5.5 一次函数与二元一次方程 讲义 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

本讲义聚焦一次函数与二元一次方程的核心联系，系统梳理一次函数图象交点坐标与二元一次方程组解的对应关系，通过典型例题、变式训练及巩固练习构建从概念理解到综合应用的学习支架，衔接一次函数图象性质与方程求解的知识脉络。 资料以丰富的图象例题培养学生几何直观（数学眼光），通过三级递进训练发展推理意识（数学思维），结合实际问题强化模型意识（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，有效提升知识应用能力。

2025-2026学年苏科版数学八年级上册 第5章一次函数 (复习专题5：一次函数与二元一次方程) 【典型例题】 【例1】如图，一次函数 y=kx+b 与 y=mx+n 的图象交于(2，-1)，则关于 x，y 的方程组 $$\left\{ \begin{array}{l} k x + b + 1 = y \\ m x + n + 1 = y \end{array} \right.$$ 的解为() 1 2 2x $$A . \left\{ \begin{array}{l} x = 2 \\ y = - 2 \end{array} \right.$$ $$B . \left\{ \begin{array}{l} x = 0 \\ y = - 1 \end{array} \right.$$ $$C . \left\{ \begin{array}{l} x = 2 \\ y = 0 \end{array} \right.$$ $$D . \left\{ \begin{array}{l} x = 1 \\ y = 0 \end{array} \right.$$ 【例2】若方程组 $$\left\{ \begin{array}{l} x + y = 2 \\ 2 x + 2 y = 3 \end{array} \right.$$ 没有解，则一次函数 y=2-x 与y $$y = \frac { 3 } { 2 } - x$$ x的图象必定() A.重合 B.平行 C.相交 D.无法确定 【例3】已知一次函数 y=ax+b(a≠0) y=kx(k≠0) 图象交点坐标为(2，-3)，则二元 一次方程组 {\begin{matrix}y-ax=b\y-kx=0\end{matrix}\right. 的解是. 【例4】直线 $$y _ { 1 } = - x + 3$$ 和直线 $$y _ { 2 } = \frac { 1 } { 3 } x$$ x的图象交于点M. 点M坐标为：. 【例5】如图，一次函数 $$y _ { 1 } = a x + b \left( a ， b$$ 为常数且 \left.{a<0}) 与正比例函数 $$y _ { 2 } = k x \left( k$$ 为常数且 \left.{k>0}) 的图象 交于点P(-4，-2)，则关于 x 的方程 (a-k)x+b=0 的解是 y $$y _ { 2 } = k x$$ - -4 x -2 P $$y _ { 1 } = a x + b$$ 第1页共20页 【例6】如图，正比例函数y=3x与一次函数⅓=+b(k,b是常数且k*0)交于点C,一 次函数与X,y轴分别交于点A与点B,已知OA=OB=4. (1)求点C的坐标； (2)已知过点C的直线将△BOC的面积平分，求该直线的解析式. 【举一反三】 【变式1】若直线y=kx-3与直线y=x-m相交于点(4，m),则关于x、y的方程组 kx-y=3 x-y=m 的解是() B x=4 y=-2 c. D. [x=4 y=-1 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A(-2,4),B(4,),直线y=x-2 与线段AB有交点，则k的值不可能是() y=ka-2 B 0 A.-5 B.-2 C.3 D.5 【变式3】如图，一次函数y=ax+b(a,b为常数且a<0)与正比例函数y2=kx(k为常数且k>0)的图 第2页共20页 象交于点P(-4,-2),则关于x的方程(a-k)x+b=0的解是 乃= 、=ar+b 【变式4】直线4过原点0和点C(4,4),直线过点A0,3)和点B(6,0),则直线Z和的交点P的 坐标为 D y=2x 【变式5】如图，直线y=2x与y=x+b相交于点P(m,2),则二元一次方程组 y=+b的解 是 y=k+b 【变式6】如图，已知直线I:y=2x+3与x轴、y轴的交点分别为A、B,请在图中作出直线 12:y=-x. (1)直接写出二元一次方程组 2x-y=-3的解 x+y=0 (2)直线Z上是否存在点C,使△A0C与AOB的面积相等，若存在，求出C点坐标；否则， 说明理由. AY =2x+3 B A 第3页共20页 【巩固练习】 1.如图，已知函数y=2x+b和y=ax-3的图象交于点P（-2,-5),根据图象可得方程2x +b=ax-3的解是() y=2x+b y=ax-3 OA/B -5 A.X=-2 B.x=-5 C.x=0 D.都不对 2.如图，已知一次函数y=ax+b和y=kx的图象相交于点P,则根据图象可得二元一次方程组 ∫ax+yb的解是(） (kx-y=0 A. x=2 B. x=2 C. x=-2 D x=-4 v=-4 (y=4 y=-4 y=-2 3.若直线=x+a与直线y=的交点的横坐标为2，则关于，y的二元一次方程组 y-3x=a 号=0的解是() y+ A. x=2 x=-1 x=-2 y=1 B y=2 C. y=1 D.r=2 y=-1 4.通过课本数学活动-二元一次方程的“图象”的探究，我们学习到：一般的，以一个二元一 次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象，二元一次方程的图象是直线，根据以上信 息，解决如下问题：在平面直角坐标系中，关于x,y的二元一次方程ax+by=c的图象和关于 ,y的二元一次方程-心=1的图象的交点坐标为2，)，则关于，的方程组-4物=4c mx +4ny =4t 的解 第4页共20页 为() x=8 x=-8 A. y=3 B. y=-3 c. .4 y=-2 5.在平面直角坐标系中，一次函数y=c+b(k≠0)与y=-x+2的图象交于点P(m,3),则关于 X,y的二元一次方程组 kx-y=-b y+x=2的解为 6.在同一平面直角坐标系中，直线y=8x+5与直线y=-3x+b的交点位置不可能在第 缘 限 7.已知函数y=x+b和y=c的图象交于点P,则根据图象可得，关于X,y的二元一次方程组 y=ax+b 的解是 y=kx v=kx y=ax+b 8.一次函数y1=ar+b与2=cx+d(a≠0，c≠0)的图象如图所示，则下列结论：①ad+bc>0;② 3(a-c=d-b;③x的值每增加1，y2-y的值增加；④a+b<c+d.其中正确的是 y2=cx+d 3 yi=ax+b 9.己知函数y1=-x+2和y2=2x-1. -5-4-32-1012345x 第5页共20页 (1)在同一个平面直角坐标系中画出这两个函数的图象； (2)根据图象，写出它们的交点坐标： (3)求两直线与y轴围成的三角形面积. 10.如图，直线y=-2x+6与x轴交于点A,直线y=mx+n与x轴交于点B,两条直线相交于点 Mp,4. y=mx+n M B A y=-2x+6 (1)求p的值，并且直接写出关于x,y的二元一次方程组 y=-2x+6 的解： v=mx+n (2)判断直线y=3x+m-2n是否也过点M？并说明理由， (3)若直线y=mx+n与x轴交于点B(-5,0),求直线y=mx+n的关系式和△MBA的面积. 第6页共20页 11.直线m:3x+3y=12与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线n:ax+by=-5与x轴交于点 c(0,与宜线m交于点P,若点P的楼坐标为1。 (1)求A,B两点的坐标； 3x+3y=12 (2)直接写出方程组 ar+y=-5的解； (3)求a,b的值； (4)求△PAC的面积. 12.如图，直线4：y=kx+b(k≠0经过点A-3,),B(-1,5),且与x轴交于点E. B -6-5X3-20123456x (1)求直线的表达式： (2)直线4：y=- x+2与直线交于点D,在同一直角坐标系中画出直线的图象，并根据图象， 2 y=kx+b 直接写出方程组{1 的解为 y=- x+2 2 (3)直线马与y轴交于点C,求两直线与坐标轴围成的四边形0CDE的面积. 第7页共20页 答案解析 【典型例题】 【例1】如图，一次函数y=x+b与y=mx+n的图象交于(2，-1)，则关于x,y的方程组 [x+b+1=y的解为(） mx+n+l=y x=2 x=0 x=2 x=1 A. B. y=-1 C. D. y=-2 y=0 y=0 【答案】C 【例2】若方程组 x+y=2 没有解，则一次函数y=2-x与y=?-x的图象必定( ) 2x+2y= A.重合 B.平行 C.相交 D.无法确定 【答案】B 【例3】己知一次函数y=ax+b(a≠0)和y=kx(k≠0)图象交点坐标为(2，-3)，则二元 次方程组 y-axb的解是 y-kx=0 【答案】 x=2 y=-3 【例4】直线片=x+3和直线少=x的图象交于点M。点M坐标为： 93 【答案】 （4'4 【例5】如图，一次函数y=ax+b(a,b为常数且a<0)与正比例函数=x(k为常数且k>0)的图象 交于点P(-4,-2),则关于x的方程(a-k)x+b=0的解是 第8页共20页 2= -2 y=ax+b 【答案】x=-4 【例6】如图，正比例函数以=-x与一次函数片，=kx+b(k,b是常数且k≠0)交于点C,一 3 次函数与X,y轴分别交于点A与点B,已知0A=0B=4. (1)求点C的坐标； (2)已知过点C的直线将△BOC的面积平分，求该直线的解析式. 【答案】(1)解：，0A=0B=4, A-4,0,B(0,4), 「-4k+b=0 [k=1 :b=4 ，解得： b=4, ∴.3=x+4 1 4=-3 x=-3 联立=x+4, 解得： y=1, C的坐标为-3，； (2)设该直线过点C且与y轴交于点D, 第9页共20页 B y 由题意可知CD是△BOC的中线， 由条件可知点D的坐标为(0,2). 设直线CD的表达式为y=mx+m,代入点C,D的坐标， 1=-3m+n 得(n=2 〔1 m= 3 解得n=2 六该直线的解析式为”3+2 【举一反三】 【变式1】若直线y=kx~3与直线y=xm相交于点(4，m,则关于x、y的方程组kxy=3 x-y=m 的解是( ) 了x=4 A. B. x=4 C. x=4 D x=4 （y=2 y=-2 y=1 y=-1 【答案】A 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A(-2,4),B(4,),直线y=x-2 与线段AB有交点，则k的值不可能是() 第10页共20页