2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第三册 第七章 7.5　正态分布

该高中数学课件围绕正态分布展开，涵盖正态曲线概念、性质、3σ原则及应用。通过目标导航明确课标要求，新知梳理构建基础概念，小试身手巩固理解，课堂探究结合例题深化性质应用，形成从概念到实践的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实问题，如通过联考成绩、零件尺寸等实例抽象正态分布模型，用数学思维分析σ对曲线形状的影响及对称性应用，以数学语言表达概率计算过程。采用讲练结合的教学方法，即时训练与方法总结帮助学生掌握解题技巧，既提升学生的应用意识与探究能力，也为教师提供系统的教学资源。

7.5　正态分布 [目标导航] 课标要求 1.了解正态分布的意义 2.能借助正态曲线理解正态曲线的性质 3.了解正态曲线的意义和性质 4.会利用φ(x),F(x)的意义求正态总体小于X的概率 2 新知导学·素养启迪 新知梳理 1.正态曲线 X~N(μ,σ2) 2.正态曲线的性质 (1)曲线位于x轴 ,与x轴不相交,当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴. (2)曲线是单峰的,它关于直线 对称. 上方 x=μ x=μ (4)曲线与x轴之间的区域面积为 . (5)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿着x轴平移. 1 (6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示随机变量的分布越 ;σ越大,曲线越“矮胖”,表示随机变量的分布越 . 集中 分散 3.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 (1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈ ;  (2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈ ;  (3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈ .  0.682 7 0.954 5 0.997 3 4.3σ原则 由P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3知,正态变量X在区间[μ-3σ,μ+3σ]之外取值的概率大约只有0.002 7.于是若X~N(μ,σ2),则正态变量X的取值几乎都在距x=μ三倍标准差之内,即在区间[μ-3σ,μ+3σ]内,这在统计学称为正态分布的 . 3σ原则 参数μ和σ的意义:正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ就是随机变量X的均值,它可以用样本的均值去估计;参数σ就是随机变量X的标准差,它可以用样本的标准差去估计.把μ=0,σ=1的正态分布叫做标准正态分布. 小试身手 1.某地一次联考的数学成绩近似地服从正态分布N(85,σ2),满分150分,已知P(X≤122)=0.96,现随机从这次考试的成绩中抽 100个样本,则成绩小于 48分的样本个数大约为(　 　) A.4 B.6 C.94 D.96 A 解析:由题意可得,P(X>122)=0.04,正态曲线的对称轴为直线x=85, 故P(X<48)=0.04. 所以成绩小于48分的样本个数约为100×0.04=4. 故选A. A.σ1>σ2>σ3 B.σ3>σ2>σ1 C.σ1>σ3>σ2 D.σ2>σ1>σ3 解析:由σ的意义可知,图象越“瘦高”,数据越集中,σ越小,故有σ1>σ2>σ3. 故选A. A 3.设随机变量ξ服从正态分布N(4,3),若P(ξ<a-5)=P(ξ>a+1),则实数a等于 (　 　) A.7 B.6 C.5 D.4 B 4.已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(X>2c-1)=P(X<c+3),则c=　 .  课堂探究·素养培育 正态分布的概念及正态曲线的性质 [例1] 如图所示是一个正态曲线,试根据该图象写出其正态密度函数的解析式,并求出总体随机变量的期望和方差. 利用正态曲线的性质可以求参数μ,σ (1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此性质结合图象求μ. A.若σ1>σ2,则P(|X-μ1|≤1)<P(|Y-μ2|≤1) B.若σ1>σ2,则P(|X-μ1|≤1)>P(|Y-μ2|≤1) C.若σ1=σ2,则P(X>μ2)+P(Y>μ1)=1 D.若σ1=σ2,则P(X>μ2)+P(Y>μ1)<1 AC 解析:当σ1>σ2时,Y分布更加集中,故在相同范围内,Y的相对累积概率大, 所以P(|X-μ1|≤1)<P(|Y-μ2|≤1),故A正确,B错误; 当σ1=σ2时,正态曲线形状只与σ相关,μ只影响正态曲线的位置, 根据对称性可知,P(X<μ2)=P(Y>μ1), 所以P(X>μ2)+P(Y>μ1)=1,故C正确,D错误.故选AC. 正态曲线的特点及3σ原则 [例2] 已知随机变量X~N(6,1),且P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈ 0.954 5,则P(7<X≤8)等于(　　) A.0.135 8 B.0.271 6 C.0.135 9 D.0.271 8 C 关于正态总体在某个区间内取值的概率求法 (1)熟记P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的值. (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1这一性质. 即时训练2-1: 设随机变量X~N(1,22),试求: (1)P(-1≤X≤3); 解:(1)P(-1≤X≤3)=P(1-2≤X≤1+2)≈0.682 7. (2)P(3≤X≤5). 在利用对称性转化区间时,要注意正态曲线的对称轴是直线x=μ,而不是直线x=0. 正态分布的实际应用 [例3] 某市为了了解本市初中生周末运动情况,随机调查了3 000名学生,统计了他们的周末运动时长,制成如图所示的频率分布直方图. (1)按照分层抽样,从[40,50)和[80,90]中随机抽取了9名学生.现从已抽取的9名学生中随机推荐3名学生参加体能测试.记推荐的3名学生来自[40,50)的人数为X,求X的分布列和数学期望. 解:(1)运动时长在[40,50)的人数为3 000×0.02×10=600. 运动时长在[80,90]的人数为3 000×0.01×10=300. 按照分层抽样共抽取9人,则在[40,50)中抽取的人数为6, 在[80,90)中抽取的人数为3. 所以随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3, 参考数据:当t~N(μ,σ2)时,P(μ-σ≤t≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤t≤μ+2σ)≈0.954 5, P(μ-3σ≤t≤μ+3σ)≈0.997 3,0.818 69≈0.165 1,0.181 43≈0.006 0. 解决此类问题一定要灵活把握3σ原则,将所求概率向P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)进行转化,然后利用特定值求出相应的概率.同时要充分利用好正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这一特殊性质. 即时训练3-1: 有一种精密零件,其尺寸X(单位:mm)服从正态分布N(20,4).若这批零件共有5 000 个,试求: (1)这批零件中尺寸在18~22 mm间的零件所占的百分比. 解:(1)因为X~N(20,4),所以μ=20,σ=2, 所以μ-σ=18,μ+σ=22, 于是尺寸在18~22 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%. (2)若规定尺寸在24~26 mm间的零件不合格,则这批零件中不合格的零件大约有多少个? 参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5, P(μ-3σ)≤X≤μ+3σ≈0.997 3. 即时训练3-2: 某食品厂生产一种零食,该种零食每袋的质量X(单位:g)服从正态分布N(65,4.84). (1)当质检员随机抽检20袋该种零食时,测得1袋零食的质量为73 g,他立即要求停止生产,检查设备.请你根据所学知识,判断该质检员的决定是否有道理,并说明判断的依据; 解:(1)有道理,理由如下. 因为X~N(65,4.84), 所以μ=65,σ=2.2, 所以μ-3σ=58.4,μ+3σ=71.6,73∈(μ+3σ,+∞), (2)规定:这种零食的质量在62.8~69.4 g的为合格品. ①求这种零食的合格率;(结果精确到0.001) ②从该种零食中任意挑选n袋,合格品的袋数为Y,若Y的数学期望大于58,求n的最小值. 附:(ⅰ)若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5, P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. (ⅱ)通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件,小概率事件基本不会发生. 当堂即练·素养达成 当堂即练 1.设X~N(μ,σ2),则众数、中位数、平均数满足(　 　) A.众数=σ2,中位数=平均数=μ B.平均数=μ,众数=中位数=σ2 C.中位数=μ,众数=平均数=σ2 D.众数=中位数=平均数=μ D 解析:利用众数、中位数、平均数的定义可知选D. 2.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),且P(X>5)=0.2,则P(1<X<3)等于 (　 　) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 C 解析:P(1<X<3)=P(3<X<5)=0.5-P(X>5)=0.5-0.2=0.3. 3.如图是三个正态分布X~N(0,0.25),Y~N(0,1),Z~N(0,4)的密度曲线,则三个随机变量X,Y,Z对应曲线分别是图中的　　　　、　　　　、　　　　.  ① ② ③ 解析:在密度曲线中,σ越大,曲线越“矮胖”;σ越小,曲线越“瘦高”. 课堂小结 感谢观看 函数f(x)=,x∈R,其中μ∈R和σ>0为参数.我们称函数f(x)为正态密度函数,它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线,期望为μ,标准差为σ的正态分布通常记作 .特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布. (3)曲线在 处达到峰值. 2.如图是正态分布N(μ,),N(μ,),N(μ,)(σ1,σ2,σ3>0)相应的曲线,那么σ1,σ2, σ3的大小关系是(　 　) 解析:由题意知,=4,所以a=6.故选B. 解析:因为X~N(3,1),所以正态曲线关于直线x=3对称, 且P(X>2c-1)=P(X<c+3), 所以2c-1+c+3=2×3,所以c=. 解:从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于直线 x=20对称,最大值是, 所以μ=20. 由=,得σ=. 于是正态密度函数的解析式是f(x)=,x∈(-∞,+∞). 总体随机变量的期望是μ=20,方差是σ2=()2=2. (2)正态曲线在x=μ处达到峰值,由此性质结合图象可求σ. 即时训练1-1: (多选题)已知X~N(μ1,),Y~N(μ2,),μ1>μ2,σ1>0,σ2>0,则下列结论中一定成立的有(　 　) 解析:由题意可得 P(5≤X≤7)≈0.682 7, P(4≤X≤8)≈0.954 5, P(7<X≤8)=[P(4≤X≤8)-P(5≤X≤7)]≈≈0.135 9.故选C. 解:(2)P(3≤X≤5)=P(-3≤X≤-1) =[P(-3≤X≤5)-P(-1≤X≤3)] =[P(1-4≤X≤1+4)-P(1-2≤X≤1+2)] ≈(0.954 5-0.682 7)=0.135 9. 则P(X=0)==,P(X=1)==, P(X=2)==,P(X=3)==. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的数学期望为E(X)=0×+1×+2×+3×=2. (2)由频率分布直方图可认为,周末运动时长t服从正态分布N(μ,σ2),其中,μ为周末运动时长的平均数,σ近似为样本的标准差s,并已求得s≈14.6.可以用该样本的频率估计总体的概率,现从本市所有初中生中随机抽取12名学生,记周末运动时长在[43.9,87.7]之外的人数为Y,求P(Y=3)(精确到0.001). 解:(2)u==35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.15+75×0.15+85×0.1=58.5, σ=14.6, 所以43.9=58.5-14.6=μ-σ,87.7=58.5+14.6×2=μ+2σ. 所以P(43.9≤t≤87.7)≈P(μ-σ≤t≤μ+2σ)≈=0.818 6, 所以P(t≤μ-σ或t>μ+2σ)=1-0.818 6=0.181 4. 所以Y~B(12,0.181 4), 所以P(Y=3)=×0.181 43×0.818 69≈220×0.006 0×0.165 1≈0.218. 解: (2)因为μ-3σ=14,μ+3σ=26,μ-2σ=16,μ+2σ=24, 所以尺寸在24~26 mm间的零件所占的百分比大约是=2.14%. 所以尺寸在24~26 mm间的零件大约有 5 000×2.14%=107(个). 所以P(X>71.6)=≈=0.001 35. 因为0.001 35远小于0.05, 所以此事件应为小概率事件, 而质检员随机抽检20袋该种零食时,测得1袋零食的质量为73 g, 说明小概率事件确实发生了,因此他立即要求停止生产,检查设备的决定有道理. 解:(2)①因为μ=65,σ=2.2, 所以μ-σ=62.8,μ+2σ=69.4, 由题意可知当零食质量X满足μ-σ≤X≤μ+2σ时为合格品, 所以这种零食的合格率为=0.818 6≈0.819. 解:②由题意可知Y~B(n,0.819),则E(Y)=0.819n>58, 则n>≈70.82,故n的最小值为71. $