1.1.2 集合的基本关系-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦集合的基本关系核心知识点，系统讲解子集、真子集、集合相等的概念及Venn图表达方法，承接集合基本概念，为后续集合运算奠定基础。通过问题引导、表格对比概念与结论，辅以易错点辨析（如∅与{0}等区别）搭建学习支架。 以数学抽象和逻辑推理素养为导向，设计子集个数探究活动（表格观察规律），结合Venn图、数轴等数形结合方法。例题变式（如母题探究）助力课中教学，跟进训练与分层作业供课后查漏补缺，提升学生知识应用能力。

1.2　集合的基本关系 学习任务 核心素养 1．理解集合之间的包含与相等的含义，能识别集合的子集．(重点) 2．能用Venn图表达集合间的基本关系，会判断集合间的关系．(难点、易错点) 1．通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助子集、真子集的应用，培养逻辑推理素养． 1．集合与集合之间的关系有哪几种？如何用符号表示这些关系？ 2．集合的子集是什么？真子集又是什么？如何用符号表示？ 1．Venn图 用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图． 2．子集、集合相等、真子集 子集 集合相等 真子集 概念 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，称集合A是集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等，记作A＝B 对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B(或B⫌A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A (2)空集是任何集合的子集，即∅⊆A (3)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C 若A＝B，且B＝C，则A＝C (1)若A⫋B，且B⫋C，则A⫋C (2)若A⊆B，且A≠B，则A⫋B (1)任何一个集合都有真子集吗？ (2)∅与0，{0}，{∅}有何区别？ [提示]　(1)不是，空集没有真子集． (2) ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合；0是实数 ∅不含任何元素； {0}含一个元素0 ∅不含任何元素； {∅}含一个元素， 该元素是空集∅ 关系 0∉∅ ∅⫋{0} ∅⫋{∅}或∅∈{∅} 1．已知集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，则(　　) A．P∈Q 　 B．P⊆Q C．Q⊆P 　 D．Q∈P C　[集合Q中的元素都在集合P中，所以Q⊆P．] 2．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则(　　) A．B⫋A 　 B．A⫋B C．B<A 　 D．A<B A　[由题意结合集合在数轴上的表示确定两集合的关系即可．如图所示，B⫋A． ] 3．设a∈R，若集合{2，9}＝{1－a，9}，则a＝________． －1　[因为{2，9}＝{1－a，9}，则2＝1－a，所以a＝－1．] 类型1　集合间的关系的判断 【例1】　【链接教材P7例3】 判断下列各组中集合间的关系： (1)A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是等边三角形}； (2)A＝，B＝； (3)A＝，B＝； (4)A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝}． [解]　(1)因为等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，故B⫋A． (2)把集合A与B在数轴(图略)上表示出来，根据定义易得A⫋B． (3)集合B中，当n＝2k－1，k∈Z时，x＝k＋，当n＝2k，k∈Z时，x＝k＋1，因此A⫋B． (4)由x＋1≥0得x≥－1，即A＝{x|x≥－1}， 由≥0得y≥0，即B＝{y|y≥0}， ∴A⫌B． 【教材原题·P7例3】 例3　某造纸厂生产练习本用纸，当纸的白度和不透明度都合格时，该产品才合格．若用A表示练习本用纸合格的产品组成的集合，B表示纸的白度合格的产品组成的集合，C表示纸的不透明度合格的产品组成的集合，则下列包含关系哪些成立？ A⊆B，　B⊆A，　A⊆C，　C⊆A． 试用Venn图表示这三个集合的关系． [解]　由题意知，A⊆B，A⊆C成立，它们的关系可用Venn图(如图1-6)表示． 　判断集合间关系的常用方法 (1)列举观察法 当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系． (2)集合元素特征法 先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系． 一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B；②若由q(x)可推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系． (3)数形结合法 利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法． [跟进训练] 1．(多选)下列关系中，正确的有(　　) A．0∈{0} 　 B．∅⫋{0} C．{0，1}⫋{(0，1)} 　 D．{(1，2)}＝{(2，1)} AB　[对于A，集合{0}中含有1个元素0，所以0∈{0}正确；对于B，由于空集是任何非空集合的真子集，所以∅⫋{0}正确；对于C，{0，1}是数集，{(0，1)}是点集，所以C错误；对于D，{(1，2)}与{(2，1)}是不同的点集，所以D错误．] 2．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　) A　　　 　B　　　　　C　　　　　D B　[解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得N⫋M，其对应的Venn图如选项B所示．] 3．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈R}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈R}，则下列关系正确的是(　　) A．M＝P 　 B．M⫋P C．P⫋M 　 D．M与P没有公共元素 A　[由a2＋1≥1得M＝{x|x≥1}，由b2－4b＋5＝(b－2)2＋1≥1得P＝{y|y≥1}，因此M＝P，故选A．] 类型2　子集个数问题 【例2】　【链接教材P7例4】 已知⫋M⊆，试写出满足条件的所有集合M． [解]　集合M含有元素1，2，且含有3，4，5中的至少一个元素，依据集合元素的个数分类列举如下： 含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}； 含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}； 含有5个元素：{1，2，3，4，5}． 故满足条件的集合M共有上述7个集合． 【教材原题·P7例4】 例4　写出集合{0，1，2}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集． [解]　由子集的定义知，集合{0，1，2}的子集的元素个数最少为0个，最多为3个．按照子集中元素的个数，由少到多依次写出集合{0，1，2}的所有子集，得 ∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}． 显然，上述8个子集除了集合{0，1，2}以外，其余7个集合都是它的真子集． 　求集合子集、真子集个数的3个步骤 [跟进训练] 4．已知集合A＝{－1，0，1}，满足{0}⊆P⊆A的集合P的个数为(　　) A．2 　 B．4 C．6 　 D．8 B　[根据题意，集合P可以为{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1}，共4个．] 5．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集． [解]　∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x∈N，y∈N}， ∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}， ∴A的子集有∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}． A的真子集有∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}． 类型3　集合间的关系的应用 【例3】　已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B⊆A，求实数m的取值范围． [解]　当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，得m≤2， 当B≠∅时，有解得2＜m≤4． 综上得m≤4． [母题探究] 1．对于本例中的集合A，B，是否存在实数m使A⊆B? [解]　若A⊆B，则该不等式组无解，故实数m不存在． 2．若将本例中的“A＝{x|－2≤x≤7}”改为“A＝”，其他条件不变，求实数m的取值范围． [解]　当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，得m≤2， 当B≠∅时，有或解得m≥6，综上得m≤2或m≥6． 　由集合的包含关系求参数的方法 (1)当集合为不连续实数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论； (2)当集合为连续实数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点． 注意：(1)不能忽视集合为∅的情形． (2)当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论． [跟进训练] 6．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B⫋A，求m的值． [解]　A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}． 因为B⫋A，所以B＝{－3}或B＝{2}或B＝∅． 当B＝{－3}时， 由m·(－3)＋1＝0，得m＝． 当B＝{2}时， 由m·2＋1＝0，得m＝－． 当B＝∅时，m＝0． 综上所述，m＝或m＝－或m＝0． 子集个数的探究 观察下表并回答后面的问题． 集合B 集合A 关系 集合C的所有子集 集合C的个数 {a} {a，b} B⊆C⊆A {a}，{a，b} 2 {a} {a，b，c} B⊆C⊆A {a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c} 4 {a} {a，b，c，d} B⊆C⊆A {a}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{a，b，c，d} 8 1．若集合A有n个元素，则集合A有多少个子集？多少个真子集？多少个非空真子集？ [提示]　若集合A含有n个元素，则集合A有2n个子集；其真子集要去掉集合A本身，故有2n－1个；非空真子集要去掉集合A本身与空集，故有2n－2个． 2．对于有限集A，B，C，设集合A中含有n个元素，集合B中有m个元素(n，m∈N，且n>m)． (1)当B⊆C⊆A时，满足条件的C有多少个？ (2)如果集合C分别满足如下条件：B⊆C⫋A，B⫋C⊆A，B⫋C⫋A，那么C的个数为多少？ [提示]　(1)由表格中的集合可知，若B⊆C⊆A，则集合C中一定有集合B的全部元素，也就是A中元素去掉B中元素后剩余元素构成的集合的子集，故有2n－m个． (2)①当B⊆C⫋A时，在问题(1)的基础上，去掉与A集合相等的集合，故满足条件的C有2n－m－1个． ②当B⫋C⊆A时，在问题(1)的基础上，去掉与B集合相等的集合，故满足条件的C有2n－m－1个． ③当B⫋C⫋A时，在问题(1)的基础上，去掉与A，B相等的两个集合，故有2n－m－2个． 1．下列命题中正确的是(　　) A．空集没有子集 B．空集是任何一个集合的真子集 C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 D．设集合B⊆A，那么，若x∉A，则x∉B D　[空集有唯一一个子集，就是其本身，故A，C错误；空集是任何一个非空集合的真子集，故B错误；由子集的概念知D正确．] 2．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的最适合的关系是(　　) A．A⊆B 　 B．A⊇B C．A⫋B 　 D．A⫌B D　[集合A是能被3整除的整数组成的集合，集合B是能被6整除的整数组成的集合，所以B⫋A．] 3．集合A＝真子集的个数是(　　) A．3 　 B．4 C．7 　 D．8 C　[因为A＝{0，1，2}，所以其真子集的个数是23－1＝7．] 4．已知集合A⊆{0，1，2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为________． 6　[集合{0，1，2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，其中含有偶数的集合有6个．] 5．设集合A＝{1，3，a}，B＝{1，1－2a}，且B⊆A，则a的值为________． －1或　[由题意得1－2a＝3或1－2a＝a， 解得a＝－1或a＝． 当a＝－1时，A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}，符合条件． 当a＝时，A＝，B＝，符合条件． 所以a的值为－1或．] 课时分层作业(三)　集合的基本关系 一、选择题 1．下列各式：①1⊆，②∈，③⊆，④∅⊆，⑤＝，其中错误的个数是(　　) A．1 　 B．2 C．3 　 D．4 B　[只有①②错误，故选B．] 2．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，集合A与B的关系如图所示，则集合B可能是(　　) A．{2，4，5} 　 B．{1，2，5} C．{1，6} 　 D．{1，3} D　[由题图知B⫋A，且A＝{1，2，3}，故选D．] 3．集合A＝{1，2}的非空子集个数为(　　) A．4 　 B．3 C．2 　 D．1 B　[集合A的子集为：∅，{1}，{2}，{1，2}，则非空子集有3个，故选B．] 4．已知集合A＝{0}，集合B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a≤0} 　 B．{a|a≥0} C．{a|a＜0} 　 D．{a|a＞0} D　[由A⊆B知，0∈B，则a＞0，故选D．] 5．已知A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于(　　) A．0 　 B．1 C．2 　 D．－1 C　[由A＝B得 解得 经检验不合题意． 符合题意，从而2x＋y＝2，故选C．] 二、填空题 6．集合{a，b，c}的子集的个数是________，真子集个数是________． [答案]　8　7 7．已知A＝，B＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}，则集合A，B的关系是________． [答案]　相等 8．已知集合{3，4}⊆{－1，3，m}，则实数m的值是________． 4　[由题意知，4∈{－1，3，m}，所以m＝4．] 三、解答题 9．(源自人教B版教材)写出下列每对集合之间的关系： (1)A＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，3，5}； (2)C＝{x|x2＝1}，D＝{x||x|＝1}； (3)E＝(－∞，3)，F＝(－1，2]； (4)G＝{x|x是对角线相等且互相平分的四边形}，H＝{x|x是有一个内角为直角的平行四边形}． [解]　(1)因为B的每个元素都属于A，而4∈A且4∉B， 所以B⫋A． (2)不难看出，C和D包含的元素都是1和－1， 所以C＝D． (3)在数轴上表示出区间E和F，如图所示． 由图可知F⫋E． (4)如果x∈G，则x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x是矩形，从而可知x是有一个内角为直角的平行四边形，所以x∈H，因此G⊆H． 反之，如果x∈H，则x是有一个内角为直角的平行四边形，所以x是矩形，从而可知x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x∈G， 因此H⊆G． 综上可知，G＝H． 10．已知a∈R，x∈R，A＝{2，4，x2－5x＋9}，B＝{3，x2＋ax＋a}，C＝{x2＋(a＋1)x－3，1}，求： (1)当A＝{2，3，4}时，x的值； (2)当2∈B，B⫋A时，a，x的值； (3)当B＝C时，a，x的值． [解]　(1)因为A＝{2，3，4}，所以x2－5x＋9＝3，所以x2－5x＋6＝0，解得x＝2或x＝3． (2)因为2∈B且B⫋A， 所以 解得均符合题意． 所以a＝－，x＝2或a＝－，x＝3． (3)因为B＝C， 所以　　①② ①－②并整理得a＝x－5，　　③ ③代入①并化简得x2－2x－3＝0， 所以x＝3或x＝－1． 所以a＝－2或a＝－6． 经检验，a＝－2，x＝3或a＝－6，x＝－1均符合题意． 所以a＝－2，x＝3或a＝－6，x＝－1． 11．集合M＝{x|x＝5k－2，k∈Z}，P＝{x|x＝5n＋3，n∈Z}，S＝{x|x＝10m＋3，m∈Z}之间的关系是(　　) A．S⫋P⫋M 　 B．S＝P⫋M C．S⫋P＝M 　 D．P＝M⫋S C　[对于集合M，当k＝n＋1，n∈Z时，x＝5(n＋1)－2＝5n＋3，因此M＝P； 对于集合P，当n＝2m，m∈Z时，x＝10m＋3， 当n＝2m＋1，m∈Z时，x＝10m＋8，因此S⫋P．故选C．] 12．设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2 　 B．1 C． 　 D．－1 B　[依题意，有a－2＝0或2a－2＝0．当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A⊆B，所以a＝1．故选B．] 13．已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B⊆A，则实数a的取值范围为_____________________． {a|a<1或a>3}　[∵B⊆A， ∴B的可能情况有B≠∅和B＝∅两种． ①当B≠⌀时，∵B⊆A， ∴成立， 解得a>3； ②当B＝⌀时，由a>2a－1，得a<1． 综上所述，实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}．] 14．已知集合A＝{x| x2－3x ＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________，满足条件A⊆C⫋B的集合C的个数为________． 4　3　[A＝{1，2}，B＝{x|0<x<5，x∈N}＝{1，2，3，4}． 因为A⊆C⊆B，所以集合C必须含有元素1，2，且可能含有元素3，4，原题即求集合{3，4}的子集个数，即有22＝4个，满足A⊆C⫋B有3个．] 15．已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同时满足B⫋A，C⊆A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由． [解]　A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}， ∵B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}＝{x|(x－1)·[x－(a－1)]＝0}， ∴1∈B．又B⫋A，∴a－1＝1，即a＝2． ∵C＝{x|x2－bx＋2＝0}，且C⊆A， ∴C＝∅或{1}或{2}或{1，2}． 当C＝{1，2}时，b＝3； 当C＝{1}或{2}时，Δ＝b2－8＝0，即b＝±2，此时x＝±，与C＝{1}或{2}矛盾，故舍去； 当C＝∅时，Δ＝b2－8<0， 即－2<b<2． 综上可知，存在a＝2，b＝3或－2<b<2满足要求． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $