5.5 一次函数与二元一次方程 讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦一次函数与二元一次方程（组）、不等式的联系，系统梳理从一次函数图像与x轴交点求一元一次方程的解，到两函数交点确定二元一次方程组的解，再到利用图像位置关系推导不等式解集的知识脉络，构建递进式学习支架。 资料通过分层题型设计，基础题（如图像法求方程解）培养几何直观与抽象能力，综合题（面积计算、新定义“中位线”）发展推理意识与创新意识。课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用与思维提升。

5.5 《一次函数与二元一次方程》小节复习题 题型01 一次函数与一次方程的解 1.如图，若一次函数的图象经过两点，则关于x的方程的解为 ． 2.如图，直线经过点，则方程的解为 ． 3.如图，点是一次函数图象上的一点，则方程的解是 ． 4.如图，直线是一次函数的图象，点，在直线上．请根据图象写出方程的解为 ． 题型02 一次函数与二元一次方程组的解 1.如图，直线与的图象交于，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 2.如图，直线与直线交于点，那么关于x，y的二元一次方程组的解是（） A． B． C． D． 3.如图所示，直线与分别是二元一次方程和在平面直角坐标系中的图像，求此方程组的解为 ． 4.直线 和直线的图象交于点M．点M坐标为： ． 5.以方程和的解为坐标的点一定不在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6.通过课本数学活动--二元一次方程的“图象”的探究，我们学习到：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象，二元一次方程的图象是直线，根据以上信息，解决如下问题：在平面直角坐标系中，关于的二元一次方程的图象和关于的二元一次方程的图象的交点坐标为，则关于的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 题型03 一次函数与不等式 1.已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2.在直角坐标平面内，一次函数的图像如图所示，那么下列说法正确的是（   ） A．当时， B．方程的解是 C．当时， D．不等式的解集是 3.如图，一次函数（是常数且）的图象交轴、轴分别于点、，则下列结论正确的是（    ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 4.画出函数的图像，并结合图像求： (1)方程的解；(2)不等式的解集；(3)不等式组的解集． 5.画出一次函数数的图象，并利用图像完成下列问题： (1)方程的解是________；(2)当________时，；当时，相应的取值范围是________． 题型04 一次函数与函数大小比较 1.如图，直线与直线相交于点，则不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 2.如图，正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3.如图，直线相交于点与轴分别交于点和，则当时，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.如图，已知一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5.已知直线：与直线：相交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点D． (1)求A，C两点的坐标；(2)若，则x的取值范围是 _______； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 题型05 一次函数与方程、不等式综合 1.已知一次函数与的图象如下图所示，其交点的坐标为，直线与轴的交点坐标为，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程组的解是 C．关于的不等式的解集是 D．的解集为 2.一次函数和在同一坐标系中的图像如图所示，则下列结论：①它们的交点在直线上；②；③不等式的解集为； ④它们与x轴围成的三角形的面积为．其中，正确的序号是 ．     A．②③ B．①④ C．①②③ D．①②④ 3.在平面直角坐标系中，一次函数和图象的交点坐标为，其中，均为常数，且．点，分别在函数和的图象上，且，在下列结论中： ①；②；③；④原点到直线的距离为． 正确的是 ． 4.已知直线过点﹒则以下结论：①；②若当时，，则；③方程组的解为；④若直线向右平移2个单位后过点，且不等式的解集为，则，其中正确的有 ．（请填写序号） 题型06 一次函数与面积综合问题 1.如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴、轴分别交于两点． (1)若点的坐标分别为．直接写出下列各小题答案．方程的解是______．方程组的解是______．不等式的解集是______．不等式的解集是______． (2)若点的坐标分别为，直线的表达式为，求的面积； (3)在（）的基础上，点是轴上的一点，且使得∆ABC是等腰三角形，直接写出所有符合条件条件的点的坐标． 2.如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）∆AOB的面积是 ；（2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是∆AOB面积的，则的值为 ． 3.如图，已知直线 与x轴、y轴的交点分别为A、B，请在图中作出直线 ．(1)直接写出二元一次方程组 的解______； (2)直线 上是否存在点 C，使 与 ∆AOB的面积相等，若存在，求出C 点坐标；否则，说明理由． 4.如图，直线：经过点，，且与轴交于点． (1)求直线的表达式；(2)直线与直线交于点，在同一直角坐标系中画出直线的图象，并根据图象，直接写出方程组的解为______；(3)直线与轴交于点，求两直线与坐标轴围成的四边形的面积． 5.已知如图：在平面直角坐标系中，有三点 、、 ，(1)如图1：当时，求证：；(2)如图2：将延长到D，如果D点坐标是，则 ， 此时如果 的面积等于12，则m 的值又是多少？ 6.在平面直角坐标系中，点，，且，满足，将直线沿轴向右平移个单位长度交轴于点，交轴于点． (1)求三角形的面积；(2)如图1，若，求的值；(3)如图2，当时，过点作轴的平行线交直线于点，点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿射线运动，设运动时间为秒，连接交轴于点，若三角形的面积不大于三角形的面积的一半，求的取值范围． 题型07 一次函数与新定义、探究规律 1.定义：在同一平面直角坐标系中有三条直线，，，我们把在某一范围内位于另外两条直线之间的直线称为该范围的中位线，记作．如图，：，：，：，若，则，其表达式为．若，则x的取值范围是 ；若是过点且平行于轴的直线，与直线有4个交点，则b的取值范围是 ． 2.定义：在平面直角坐标系中，若，称点与点互为友好点．若直线l上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为 ． 3.如图所示，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，……，依次进行下去，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4.在平面直角坐标系中，解析式为的直线a，解析式为的直线b如图所示，直线a交y轴于点A，以为边作第一个等边三角形，过点B作y轴的平行线交直线a于点，以为边作第二个等边三角形顺次这样作下去，第2020个等边三角形的边长为（　　） A． B． C．4038 D．4040 参考答案 题型01 一次函数与一次方程的解 1. 【详解】解：由图象可知一次函数与x轴的交点坐标为， ∴关于x的方程的解为；故答案为． 2. 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，∴当时，， ∴关于x的一元一次方程的解为．故答案为：． 3. 【详解】解：根据题意，当时，，∴方程的解是．故答案为：． 4. 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程．运用图象法即可解答问题． 【详解】解：由图可知：函数图象与直线交于点， 所以，即为方程的解，故答案为：． 题型02 一次函数与二元一次方程组的解 1.C 【详解】解：∵一次函数与的图象交于， ∴一次函数与的图象向下平移1个单位长度得到函数的解析式为，， 则一次函数与的图象的交点也相应的向下平移一个单位长度为， ∴关于x，y的方程组的解为，故选：C． 2.D 【详解】解：直线与直线交于点 关于的二元一次方程组的解就是点坐标 方程组的解为，故选：D． 3. 【详解】解：由图像得 此方程组的解为，故答案为：． 4. 【详解】解：解方程组，得，∴交点M坐标为，故答案为：． 5.C 【详解】解：联立，解得，， A、当在第一象限，则，解得，存在这样的使在第一象限，不符合题意； B、当在第二象限，则，解得，存在这样的使在第二象限，不符合题意； C、当在第三象限，则，不等式组无解，不存在这样的使在第三象限，符合题意； D、当在第四象限，则，解得，存在这样的使在第四象限，不符合题意；故选：C． 6.B 【详解】解：由题意，方程组的解为：， ∵，∴， ∴的解为：，∴；故选B． 题型03 一次函数与不等式 1.A 【详解】解：观察图象知，不等式的解集为，故选：A． 2.C 【详解】解：由函数的图像可知， 当时，，故A选项错误，不符合题意； 方程的解是，故B选项错误，不符合题意； 当时，，故C正确，符合题意； 不等式的解集是，故D错误，不符合题意．故选：C． 3.B 【详解】解：A、由图象可知，一次函数的图象交轴于点，则方程的解是，原结论错误，不符合题意； B、由图象可知，一次函数的图象交轴于点，则方程的解是，原结论正确，符合题意； C、根据图象可知，不等式的解集是，而当时，不等式的解必为小于0的数，故原结论错误，不符合题意； D、由图象可知，当时，一次函数图象在直线的上方，则不等式的解集是，原结论错误，不符合题意；故选：B． 4.（1）解：列表： x 0 3 0 描点并连线： 由图像可得，一次函数的图像与x轴的交点为，∴方程的解为． （2）解：由图像可得，不等式的解集为． （3）解：当时，，解得，当时，，解得， 由图像可得，不等式的解集为． 5.（1）解：列表如下： x ⋯⋯ 2 0 ⋯⋯ y ⋯⋯ 0 4 ⋯⋯ 描点，连线得， 由图象可得时，，所以方程的解是；故答案为：； （2）解：由图象可得时，，由图象可得当时，．故答案为：；． 题型04 一次函数与函数大小比较 1.A 【详解】解：∵过点，∴，解得，∴， 由图可得，当时，，故选A． 2.A 【详解】解：观察图象得：当时，正比例函数的图象在一次函数的图象的下方， ∴关于的不等式的解集是．故选：A 3.C 【详解】解：直线相交于点与轴交于点， 根据函数图象可得当时，自变量的取值范围是故选：C． 4.A 【详解】解：由题意可知，一次函数和的交点坐标为， 当时，图象在下方，则关于x的不等式的解集是，故选：A． 5.（1）解：∵直线：与直线：相交于点， ∴把代入，得，解得：， 把代入，得，解得：，∴直线：， 当时，则 ，解出，∴； （2）∵直线：，，∴当时，x的取值范围是； （3），即， 根据图象，此时的不等式的解集为． 题型05 一次函数与方程、不等式综合 1.C 【详解】解：∵直线与轴的交点坐标为， ∴当时，，∴方程的解是，故A选项错误； ∵一次函数与的图象交于点， ∴方程组的解是，故B选项错误； 观察图象得：当时，一次函数的图象在的图象的上方， ∴关于的不等式的解集是，故C选项正确； 观察图象得：当时，函数的图象在x轴的上方， ∴的解集为．故D选项错误．故选：C 2.C 【详解】一次函数和交于一点， ，解得：，①正确； 一次函数和交点在第一象限，且交点横坐标为1， 把代入得：故②正确； 函数图象它们的交点在直线上，有函数图象可知的解集为，故③正确； 把代入得：，当代入得：，当代入得：， 与x轴围成的三角形的面积为：，故④错误； 综上所述：正确的有①②③；故选：C． 3.①④ 【详解】解：∵一次函数和图象的交点坐标为， 联立解得：∴ ∵∴∴，故①正确； ∵，，为常数，的符号不确定，∴不一定成立，故②错误； ③点，分别在函数和的图象上， ∴，∴，故③错误； ④设与轴的交点分别为， 当时，，当时，∴， ∴∴ 设原点到直线的距离为， ∴，故④正确 故答案为：①④． 4.①④ 【详解】解：直线过点， ，，故①正确，符合题意； 当时，， 随着的增大而减小，，，故②错误； 当时，方程组有无数个解，故③不正确； 将直线向右平移2个单位后解析式为：， 直线向右平移2个单位后过点，， ，不等式可变为：，整理得：， 不等式的解集为，，且， 解得：，故④正确；综上所述，正确的为：①④，故答案为：①④． 题型06 一次函数与面积综合问题 1.（1）解：∵直线与轴的交点为， ∴方程的解为，故答案为：； ∵直线与直线的交点为， ∴方程组的解为，故答案为：； 由图象可得，当时，， ∴不等式的解集是，故答案为：； 由函数图象可得，当时，， ∴不等式的解集是，故答案为：； （2）解：把代入得，，解得， ∴直线的函数解析式为， 由得，，∴，∴； （3）解：设点的坐标为∵，∴， 当点为顶点时，，∴，∴或， ∴点的坐标为或； 当点为顶点时，，∴点的坐标为； 当点为顶点时，则，∴，解得，∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 2.（1）解：联立，解得：，所以， 令，则0，解得，所以，所以的面积是； （2）因为点在直线上，所以，所以， 因为的面积是∆AOB面积的，所以的面积是， 设，因为，所以 ． 因为，即，则或， 当时，解得，所以；当时，解得，所以． 当时，得出，解得； 当时，得出，解得；所以的值为1或，故答案为：10；1或． 3.（1）解：列表如下： 描点连线如下： ∵方程组即方程组，∴由图象可得方程组的解为：； （2）∵，当，，当，则，∴， ∴，，∴， ∵在上，∴，∴， ∴，∴，∴或． 4.（1）解：将，代入得 ，解得，直线的表达式为； （2）解：直线的图象如图所示： 由图象可知其交点坐标为， 方程组的解为，故答案为：； （3）解：设与轴交于点，令，解得，. 令，解得，，， . 5.（1）解：如图所示：过点C作交的角平分线于点M，与相交于E， ∵平分，，∴，，∴，∴， ∵，，，∴， ∴，∴设直线：，∵，， ∴，解得：，∴直线：， ， ， ∵，，∴同理可求出直线的解析式：， ∴联立：，解得：，∴， ∴，， ∴，从而：，∴； （2）∵由（1）可知直线解析式：，将代入得：， 如图所示：连接，∴， ∴，∴或． 6.（1）解：∵，满足， ∴，∴，， ∴，，∴，，∴， ∴；∴三角形的面积为6； （2）解：设直线解析式为， 把，代入得：，解得，∴直线解析式为， ∴将直线沿轴向右平移个单位长度后解析式为， 当时，，把代入得，解得； （3）解：∵，∴，， ∵，∴，∴， ∴，，， ∵三角形的面积不大于三角形的面积的一半，∴，解得， 当在左侧，且时，∵，∴， 由，得直线解析式为，令得， ∴；此时，∴（秒）； 当在右侧，且时，∵，∴， 由，得直线解析式为， 令得，∴；此时，∴（秒）； ∴三角形的面积不大于三角形的面积的一半，t的取值范围是． 题型07 一次函数与新定义、探究规律 1. 或 【详解】解：，得，则；即直线，交于点； 又直线，交于点，所以若，则； 当时，，即交点为；同理交点为； 若，则对应线段（不包括两个端点），如图；此时； 若，则对应线段（不包括两个端点），如图；此时； 若，则对应射线与射线，如图；此时或； ∴的图象为射线，线段，线段及射线组成，但不包括A、M、B三点； 如图，与直线有4个交点， 当射线：与线段相交时，则交点数为4个； 当经过点B时，，则；当经过点M时，，则； 故当时有4个交点； 当射线：与线段相交时，则交点数为4个，如图； 当经过点A时，，则；当经过点M时，，则； 故当时有4个交点； 综上，与直线有4个交点，则b的取值范围为或． 故答案为：；或． 2.或 【详解】设点在直线上，其友好点也在直线l上， 设直线l的解析式为，将点和代入解析式得： ，解得，∴直线l的表达式为， 当时，，即直线l与y轴交点为， 当时， ，解得，即直线l与x轴交点为，∴，∴， ∴直线的表达式或．故答案为：或． 3.D 【详解】解：∵，在直线上，∴在中，当时，，则， ∵在直线上，∴在中，当时，，则， 同理可得：，，，，，， ∴，，，（为自然数）， ∵，∴的坐标为，即，故选：D． 4.A 【详解】解：如图，延长交轴于点， 当时，，∴，即第1个等边三角形的边长为； ∵是等边三角形，∴，∴， ∵轴，∴，∴，∴， 当时，，∴，∴，∴， 即第2个等边三角形的边长为2； 延长交轴于点，同理可得，即第3个等边三角形的边长为； 同理得，即第4个等边三角形的边长为； 可得第2020个等边三角形的边长为，故选：A． 1 学科网（北京）股份有限公司 $