2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第三册 第八章 章末总结

该高中数学课件聚焦统计案例，涵盖回归分析（线性与非线性）、独立性检验等核心知识，通过知识网络构建梳理脉络，结合真题案例与题型训练搭建学习支架，帮助学生从基础概念逐步过渡到实际应用。 其亮点在于以真实情境案例（如公司研发投入与销量、树木材积估计）为载体，引导学生用数学眼光观察现实数量关系，通过模型转换（如指数转线性）和决定系数比较发展数学思维，用数据图表与公式表达关系提升数学语言能力。学生能增强应用意识，教师可借助规律方法总结优化教学效率。

章末总结 知识网络·构建概括 真题体验·素养升级 题型一　回归分析 [例1] 当前,人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展,并逐步影响我们日常生活的方方面面.某公司在这个领域逐年加大投入力度,以下是近年来该公司对产品研发年投入额x(单位:百万元)与其年销售量y(单位:千件)的数据统计表. x 1 2 3 4 5 6 y 0.5 1 1.5 3 6 12 z=ln y -0.7 0 0.4 1.1 1.8 2.5 (1)该公司拟分别用①y=bx+a和②y=enx+m两种方案作为年销售量y关于年投入额x的回归分析模型,请根据已知数据,确定方案①和②的经验回归方程; (a,b,m,n计算过程保留到小数点后两位,最后结果保留到小数点后一位) (2)根据下表数据,用决定系数R2比较两种模型的拟合效果哪种更好(只需比较出大小),并选择拟合效果更好的模型,预测当年投入额为7百万元时,产品的年销售量约是多少. 题组训练 (2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据: 样本号i 根部横截面积xi 材积量yi 1 0.04 0.25 2 0.06 0.40 3 0.04 0.22 4 0.08 0.54 5 0.08 0.51 6 0.05 0.34 7 0.05 0.36 8 0.07 0.46 9 0.07 0.42 10 0.06 0.40 总和 0.6 3.9 (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量. (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数.(精确到0.01) (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值. 线性回归分析问题的类型及解题方法 (1)求经验回归方程 ②待定系数法:利用经验回归直线过样本点中心求系数. (2)利用经验回归方程进行预测:把经验回归直线方程看作一次函数,求函 数值. [例2] (2025·全国Ⅰ卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系,从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人,得到如下列联表: 题型二　独立性检验 　　 　超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1 000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p,求p的估计值; α 0.005 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 题组训练 甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表: 机床 质量 合计 一级品 二级品 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 (1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少? α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解独立性检验的应用问题的关注点 查表时不是查最大允许值,而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值,再将该数值对应的xα值与求得的χ2相比较.另外,表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性p,所以其有关联的可能性为1-p. 模拟演练 题型一　回归分析 1.某企业为了提升行业核心竞争力,逐渐加大了科技投入.该企业连续6年来的科技投入x(单位:百万元)与收益y(单位:百万元)的数据统计如表: 科技投入x 2 4 6 8 10 12 收益y 5.6 6.5 12.0 27.5 80.0 129.2 根据散点图的特点,甲认为样本点分布在指数曲线y=c·2bx的周围,据此他对数据进行了一些初步处理,如表: ②根据所建立的回归方程,若该企业想在下一年的收益达到2亿,则科技投入的费用至少为多少(其中log25≈2.3)? 解:(2)先计算残差: 2.垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值,进一步物尽其用、保护环境.为进一步帮助市民进行垃圾分类,某公司研制了家用垃圾分类机器人,自动对垃圾进行分类. 该公司研究部门从流水线上随机抽取100个垃圾分类机器人(以下简称产品),统计其性能指数,制成下面的频数分布表并绘制了频率分布直方图: 性能 指数 [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100) [100, 110] 产品 数量 4 m 20 25 n 17 产品分为三类性能:指数在[50,70)内的是基本型,在[70,90)内的是提高型,在[90,110] 内的是全能型,性能指数越高,产品的垃圾分类效率和准确程度越高.为提高人们的环保意识和更快推广产品,公司微利出售基本型、提高型、全能型产品,这三类产品的销售利润分别为每件1,3,5(单位:元),以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率. (1)求m,n的值并求每件产品的平均销售利润. 解:(1)根据频率分布直方图,得m=0.011×10×100=11,n=0.023×10×100=23. 设每件产品的销售利润为X元,则X=1,3,5. 其中P(X=1)=0.15,P(X=3)=0.45, P(X=5)=0.4. 所以随机变量X的分布列如下. E(X)=1×0.15+3×0.45+5×0.4=3.5, 故每件产品的平均销售利润为3.5元. X 1 3 5 P 0.15 0.45 0.4 (2)该公司为了解月营销费用x(单位:万元)对月销售量y(单位:万件)的影响,对近10个月的月营销费用xi和月销售量yi(i=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)数据做了初步处理,并进一步整理得到下表: (ⅰ)建立y关于x的经验回归方程; 题型二　独立性检验 1.伴随着科技的发展,人们的生活节奏也越来越快.听书逐渐成为了爱阅读的人们的一种喜好,付费阅读也成为追求更高价值的途径之一.某网络公司统计了近五年来该公司参与付费听书的人数y(单位:人)与时间t(单位:年)的数据,列表如下: ti 1 2 3 4 5 yi 24 27 41 64 79 (2)若节日期间营销部拟对平台商品进行新一轮更新调整.针对某地拟购买该商品的消费群体进行了一个抽样调查,获得一个容量为200的样本,其中青年人有150人,中老年人有50人.在这些消费群体中,付费阅读的青年人有100人,中老年人有24人. 填写下面列联表,并根据小概率值α=0.025的独立性检验,判断是否可以认为付费阅读与年龄层次有关. 单位:人 付费情况 年龄层次 合计 青年人 中老年人 付费阅读 100 24 不付费阅读 合计 200 α 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解:(2)填写2×2列联表如下. 单位:人 付费情况 年龄层次 合计 青年人 中老年人 付费阅读 100 24 124 不付费阅读 50 26 76 合计 150 50 200 2.某健身馆在2024年7月和8月推出的优惠项目吸引了一批客户.为预估2025年7月和8月两月客户投入的健身消费金额,健身馆随机抽样统计了2024年7月和8月两月100名客户的消费金额,分组如下:[0,200),[200,400),[400,600),…, [1 000,1 200](单位:元),得到如图所示的频率分布直方图. (1)若把2024年7月和8月两月健身消费金额不低于800元的客户,称为“健身达人”,经数据处理,现在列联表中得到一定的相关数据,请补全空格处的数据,并根据小概率值α=0.05的独立性检验,判断是否可以认为“健身达人”与年龄段有关. 单位:人 年龄段 健身情况 合计 健身达人 非健身达人 30～40岁 10 40～50岁 30 合计 解:(1)根据题意,列联表如下. 单位:人 年龄段 健身情况 合计 健身达人 非健身达人 30～40岁 10 40 50 40～50岁 20 30 50 合计 30 70 100 附: α 0.1 0.05 0.01 0.005 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 感谢观看 解:(1)因为==3.5,==4, 所以===≈2.11,=4-×3.5=-3.40,所以方案①的经验回归方程为=2.1x-3.4. 由y=enx+m,两边同时取以e为底的对数得ln y=nx+m,即z=nx+m, 所以===≈0.63,=0.85-×3.5=-1.36, 所以=0.63x-1.36,所以方案②的经验回归方程为=e0.6x-1.4. 经验回归方程 =x+ = 残差平方和 18.29 0.65 参考公式及数据:=,=-,R2=1-,xiyi=121,=91,xizi= 28.9,=×(-0.7+0+0.4+1.1+1.8+2.5)=0.85,e2.8≈16.5,e3≈20.1. 解: (2)(yi-)2=(0.5-4)2+(1-4)2+(1.5-4)2+(3-4)2+(6-4)2+(12-4)2=96.5, 对于=2.1x-3.4,=1-;对于=e0.6x-1.4,=1-,显然<, 所以②的拟合效果更好,当x=7时,预测值=e0.6×7-1.4=e2.8≈16.5,即当年投入额为7百万元时,预测产品的年销售量约是16 500件. 并计算得=0.038,=1.615 8,xiyi=0.247 4. 解:(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积===0.06, 估计该林区这种树木平均一棵的材积量===0.39. 解: (2)(xi-)(yi-)=xiyi-10 =0.013 4, (xi-)2=-10=0.002, (yi-)2=-10=0.094 8, 所以==≈0.01×1.377=0.013 77,所以样本相关系数r=≈≈0.97. 附:相关系数r=,≈1.377. 解:(3)设该林区这种树木总材积量的估计值为Y m3,由题意可知,该种树木的材积量与其根部横截面积近似成正比,所以=, 所以Y==1 209,即该林区这种树木的总材积量的估计值为1 209 m3. ①利用公式,求出回归系数,. (3)利用经验回归直线判断正、负相关:决定正相关还是负相关的是系数. 非线性相关问题一般通过换元法转化为线性相关(线性回归分析)问题解决. 【解】 (1)根据表格可知,检查结果不正常的 200人中有180人患该疾病,所以p的估计值为=. (2)根据小概率值α=0.001的独立性检验,分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附χ2=, 【解】 (2)零假设为H0:超声波检查结果与患该疾病无关,根据表中数据可得, χ2==765.625>10.828=x0.001, 根据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为超声波检查结果与患该疾病有关,该推断犯错误的概率不超过0.001. 解:(1)根据题表中数据知,甲机床生产的产品中一级品的频率是=0.75,乙机床生产的产品中一级品的频率是=0.6. (2)根据小概率值α=0.01的独立性检验,判断是否可以认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异. 附:χ2=,n=a+b+c+d. 解: (2)根据列联表中的数据可得 χ2==≈10.256. 因为10.256>6.635,所以根据小概率值α=0.01的独立性检验,可以认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异. (xi-)·(yi-) (xi-)·(zi-) (yi-)2 (xi-)2 43.5 4.5 854.0 34.7 12 730.4 70.0 其中zi=log2yi,=zi. (1)①请根据表中数据,建立y关于x的经验回归方程(保留一位小数). 解:(1)①==7, z=log2y=log2(c·2bx)=bx+log2c, 令a=log2c,则=x+. 根据最小二乘估计可知==≈0.5, 从而=-=4.5-0.5×7=1. 故经验回归方程为=0.5x+1,即=20.5x+1. 解: ②由题意可知=20.5x+1≥200,即0.5x+1≥log2200,解得x≥4+4log25≈13.2.所以若想下一年的收益达到2亿,则科技投入的费用至少为13.2百万元. (2)乙认为样本点分布在二次曲线y=mx2+n的周围,并计算得经验回归方程为= 0.92x2-12.0,以及该回归模型的决定系数R2=0.94,试比较甲、乙两位员工所建立的模型,谁的拟合效果更好? 附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归方程=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为=,=-, 决定系数R2=1-. yi 5.6 6.5 12.0 27.5 80.0 129.2 4 8 16 32 64 128 yi- 1.6 -1.5 -4 -4.5 16 1.2 则(yi-)2=298.5,从而R2=1-≈0.98>0.94. 即甲建立的回归模型拟合效果更好. ui vi (ui-)(vi-) (ui-)2 16.80 24.87 0.41 1.64 表中ui=ln xi,vi=ln yi,=ui,=vi. 根据散点图可判定=a·xb可以作为月销售量y(单位:万件)关于月营销费用x(单位:万元)的经验回归方程. 解:(2)(ⅰ)由=a·xb得ln =ln(axb)=ln +ln x, 令u=ln x,=ln ,=ln ,则=+u. 由===,=-=-×=2.067, 故=+u=2.067+u,ln =2.067+ln x=ln(e2.067·). 因为e2.067≈8,所以=8. (ⅱ)用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费用,才能使得该产品的月收益达到最大(精确到整数,收益=销售利润-营销费用,e2.067≈8,≈1.9,1.94≈13). 参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归直线=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为=,=-. 解:(ⅱ)设月收益为z万元,则z=y·E(X)-x=28-x. 设t=,则z=f(t)=28t-t4.所以f′(t)=28-4t3=4(7-t3). 令f′(t)=0,得t=≈1.9. 当t∈(1.9,+∞)时,函数f(t)单调递减;当t∈(0,1.9)时,f(t)单调递增. 故当t≈1.9,即x≈13时,z有最大值约为40. 所以该公司应投入13万元营销费,才能使得该产品的月收益达到最大,约为40万元. (1)依据表中给出的数据,是否可用线性回归模型拟合y与t的关系,请计算相关系数并加以说明(计算结果精确到0.01).(若|r|>0.75,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合) 附:相关系数r==, 参考数据:≈75.47. 解:(1)==3, ==47, tiyi-5 =852-705=147, (ti-)2=10, (yi-)2=2 278. 所以r==≈0.97>0.75,线性相关程度很高, 所以可用线性回归模型拟合y与t的关系. 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. 则χ2=≈5.546>5.024. 所以根据小概率值α=0.025的独立性检验,可以认为付费阅读与年龄层次有关. 因为χ2==4.762>3.841,根据小概率值α=0.05的独立性检验,可以认为“健身达人”与年龄段有关. (2)为吸引顾客,在健身项目之外,该健身馆特别推出健身配套营养品的销售,现有两种促销方案. 方案一:每满800元可立减100元; 方案二:金额超过800元可抽奖3次,每次中奖的概率为,且每次抽奖结果互不影响,中奖1次打 9折,中奖 2次打8折,中奖3次打7折. 若某人打算购买1 000元的营养品,请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案. χ2=,n=a+b+c+d. 解:(2)若选择方案一,则需付款900元. 若选择方案二,设付款金额为X元,则X的可能取值为700,800,900,1 000. P(X=700)=)3=,P(X=800)=)2×=, P(X=900)=××()2=,P(X=1 000)=)3=. 所以E(X)=700×+800×+900×+1 000×=850(元). 因为850<900,所以选择方案二更划算. $