（第一章）1.2 集合间的关系 讲义-2026-2027学年高一上学期 数学 北师大版 必修第一册

1.2 集合间的关系 目录 考点一 集合关系的判断 2 考点二(真)子集的个数 5 考点三 已知集合关系求参数 7 知识点1；子集 1.概念：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B 的子集. 2.记法：A⊆B（或B⊇A）. 3.读法：A包含于B（或"B包含A"）. 4.如果A不是B的子集，记作AB（或B A），读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）. 5.性质：A⊆ A；∅⊆A. 6.图形表示： 7.空集是任何集合的子集 知识点2： 真子集 1.概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集. 2.记法：A⫋ B（或BA）. 3.读法：A真包含于B（或“B真包含A”）. 4.性质：对于集合A，B，C，①如果A ⊆B,B⫋C,则A⫋C ②如果A⫋B，B⫋C，则A⫋C； 5.图形表示： 6.空集是任何非空集合的真子集 考点一 集合关系的判断 例1、设集合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，则集合A与B的关系为(　　) A． B． C． D． 例2． 已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ）． A． B． C． D． 典例： 1．给出下列关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2、下列七个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦， 其中正确的个数_______。 补充：若，则；。 变式训练： 1．(多选题)下列关系中，正确的有( ) A． B． C． D． 2．已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则( ) A． B． C． D． 3．下列关系中，正确的个数是( ). ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 4．设，，，则A，B的关系是________. 5、下列写法中正确的是（　　） A． B． C． D． 6、已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7、下列能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 8、设集合，则下列选项中正确的是（    ） A．⫋ B．⫌ C． D． 9、已知集合，则下列关系式表示正确的有（    ） A． B． C． D． 考点二(真)子集的个数 【例1】(1)设集合，则集合的真子集的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知为给定的实数，那么，集合的子集的个数为( ) A．1 B．2 C．4 D．不确定 典例： 1．已知集合，集合，则集合的真子集个数为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知集合，，集合满足⫋ ，则（    ） A．， B．集合可以为 C．集合的个数为7 D．集合的个数为8 变式训练： 1．已知集合，则的真子集共有( )个 A．3 B．4 C．6 D．7 2、已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3、若全集，则集合A的真子集共有 个． 4、集合的非空真子集有 个． 5、设集合，则集合的真子集个数为 ． 6．满足的集合M共有( ). A．6个 B．7个 C．8个 D．15个 7．已知集合，且中至多有一个偶数，则这样的集合共有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 8．集合的真子集可以是( ) A． B． C． D． 9．已知集合满足，则集合的个数是( ) A．4 B．3 C．2 D．1 10、已知集合满足 ，则满足条件的集合的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 11．已知集合，则M的非空子集的个数是( ) A．15 B．16 C．7 D．8 考点三 已知集合关系求参数 【例1】已知集合，则实数的取值范围是________． 【例2】(1)已知集合，，且，则实数的值是( ) A． B． C． D． (2)若集合，集合，若，则实数a的取值范围是( ). A． B． C． D． 典例： 1．（多选）已知集合，，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．3 2．（多选）已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（多选）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 4．（多选）已知集合，，若使成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（    ） A． B． C． D． 变式训练： 1．已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}.若B⊆A，则实数m等于( ) A．±1 B．－1 C．1 D．0 2．设集合，，若，则实数a的取值范围是( ) A． B． C． D． 3．，，若，则的取值集合为　　 A． B． C． D． 4．已知集合，，若，则实数的值为( ) A．2 B．0 C．0或2 D．1 5．若且，则( )． A． B．或0 C．或1或0 D．或或0 6．设集合，且，则实数的取值范围是____________． 7、若集合，，则能使成立的所有a的集合是（    ）． A． B． C． D． 8．已知集合，若集合有且仅有两个子集，则的值是(　　) A．1 B． C．0，1 D．，0，1 9．已知集合，，若，则实数的取值范围是____． 10． ，，若，则实数a的值构成的集合M=______________ 11、若集合，，且，求满足的条件． 12、已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 13、已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 14、已知集合，集合，且. (1)求m的值； (2)若，求的值. 15、已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 集合间的关系(精讲) 目录 考点一 集合关系的判断 2 考点二(真)子集的个数 6 考点三 已知集合关系求参数 10 知识点1；子集 1.概念：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B 的子集. 2.记法：A⊆B（或B⊇A）. 3.读法：A包含于B（或"B包含A"）. 4.如果A不是B的子集，记作AB（或B A），读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）. 5.性质：A⊆ A；∅⊆A. 6.图形表示： 7.空集是任何集合的子集 知识点2： 真子集 1.概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集. 2.记法：A⫋ B（或BA）. 3.读法：A真包含于B（或“B真包含A”）. 4.性质：对于集合A，B，C，①如果A ⊆B,B⫋C,则A⫋C ②如果A⫋B，B⫋C，则A⫋C； 5.图形表示： 6.空集是任何非空集合的真子集 考点一 集合关系的判断 例1、设集合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，则集合A与B的关系为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2，3，4}，∴A⊆B．故选D． 例2． 已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为 ， 所以．故选：B． 典例： 1．给出下列关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】①，故①错误； ②是整数，所以，故②正确； ③由，得或，所以，所以正确； ④为正整数集，所以错误； ⑤由，得，所以，所以错误. 所以正确的个数有2个. 故选：B. 2、下列七个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦， 其中正确的个数_______。 解：正确的是③④⑥⑦，共4个。 补充：若，则；。 解： 变式训练： 1．(多选题)下列关系中，正确的有( ) A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】选项A:由空集是任何非空集合的真子集可知，本选项是正确的； 选项B: 是有理数，故是正确的； 选项C:所有的整数都是有理数，故有，所以本选项是不正确的； 选项D; 由空集是任何集合的子集可知，本选项是不正确的，故本题选AB. 2．已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D⊂A，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B⊂A，C⊂A，正方形是矩形，所以C⊆B．故选B． 3．下列关系中，正确的个数是( ). ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，是集合中的元素，即，故正确； 对于②，空集是任何非空集合的真子集，故，故正确； 对于③，集合中的元素为，，集合中的元素为，故错误； 对于④，集合中的元素为，集合中的元素为，故错误.故选：B 4．设，，，则A，B的关系是________. 【答案】 【解析】由集合可得集合A中元素代表直线上所有的点， 由，∵可化为，可得集合B中元素代表上除去点的两条射线，则可得集合B是集合A的真子集，即BA.故答案为：BA. 5、下列写法中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．，故选项不正确，不符合题意； B．是没有元素的，故，故选项不正确，不符合题意； C．空集是任何集合的子集，故选项正确，符合题意； D．，是集合与集合之间的关系，故选项不正确，不符合题意； 故选：C． 6、已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定集合A中的元素，再确定两个集合的关系. 【详解】由题意可得，所以 . 故选：A 7、下列能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解方程求集合N，结合韦恩图及集合间的关系判定选项即可. 【详解】易知，显然，且互不包含. 故选：A 8、设集合，则下列选项中正确的是（    ） A．⫋ B．⫌ C． D． 【答案】B 【分析】求出，即可得出两集合之间的关系. 【详解】由题意， 在中，，， ∴，∴⫌， 故选：B. 9、已知集合，则下列关系式表示正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】确定，再根据元素和集合，集合与集合的关系依次判断每个选项即可. 【详解】， 对选项A：，错误； 对选项B：，错误； 对选项C：，正确； 对选项D：，正确； 故选：CD 考点二(真)子集的个数 【例1】(1)设集合，则集合的真子集的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知为给定的实数，那么，集合的子集的个数为( ) A．1 B．2 C．4 D．不确定 【答案】(1)C(2)C 【解析】(1)由题可解集合，则集合A的真子集有、、.故选：C. (2)由方程的根的判别式，知方程有两个不相等的实数根，则M有2个元素，得集合M有个子集.选C. 典例： 1．已知集合，集合，则集合的真子集个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程组可得集合，进而可求得集合的真子集个数. 【详解】联立可得，因为，解得， 所以，方程组的解为或， 所以，， 所以，集合的真子集个数为. 故选：C. 7．已知集合，，集合满足，则（    ） A．， B．集合可以为 C．集合的个数为7 D．集合的个数为8 【答案】AC 【分析】根据题意可确定C的元素情况，由此一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由题意得，，又. 所以，，故A正确； 当时，不满足，B错误， 集合的个数等价于集合的非空子集的个数， 所以集合的个数为，故C正确，D错误， 故选：AC. 变式训练： 1．已知集合，则的真子集共有( )个 A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【解析】因为，所以其真子集个数为.故选：D. 2、已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】计算出集合的元素后可得其子集的个数. 【详解】，故其子集的个数为8， 故选：D. 3、若全集，则集合A的真子集共有 个． 【答案】7 【分析】根据真子集的计算公式计算即可. 【详解】，所以真子集． 故答案为：7. 4、集合的非空真子集有 个． 【答案】30 【分析】若集合有个元素，则非空真子集的个数为. 【详解】根据元素互异性集合A中有5个元素， 所以非空真子集有． 故答案为:30. 5、设集合，则集合的真子集个数为 ． 【答案】63 【分析】依题意求出集合，即可求得其真子集个数． 【详解】由可知是的正因数， 即可取，故可得的值依次取， 即， 故集合的真子集有个． 故答案为：63. 6．满足的集合M共有( ). A．6个 B．7个 C．8个 D．15个 【答案】B 【解析】集合M 中必含元素a，且为的真子集，可按元素个数分类依次写出集合M为，，，，，，，共7个.故选：B. 7．已知集合，且中至多有一个偶数，则这样的集合共有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【解析】∵，且中至多有一个偶数，∴可能为，故选：D． 8．集合的真子集可以是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则可排除A,C；由，可排除B；故选:D. 9．已知集合满足，则集合的个数是( ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】由于集合满足，所以集合的可能取值为，共种可能.故选：B 10、已知集合满足 ，则满足条件的集合的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据集合间的基本关系，利用集合中的元素个数即可求得满足条件的集合的个数. 【详解】由题意知中必有元素1，2，且至少含有3，4，5中的一个， 所以集合的个数等价于集合的非空子集的个数，即， 故选：C. 11．已知集合，则M的非空子集的个数是( ) A．15 B．16 C．7 D．8 【答案】C 【解析】,所以的非空子集为共7个，故选C. 考点三 已知集合关系求参数 【例1】已知集合，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】，，解得. 因此，实数的取值范围是.故答案为：. 【例2】(1)已知集合，，且，则实数的值是( ) A． B． C． D． (2)若集合，集合，若，则实数a的取值范围是( ). A． B． C． D． 【答案】(1)B(2)B 【解析】(1)由，知且，经检验符合题意，所以. 故选：B (2)集合， 若集合B为空集，则，即时满足题意； 若集合B不为空集，可得，即，由得解得， 综合两种情况可知.故选：B. 典例： 1．已知集合，，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】AB 【分析】由，列出等式或，求得，再逐个进行验证即可； 【详解】因为，所以或，解得或或或． 当时，，，此时，则不符合题意． 当时，，，此时，则符合题意． 当时，，，此时，则符合题意． 当时，，，此时，则不符合题意． 故选：AB 2．已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，对集合是否为空集进行分类讨论，再对参数利用元素与集合间的关系进行分类计算即可. 【详解】将整理可得， 由可得，当时，可知，此时满足题意； 当时，可知，则易知，； 又，所以是方程的根； 即，所以，解得或； 经检验符合题意； 综上可知，或或. 故选：ABD 3．已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 【答案】ABC 【分析】首先求出集合A，然后结合的条件，对集合B中的参数a分类讨论即可得答案. 【详解】解：，且，则： ①当时，或，解得或，A适合题意； ②若，则，解得， ③若，则，此时无解， ④若，则，此时无解，不合题意； 综上：的值为0和. 故选：ABC. 4．已知集合，，若使成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意讨论和情况，求得实数a的取值范围，可得集合M,即可得答案. 【详解】由题意集合，， 因为，所以当时，，即 ； 当时，有 ，解得， 故,则M的一个真子集可以是或， 故选：BC. 变式训练： 1．已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}.若B⊆A，则实数m等于( ) A．±1 B．－1 C．1 D．0 【答案】C 【解析】集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}. 若B⊆A，则，且，又∵,∴无解， ∴,解得，经检验符合元素的互异性，故选：C. 2．设集合，，若，则实数a的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在数轴上表示和的关系，如下图所示： 可知：，故选：． 3．，，若，则的取值集合为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，， ，或，或或．的取值集合为． 故选D． 4．已知集合，，若，则实数的值为( ) A．2 B．0 C．0或2 D．1 【答案】B 【解析】由题意，集合，因为，所以，故选B. 5．若且，则( )． A． B．或0 C．或1或0 D．或或0 【答案】B 【解析】因为，所以或，所以、1或0． 根据集合中元素的互异性得或0.故选：B 6．设集合，且，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】：依题意可得． 7、若集合，，则能使成立的所有a的集合是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等价于，分类讨论是否等于，求出对应a的范围即可. 【详解】因为，所以， 若，则，得，满足； 若，即时，要使，则有， 所以，此时. 综上所述. 故选：C． 8．已知集合，若集合有且仅有两个子集，则的值是(　　) A．1 B． C．0，1 D．，0，1 【答案】D 【解析】集合有且仅有两个子集,即为和集合本身,故集合中的元素只有一个,即方程只有一个解, 当时, 原方程为,即,符合题意； 当时，令, 综上,，或可符合题意故选D 9．已知集合，，若，则实数的取值范围是____． 【答案】 【解析】根据题意得：当 时，，即. 当时，，解得.综上，.故答案为：. 10． ，，若，则实数a的值构成的集合M=______________ 【答案】 【解析】∵， 若，则，满足题意， 当，， ∴或， ∴或 ∴ ∴综上所述 故答案为：. 11、若集合，，且，求满足的条件． 【答案】答案见解析 【分析】由可知是的子集，对集合是否为空集分析讨论，即可求得满足的条件. 【详解】由可知是的子集， ①当时，，所以； ②当时，， 所以，解得； ③当时， 所以，解得； ④当时，， 所以，解得； 综上可知，满足的条件为或或或. 12、已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，如图所示，    则，解得， 所以m的取值范围为； （2）若，有和两种情况， 当时，，解得， 当时，如图所示，    则，解得， 综上，m的取值范围为． 13、已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定，并求出集合，写出的真子集即得； （2）分类讨论，时满足题意，时，由集合中的元素属于集合，分别代入求出参数，得集合检验即可． 【详解】（1）当时，方程的根的判别式，所以. 又，故. 由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为. （2）当时，是的一个子集，此时对于方程， 有，所以. 当时，因为，所以当时， ，即，此时， 因为，所以不是的子集； 同理当时，，，也不是的子集； 当时，，，也不是的子集. 综上，满足条件的的取值范围是. 14、已知集合，集合，且. (1)求m的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)1或4 【详解】（1）因为，可知2为方程的根， 则，解得. （2）由（1）可得：，且， 若，则或， 所以或4. 15、已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【答案】(1)0或 (2) (3) 【详解】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为 . （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 19 学科网（北京）股份有限公司 $