精品解析：天津市静海区2025-2026学年高二下学期7月期末学业水平监测数学试卷

学业水平监测试卷 （高二年级数学） 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共120分，考试时间100分钟．祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题4分，共36分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用集合的交集运算求解. 【详解】集合，即， 所以. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】必要性：若，则可得，所以可得，必要性成立； 若，则，而，故充分性不成立， “”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，由，得，所以函数的定义域为， 又，所以函数为奇函数， 又时，，，所以，符合题意，故A正确； 对于B，由A知函数的定义域为， 又，所以函数为偶函数，不符合题意，故B错误； 对于C，由A知函数的定义域为， 又，所以函数为奇函数， 又时，，，所以，不符合题意，故C错误； 对于D，由，得，所以函数的定义域为， 又，所以函数为偶函数，不符合题意，故D错误. 4. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指对数的性质判断大小关系即可. 【详解】由， 所以. 5. 以下结论正确的是（ ） A. 命题，，它的否定为，． B. 设随机变量服从正态分布，若，则． C. 用决定系数来刻画拟合效果，越小，说明模型的拟合效果越好． D. 经验回归直线一定过样本中心． 【答案】D 【解析】 【详解】A选项，命题，的否定为，，A错误； B选项，设随机变量服从正态分布，若， 则，B错误； C选项，用决定系数来刻画拟合效果，越大，说明模型的拟合效果越好，C错误； D选项，经验回归直线一定过样本中心，D正确. 6. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，在定义域内单调递增， 可知函数在定义域内单调递增， 所以函数至多有一个零点， 又因为，， 所以函数有且仅有一个零点，且零点所在区间是. 7. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵ 是定义在上的偶函数，∴ ，故. ∵ ，且当时，， ∴ 代入得. 根据对数恒等式，可得. 又∵ ， ∴ ，即. 故选:C. 8. 甲、乙、丙、丁四名同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点．设事件“4位同学去的景点各不相同”，事件“甲、乙两位同学去的景点不同”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型下的条件概率公式，分别计算事件、事件的基本事件个数，代入公式求解. 【详解】甲选择景点共4种方法，乙选择与甲不同的景点共3种方法，丙、丁无额外限制，各有4种选择， 因此. 事件表示“4位同学去的景点各不相同且甲、乙景点不同”，若4人去的景点各不相同，则甲、乙景点必然不同， 因此等价于事件，其基本事件数为4个景点的全排列：. 所以. 9. 已知函数，，若，，有，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化条件得，则 ，令，利用导数求得 的最大值. 【详解】由题意，，， 即，则 ，， 令，， 当 时，， 单调递增； 当 时，， 单调递减； 作函数 的草图如下， 由图可知，当时，有唯一解， 故，且，即， 设，则，令，解得， 当 时，，函数单调递增， 当 时，，函数单调递减， 故，即的最大值为. 第II卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共84分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分． 10. 已知函数，则________． 【答案】 【解析】 【详解】，故 11. 在的展开式中，的系数为____________． 【答案】 【解析】 【详解】的通项为， 令，解得， 故． 12. 某篮球运动员投篮投中的概率为，设为投篮3次投中的次数，则该运动员“投篮3次恰好投中2次”的概率________（结果用分数表示）；________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先判断随机变量服从参数为、的二项分布，再分别代入二项分布的概率计算公式与期望公式求解 【详解】由题意可知，每次投篮结果相互独立，且单次投中概率恒为，故3次投篮的命中次数服从二项分布， 即. 所以； . 13. 若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】借助对数运算法则计算即可得. 【详解】由，，则，， 故. 14. 若函数在区间上的值域为，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】求解函数值为时的自变量取值，结合值域要求选取端点，使区间长度最大即可. 【详解】， 令，解得或， 由该函数在区间上的值域为， 要使得取最大值，则、， 即的最大值为. 15. 设矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设，用表示，以及的面积，结合基本不等式即可求得的最大面积. 【详解】由题意可知，矩形（）的周长为， 设，则，， 设，则，,故， 而为直角三角形，所以， 所以，所以 所以 ， .当且仅当，即时，此时，满足， 即时，的面积取最大值，最大面积为. 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）当时，证明：． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为， （2）设，， 则， 所以函数在上单调递减， 则，即. 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的正负求解即可； （2）设，，求导，分析函数的单调性，进而求证即可. 【小问1详解】 由，得， 令，得，令，得或， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，. 【小问2详解】 略 17. 国家加大了全民体育锻炼的重视程度，推行全民体育锻炼工作，全民体育锻炼活动在全国各地蓬勃发展，活动规模不断扩大，内容不断充实，方式不断创新，影响日益扩大，使我国国民身体素质得到了大幅度提高．某高中为响应政府号召，在暑假中对某校高二年级的男生和女生各名进行了调查，了解他们每天的体育锻炼情况，现统计得出样本中每天体育锻炼时间低于的学生占样本总数的，其中每天体育锻炼时间低于的女生有人． （1）完成下面的列联表； 每天体育锻炼时间低于 每天体育锻炼时间不低于 合计 男性 女性 合计 （2）试根据小概率值的独立性检验，分析该校男生和女生在每天体育锻炼时间方面是否存在差异？ 附： 【答案】（1）补全的列联表如下： 每天体育锻炼时间低于 每天体育锻炼时间不低于 合计 男性 女性 合计 （2）依据的独立性检验，不能认为该校男生和女生在每天体育锻炼时间方面存在差异【解析】 【分析】（1）根据题意完善列联表； （2）设定零假设，计算卡方，比较卡方值和临界值进而得出结论． 【小问1详解】 样本总数为，每天锻炼时间低于的人数为人， 男生低于的人数为， 男生不低于的人数为， 女生不低于的人数为， 不低于的总人数为， 则列联表如下： 每天体育锻炼时间低于 每天体育锻炼时间不低于 合计 男性 女性 合计 【小问2详解】零假设该校男生和女生每天锻炼时间无差异， 则, 当时，临界值， 因为，故没有充分证据拒绝零假设， 故不能认为该校男生和女生在每天体育锻炼时间方面存在差异． 18. 已知函数，且曲线在处的切线与直线平行． （1）求的值． （2）若在区间上单调递减，求的取值范围． 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义确定切线斜率，再由两直线平行时斜率相等即可求解； （2）由  在  上恒成立，通过分离参数求最值即可求解. 【小问1详解】 由 ， 得 ， 故 . 直线  的斜率为 ， 由两直线平行得： ，解得 . 【小问2详解】 由（1）得，.  因为 在  上单调递减， 所以 在  上恒成立， 即 在  上恒成立. 令 ，， 则 ， 的最大值为 . 故 ， 即的取值范围是. 19. 亮相2026年春节联欢晚会的机器人团体舞蹈表演场面震撼、配合默契，尽显人工智能科技魅力，深受观众喜爱．某机构随机抽取了50名观众进行问卷调查，其中男性22人，女性28人，结果显示不喜欢的观众有12名，其中不喜欢的男性观众人数是女性观众人数的2倍． （1）在上述不喜欢的观众中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布和期望； （2）现从28名女性观众中随机选出2人，求选出的2人中恰有1人不喜欢的概率． 【答案】（1） 期望 （2） 所求概率为 【解析】 【小问1详解】 不喜欢的观众共12名，其中不喜欢的男性观众人数是女性观众人数的2倍，即不喜欢的男性观众共8人，不喜欢的女性观众共4人. ∵ 从不喜欢的观众中按性别分层抽样抽取6人，抽样比为， ∴ 抽取的6人中，男性观众人数为，女性观众人数为. 由题意得的所有可能取值为1，2，3. ∵ ， ， ， ∴ 的分布如下表所示： 1 2 3 期望. 【小问2详解】 ∵ 28名女性观众中，不喜欢的有4人，喜欢的有人， ∴ 从28名女性观众中随机选出2人，恰有1人不喜欢的概率. 20. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若，，，都有，其中，，求的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在单调递减，在单调递增； （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，结合导数分析函数单调性即可； （2）由题意可得，分别计算，可得，再结合换元法求解范围. 【小问1详解】 ，恒成立， 当时，恒成立，故，在上单调递减； 当时，令得： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 【小问2详解】 由题意知. 时单调递减，无最小值， 故，由(1)得：. ，当 时，， 当 时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以，即, 令（），则，代入得： 当时：，，不等式不成立； 当时：左边，不等式成立； 当时：，，左边为正数，不等式成立， 因此，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学业水平监测试卷 （高二年级数学） 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共120分，考试时间100分钟．祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题4分，共36分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 以下结论正确的是（ ） A. 命题，，它的否定为，． B. 设随机变量服从正态分布，若，则． C. 用决定系数来刻画拟合效果，越小，说明模型的拟合效果越好． D. 经验回归直线一定过样本中心． 6. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙、丙、丁四名同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点．设事件“4位同学去的景点各不相同”，事件“甲、乙两位同学去的景点不同”，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，，若，，有，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 第II卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共84分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分． 10. 已知函数，则________． 11. 在的展开式中，的系数为____________． 12. 某篮球运动员投篮投中的概率为，设为投篮3次投中的次数，则该运动员“投篮3次恰好投中2次”的概率________（结果用分数表示）；________． 13. 若，，则________． 14. 若函数在区间上的值域为，则的最大值为________． 15. 设矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积是________． 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）当时，证明：． 17. 国家加大了全民体育锻炼的重视程度，推行全民体育锻炼工作，全民体育锻炼活动在全国各地蓬勃发展，活动规模不断扩大，内容不断充实，方式不断创新，影响日益扩大，使我国国民身体素质得到了大幅度提高．某高中为响应政府号召，在暑假中对某校高二年级的男生和女生各名进行了调查，了解他们每天的体育锻炼情况，现统计得出样本中每天体育锻炼时间低于的学生占样本总数的，其中每天体育锻炼时间低于的女生有人． （1）完成下面的列联表； 每天体育锻炼时间低于 每天体育锻炼时间不低于 合计 男性 女性 合计 （2）试根据小概率值的独立性检验，分析该校男生和女生在每天体育锻炼时间方面是否存在差异？ 附： 18. 已知函数，且曲线在处的切线与直线平行． （1）求的值． （2）若在区间上单调递减，求的取值范围． 19. 亮相2026年春节联欢晚会的机器人团体舞蹈表演场面震撼、配合默契，尽显人工智能科技魅力，深受观众喜爱．某机构随机抽取了50名观众进行问卷调查，其中男性22人，女性28人，结果显示不喜欢的观众有12名，其中不喜欢的男性观众人数是女性观众人数的2倍． （1）在上述不喜欢的观众中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布和期望； （2）现从28名女性观众中随机选出2人，求选出的2人中恰有1人不喜欢的概率． 20. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若，，，都有，其中，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $