2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第三册 第七章 7.1 7.1.1—7.1.2

该高中数学课件围绕条件概率与全概率公式展开，通过课标要求明确学习目标，以“小试身手”中抽题、摸球等问题导入，衔接古典概型，构建从定义到性质再到公式的学习支架，帮助学生逐步理解核心概念。 其亮点在于结合节目抽取、赛马赢率等实例，引导学生用数学思维分析问题，通过方法总结提炼解题步骤培养数学语言表达能力，课堂小结系统梳理公式提升抽象能力。学生能提升逻辑推理与应用能力，教师可借助完整教学流程提高教学效率。

7.1　条件概率与全概率公式 7.1.1　条件概率 7.1.2　全概率公式 第七章　随机变量及其分布 [目标导航] 课标要求 1.结合古典概型,了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率 2.结合古典概型,了解条件概率与独立性的关系 3.结合古典概型,会利用乘法公式计算概率 4.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率.了解贝叶斯公式 2 新知导学·素养启迪 新知梳理 1.条件概率 事件A发生的条件 下,事件B发生的概率 2.条件概率的性质 (1)条件概率具有概率的性质,任何事件的条件概率都在0和1之间,即 .P(Ω|A)=1. (2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)= . 0≤P(B|A)≤1 P(B|A)+P(C|A) 3.全概率公式 4.*贝叶斯公式 设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i= 1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,P(B)>0,有 小试身手 1.现有3道物理题和2道化学题共5道题,若不放回地依次抽取2道题,则在第 1次抽到物理题的条件下,第2次抽到物理题的概率为　　　　.  2.已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球,它们大小形状完全相同.甲每次从中任取一个不放回,则在他第一次拿到白球的条件下,第二次拿到红球的 概率为　　　　　　　　.  3.4张奖券中只有1张能中奖,现分别由4名同学无放回地抽取.若已知第一名 同学没有抽到中奖券,则最后一名同学抽到中奖券的概率是　　　　.  课堂探究·素养培育 [例1] 现有6个节目准备参加比赛,其中4个舞蹈节目,2个语言类节目,如果不放回地依次抽取2个节目,求: (1)第1次抽到舞蹈节目的概率; 条件概率公式 解:设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A,“第2次抽到舞蹈节目”为事件B, 则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件AB. (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率; (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率. 条件概率的求法 即时训练1-1:某个课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型,并在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案,作为2026年春节的吉祥物.2个兴趣小组各派一名成员将模型随机抛出,两人都希望能抛出马的图案朝上,2人各抛一次,则在第一人抛出马的图案朝上时,两人心愿均能达成的概率为(　　) A 利用条件概率的性质求概率 [例2] 在一个袋子中装有10个球,设有1个红球、2个黄球、3个黑球、4个白球,从中依次摸2个球,求在第一个球是红球的条件下,第二个球是黄球或黑球的概率. 若事件B,C互斥,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A),即为了求得比较复杂事件的概率,往往可以先把它分解成两个(或若干个)互斥的较简单事件,求出这些简单事件的概率,再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率. A (2)有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机任取两瓶, 若取得的两瓶中有一瓶是蓝色,则另一瓶是红色或黑色的概率为　　　　. 全概率公式 [例3] 有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占30%,二厂生产的占50%,三厂生产的占20%,已知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少? 解:设事件A为“任取一件为次品”, 事件Bi为“任取一件为i厂的产品”,i=1,2,3. B1∪B2∪B3=S, 由全概率公式得 P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3). P(B1)=0.3,P(B2)=0.5,P(B3)=0.2, P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|B3)=0.01, 故P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3) =0.02×0.3+0.01×0.5+0.01×0.2=0.013. 全概率公式是计算概率的一个很有用的公式,通常把B1,B2,…,Bn看成导致A发生的一组原因.如若A是“次品”,必是n个车间生产了次品;若A是“某种疾病”,必是几种病因导致A发生;若A表示“被击中”,必有几种方式或几个人 打中. (1)何时用全概率公式:多种原因导致事件的发生. (2)如何用全概率公式:将事件分解成两两不相容的完备事件组. (3)从本质上讲,全概率公式是加法公式与乘法公式的结合. 即时训练3-1:一个盒子中有6个白球、4个黑球,从中不放回地每次任取1个,连取2次,求第二次取到白球的概率. 混淆“条件概率P(B|A)”与“积事件的概率P(AB)” [典例] 袋中有6个黄色的乒乓球和4个白色的乒乓球,做不放回抽样,每次抽取一球,取两次,求第二次才能取到黄球的概率. (2)P(AB)表示A与B同时发生的概率;而P(B|A)表示在事件A已经发生的条件下事件B发生的概率. 素养演练:一个盒子装有4件产品,其中3件一等品、1件二等品,从中取产品两次,每次任取1件,做不放回抽样,若第一次取到的是一等品,求第二次取到一等品的概率. 当堂即练·素养达成 当堂即练 C 2.有一匹赛马,参加了100场赛马比赛,赢了20场,输了80场.在这100场比赛中,有30场是下雨天,70场是晴天.在30场下雨天的比赛中,这匹马赢了15场.如果明天下雨,这匹马参加赛马比赛的赢率是(　 　) B 课堂小结 1.条件概率的定义. 感谢观看 (1)设A,B为两个随机事件,且P (A)>0,称P(B|A)=为在 .简称条件概率. (2)事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值,即P(B|A)=. (3)设和B互为对立事件,则P(|A)=1-P(B|A). 设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i= 1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=P(Ai)P(B|Ai). P(Ai|B)==,i=1,2,…,n. 解析:设“第1次抽到物理题”为事件A,“第2次抽到物理题”为事件B, 则n(A)=12,n(AB)=6, 由题意得P(B|A)===. 解析:设“第一次拿到白球”为事件A,“第二次拿到红球”为事件B. 依题意P(A)==,P(AB)==, 故P(B|A)==. 解析:因为第一名同学没有抽到中奖券,所以问题变为 3张奖券,1张能中奖,最后一名同学抽到中奖券的概率,显然是. (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个,总的事件数n(Ω)==30. 根据分步乘法计数原理,有n(A)==20,所以P(A)===. 解: (2)因为n(AB)==12, 所以P(AB)===. 解: (3)法一　由(1)(2)得在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A)===. 法二　因为n(AB)=12,n(A)=20, 所以P(B|A)===. (1)利用定义,分别求P(A)和P(AB),得P(B|A)=.这是通用的求条件概率的 方法. (2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数,即n(AB),得P(B|A)=. A. B. C. D. 解析:设“第一人抛出马的图案”为事件A,“第二人抛出马的图案”为事件B, 则P(A)=,P(AB)==, 所以P(B|A)===, 即在第一人抛出马的图案朝上时,两人心愿均能达成的概率为.故选A. 解:设“摸出第一个球为红球”为事件A,“摸出第二个球为黄球”为事件B,“摸出第二个球为黑球”为事件C, 法一　(定义法)由题意知P(A)=,P(AB)==,P(AC)==. 所以P(B|A)==÷=,P(C|A)==÷=. 所以P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=.所以所求的概率为. 法二　(直接法)因为n(A)=1×=9,n(B∪C|A)=+=5, 所以P(B∪C|A)=.所以所求的概率为. 即时训练2-1:(1)已知事件A,B,C满足A,B是互斥事件,且P(A∪B|C)=,P(BC)= ,P(C)=,则P(A|C)的值等于(　　) A. B. C. D. 解析:(1)由题意,P(B|C)==,由A,B是互斥事件知, P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C), 所以P(A|C)=P(A∪B|C)-P(B|C)=-=.故选A. 解析: (2)设事件A为“其中一瓶是蓝色”,事件B为“另一瓶是红色”, 事件C为“另一瓶是黑色”,事件D为“另一瓶是红色或黑色”, 则D=B∪C且B与C互斥. 又P(A)==,P(AB)==,P(AC)==, 故P(D|A)=P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=. 解:事件A=“第一次取到白球”,事件B=“第二次取到白球”. 因为B=AB∪B,且AB与B互不相容, 所以P(B)=P(AB)+P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=. 解:记“第一次取到白球”为事件A,“第二次取到黄球”为事件B, “第二次才取到黄球”为事件C,所以P(C)=P(AB)=P(A)P(B|A)=×=. (1)解答本题易混淆P(AB)与P(B|A)的含义,而误认为P(C)=P(B|A)==. 解:设事件A为“第一次取到的是一等品”,事件B为“第二次取到的是一等品”,则AB表示“第一次取到一等品,第二次也取到一等品”. 因为P(A)==,P(AB)==,所以在第一次取到一等品的情况下, 第二次取到一等品的概率为P(B|A)===. 1.甲和乙是某公司的两名员工,在每个工作日甲和乙外出办事的概率分别为和,且两人同时外出办事的概率为,则某个工作日,在乙外出办事的条件下,甲也外出办事的概率为(　 　) A. B. C. D. 解析:记“乙外出办事”为事件A,“甲外出办事”为事件B, 则P(A)=,P(B)=,P(AB)=, 故在乙外出办事的条件下,甲也外出办事的概率为P(B|A)==.故选C. A. B. C. D. 解析:此为一个条件概率的问题.由于是在下雨天参加赛马比赛,所以考查的应该是这匹马在下雨天的比赛中的赢率,即P==. 3.已知春季里,甲地每天下雨的概率为,乙地每天下雨的概率大于0,且甲、乙两地下雨相互独立,则春季的一天里,已知乙地下雨的条件下,甲地也下雨的概 率为　　　　　　.  解析:设A表示“甲地每天下雨”,B表示“乙地每天下雨”,乙地每天下雨的概率为p(0<p≤1),则 P(A)=,P(B)=p,因为甲、乙两地下雨相互独立,所以P(AB)=p,于是在乙地下雨的条件下,甲地也下雨的概率为P(A|B)===. 2.条件概率的计算公式P(B|A)==. 3.全概率公式P(B)=P(Ai)P(B|Ai). $