1.1.3集合的基本运算（第二课时） 教案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该教案聚焦集合的补集运算，通过班级聚会中不喜欢数学的同学数量、军训与非军训同学等实际情境导入，衔接前一课时交集知识，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解全集与补集的概念及运算。 以核心素养为亮点，用Venn图将补集关系具象化培养数学眼光，通过补集性质推理与综合运算发展数学思维，结合居民家电、参数问题实例提升数学语言表达能力，分层例题与当堂达标设计助力学生巩固运算技能，便于教师高效开展教学。

课题 1.1.3 集合的基本运算 第二课时 学科 数学 教材 北师大版(2019)必修第一册 章节 第一章第一部分第三节 课程类型 新授 课时安排 2课时 年级 高一 教学目标及教学重点、难点 教学目标及重难点： 1. 理解全集与补集的含义，能求给定集合的补集.【重点】 2. 掌握补集的运算性质。【重点】 3. 能够利用Venn图进一步理解集合与补集之间的关系。【难点】 核心素养 1. 逻辑推理素养：学生需要理解全集与补集之间的逻辑关系，如补集的补集是原集合，全集与任意集合的并集仍为全集等。在全集的背景下，学生需要通过逻辑推理来理解和进行集合的运算，如交集、并集和补集的运算。 2. 数学运算素养：学生可以通过绘制Venn图来直观地理解全集与补集的关系，以及集合的运算过程。Venn图可以帮助学生将抽象的集合概念具象化，有助于他们更好地理解和记忆。学生需要在脑海中想象出全集和补集的空间分布，以及它们之间的关系。这种空间想象能力有助于学生在进行集合运算时，更准确地把握元素的归属关系。 3. 数学建模素养：学生需要能够根据具体问题，构建出相应的全集和补集模型。例如，在解决某个实际问题时，需要确定所有可能的情况（全集），以及不满足某种条件的情况（补集）。在构建出全集和补集模型后，学生需要能够应用集合的运算来解决问题，如使用补集来找出满足特定条件的元素。 4. 数学抽象思维：全集的概念是一个相对的概念，它抽象了所有可能考虑到的元素。学生需要从具体的情境中抽象出这一集合，理解其包含所有研究对象的特点。补集的概念是相对于全集而言的，它抽象了全集中不属于某一给定集合的所有元素。学生需要理解补集是全集的一个子集，且与原集合的并集为全集。 教学方法和手段 1.教学方法：讨论法、问答法、讲练结合法等。 2.教学手段：教科书、粉笔、黑板以及现代的电子视听设备和多媒体网络技术等。 教学过程(表格描述) 教学 环节 主要教学活动 设置意图 情景引入 知识精讲 知识点1：全集和补集的概念 知识点2：交、并、补集的综合运算 知识点3：由集合的补集运算求解参数问题 【导入语】 我们该如何准确地找出既喜欢数学又喜欢物理的同学数量呢？这其实就是我们之前学过的集合交集的问题。而今天，我们将要进一步探索集合的另一个重要运算——补集。补集就像是我们从一个更大的范围中去掉某个特定集合（子集）后剩下的部分。 就像我们在班级聚会中，如果想知道不喜欢数学的同学有多少人，我们就可以通过全班人数减去喜欢数学的同学数（子集），来得到不喜欢数学的同学的补集。 那么，补集具体是如何定义的呢？它有哪些性质和应用呢？接下来，就让我们一起走进今天的课堂，共同揭开补集的神秘面纱吧！ 【师生活动】 教师首先向学生们介绍全集和补集的概念，并引导学生们观察和理解图片中给出的三个集合：S、A和B。 S集合表示所有高一年级的同学，A集合表示高一年级中参加了军训的同学，而B集合则表示高一年级中没有参加军训的同学。 教师提问帮助学生理解集合之间的并集和交集关系；教师进一步提问详细解释如何利用全集S来定义集合B，并强调补集的概念。学生积极参与讨论，加深对集合及其运算的理解。 引导学生思考并讨论有理数集Q、实数集R以及无理数集之间的关系。教师提出问题：“我们知道，有理数集为Q，实数集为R，那么无理数集与这两个集合有什么关系呢？”这个问题旨在激发学生的思考，促使他们深入理解和探索集合论中这些基本概念之间的联系和区别。 在这个过程中，学生们可能会积极参与讨论，提出自己的看法和疑问。教师可以根据学生的反馈进行进一步的讲解和解答，帮助学生们更好地理解和掌握全集、补集以及有理数集、实数集、无理数集之间的关系。 教师利用图形语言进一步说明补集的概念。在黑板上画一个圆代表全集U，然后在圆内画出几个小块分别代表集合A和A的元素。通过这种方式，学生可以直观地看到集合A和A之间的关系。 【师生活动】 教师详细解释集合、全集、子集、交集、并集和补集的概念，特别是针对本题中的A（有彩电的居民）、B（有空调的居民）和U（所有居民）进行说明。使用图形（如Venn图）辅助解释，使概念更加直观易懂。学生认真倾听教师的讲解，理解集合运算的基本概念和规则。思考教师提出的问题，尝试在脑海中构建相应的集合和运算过程。 【师生活动】 在解题过程中，教师鼓励学生提问和讨论，特别是针对解题中的难点和易错点。引导学生归纳集合论中补集、交集、并集等运算的基本性质和规律。学生认真倾听教师的讲解和示范，理解集合论中补集运算的基本概念和应用场景。思考题目要求和解题方向，尝试在脑海中构建解题框架。 深化理解补集概念，在前一课时的基础上，进一步加深学生对补集概念的理解。补集作为集合论中的一个重要概念，对于后续学习集合的交集、并集等运算以及它们在解决实际问题中的应用具有基础性作用。 例题典析 【例1】 (1)已知全集{1，2，3，4，5}，{1，3}，则(　　). A.⌀ B.{1，3} C.{2，4，5} D.{1，2，3，4，5} (2)已知全集R，集合，，则____________　　　　 　 【师生活动】 学生思考后回答，教师总结，展示答案. 【例2】 (1) 已知全集，集合，，求，，. (2)设全集，N}，若{1，6}，{2，3}，{0，5}，求集合，. 【师生活动】 师生一起分析后，由学生思考并书写求解过程后展示，师生共同补充完善. 【例3】已知全集{2，3，}，{，2}，{5}，求实数的值. 【师生活动】 学生分析解题思路，教师给出解答示范. 【例4】已知集合，，全集R， 且，求实数的取值范围. 【师生活动】 在教师讲解例题时，积极参与讨论，紧跟教师的思路，积极思考每一个问题，尝试自己解答。 通过多个练习题，让学生实际操作换算过程，教师巡视指导，及时纠正错误。 当堂达标 PPT展示练习题，学生回答，教师讲解 设计不同难度的练习题，让学生巩固所学知识。 课堂总结 回顾本节知识，总结概括. 回顾本节课的重点内容，掌握补集的求解方法。 板书设计 1．全集和补集的概念 2．交、并、补集的综合运算 3．由集合的补集运算求解参数问题 教学设计反思 一、教学内容与目标的达成 本次课程主要围绕集合的基本运算中的补集运算展开，通过两个具体例子的分析，旨在使学生深入理解补集的概念，掌握求解补集的方法，并能灵活运用到实际问题中。从教学内容来看，课程涵盖了补集的基本概念、求解步骤以及在实际问题中的应用，内容安排紧凑且逻辑清晰。从目标达成情况来看，大部分学生能够通过课堂讲解和练习，掌握补集的求解方法，但在将补集运算应用于复杂问题时仍存在一定的困难，需要进一步加强练习和巩固。 二、教学方法与手段的运用 课程采用了讲授法、演示法和讨论法相结合的教学方法。教师首先通过讲授法介绍补集的概念和求解步骤，然后利用例题进行演示，详细展示解题过程，最后通过讨论法引导学生思考并解决问题。在教学过程中，教师还运用了多媒体教学手段，如PPT展示和板书结合，使教学内容更加直观、生动。同时，教师也注重与学生的互动，鼓励学生提问和讨论，营造了良好的课堂氛围。然而，在教学方法上仍有改进空间，如可以增加小组合作学习环节，让学生在合作中相互学习、共同进步。 三、学生学习情况的反馈 通过课堂观察、学生作业和课后反馈等方式，可以了解到学生的学习情况。大部分学生能够跟上教师的教学节奏，积极参与课堂讨论，对补集的概念和求解方法有了较好的掌握。但也有部分学生表现出对补集运算的理解不够深入，特别是在处理复杂问题时容易出错。此外，部分学生在解题过程中缺乏独立思考和解决问题的能力，过于依赖教师的讲解和示范。针对这些问题，教师需要加强个别辅导和针对性训练，帮助学生克服学习困难。 四、教学不足与改进方向 虽然本次课程涵盖了补集的基本概念和求解方法，但在教学深度和广度上仍有待提高。教师可以适当增加一些拓展性的内容和问题，引导学生深入思考和理解补集运算的本质和规律。在教学过程中，教师应更加注重学生主体性的发挥，鼓励学生积极参与课堂讨论和合作学习。可以通过设置更多的问题情境和实践活动，让学生在实践中学习和掌握补集运算的知识和技能。 学科网（北京）股份有限公司 $