7.1.2　全概率公式课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.1.2　全概率公式 目 标 素 养 1.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率. 2.了解*贝叶斯公式. 3.通过学习,提升数学抽象、数学建模和数学运算的核心素养. 知 识 概 览 课前·基础认知 1.全概率公式 一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪… ∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有 微思考 全概率公式中样本空间Ω中的事件Ai需满足的条件为 =Ω.这样的说法正确吗? 答案:D 2.*贝叶斯公式 设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,P(B)>0,有 微训练2 已知P(B|A)=0.3,P(A)=0.5,P(B)=0.8,则P(A|B)的值为　　　　　.  课堂·重难突破 一 利用全概率公式求解概率 典例剖析 1.1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱中随机取出一球,求从2号箱中取出红球的概率. 解:记事件A:最后从2号箱中取出的是红球;事件B:从1号箱中取出的是红球. 互动探究 (变问法)求从2号箱中取出白球的概率. 解:记事件A:最后从2号箱中取出的是白球;事件B:从1号箱中取出的是白球. 规律总结 在运用全概率公式时的已知条件为 (1)划分后的每个小事件的概率已知,即P(Ai),i=1,2,…,n; (2)每个小事件发生的条件下,B发生的概率已知,即P(B|Ai),i=1,2,…,n. 学以致用 1.某班全体学生同时参加数学和物理两科竞赛(每名学生只参加且必须参加一科竞赛),参加数学和物理竞赛的人数分别 二 利用*贝叶斯公式求解概率 典例剖析 2.已知某地居民肝癌的发病率为0.000 4.通过对血清甲胎蛋白进行检验可以检测一个人是否患有肝癌,但这种检测方法可能出错,具体是:患有肝癌但检测显示未患有肝癌的概率为0.01,未患有肝癌但检测显示有肝癌的概率为0.05.目前情况下,肝癌的致死率比较高,肝癌发现得越早,治疗越有效,因此有人主张对该地区的居民进行普查,以尽早发现肝癌患者,这个主张是否合适? 根据贝叶斯公式,则检测显示患有肝癌的居民确实患有肝癌的概率为 这就表明,检测结果显示患有肝癌但实际上患有肝癌的概率还不到0.8%!也就是说,如果进行普查的话,在现有条件下:100个显示患有肝癌的人中,可能只有1个人是真正患有肝癌的. 从这个意义上来说,进行普查这个主张不合适. 规律总结 在运用贝叶斯公式时,一般已知条件和未知条件分别为 (1)事件A的多种情况中到底哪种情况发生了是未知的,但是每种情况发生的概率已知,即P(Ai),i=1,2,…,n; (2)事件B是已经发生的确定事实,且已知每种事件A发生条件下事件B发生的概率,即P(B|Ai),i=1,2,…,n; (3)P(B)未知,需要使用全概率公式计算得到. 学以致用 2.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1,货车中途停车修理的概率为0.02,客车为0.01.今有一辆汽车中途停车修理,则该汽车是货车的概率为　　　　　.  答案:0.8 解析:设B=“中途停车修理”,A1=“经过的是货车”,A2=“经过的是客车”,则B=A1B∪A2B, 三 两个公式的综合应用 典例剖析 3.某种仪器由三个部件组装而成.假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为0.8,0.7与0.9.已知如果三个部件都是优质品,那么组装后的仪器一定合格;如果有一个部件不是优质品,那么组装后的仪器不合格率为0.2;如果有两个部件不是优质品,那么组装后仪器的不合格率为0.6;如果有三个部件都不是优质品,那么组装后仪器的不合格率为0.9. (1)求仪器的不合格率; (2)如果已经发现一台仪器不合格,问它有几个部件不是优质品的概率最大. 解:记事件B=“仪器不合格”,Ai=“仪器上有i个部件不是优质品”,i=0,1,2,3. 显然Ω=A0∪A1∪A2∪A3,且A0,A1,A2,A3两两互斥. 根据题意得P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=0.9,P(A0)=0.8×0.7×0.9=0.504, P(A1)=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398, P(A3)=0.2×0.3×0.1=0.006, P(A2)=1-P(A0)-P(A1)-P(A3)=0.092. 比较结果可知,一台不合格的仪器中有一个部件不是优质品的概率最大. 规律总结 全概率公式和贝叶斯公式的使用策略 若随机试验可以分两个阶段进行,且第一阶段的各试验结果具体怎样未知,那么①如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率,则用全概率公式;②如果第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,一般用贝叶斯公式. 学以致用 3.一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病,在患有此种疾病的人群中通过化验有95%的人呈阳性反应,而未患有此种疾病的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应,某地区此种疾病患者人数占人口总数的0.5%,则: (1)某人化验结果为阳性的概率为　　　　　;  (2)若此人化验结果为阳性,则此人确实患有此病的概率为　　　　　.  解析:设A=“呈阳性反应”,B=“患有此种病”. (1)P(A)=0.5%×95%+99.5%×1%=1.47%. 随堂训练 1.(多选题)下列说法不正确的是(　　) A.P(B|A)<P(AB) C.0<P(B|A)<1 D.P(A|A)=0 答案:ACD 2.已知在某地区所有男性中有5%患有色盲症,所有女性中有0.25%患有色盲症.在该地区随机抽一人发现患色盲症的概率为　　　　　(假设该地区男性与女性的人数相等).  答案:0.026 25 解析:设A=“抽的男性”,B=“抽的女性”,C=“这人患色盲症”, 则P(C|A)=0.05,P(C|B)=0.002 5, P(A)=0.5,P(B)=0.5, 则P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B) =0.5×0.05+0.5×0.002 5=0.026 25. 3.3个箱子中装有同种型号的乒乓球,第1个箱子中乒乓球的次品率为4%,第2个箱子中乒乓球的次品率为2%,第3个箱子中乒乓球的次品率为5%,现将这些乒乓球混放在一起,已知第1,2,3个箱子装的乒乓球个数分别占总数的30%,40%,30%. (1)任取一个乒乓球,计算它是次品的概率; (2)若取到的乒乓球是次品,计算它是第i(i=1,2,3)个箱子里的概率. 解:设事件B=“取到的乒乓球是次品”,Ai=“乒乓球为第i个箱子里的”,i=1,2,3, 则Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3两两互斥. 由题意得P(A1)=0.3,P(A2)=0.4,P(A3)=0.3. P(B|A1)=0.04,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.05. (1)由全概率公式, 得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =0.3×0.04+0.4×0.02+0.3×0.05=0.035. (2)“若取到的乒乓球是次品,计算它是第i(i=1,2,3)个箱子里的概率”就是计算在B发生的条件下,事件Ai发生的概率, 4.学生在做一道有4个选项的单项选择题时,若他不会做这道题,则随机猜测(每个选项被选到的机会是等可能的).现某道题,从卷面上看是答对了,试在以下情况下求学生确实会做这道题(会做这道题意味着一定能答对这道题)的概率. (1)学生会做这道题的概率是0.5; (2)学生会做这道题的概率是0.2. 解:设事件A=“学生答对了”,B=“学生会做这道题”,则“确实会做这道题”的概率,就是计算在A发生的条件下,事件B发生的概率,即P(B|A). $