专题2.2 全称量词与存在量词（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册

专题2.2 全称量词与存在量词 教学目标 (1) 理解全称量词与存在量词的意义； (2) 能正确对含有一个量词的命题进行否定. 教学重难点 1. 重点： (1) 全称量词命题与存在量词命题的判断； (2) 对含有一个量词的命题进行否定. 2．难点: (1)判断全称量词命题与存在量词命题的真假； (2)由全称量词命题与存在量词命题的真假求参. 知识点01 全称量词命题 1.全称量词命题 在给定集合中，断言 的命题叫作全称量词命题. 2.全称量词 在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词． 【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定； （2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都” 3.符号表示 全称量词可用符号“”表示. 通常，将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示，变量x的取值范围用M表示.那么全称量词命题“对M中的任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为 “ ”，读作“对任意的属于M,有p(x)成立”. 【注意】 （1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题； （2）一个全称量词命题可以包含多个变量； （3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来，如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”. 【即学即练】 1．下列不是全称量词的是 (　　) A．任意一个 B．所有的 C．每一个 D．很多 知识点02存在量词命题 1.存在量词命题 在给定集合中，断言 的命题叫作存在量词命题. 2.存在量词 在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”都表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词. 【注意】常见的存在量词还有“至少有一个、“有”、“对某些”、“有的”等； 3.符号表示 存在量词可用符号“”表示. 存在量词命题“存在M中的元素，使得成立”可用符号简记为“”，读作“存在M中的元素，使得成立”. 【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题； （2）一个存在量词命题可以包含多个变量； （3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 【即学即练】 1.下列命题中存在量词命题的个数是(　　) ①至少有一个偶数是质数； ②∃x∈R，x2>2025； ③有的矩形是正方形． A．0 B．1 C.2 D．3 知识点03 全称量词命题、存在量词命题的否定 1、命题的否定 对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． 2.全称量词命题的否定 全称量词命题p:∀x∈M，p(x), 它的否定: . 全称量词命题的否定是存在量词命题. 3.存在量词命题的否定 存在量词命题p: ∃x0∈M，p(x0)， 它的否定: 存在量词命题的否定是全称量词命题. 4、命题与命题的否定的真假判断： 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能 ． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 5、常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 【即学即练】 1.(2025河北衡水中学高三上周测)设命题 “”，则为（ ） A. B. C. D. 2．（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）已知命题“，则为（    ） A． B．A． 题型01 用量词符号改写命题 【典例1】（24-25高一·全国·课后作业）指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题． (1)所有实数都能使成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)存在整数，，使得成立； (4)存在实数，使得与的倒数之和等于1． 对于这一类题，将命题中的全称量词用符号“”替换，存在量词用符号“”替换即可. 【变式1】（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）用符号“”“”表示下列含有量词的命题． （1）实数的平方大于等于0； （2）存在实数对使成立． （3）至少有一个实数使不等式成立． （4）对所有正实数为正数，且． 题型02 全称量词与存在量词命题的识别 【典例1】（24-25高一·全国·课后作业）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．有些实数是无理数 B．至少有一个整数，使得是质数 C．每个三角形的内角和都是 D．，使得 【典例2】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）下列命题中的存在量词命题是（   ） A．所有能被3整除的整数都是奇数 B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 C．有的三角形是等边三角形 D．任意两个等边三角形都相似 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词与存在量词，要注意的是有些命题省略了量词，这时我们要根据命题的意义去判断. 【变式1】（24-25高一上·湖南株洲·阶段练习）下列命题中，不是全称量词命题的是（ ） A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数 C．实数都可以写成小数形式 D．存在奇数不是素数 【变式2】（2025高三上·广西·学业考试）下列命题中，含有存在量词的是（    ） A．存在一个直角三角形三边长均为整数 B．所有偶函数图象关于y轴对称 C．任何梯形都不是平行四边形 D．任意两个等边三角形都相似 【变式3】（多选）（24-25高一上·河北秦皇岛·阶段练习）下列语句是全称量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以零都等于零 B．素数都是奇数 C．高一（）班绝大多数同学是团员 D．凡是过去，皆为序章 题型03 全称量词命题真假判断 【题型】（2025高一·全国·课后作业）下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（    ） A． B．菱形的两条对角线相等 C． D．一次函数的图象是直线 要判定全称量词命题“对于任意的成立”是真命题，需对集合的每个元素，证明成立；如果在集合中找到一个元素使得不成立，那么这个全称量词命题就是假命题． 【变式1】（24-25•高一上·南昌月考）下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是（ ） A．菱形的四条边都相等 B．，使为偶数 C． D．是无理数 【变式2】（24-25•高一上·开封月考）下列是全称量词命题且是真命题的为（　　） A．∀x∈R，x2＞0 B．∀x、y∈Q，都有x+y∈Q C．∃x0∈Z， D．∀x，y∈R，|x|+|y|＞0 题型04 存在量词命题真假判断 【典例】（24-25高一上·山西大同·阶段练习）下列命题中是存在量词命题且为假命题的是（　　） A．， B．所有的正方形都是矩形 C．， D．，使 要判定存在量词命题“存在使得p(x0)成立”是真命题，只要在限定集合中找到一个元素使得p(x0)成立即可;如果在集合M中，使得p(x0)成立的都不存在，那么这个存在量词命题是假命题. 【变式1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列存在量词命题为假命题的是（   ） A．存在，使 B．存在，使 C．有的素数是偶数 D．有的实数为正数 【变式2】（23-24高一上·广东茂名·期末）下列既是存在量词命题又是真命题的是（    ） A． B． C．至少有一个，使x能同时被3和5整除 D．每个平行四边形都是中心对称图形 题型05 由全称量词命题的真假求参 【典例】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，这是一类综合性强，且有一定难度的问题，解决这类问题时，若能分离参数，则尽量利用分离参数法求解. 【变式1】（24-25高一上·云南曲靖·期中）若命题“时，”是假命题，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·湖北·开学考试）若命题“，”是假命题，则（    ） A． B． C． D． 题型06 由存在量词命题的真假求参 【典例】（24-25高一上·广东广州·期末）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 存在量词命题的常见题型是以满足某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句来表述，解答此类题目，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明.若推出合理的结论，则存在性得以解决；若导致矛盾，则否定了存在性. 【变式1】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）若命题时，是真命题，则的取值范围 【变式2】（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 题型07 全称量词命题的否定 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 全称量词命题的否定是存在量词命题，因此否定一个全称量词命题时，要把全称量词换成存在量词，再否定命题的结论即可. 【变式1】（24-25高二下·云南·阶段练习）命题，的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（2025·贵州黔东南·三模）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 题型08 存在量词命题的否定 【典例】（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 存在量词命题的否定是全称量词命题，因此否定一个存在量词命题时，要把存在量词改为全称量词，再否定命题的结论即可. 【变式1】（24-25高二下·宁夏石嘴山·期中）若命题，则命题p的否定为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·河北·期中）“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型09 全称量词命题与存在量词命题否定的真假 【典例】（24-25高一·全国·课后作业）写出下列命题的否定，并判断其真假：[来源:学,科,网Z,X,X,K] (1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根； (2)q：存在实数a，b，使得|a－1|＋|b＋2|＝0； (3)r:. 判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假 (1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题否定的关键. (2)当命题否定的真假不易判断时，可以转化为去判断原命题的真假.当原命题为真时，命题的否定为假;当原命题为假时，命题的否定为真. 【变式】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）写出这些命题的否定，并判断其否定命题的真假： (1)与3的和不等于0； (2)三角形的三个内角都为； (3)存在一个实数，使. 题型10 全称量词命题与存在量词命题的否定的应用 【典例】已知：，，：，． （1）写出命题的否定；命题的否定； （2）若和至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【变式1】（24-25高一·全国·课后作业）已知命题p：“至少存在一个实数，使不等式成立”的否定为假命题，试求实数a的取值范围． 【变式2】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知命题，，命题，. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 题型10 含有量词的命题与集合的综合 【典例】（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知集合． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【变式1】（24-25高一上·重庆·期中）已知命题，当命题为假命题时，实数的取值集合为. (1)求集合； (2)设非空集合，若，求实数的取值范围. 【变式2】（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知集合． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 1、 单选题 1. （2025高二下·湖南·学业考试）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有两个角是的三角形是等腰直角三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是偶数 2.（2025·云南·模拟预测）命题“”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3.（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，命题是奇数，则（   ） A．是奇数．是假命题 B．是奇数．是真命题 C．是奇数．是真命题 D．是奇数．是假命题 4．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）十七世纪，数学家费马提出了猜想：“对任意正整数，关于，，的方程没有正整数解”.1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理.则费马大定理的否定为（   ） A．对任意正整数，关于，，的方程都没有正整数解 B．存在正整数，关于，，的方程至多存在一组正整数解 C．存在正整数，关于，，的方程至少存在一组正整数解 D．存在正整数，关于，，的方程至少存在一组正整数解 5.（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 6.（24-25高二下·浙江温州·期中）已知命题是无理数是无理数；命题，使得是奇数，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 7.（2025·江苏苏州·模拟预测）已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（    ） A． B． C． D． 8.（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 多选题 9.（25-26高一上·全国·课后作业）下列是全称量词命题的否定的有（   ） A．存在一个能被2整除的整数不是偶数 B．存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上 C．存在实数不是方程的根 D．没有一个平行四边形是菱形 10．（24-25高二下·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（  ） A． B．若是空集，则A与B均是空集 C．是一元二次方程的一个根，．则是q成立的充分不必要条件 D．，使得为奇数 11．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列四个结论正确的是（    ） A．若，则或 B．命题“”的否定是“” C．“”是“”的必要不充分条件 D．“是关于的方程有一正一负根的充要条件” 三、填空题 12．（25-26高一上·全国·课后作业）观察下列等式： …… …… 写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题： . 13．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）若命题时，是假命题，则的取值范围 14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，命题“，使得”，则命题p的否定为 ；若p为假命题，则实数a的取值范围是 . 四、解答题 15．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)； (2)； (3)s：至少有一个直角三角形不是等腰三角形． (4)， (5) 16．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设非空集合，若是的必要条件，求实数的取值范围． 17．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知集合，集合，命题，命题，命题． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题“和有且仅有一个是真命题”是假命题，求实数的取值范围． 18.（24-25高一上·北京·阶段练习）设集合，． (1)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围； (2)若，，求实数a的取值范围． 19．（24-25高一上·河南·期中）已知集合，． (1)若，均有，求实数的取值范围； (2)若，设：，，求证：成立的充要条件为． 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 全称量词与存在量词 教学目标 (1) 理解全称量词与存在量词的意义； (2) 能正确对含有一个量词的命题进行否定. 教学重难点 1. 重点： (1) 全称量词命题与存在量词命题的判断； (2) 对含有一个量词的命题进行否定. 2．难点: (1)判断全称量词命题与存在量词命题的真假； (2)由全称量词命题与存在量词命题的真假求参. 知识点01 全称量词命题 1.全称量词命题 在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题. 2.全称量词 在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词． 【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定； （2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都” 3.符号表示 全称量词可用符号“”表示. 通常，将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示，变量x的取值范围用M表示.那么全称量词命题“对M中的任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为 “”，读作“对任意的属于M,有p(x)成立”. 【注意】 （1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题； （2）一个全称量词命题可以包含多个变量； （3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来，如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”. 【即学即练】 1．下列不是全称量词的是 (　　) A．任意一个 B．所有的 C．每一个 D．很多 【答案】D 【解析】A、B、C中的量词都表示“整体或全部”，都是全称量词，D中的量词“很多”并没有代表“全部），故不是全称量词. 知识点02存在量词命题 1.存在量词命题 在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题. 2.存在量词 在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”都表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词. 【注意】常见的存在量词还有“至少有一个、“有”、“对某些”、“有的”等； 3.符号表示 存在量词可用符号“”表示. 存在量词命题“存在M中的元素，使得成立”可用符号简记为“”，读作“存在M中的元素，使得成立”. 【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题； （2）一个存在量词命题可以包含多个变量； （3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 【即学即练】 1.下列命题中存在量词命题的个数是(　　) ①至少有一个偶数是质数； ②∃x∈R，x2>2025； ③有的矩形是正方形． A．0 B．1 C.2 D．3 【答案】D 【解析】①中含有存在量词“至少”，所以是存在量词命题； ②中含有存在量词符号“∃”，所以是存在量词命题； ③中含有存在量词“有的”，所以是存在量词命题． 知识点03 全称量词命题、存在量词命题的否定 1、命题的否定 对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． 2.全称量词命题的否定 全称量词命题p:∀x∈M，p(x), 它的否定:. 全称量词命题的否定是存在量词命题. 3.存在量词命题的否定 存在量词命题p: ∃x0∈M，p(x0)， 它的否定:∀x∈M，, 存在量词命题的否定是全称量词命题. 4、命题与命题的否定的真假判断： 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 5、常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 【即学即练】 1.(2025河北衡水中学高三上周测)设命题 “”，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为全称量词命题的否定是存在性命题，所以为，应选C. 2．（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）已知命题“，则为（    ） A． B．A． 【答案】C 【解析】因为命题为“， 所以命题为“” 故选：C. 题型01 用量词符号改写命题 【典例1】（24-25高一·全国·课后作业）指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题． (1)所有实数都能使成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)存在整数，，使得成立； (4)存在实数，使得与的倒数之和等于1． 【答案】见解析 【解析】（1）“所有”是全称量词； ，； （2）“所有”是全称量词； ，，方程恰有一个解； （3）“存在”是存在量词； ，，； （4）“存在”是存在量词； ，． 对于这一类题，将命题中的全称量词用符号“”替换，存在量词用符号“”替换即可. 【变式1】（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）用符号“”“”表示下列含有量词的命题． （1）实数的平方大于等于0； （2）存在实数对使成立． （3）至少有一个实数使不等式成立． （4）对所有正实数为正数，且． 【答案】见解析 【解析】（1）原命题可改为：； （2）原命题可改为：，，； （3）原命题可改为：,； （4）原命题可改为：，，且. 题型02 全称量词与存在量词命题的识别 【典例1】（24-25高一·全国·课后作业）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．有些实数是无理数 B．至少有一个整数，使得是质数 C．每个三角形的内角和都是 D．，使得 【答案】C 【分析】根据全称量词命题和存在命题的定义判断各选项即可. 【解析】对于A，可将命题改写为：，使得为无理数，则命题为存在命题，A错误； 对于B，可将命题改写为：，使得为质数，则命题为存在命题，B错误； 对于C，可将命题改写为：中，，则命题为全称量词命题，C正确； 对于D，命题包含存在量词，则其为存在命题，D错误. 故选：C 【典例2】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）下列命题中的存在量词命题是（   ） A．所有能被3整除的整数都是奇数 B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 C．有的三角形是等边三角形 D．任意两个等边三角形都相似 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的定义求解即可. 【解析】对于A，含有量词所有，为全称量词命题，故A错误； 对于B，含有量词每一个，为全称量词命题，故B错误； 对于C，含有量词有的，为存在量词命题，故C正确； 对于D，含有量词任意，为全称量词命题，故D错误. 故选：C. 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词与存在量词，要注意的是有些命题省略了量词，这时我们要根据命题的意义去判断. 【变式1】（24-25高一上·湖南株洲·阶段练习）下列命题中，不是全称量词命题的是（ ） A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数 C．实数都可以写成小数形式 D．存在奇数不是素数 【答案】D 【分析】根据存在量词与全称量词的定义即可得到答案. 【解析】对A选项，任何是全称量词，故A错误； 对B选项，省略了量词所有，是全称量词，故B错误； 对C选项，省略了量词所有，是全称量词，故C错误； 对D选项，存在是存在量词，故D正确； 故选：D. 【变式2】（2025高三上·广西·学业考试）下列命题中，含有存在量词的是（    ） A．存在一个直角三角形三边长均为整数 B．所有偶函数图象关于y轴对称 C．任何梯形都不是平行四边形 D．任意两个等边三角形都相似 【答案】A 【分析】根据存在量词的含义判断即可. 【解析】“存在”、“有一些”、“某些”等等，这些叫做存在量词. 故选：A. 【变式3】（多选）（24-25高一上·河北秦皇岛·阶段练习）下列语句是全称量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以零都等于零 B．素数都是奇数 C．高一（）班绝大多数同学是团员 D．凡是过去，皆为序章 【答案】ABD 【分析】由全称量词命题的定义，全称量词命题为含有全称量词的命题，由此对四个选项进行分析，即可得到答案． 【解析】命题“任意一个实数乘以零都等于零”，含有全称量词，故A是全称量词命题； B中命题可改写为：任意的素数都是奇数，含有全称量词，故B是全称量词命题； C中命题可改写为：高一()班存在部分同学是团员，不含全称量词，C不是全称量词命题； D中命题可改写为：所有已经发生的事，都是过去的事，含全称量词，故D是全称量词命题． 故选：ABD. 题型03 全称量词命题真假判断 【题型】（2025高一·全国·课后作业）下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（    ） A． B．菱形的两条对角线相等 C． D．一次函数的图象是直线 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的特征,以及真命题即可结合选项求解. 【解析】对于A，为全称量词命题，但是，故是假命题，故A错误， 对于B，是全称量词命题，但是菱形的对角线不一定相等，故B错误， 对于C,是存在量词命题,故C错误， 对于D,既是全称量词命题也是真命题,故D正确， 故选：D 要判定全称量词命题“对于任意的成立”是真命题，需对集合的每个元素，证明成立；如果在集合中找到一个元素使得不成立，那么这个全称量词命题就是假命题． 【变式1】下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是（ ） A．菱形的四条边都相等 B．，使为偶数 C． D．是无理数 【答案】A 【解析】对于A，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题，且是真命题. 对于B，，使为偶数，是存在量词命题. 对于C，，是全称量词命题，当时，，故是假命题. 对于D，是无理数，是真命题，但不是全称量词命题， 故选：A. 【变式2】（24-25•高一上·开封月考）下列是全称量词命题且是真命题的为（　　） A．∀x∈R，x2＞0 B．∀x、y∈Q，都有x+y∈Q C．∃x0∈Z， D．∀x，y∈R，|x|+|y|＞0 【答案】B 【解答】解：当x＝0时，x2＝0，故A错误， 当x＝y＝0时，|x|+|y|＝0，故D错误， C为存在量词命题，故C错误， 而∀x、y∈Q，都有x+y∈Q，即B为全称量词命题，且为真命题， 故选：B． 题型04 存在量词命题真假判断 【典例】（24-25高一上·山西大同·阶段练习）下列命题中是存在量词命题且为假命题的是（　　） A．， B．所有的正方形都是矩形 C．， D．，使 【答案】C 【分析】根据各选项命题的描述判断是否为存在量词命题及其真假即可. 【解析】A：命题为存在量词命题，当时，，故为真命题； B：命题为全称量词命题，不是存在量词命题； C：命题为存在量词命题，，，故为假命题； D：命题为存在量词命题，当时，，故为真命题. 故选：C 要判定存在量词命题“存在使得p(x0)成立”是真命题，只要在限定集合中找到一个元素使得p(x0)成立即可;如果在集合M中，使得p(x0)成立的都不存在，那么这个存在量词命题是假命题. 【变式1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列存在量词命题为假命题的是（   ） A．存在，使 B．存在，使 C．有的素数是偶数 D．有的实数为正数 【答案】B 【解析】A，C，D均正确；B中，对于任意的恒成立． 【变式2】（23-24高一上·广东茂名·期末）下列既是存在量词命题又是真命题的是（    ） A． B． C．至少有一个，使x能同时被3和5整除 D．每个平行四边形都是中心对称图形 【答案】BC 【分析】根据存在量词命题的定义及真命题的判定即可依次判断各选项. 【解析】对于A，因为所有实数的绝对值非负，即，所以A是假命题； 对于B，当时，满足，所以B是真命题； 对于C，15能同时被3和5整除，所以C是真命题； 对于D，是全称量词命题，所以不符合题意． 故选：BC． 题型05 由全称量词命题的真假求参 【典例】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由其否定为真命题，通过求解即可； 【解析】因为命题是假命题， 可得：为真命题； 可得：， 解得：， 故选：A 全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，这是一类综合性强，且有一定难度的问题，解决这类问题时，若能分离参数，则尽量利用分离参数法求解. 【变式1】（24-25高一上·云南曲靖·期中）若命题“时，”是假命题，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出全称量词命题的否定，故，设，由单调性求出，从而. 【解析】若命题“时，”是假命题， 则命题“时，”是真命题，则， 设，则画图易知（图略），当时， 所以. 故选：D 【变式2】（24-25高一下·湖北·开学考试）若命题“，”是假命题，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知命题写出它的否定即为真命题，求得即可. 【解析】因为命题“，”是假命题， 则，”是真命题， 则当时，， 故选：C. 题型06 由存在量词命题的真假求参 【典例】（24-25高一上·广东广州·期末）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“，使得”是真命题，即可求解最值得解. 【解析】由于“，使得”是假命题，则“，使得”是真命题， 故，则， 故选：A 存在量词命题的常见题型是以满足某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句来表述，解答此类题目，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明.若推出合理的结论，则存在性得以解决；若导致矛盾，则否定了存在性. 【变式1】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）若命题时，是真命题，则的取值范围 【答案】 【分析】由题意知，命题的否定为真命题，再分离参数利用基本不等式求得的取值范围. 【解析】命题时，是真命题， 则，由于，即， 所以的取值范围为. 【变式2】（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，为真命题，恒成立问题分离参数求解. 【解析】由题，为真命题， 所以，对， 又在上的最小值为， ， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 题型07 全称量词命题的否定 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由命题的否定求解即可. 【解析】命题“”的否定是“”. 故选：B. 全称量词命题的否定是存在量词命题，因此否定一个全称量词命题时，要把全称量词换成存在量词，再否定命题的结论即可. 【变式1】（24-25高二下·云南·阶段练习）命题，的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据全称量词命题的否定是存在命题即可得到答案． 【解析】，的否定是，， 故选：A． 【变式2】（2025·贵州黔东南·三模）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解. 【解析】由全称量词命题的否定可知， 命题的否定是， 故选：D 题型08 存在量词命题的否定 【典例】（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据存在性命题的否定求解. 【解析】由存在性命题的否定知， ，的否定是，. 故选：C 存在量词命题的否定是全称量词命题，因此否定一个存在量词命题时，要把存在量词改为全称量词，再否定命题的结论即可. 【变式1】（24-25高二下·宁夏石嘴山·期中）若命题，则命题p的否定为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，即可求解． 【解析】命题p的否定为， 故选：C． 【变式2】（24-25高二下·河北·期中）“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由命题的否定的定义即可得解. 【解析】“，”的否定是“，”． 故选：C. 题型09 全称量词命题与存在量词命题否定的真假 【典例】（24-25高一·全国·课后作业）写出下列命题的否定，并判断其真假：[来源:学,科,网Z,X,X,K] (1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根； (2)q：存在实数a，b，使得|a－1|＋|b＋2|＝0； (3)r:. 【答案】见解析 【解析】(1)p的否定：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根． 因为该方程的判别式Δ＝m2＋4＞0恒成立， 故p的否定为假命题． (2)q的否定：对于任意的实数a，b，有|a－1|＋|b＋2|≠0， 当a＝1，b＝－2时，|a－1|＋|b＋2|＝0． 故q的否定为假命题． (3) r的否定: 这里由于恒成立，即命题p是真命题,所以p的否定是假命题. 判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假 (1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题否定的关键. (2)当命题否定的真假不易判断时，可以转化为去判断原命题的真假.当原命题为真时，命题的否定为假;当原命题为假时，命题的否定为真. 【变式】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）写出这些命题的否定，并判断其否定命题的真假： (1)与3的和不等于0； (2)三角形的三个内角都为； (3)存在一个实数，使. 【答案】(1)，假命题 (2)存在一个三角形的三个内角不都为，真命题 (3)，，假命题 【分析】（1）（2）由全称量词命题的否定为存在量词命题即可写出其否定，并直接判断真假； （3）由存在量词命题的否定为全称量词命题即可写出其否定，并直接判断真假. 【解析】（1），假命题. （2）存在一个三角形的三个内角不都为，真命题. （3），，假命题. 题型10 全称量词命题与存在量词命题的否定的应用 【典例】已知：，，：，． （1）写出命题的否定；命题的否定； （2）若和至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）：，；：，；（2）. 【解析】（1）：，； ：，． （2）由题意知，真或真， 当真时，， 当真时，， 解得， 因此，当真或真时，或， 即． 【变式1】（24-25高一·全国·课后作业）已知命题p：“至少存在一个实数，使不等式成立”的否定为假命题，试求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】先判断原命题的真假，根据二次函数的在区间上存在着使函数值大于零的，列出不等式求解出参数的范围即可. 【解析】由题意知，命题p为真命题，即在上有解， 令，所以，又因为最大值在或时取到， ∴只需或时，即可， ∴或，解得或， 即． 故实数a的取值范围为． 【变式2】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知命题，，命题，. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）依题意命题为真命题，即在时恒成立，可求实数的取值范围； （2）由为真命题的条件求的范围，结合为真命题时的范围，可求实数的取值范围. 【解析】（1）命题为假命题，则命题为真命题，即在时恒成立， 所以，即实数的取值范围是. （2）命题，， 为真命题，则，解得， 又由（1）可知，命题为真命题时，， 所以命题和均为真命题，实数的取值范围为. 题型10 含有量词的命题与集合的综合 【典例】（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知集合． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据是真命题，转化为，根据集合间的关系转换不等式组进行判断即可； （2）将充分不必要条件转化为真子集关系，列不等式组可求实数的取值范围． 【解析】（1）由集合可解得：，则， ，故， 由是真命题，则， 当时，只有，故， 因此当时， 故的取值范围为， （2）“”是“”的充分不必要条件，得是的真子集， 得：（等号不同时成立），解得：， 故的取值范围为， 【变式1】（24-25高一上·重庆·期中）已知命题，当命题为假命题时，实数的取值集合为. (1)求集合； (2)设非空集合，若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）写出，再由，即可求出集合； （2）由子集的包含关系列不等式组，即可求出实数的取值范围. 【解析】（1）解：为真， 所以，所以，即集合 （2）因为集合非空，所以 因为，所以 所以. 所以实数的取值范围为. 【变式2】（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知集合． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据是真命题，转化为，根据集合间的关系转换不等式组进行判断即可； （2）将充分不必要条件转化为真子集关系，列不等式组可求实数的取值范围． 【解析】（1）由集合可解得：，则， ，故， 由是真命题，则， 当时，只有，故， 因此当时， 故的取值范围为， （2）“”是“”的充分不必要条件，得是的真子集， 得：（等号不同时成立），解得：， 故的取值范围为. 1、 单选题 1. （2025高二下·湖南·学业考试）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有两个角是的三角形是等腰直角三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是偶数 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的定义即可得出答案． 【解析】D含有存在量词，至少有一个，为存在量词命题， ABC含有全称量词：任意的或者包含所有的意思，为全称量词命题. 故选：D 2.（2025·云南·模拟预测）命题“”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据题意，由全称量词命题的否定是存在量词命题即可得到结果. 【解析】命题“”的否定是“，”. 故选：B. 3.（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，命题是奇数，则（   ） A．是奇数．是假命题 B．是奇数．是真命题 C．是奇数．是真命题 D．是奇数．是假命题 【答案】A 【解析】因为，且1是奇数，所以A正确． 4．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）十七世纪，数学家费马提出了猜想：“对任意正整数，关于，，的方程没有正整数解”.1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理.则费马大定理的否定为（   ） A．对任意正整数，关于，，的方程都没有正整数解 B．存在正整数，关于，，的方程至多存在一组正整数解 C．存在正整数，关于，，的方程至少存在一组正整数解 D．存在正整数，关于，，的方程至少存在一组正整数解 【答案】D 【分析】由全称量词命题的否定的定义即可得解. 【解析】“对任意正整数，关于的方程没有正整数解”的否定为： 存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解. 故选：D. 5.（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】判断出、的真假，即可得出结论. 【解析】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题， 对于命题，由可得或，则命题为真命题， 因此，和都是真命题. 故选：B. 6.（24-25高二下·浙江温州·期中）已知命题是无理数是无理数；命题，使得是奇数，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】D 【分析】通过举特例可判断命题正误，推理判断命题的正误，结合命题否定含义可得答案. 【解析】对于命题，若是无理数，但是是有理数，所以命题是假命题，则是真命题；对于命题由，因为和是两个连续的整数，则必是偶数，故命题是假命题，则为真命题. 故选：D. 7.（2025·江苏苏州·模拟预测）已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得到，再逐项判断即可. 【解析】由，可得， 所以错误，错误， 错误，，即，正确. 故选：D. 8.（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若命题p为真，则集合B中所有的元素都在集合A中，即.又，所以解得，故. 2、 多选题 9.（25-26高一上·全国·课后作业）下列是全称量词命题的否定的有（   ） A．存在一个能被2整除的整数不是偶数 B．存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上 C．存在实数不是方程的根 D．没有一个平行四边形是菱形 【答案】ABC 【解析】对于A，“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的整数不是偶数”，故A是；对于B，“每一个三角形的三个顶点在同一个圆上”的否定是“存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上”，故B是；对于C，“任何实数都是方程的根”的否定是“存在实数不是方程的根”，故C是；对于D，“有些平行四边形是菱形”的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形，是存在量词命题的否定，故D不是． 10．（24-25高二下·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（  ） A． B．若是空集，则A与B均是空集 C．是一元二次方程的一个根，．则是q成立的充分不必要条件 D．，使得为奇数 【答案】AB 【分析】分类讨论即可判断A；根据空集和交集的定义即可判断B；根据充分条件和必要条件的判定即可判断C；根据表示两个连续的整数，则必有一个整数为偶数，即可判断D． 【解析】对于A，当时，成立；当时，成立；当时，成立；故A正确； 对于B，根据空集与交集的定义，若是空集，则A与B均是空集，故B正确； 对于C，若是一元二次方程的一个根，则； 若，则是一元二次方程的一个根， 所以是q的充要条件，故C错误； 对于D，因为时，表示两个连续的整数，则必有一个整数为偶数，其乘积必为偶数，故不存在，使得为奇数，故D错误. 故选：AB． 11．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列四个结论正确的是（    ） A．若，则或 B．命题“”的否定是“” C．“”是“”的必要不充分条件 D．“是关于的方程有一正一负根的充要条件” 【答案】AD 【分析】根据并集的定义即可求解A，根据存在性命题的否定为全称量词命题即可求解B，根据绝对值的性质即可求解C，根据一元二次方程根的情况，即可求解D. 【解析】对于A：或若，则或，A正确 对于B：的否定是，B错误 对于C：若，则一定成立反之，若，则或 “”是“”的充分不必要条件,故C错误， 对于D：对于方程有一正一负根， 其判别式，两根之积为，解得 反之，当时，，两根之积，方程有一正一负根 “是关于的方程有一正一负根的充要条件”，D正确 故选：AD 三、填空题 12．（25-26高一上·全国·课后作业）观察下列等式： …… …… 写出含有量词的全称量词命题或存在量词命题： . 【答案】对于任意的正整数n，必有成立 【解析】对于任意的正整数n，必有成立. 13．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）若命题时，是假命题，则的取值范围 【答案】 【分析】由题意知，命题的否定为真命题，再分离参数利用基本不等式求得的取值范围. 【解析】若命题时，是假命题， 则命题时，是真命题， 则，由于，即， 所以的取值范围为. 14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，命题“，使得”，则命题p的否定为 ；若p为假命题，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】若p为假命题，则其否定命题“”为真命题.当时，集合，符合；当时，因为，所以由，得对于任意恒成立，所以，则.综上，当p为假命题时，. 四、解答题 15．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)； (2)； (3)s：至少有一个直角三角形不是等腰三角形． (4)， (5) 【答案】(1)，假 (2)，假 (3)任意直角三角形都是等腰三角形，假 (4)，假 (5)，假 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的否定的方法写出否定，再结合命题判断其真假． 【解析】（1）全称量词命题的否定是存在量词命题，因此的否定是：，由平方的定义知任意实数的平方都是非负数，因此原命题的否定是假命题； （2）全称量词命题的否定是存在量词命题，的否定是：，事实上，当时，都有，因此原命题的否定是假命题； （3）至少有一个的反面是至多有0个，即没有一个，因此“有一个直角三角形不是等腰三角形”的否定是：没有直角三角形不是等腰三角形， 即任意直角三角形都是等腰三角形，例如边长分别为3，4，5的三角形是直角三角形，但不是等腰三角形，因此原命题的否定是假命题； （4）全称量词命题的否定是存在量词命题， 的否定是：， 由于，因此，不可能为，因此原命题的否定为假命题； （5）全称量词命题的否定是存在量词命题，的否定是：，由平方的定义知只有或时才有，因此原命题的否定是假命题． 16．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设非空集合，若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意可得方程有解，根据求解即可； （2）由题意可得，列出不等式组求解即可. 【解析】（1）解：由题意可得方程有解， 所以，解得， 所以； （2）解：因为是的必要条件， 所以，又因为为非空集合， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 17．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知集合，集合，命题，命题，命题． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题“和有且仅有一个是真命题”是假命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由题意确定，即可求解； （2）通过真真和假假两种情况讨论即可求解. 【解析】（1）因为命题为真命题，所以，故，故， 于是．因为，所以，即． （2）①为真命题时，则，由于，所以，故， 于是．由知，所以； ②命题为真命题时， （i）时，，符合题意； （ii）时，，即，此时且； 故命题为真命题时，有； 由命题“和有且仅有一个是真命题”是假命题可知， 由两种情况：真真和假假， 所以，当真真时a不存在；当假假时． 综上所述，实数的取值范围． 18.（24-25高一上·北京·阶段练习）设集合，． (1)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围； (2)若，，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先求得集合，然后根据必要条件以及对进行分类讨论来求得的取值范围. （2）根据全称量词命题的知识以及对进行分类讨论来求得的取值范围. 【解析】（1）依题意，集合. 若“”是“”的必要条件，则， 当时，，不符合题意. 当时，， 所以，解得. 当时，， 所以，此不等式组无解. 综上所述，的取值范围是. （2）依题意，，， 当时，，符合题意. 当时，， 则，解得. 当时，， 则，解得. 综上所述，的取值范围是. 19．（24-25高一上·河南·期中）已知集合，． (1)若，均有，求实数的取值范围； (2)若，设：，，求证：成立的充要条件为． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据二次不等式，解得集合的元素，利用分类讨论思想，可得答案； （2）根据充要条件的定义，利用集合之间的包含关系，可得答案. 【解析】（1）． 因为，均有，所以． 当时，，满足题意； 当时，，解得，所以． 综上，，即的取值范围是． （2）证明：充分性：当时，则， 所以当时，，所以，为真命题，充分性成立； 必要性：若：，为真命题，则：，为假命题． 先求：，为真命题时的范围， 因为，所以，由：，，得． 则或，解得或，所以． 因为：，为假命题，所以. 综上，若，则成立的充要条件为． 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$