（第一章）2.1 充分、必要条件 讲义-2026-2027学年高一上学期 数学 北师大版 必修第一册

2.1 充分、必要条件BS 思维导图 目录 考法一 充分、必要条件 3 考法二 求参数 5 知识点01 充分条件与必要条件 定义：一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个__充分_条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个_必要_条件． “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 知识点02 充要条件 一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q. 知识点03 充分条件、必要条件与充要条件 如果p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件. 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件；每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件 p是q的充分不必要条件 记作： p⇒q且_qp p是q的必要不充分条件 记作： pq 且 q⇒p p是q的充分必要条件（简称充要条件） 记作：p⇔q p是q的既不充分又不必要条件 记作： pq且 qp 考法一 充分、必要条件 【例1】(1)设，则“”是“”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2) “或”成立的一个充分不必要条件是( ) A． B．或 C． D．或 典例： 1．常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”．就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（多选）已知，都是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则（    ） A．是的既不充分也不必要条件 B．是的充分条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充要条件 变式训练： 1． “”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3． “”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 4． “四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．实数，满足“”是“”的 条件． 6．若集合，，则“”是“”的 条件． 7.设集合，，则“”是“”的( ) A．充分条件 B．必要条件 C．没有充分、必要性 D．既是充分又是必要条件 8．设，则“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．若集合，下列各式是“”的充分不必要条件的是( ) A． B． C． D． 10．下列哪一项是“”的必要条件( ) A． B． C． D． 11．如果命题“”是真命题，那么①是的充分条件 ②是的必要条件 ③是的充分条件 ④是的必要条件，其中一定正确的是( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 12．已知，，则是的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．已知，则是的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考法二 求参数 例1．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【例2】已知 ，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 典例： 1．已知实数，且“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式训练： 1．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为( ) A． B． C． D． 2.若“”是““的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____. 3．已知“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是___________. 4．已知，，如果的充分条件是，则实数的取值范围是_________. 5．已知集合A＝{x|a+1≤x≤2a+3}，．若x∈A是x∈B的充分条件，则实数a的取值范围是_______ 6．已知命题p：a≤x≤a＋1，命题，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________． 7．（多选）若p：是q：的必要不充分条件，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 8．不等式成立的充分非必要条件是，则m的取值范围是 ． 9．已知，设；．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 10、已知集合或，. (1)若，求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 11、已知集合，. (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的值； (2)从三个条件①，②，③中选出合适的一个，补充在下面问题中，并完成解答．已知__________，若集合C含有两个元素且满足，求集合 （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 充分、必要条件BS 思维导图 目录 考法一 充分、必要条件 3 考法二 求参数 7 知识点01 充分条件与必要条件 定义：一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个__充分_条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个_必要_条件． “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 知识点02 充要条件 一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q. 知识点03 充分条件、必要条件与充要条件 如果p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件. 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件；每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件 p是q的充分不必要条件 记作： p⇒q且_qp p是q的必要不充分条件 记作： pq 且 q⇒p p是q的充分必要条件（简称充要条件） 记作：p⇔q p是q的既不充分又不必要条件 记作： pq且 qp 考法一 充分、必要条件 【例1】(1)设，则“”是“”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2) “或”成立的一个充分不必要条件是( ) A． B．或 C． D．或 【答案】(1)B(2)C 【解析】(1)化简不等式，可知 推不出；由能推出， 故“”是“”的必要不充分条件，故选B． (2)解不等式，得或， 结合四个选项，D是其充要条件，AB是其既不充分也不必要条件，C选项是其充分不必要条件.故选：C. 典例： 1．常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”．就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的定义求解 【详解】由题意，经历风雨不一定会见彩虹，但见彩虹一定是经历风雨， 所以“经历风雨”是“见彩虹”的必要不充分条件． 故选：B． 2．已知，都是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则（    ） A．是的既不充分也不必要条件 B．是的充分条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充要条件 【答案】BD 【解析】由已知可得；，然后逐一分析四个选项得答案． 【详解】解：由已知得：；． 是的充分条件；是的充分条件；是的充要条件；是的充要条件． 正确的是B、D． 故选：BD． 变式训练： 1． “”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断即可. 【详解】因为可以推出，即充分性成立； 但不能推出，例如，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 2．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，则，即充分性成立； 若，例如，可得，满足题意， 但，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3． “”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】根据两不等式的推出关系得到结论. 【详解】，但， 故“”是“”的必要非充分条件. 故选：B 4． “四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】四边形是平行四边形不能推出四边形是菱形，但是四边形是菱形能推出四边形是平行四边形，所以“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的必要不充分条件． 故选：B． 5．实数，满足“”是“”的 条件． 【答案】充分不必要 【分析】根据两个方程的解集作判断即可. 【详解】由，得此时，充分性成立； 由，得或，此时不一定成立，必要性不成立. 故答案为：充分不必要. 6．若集合，，则“”是“”的 条件． 【答案】充分不必要 【分析】利用集合的性质证明充分性，举反例否定必要性即可. 【详解】由题意得，故充分性成立， 易得当时，满足，但不满足，故必要性不成立. 故答案为：充分不必要 7.设集合，，则“”是“”的( ) A．充分条件 B．必要条件 C．没有充分、必要性 D．既是充分又是必要条件 【答案】A 【解析】当，集合，，所以正确，即“”是“”的充分条件，所以正确选项为A. 8．设，则“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】，解得， ，解得或， “”成立，则“或”成立， 而“或”成立，“”不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A 9．若集合，下列各式是“”的充分不必要条件的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合，当时，，反之不成立，即为充分不必要条件，所以正确选项为B. 10．下列哪一项是“”的必要条件( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，“选项”是“”的必要条件，表示“”推出“选项”，所以正确选项为D. 11．如果命题“”是真命题，那么①是的充分条件 ②是的必要条件 ③是的充分条件 ④是的必要条件，其中一定正确的是( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【解析】根据必要条件和充分条件的含义，为真，则是的充分条件，是的必要条件，所以①④正确，所以正确选项为B. 12．已知，，则是的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由已知，反之不成立，得是的充分不必要条件，所以正确选项为A. 13．已知，则是的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由题意或或， 由“或”不能推出“”； 由“”可推出“或”； 故是的必要不充分条件.故选：B. 考法二 求参数 例1．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解. 【详解】因为一元二次方程有实根， 所以，解得. 又是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 【例2】已知 ，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知：可化简为，， 所以中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集，所以. 典例： 1．已知实数，且“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别解不等式可得、，结合充分、必要条件可得，建立不等式组，解之即可求解. 【详解】由，得，即， 由，，得，即， 因为“”是“”的必要不充分条件， 所以，得（等号不能同时成立），解得， 即实数的取值范围为. 故选：A 变式训练： 1．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，即，解得， 由得， 若是的充分不必要条件，则， 解得，实数的取值范围为，故选：C. 2.若“”是““的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】因为“”是“”的充分不必要条件， ∴． 故答案为：． 3．已知“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是___________. 【答案】或 【解析】由已知“”是“”的必要不充分条件，则，，所以或，得或，所以答案为或. 4．已知，，如果的充分条件是，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】“的充分条件是”，即是的充分条件，得，即，得，所以答案为“”. 5．已知集合A＝{x|a+1≤x≤2a+3}，．若x∈A是x∈B的充分条件，则实数a的取值范围是_______ 【答案】 【解析】B＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}＝{x|﹣1≤x≤4}， ∵若x∈A是x∈B的充分条件，∴A⊆B， 若A＝∅，则2a+3＜a+1，即a＜﹣2时，满足题意； 若A≠∅，则满足，即，此时﹣2≤a≤．综上a≤． 故答案为 6．已知命题p：a≤x≤a＋1，命题，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0<x<4}． ∵p是q的充分不必要条件，∴M⫋N，∴，解得0<a<3.故填 7．（多选）若p：是q：的必要不充分条件，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】AB 【分析】根据必要不充分条件的定义求解. 【详解】由，解得或，所以p：或， 因为p是q的必要不充分条件，所以方程一定有解，则， 所以或，解得或， 故选:AB. 8．不等式成立的充分非必要条件是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据成立的充分非必要条件是，列不等式组求解即可. 【详解】由题知是的真子集， 所以且等号不同时成立， 解得， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 9．已知，设；．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用给定条件得到，，再转化为子集问题求解即可. 【详解】若是的充分不必要条件，则， ， 故有，解得，又，故. 故答案为： 10、已知集合或，. (1)若，求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】(1)或， (2)或 【分析】（1）根据交集，并集，补集的概念进行求解； （2）根据题目条件得到是的真子集，分与两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）时，，故或， ，或， 故； （2）由题意得是的真子集， 若，则，解得， 若，则或， 解得， 故的取值范围是或 11、已知集合，. (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的值； (2)从三个条件①，②，③中选出合适的一个，补充在下面问题中，并完成解答．已知__________，若集合C含有两个元素且满足，求集合 （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据必要不充分条件列方程来求得. （2）根据所选条件以及求得集合. 【详解】（1）若“”是“”的必要不充分条件，则B是A的真子集， 或，解得或1或2， 或1时，不满足集合元素的互异性，应舍去，， 存在实数使得. （2）若选择条件①，则，不满足集合元素的互异性，不符合题意； 若选择条件②，则， 或或； 若选择条件③，则， 或或或或或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $