25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册“一元二次方程的根与系数的关系”同步练，分层梯度清晰，从基础概念应用到综合问题解决，适配新授课知识巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一知识点（两根和/积计算、已知一根求另一根）|选择1-5、填空9-11直接应用韦达定理，强化运算能力| |进阶层|参数讨论与简单应用（含参数方程根的符号、代数式求值）|选择6-7、填空12结合判别式，培养推理意识| |综合层|几何与实际问题（直角三角形边长、销售利润）|解答15-16构建数学模型，发展应用意识|

人教版 九年级数学上册 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。） 1．一元二次方程 的两根之和为（ ） A． B． C． D． 2．已知一元二次方程 的一个根为 2，则它的另一个根为（ ） A． B． C． D． 3．一元二次方程 的两个根的符号情况是（ ） A．同为正根 B．同为负根 C．一正一负 D．无法判断 4．若 是一元二次方程 的两个根，则 的值为（ ） A． B． C． D． 5．以 2 和为两根，且二次项系数为 1 的一元二次方程是（ ） A． B． C． D． 6．关于的一元二次方程 的两根之和为，则的值为（ ） A． B． C． D． 7．若关于的一元二次方程 有两个实数根，且两根之和为 1，则的值为（ ） A． B． C．或 D． 8．某商店销售一款进价为 20 元的小商品，售价为 30 元时每天可售出 20 件。调查发现，售价每上涨 1 元，日销量减少 1 件。设每件售价上涨元，若日利润为 216 元，设对应方程的两根为，下列说法正确的是（ ） A．，两根均不符合实际意义 B．，仅有一个正根符合实际意义 C．，两个正根均符合实际意义 D．，仅有一个正根符合实际意义 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 9．一元二次方程 的两根之积为 。 10．已知一元二次方程 的一个根为 3，则方程的另一个根为 ，的值为 。 11．设是一元二次方程 的两个根，则 的值为 。 12．已知关于的一元二次方程 （为实数）有两个实数根，且满足 ，则的值为 。 三、解答题（本大题共 4 小题，共 60 分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 13．（18 分）已知是一元二次方程 的两个根，求下列各式的值： （1） 和 ； （2）； （3）。 14．（14 分）已知关于的一元二次方程 。 （1）求证：无论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程两个根的平方和为 6，求的值。 15．（14 分）一个直角三角形的两条直角边的长恰好是一元二次方程 的两个根，求这个直角三角形的面积和斜边长。 16．（14 分）已知关于的一元二次方程 有两个实数根。 （1）求实数的取值范围； （2）若满足 ，求的值。 参考答案与解析 一、选择题 1．答案：B 解析：对于一元二次方程 ，两根之和为 。代入得 。 2．答案：A 解析：设方程另一根为，由根与系数的关系得 ，解得 。 3．答案：A 解析：由根与系数的关系，，，因此两根同为正根。 4．答案：A 解析：由韦达定理得 ，。 。 5．答案：A 解析：两根之和为 ，两根之积为 ，因此方程为 。 6．答案：C 解析：由韦达定理，两根之和为 ，解得 。 代入验证判别式：，方程有两个实数根，符合题意。 7．答案：B 解析：方程为一元二次方程，故 ，即 。 由两根之和为 1，得 ，解得 。 代入验证判别式：，方程有两个相等实数根，符合题意。 8．答案：C 解析：根据题意列方程：，整理得 。 由韦达定理，，，两根均为正数，对应售价上涨 2 元或 8 元，均符合实际销售逻辑。 二、填空题 9．答案： 解析：由韦达定理，两根之积为 。 10．答案：4；12 解析：设另一根为，由 得另一根为 4；由 得 。 11．答案：2 解析：展开原式得 ，代入 ，，得 。 12．答案：3 解析：由韦达定理得 ，结合 ，解得 。 将代入原方程得 ，解得 。 验证判别式 ，符合题意。 三、解答题 13．解：由韦达定理，方程 中，。 （1），。 （2）。 （3）。 14．（1）证明：根的判别式 。 无论取何实数，，， 无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根。 （2）解：设方程两根为，由韦达定理得： ，。 由题意 ，即 ， 代入得 ， 整理得 ，即 ， 解得 ，。 15．解：设两条直角边长分别为，由韦达定理得： ，。 直角三角形面积： 。 由勾股定理，斜边长满足： ， （边长为正，舍去负根）。 答：直角三角形的面积为，斜边长为。 16．解：（1）方程有两个实数根，故判别式 ， 即 ， 整理得 ，即 ， 解得 。 （2）由韦达定理得： ，。 由题意 ， 变形得 ，即 ， 代入得 ， 整理得 ， 解得 ，。 ， 不符合题意，舍去。 综上，的值为 。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $