①由图形面积之间的关系列方程求解即可； ②记的对应点为，1的对应点为，在数轴上方作以为底，为高的三角形，连接，以点为圆心，线段长为半径画弧，在点右侧与数轴的交点即为所求． 【详解】（1）解：上述材料中蕴含的数学思想是数形结合思想，（2分） （2）解：①由题意得：， ， ∵是正方形的边长， ∴， ， 答：内部正方形的边长为． （5分） ②略（8分） 26．（8分） 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据材料提示的方法计算即可； （2）根据材料提示的方法展开，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：根据题意，；（4分） （2）解： ．（8分） 27．（10分） 【答案】(1)5；6 (2)方法一：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计， ∴，， ∴． 方法二：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【分析】（1）根据即可得出； （2）根据题干提供的方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即；（5分） （2）略（10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 实数的初步认识 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列四个数中，是无理数的是（     ） A．2026 B． C．0 D． 2．在实数，0，，中，最大的数是（     ） A． B．0 C． D． 3．下列说法正确的是（     ） A．的平方根是 B．是的算术平方根 C． D．负数有平方根 4．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．25 B．5 C． D．2 5．已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（      ） A． B． C． D． 6．估计的值在（     ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 7．如图，数轴上点在点右侧，点表示的数为，正方形的面积为．若，则点表示的数的相反数是（     ） A． B． C． D． 8．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（     ） A． B． C．2 D．8 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．17的算术平方根是_____． 10．比较大小：______2（填“＜”，“＝”或“＞”）． 11．已知：，则____________． 12．用四舍五入法，把31485926精确到万位，取得的近似数是__________ （用科学记数法表示）． 13．若将三个数，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 14．若，，则____． 15．我们规定：时，；当时，．已知，则________． 16．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是______． 17．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中给出已知任意三角形的三边求其面积的公式，即已知三角形的三边长a，b，c，则该三角形的面积．现已知三角形的三边长分别为2，4，4，其面积S介于整数n和之间，则n的值是______． 18．规定：对于任意实数，可用表示不超过的最大整数，如：，．现对38进行如下操作：，这样对38只需进行3次操作后变为1．某同学对实数2025进行了次操作后变为1，那么的值为______． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）计算： 20．（6分）求x： (1) (2) 21．（6分）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 22．（6分）已知的算术平方根是3，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 23．（6分）有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若和是有理数，，则，．已知和是有理数． (1)若，试求出的立方根； (2)若，其中，是的平方根，求的值． 24．（8分）若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与2的大小． ，． ．． 请根据上述方法解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)有两块正方形的玻璃，第一块面积为，第二块面积为，小智想知道第一块玻璃的边长比多出的长度，与第二块玻璃的边长比少的长度，哪个更大？请通过计算说明．（参考数据：，，，） 25．（8分）阅读材料：在引入无理数时，如图1，是把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为，则，从而求出，就得到了大正方形的边长为，借助此过程就可以将在数轴上表示出来．阅读后解答下列问题： (1)上述材料中蕴含的数学思想是______思想；（填序号） ①数形结合    ②分类讨论    ③转化与化归 (2)类比阅读材料完成下列问题： ①某同学受到启发，把长为2，宽为1的两个长方形沿着对角线（设为）剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个大正方形，求内部正方形的边长（即的值）； ②在数轴上画出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹） 26．（8分）先阅读，再解决问题： 在二次根式的世界里，有一类特别“有规律”的等式，比如： ； ； (1)观察以上的“魔法等式”，直接写出结果： ________________； (2)运用以上你发现的规律计算： ． 27．（10分）【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究的近似值，过程如下： ∵面积为的正方形的边长是，且， ∴可以设为以下两种形式： ①；②． 小谢展示了利用②探究近似值的过程． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图． ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【方法运用】 (1)请写出在哪两个连续整数之间： ； (2)类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究的近似值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第2章 实数的初步认识 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列四个数中，是无理数的是（     ） A．2026 B． C．0 D． 2．在实数，0，，中，最大的数是（     ） A． B．0 C． D． 3．下列说法正确的是（     ） A．的平方根是 B．是的算术平方根 C． D．负数有平方根 4．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．25 B．5 C． D．2 5．已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（      ） A． B． C． D． 6．估计的值在（     ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 7．如图，数轴上点在点右侧，点表示的数为，正方形的面积为．若，则点表示的数的相反数是（     ） A． B． C． D． 8．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（     ） A． B． C．2 D．8 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．17的算术平方根是_____． 10．比较大小：______2（填“＜”，“＝”或“＞”）． 11．已知：，则____________． 12．用四舍五入法，把31485926精确到万位，取得的近似数是__________ （用科学记数法表示）． 13．若将三个数，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 14．若，，则____． 15．我们规定：时，；当时，．已知，则________． 16．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是______． 17．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中给出已知任意三角形的三边求其面积的公式，即已知三角形的三边长a，b，c，则该三角形的面积．现已知三角形的三边长分别为2，4，4，其面积S介于整数n和之间，则n的值是______． 18．规定：对于任意实数，可用表示不超过的最大整数，如：，．现对38进行如下操作：，这样对38只需进行3次操作后变为1．某同学对实数2025进行了次操作后变为1，那么的值为______． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）计算： 20．（6分）求x： (1) (2) 21．（6分）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 22．（6分）已知的算术平方根是3，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 23．（6分）有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若和是有理数，，则，．已知和是有理数． (1)若，试求出的立方根； (2)若，其中，是的平方根，求的值． 24．（8分）若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与2的大小． ，． ．． 请根据上述方法解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)有两块正方形的玻璃，第一块面积为，第二块面积为，小智想知道第一块玻璃的边长比多出的长度，与第二块玻璃的边长比少的长度，哪个更大？请通过计算说明．（参考数据：，，，） 25．（8分）阅读材料：在引入无理数时，如图1，是把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为，则，从而求出，就得到了大正方形的边长为，借助此过程就可以将在数轴上表示出来．阅读后解答下列问题： (1)上述材料中蕴含的数学思想是______思想；（填序号） ①数形结合    ②分类讨论    ③转化与化归 (2)类比阅读材料完成下列问题： ①某同学受到启发，把长为2，宽为1的两个长方形沿着对角线（设为）剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个大正方形，求内部正方形的边长（即的值）； ②在数轴上画出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹） 26．（8分）先阅读，再解决问题： 在二次根式的世界里，有一类特别“有规律”的等式，比如： ； ； (1)观察以上的“魔法等式”，直接写出结果： ________________； (2)运用以上你发现的规律计算： ． 27．（10分）【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究的近似值，过程如下： ∵面积为的正方形的边长是，且， ∴可以设为以下两种形式： ①；②． 小谢展示了利用②探究近似值的过程． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图． ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【方法运用】 (1)请写出在哪两个连续整数之间： ； (2)类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究的近似值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 实数的初步认识 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列四个数中，是无理数的是（     ） A．2026 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，根据定义判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A选项、是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； B选项、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，故此选项符合题意； C选项、是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； D选项、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意． 2．在实数，0，，中，最大的数是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据实数比较大小的规则，先区分正负，再比较正数的大小即可得到结果． 【详解】解：∵负数小于0，0小于所有正数， ∴，且和0均小于和， 又∵ ，，可得， ∴四个数的大小关系为， 因此最大的数是． 3．下列说法正确的是（     ） A．的平方根是 B．是的算术平方根 C． D．负数有平方根 【答案】B 【分析】根据平方根与算术平方根的定义，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：选项A：的平方根是，A错误； 选项B：是的算术平方根，B正确； 选项C：，C错误； 选项D：负数没有平方根，D错误． 4．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．25 B．5 C． D．2 【答案】A 【分析】一个正数的两个不同平方根互为相反数，利用这一性质先求出a的值，再计算得到这个正数即可． 【详解】∵一个正数的两个不同平方根互为相反数， ∴， 解得 ， 把代入得，两个平方根分别为和， ∴这个正数为． 5．已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是， 6．估计的值在（     ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】使用夹逼法先确定的取值范围，再推导的范围即可． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴，即， ∴的值在2和3之间． 7．如图，数轴上点在点右侧，点表示的数为，正方形的面积为．若，则点表示的数的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根可得，结合点所表示的数及间距离可得点所表示的数． 【详解】解：正方形的面积为，且， ， 点表示的数为，且点在点右侧， 点表示的数为， 点 表示的数的 相反数为 ． 8．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（     ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】根据算术平方根，立方根，无理数等内容，按照程序框图求解即可． 【详解】解：输入x的值是64时，取算术平方根可得，， 是有理数，则取立方根，可得， 是有理数，则取算术平方根，可得， 为无理数，则输出， 即． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．17的算术平方根是_____． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的定义，根据算术平方根的定义直接求解即可． 【详解】解：根据算术平方根的定义，若一个正数满足，则正数为的算术平方根，记为. 因为，且是正数， 所以的算术平方根是． 10．比较大小：______2（填“＜”，“＝”或“＞”）． 【答案】＜ 【分析】将两个正数分别平方后，比较平方结果，即可得到原数的大小关系． 【详解】解：，， ，且，， ． 11．已知：，则____________． 【答案】 【分析】几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此求出的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ． 12．用四舍五入法，把31485926精确到万位，取得的近似数是__________ （用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了求近似数． 先确定数字的万位位置，对千位数字进行四舍五入，得到近似数，再转化为科学记数法形式． 【详解】解：数字31485926的万位是8，千位是5， ，向万位进1，万位8变为9，后面数位变为0， 得到31490000， 31490000用科学记数法表示为． 故答案为：． 13．若将三个数，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 【答案】 【分析】确定墨迹覆盖的数值范围，并利用夹逼法估算出各无理数的取值范围，进而判断哪个数落在该范围内． 【详解】解：由数轴可知，墨迹覆盖的范围在与之间， ， 不在墨迹覆盖范围内； ， ， 在墨迹覆盖范围内； ， ， 不在墨迹覆盖范围内， 能被墨迹覆盖的数是． 14．若，，则____． 【答案】 【详解】解：， 由题干可知， ∴． 15．我们规定：时，；当时，．已知，则________． 【答案】22或 【分析】先理解题意，再进行分类讨论，根据时，；当时，列式计算，即可作答． 【详解】解：当时，则， 解得； 当时，则， 解得 ∴或 ∵ ∴． 综上：或． 16．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是______． 【答案】 【分析】根据数轴可知，，根据非负数的性质计算即可． 【详解】解：观察数轴可知：，， ∴， ∴ ． 17．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中给出已知任意三角形的三边求其面积的公式，即已知三角形的三边长a，b，c，则该三角形的面积．现已知三角形的三边长分别为2，4，4，其面积S介于整数n和之间，则n的值是______． 【答案】3 【分析】先把三角形的三边长分别为2，4，4代入求得，再估算S的取值范围即可解答． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为2，4，4， ∴设， ∴； ∵，， ∴n为的整数部分，即． 18．规定：对于任意实数，可用表示不超过的最大整数，如：，．现对38进行如下操作：，这样对38只需进行3次操作后变为1．某同学对实数2025进行了次操作后变为1，那么的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，涉及算术平方根和取整运算，根据定义，逐步计算2025的算术平方根并取整，直到结果为1． 【详解】解：对2025进行操作： 第一次操作，； 第二次操作，； 第三次操作，； 第四次操作，， 故进行了4次操作后变为1， 故答案为：4． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）计算： 【答案】 【分析】先根据算术平方根、立方根定义计算，再加减运算即可． 【详解】解： ．（6分） 20．（6分）求x： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ；（3分） （2）解：， ， ， ．（6分） 21．（6分）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：；（3分） （2）解：∵， 或．（6分） 22．（6分）已知的算术平方根是3，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据算术平方根的定义和立方根定义列方程求解即可； （2）将a、b代入中求值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是3， ， 解得， 的立方根是2， ，即， 解得；（3分） （2）解：由（1）知，， ， 的平方根是．（6分） 23．（6分）有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若和是有理数，，则，．已知和是有理数． (1)若，试求出的立方根； (2)若，其中，是的平方根，求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据题意可得，，从而可得，，代入所求式子，最后结合立方根的定义计算即可得出结果； （2）先将式子整理为，再结合题意求得，最后由平方根的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，m和n是有理数， ∴，， 解得，， ∴， ∴的立方根为；（3分） （2）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∵m和n是有理数， ∴， 解得， ∵m，n是x的平方根， ∴．（6分） 24．（8分）若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与2的大小． ，． ．． 请根据上述方法解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)有两块正方形的玻璃，第一块面积为，第二块面积为，小智想知道第一块玻璃的边长比多出的长度，与第二块玻璃的边长比少的长度，哪个更大？请通过计算说明．（参考数据：，，，） 【答案】(1)； (2)第一块玻璃的边长比多出的长度小于第二块玻璃的边长比少的长度． 【分析】（1）利用结合作差法比较与的大小即可； （2）求解第一块的边长为，第二块的边长为，设第一块玻璃的边长比多出的长度为a，第二块玻璃的边长比少的长度为b，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴．（4分） （2）解：∵第一块面积为，第二块面积为， ∴第一块的边长为，第二块的边长为， 设第一块玻璃的边长比多出的长度为a，第二块玻璃的边长比少的长度为b， ∴，， ∴， ∵，， ∴，． ∴，即． ∴第一块玻璃的边长比多出的长度小于第二块玻璃的边长比少的长度．（8分） 25．（8分）阅读材料：在引入无理数时，如图1，是把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为，则，从而求出，就得到了大正方形的边长为，借助此过程就可以将在数轴上表示出来．阅读后解答下列问题： (1)上述材料中蕴含的数学思想是______思想；（填序号） ①数形结合    ②分类讨论    ③转化与化归 (2)类比阅读材料完成下列问题： ①某同学受到启发，把长为2，宽为1的两个长方形沿着对角线（设为）剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个大正方形，求内部正方形的边长（即的值）； ②在数轴上画出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)① (2)①内部正方形的边长为；② 【分析】（1）分析材料即可； （2）①由图形面积之间的关系列方程求解即可； ②记的对应点为，1的对应点为，在数轴上方作以为底，为高的三角形，连接，以点为圆心，线段长为半径画弧，在点右侧与数轴的交点即为所求． 【详解】（1）解：上述材料中蕴含的数学思想是数形结合思想，（2分） （2）解：①由题意得：， ， ∵是正方形的边长， ∴， ， 答：内部正方形的边长为． （5分） ②略（8分） 26．（8分）先阅读，再解决问题： 在二次根式的世界里，有一类特别“有规律”的等式，比如： ； ； (1)观察以上的“魔法等式”，直接写出结果： ________________； (2)运用以上你发现的规律计算： ． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据材料提示的方法计算即可； （2）根据材料提示的方法展开，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：根据题意，；（4分） （2）解： ．（8分） 27．（10分）【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究的近似值，过程如下： ∵面积为的正方形的边长是，且， ∴可以设为以下两种形式： ①；②． 小谢展示了利用②探究近似值的过程． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图． ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【方法运用】 (1)请写出在哪两个连续整数之间： ； (2)类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究的近似值． 【答案】(1)5；6 (2)方法一：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计， ∴，， ∴． 方法二：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【分析】（1）根据即可得出； （2）根据题干提供的方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即；（5分） （2）略（10分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $