5.3 一次函数的图象与性质(讲义，2大知识18大题型+刷好题)数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦一次函数的图象与性质核心知识点，系统梳理从正比例函数到一次函数的知识脉络，涵盖描点法与两点法作图、k和b对图象增减性及象限的影响、平移对称等变换规律，以表格总结和题型分类为学习支架。 资料通过结构化表格呈现知识要点，分层设计18类题型及变式练习，培养学生抽象能力与推理意识，结合几何综合问题渗透数形结合思想。课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固基础、查漏补缺，提升应用意识。

第五章 一次函数 5.3 一次函数的图象与性质 课标要点 1.会用描点法画一次函数、正比例函数图象，掌握两点作图法，识别图象为直线。 2.掌握k、b对一次函数y=kx+b图象增减性、与坐标轴交点、直线位置的影响，区分不同函数图象特征。 3.结合图象理解函数增减性，利用图象比较函数值、求自变量范围，解决简单数形结合问题。 学习重难点 重点： 1.一次函数图象的两点作图步骤，求直线与 x、y 轴交点坐标。 2.k、b的几何意义，函数增减性判断。 3.正比例函数与一次函数图象的平移关系。 难点： 1.根据k、b符号快速判断直线经过的象限。 2.函数图象平移规律应用，含参数一次函数图象分析。 知识点一 正比例函数的图象与性质 表达式 自变量的取值范围 全体______ 图象 形状 过______的一条直线 k的取值 k＞0 k＜0 示意图 经过的位置 第_____、_____象限 第_____、_____象限 趋势 从左到右呈_____趋势 从左到右呈_____趋势 增减性 y随x增大而_____， 即当， y随x增大而_____， 即当， 特别提醒 1）正比例函数图象的位置和增减性由k决定. 2）正比例函数中，|k|越大，直线越靠近y轴；|k|越小，直线越靠近x轴， 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏苏州·周测）点，，在正比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）关于正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象必经过点 B．图象经过第一、三象限 C．随的增大而增大 D．随的增大而减小 3．（2025·吉林长春·中考真题）已知点、在同一正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 知识点二 一次函数的图象与性质 表达式 自变量的取值范围 全体_____ 图象 形状 过_____，__________的一条直线 k，b的 取值 k＞0 k＜0 b＞0 b＜0 b＞0 b＜0 示意图 经过的位置 第__________象限 第__________象限 第__________象限 第__________象限 趋势 从左向右看图象呈______趋势 从左向右看图象呈______趋势 增减性 y随x增大而______， 即当， y随x增大而____， 即当， 特别提醒 一次函数中k，b的意义 （1）k的符号决定直线的倾斜方向和函数的增减性，当k＞0时，直线从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线从左向右下降，y随x的增大而减小 （2）直线与y轴交于点（0，b），所以b就是直线与y轴交点的纵坐标，b 叫做直线在y轴上的截距. 即学即练 1．（21-22八年级下·山东临沂·期末）函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与轴的交点为 B．函数值随自变量的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知点，都在直线上，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 题型01 根据正比例函数解析式求其性质 解题贴士 对于正比例函数，只要知道比例系数k的正负，不需画出图像就能判断其图像的大致位置以及函数的增减性.反之，若知道正比例函数的增减性，也可以推断出函数的比例系数k的正负. 典｜例｜精｜析 例1．（24-25八年级下·云南德宏·期末）已知正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条射线 B．y随x的增大而减小 C．图象必经过点 D．图象经过第二、三、四象限 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·江西赣州·期末）关于函数，下列结论正确的是（    ） A．函数图象过点 B．函数图象经过第二、四象限 C．随的增大而增大 D．不论为何值，总有 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象是一条射线 B．图象必经过点 C．y随x的增大而减小 D．图象经过第一、三象限 题型02 根据正比例函数图象判断比例系数的大小关系 解题贴士 正比例函数图像越陡峭，越靠近y轴，|k|越大.利用钟表法，从第一象限顺时针比较，比例系数依次变小. 典｜例｜精｜析 例2．（25-26八年级上·山西运城·期末）四个正比例函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图表示光从空气进入水中的入水前与入水后的光路图，若按如图所示的方式建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的函数表达式分别为，，则下列关于与的说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图：三个正比例函数的图像分别对应的解析式是①，②，③，则、、的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 题型03 判断正比例函数图象上的点 典｜例｜精｜析 例3．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）下列各点中，在正比例函数的图像上的是（       ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）若正比例函数的图象经过点，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）一个正比例函数的图象经过，两点，则m的值为（   ） A．2 B．8 C． D． 3．（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）若正比例函数的图象经过，则这个图象必经过（    ） A． B． C． D． 题型04 一次函数图象的综合判断 典｜例｜精｜析 例4．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数（为常数，）的图象不可能是（　） A．B．C．D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·山西运城·期中）在下列图中，表示一次函数与正比例函数（其中为常数，且）的大致图象，其中不正确的是（    ） A．  B．  C．  D．   2．（23-24八年级上·陕西西安·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，函数与的图像大致是（    ）. A． B． C． D． 题型05正比例函数图象与象限问题 典｜例｜精｜析 例5．（24-25九年级上·广西玉林·期末）已知正比例函数，则它经过的象限是（   ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知函数是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则的值是______． 2．（23-24八年级下·江苏南通·阶段检测）已知正比例函数的图象经过第一、三象限，则m的值为_____． 题型06 正比例函数图象与增减性问题 典｜例｜精｜析 例6．（24-25九年级上·福建厦门·阶段检测）已知点，都在正比例函数的图象上， 则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知点，是函数图象上的两个点，若，则___________．（填“”“”或“”） 3．（24-25八年级上·安徽宣城·期末）已知正比例函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是________． 4（24-25八年级下·云南红河·期中）已知点，均在正比例函数的图象上，则a________b．（填“>”“<”或“=”） 5．（21-22八年级上·上海·期末）已知关于的正比例函数．若值随值的增大而增大，则的取值范围是_______________． 题型07 画一次函数图象 典｜例｜精｜析 例7．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）已知，且是关于的正比例函数． (1)求与的函数关系式，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出该正比例函数的图像； (2)若，求函数的最小值． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）已知一次函数的图像经过点． (1)求k的值； (2)在所给平面直角坐标系中，画出该函数的图像； (3)若，则的取值范围是______（直接写结果）． 2．（23-24八年级下·江西南昌·阶段检测）已知三个函数的解析式分别为，，． (1)如图，请在同一平面直角坐标系中画出三个函数的大致图象，并标记好函数； (2)仔细观察画出的函数图象，写出3条函数的图象特征． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知函数与． (1)画这两个函数的图象； (2)求这两个函数的图象交点的坐标； (3)当时，x的范围为________．（直接写结果） 题型08 根据一次函数解析式求其性质 典｜例｜精｜析 例8．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列关于一次函数的说法中，正确的是（    ） A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴交于负半轴 C．图象与y轴的交点坐标是 D．y的值随x值的增大而增大 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知一次函数，那么下列结论正确的是（    ） A．图像经过第一、二、四象限 B．随的增大而增大 C．当时， D．点在函数图像上 2．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）对于一次函数，下列叙述正确的是（    ） A．当时，函数图象经过第一、二、三象限B．当时，随x的增大而减小 C．函数图象一定经过点 D．当时，函数图象一定交于y轴的正半轴 题型09 一次函数图象与象限问题 解题贴士 典｜例｜精｜析 例9．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）若函数的图像经过第二、三、四象限，则函数的图像不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知一次函数，若随的增大而减小，则它的图象不经过第______象限． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·周测）一次函数的图象不经过第二象限，则m的范围是___________． 3．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是________． 题型10 一次函数图象与增减性问题 典｜例｜精｜析 例10．（25-26八年级上·安徽六安·期中）直线经过和，若则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·河南濮阳·期末）下列3个函数：①；②；③，随着的增大，的变化情况相同的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）若点和都在一次函数（k为常数）的图象上，且当时，，则的值可能是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）若一次函数的函数值随x的增大而增大，且函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围为______． 4．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）直线，函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限，则m的取值范围是_____． 5．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）已知一次函数的图象上两点，，当时，有，那么的取值范围是_________． 题型11 与一次函数有关的最值问题 解题贴士求一次函数的最值时，首先求出一次函数表达式及其自变量的取值范围，根据一次函数在自变量的取值范围内取最大值和最小值. 典｜例｜精｜析例11．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）已知一次函数，当时，的最大值是__________． 变｜式｜巩｜固1．（25-26八年级上·河北保定·期中）已知关于x的一次函数．当时，函数有最大值7，则a的值为_______． 2．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）已知一次函数，当时，函数有最小值，则k的值为_______ 3．（24-25八年级上·重庆·期中）一次函数，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为____________． 题型12 与一次函数有关的开放性问题 典｜例｜精｜析例12．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知函数，试写出一个一次函数使其图像与的图像没有公共点_______．（写出一个就行） 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式（写出一个即可）_______________ ．（1）y随着x的增大而减小（2）图像经过点． 2．（21-22八年级上·江苏无锡·阶段检测）（1）写出一个一次函数的表达式，使得它经过点（1，3）：______ （2）写出一个一次函数的表达式，使得y随x的增大而减小，且经过第一象限：_______________． 题型13 一次函数图象与平移问题 解题贴士 典｜例｜精｜析 例13．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）将直线向下平移6个单位长度，所得到的图象相应的函数表达式为_______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，直线沿y轴向上平移了2个单位长度后，该直线与坐标轴围成的三角形的面积增加了________． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移个单位长度后恰好经过点，n的值为________． 4．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)将一次函数的图象向左平移___________个单位长度恰好经过坐标原点． 题型14 一次函数图象与对称问题 解题贴士 典｜例｜精｜析 例14．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）将一次函数的图象以y轴为对称轴翻折，翻折后的图象函数表达式是_______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·浙江台州·期末）若一次函数与一次函数的图象关于轴对称，则_____ 2．（2026八年级下·全国·专题练习）已知直线． （1）该直线关于y轴对称的直线的函数解析式为______； （2）该直线关于x轴对称的直线的函数解析式为______． 题型15 一次函数图象与旋转问题 典｜例｜精｜析 例15．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）一次函数的图象与轴的交点为，将该函数图象绕点逆时针旋转，得到一个新的函数图象，新的函数图象的函数表达式为________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与x轴，y轴分别交于点D，点C，两直线相交于点B．将直线绕点A逆时针旋转得到直线，则直线的表达式为________． 2（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线绕点A顺时针旋转45度得到的新的直线的解析式为_______． 题型16 类比法探索新函数的图象与性质 典｜例｜精｜析 例16．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）小明在学习了一次函数的图象和性质之后，进一步研究的图象特征和性质． 列表： (1)完成表格并在平面直角坐标系中画出该函数图象； (2)观察（1）中所画函数图象，写出该函数的性质．（至少写两条） (3)①若，是函数的图象上两点，求、的值． ②若，是函数的图象上两点，且，直接写出b的范围． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）通过列表、描点、连线的方法可以画出函数图象，并利用函数图象研究函数的性质．对函数的图象与性质进行了探究． (1)当时， ①化简函数的表达式： 当时，__________， 当时，__________： ②在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； ③函数的图象可由的图象向_____平移__________个单位得到； (2)结合图象，关于函数的图象与性质，下列说法正确的有__________． A．图象经过第一、二象限 B．时，值随值的增大而增大 C．图象关于直线对称 D．若，当时， (3)对于任意的都满足关于的不等式，请直接写出实数的取值范围． 2．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题： 【初步感知】 ________ ________ （1）补全表格中横线部分的数据，并在图所给的坐标系中画出函数的图像； 【探究性质】（2）观察函数的图像，判断下列关于该函数性质的命题： 当时，的值随的值增大而减小；当时，；该函数存在最小值，最小值为；该函数图像是轴对称图形．其中正确的是___________．（请写出所有正确命题的序号） （3）当时，求的取值范围； 【类比应用】（4）在平面内构造，其中点，，，当函数的图像与的边有个公共点时，请直接写出的取值范围． 题型17 一次函数图象与坐标轴交点问题 典｜例｜精｜析 例17．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，一次函数的图象与x轴相交于点，与y轴相交于点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，直线与x，y轴分别交于点A，B，以为底边在y轴右侧作等腰，将点C向左平移6个单位，使其对应点恰好落在直线上，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）一次函数与坐标轴围成的三角形面积是________． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与矩形的边、分别交于点E、F，已知，，则的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 题型18 一次函数与几何综合 典｜例｜精｜析 例18．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，直线轴于点，直线轴于点，直线轴于点，…直线轴于点．函数的图象与直线，，…分别交于点，，，…；函数的图象与直线，，…分别交于点，，…，如果的面积记作，四边形的面积记作，四边形的面积记作…四边形的面积记作，那么的值为（   ） A．4050 B．4051 C．4052 D．4053 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知、，一次函数的图像为直线，点关于直线的对称点恰好落在的平分线上，则的值为（    ）. A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·江苏常州·期末）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，在y轴上有一点，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，设运动的时间为，连接．当运动到与全等时，t的值为（　　） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，是y轴上一点，点B在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，当点C落在x轴负半轴上时，点C的坐标为 __ ． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知平面直角坐标系中有三点，若过点的直线将分成面积之比为两部分，则k的值______． 基础通关 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）下列各点中，在正比例函数的图像上的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知油箱中有油25升，每小时耗油5升，则下列关于油箱中剩余油量（升）与时间（时）之间的函数图象正确的是选项中的（    ） A．B．C． D． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知一次函数，当时，的最大值是（    ） A．2 B．7 C． D． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）若点，，在一次函数图像上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．随的增大而增大 B．经过一、二、三象限 C．与轴的交点坐标为 D．可由向下平移6个单位得到 6．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）将直线y=2x沿y轴向上平移1个单位长度后得到的直线解析式为（   ） A． B． C． D． 7．（2026八年级上·江苏·专题练习）把直线向上平移得到直线，直线经过点，且，则直线的解析式是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）在同一直角坐标系中，直线与直线可能是（   ） A．B．C．D． 9．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）若点在第四象限，则正比例函数的图象经过（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限 10．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（  ） ①函数图象经过点；②图象不经过第二象限；③当时，随的增大而增大． A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）一次函数过点，若，则b的取值范围是___． 12．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）一次函数与x轴的交点坐标是___________． 13．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）直线不经过第四象限，则k的取值范围为_____． 14．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，把一次函数的图象向上平移后得到直线，若直线经过点，则直线对应的函数表达式是_________． 15．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图是四个正比例函数的图象，则，，，的大小关系是_____________； 16．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）现有条件：（1）函数随自变量的增大而减小；（2）图象经过点．请写出一个符合上述条件的一次函数的表达式：______． 17．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）（1）下列函数：①；②；③；④．其中，随的增大而减小的函数是______．（填序号）， （2）已知，是一次函数图像上的两点，若，则______．（填“”“”或“”） 素养提升 1．（江苏省无锡市宜兴市东氿中学2025-2026学年上学期八年级数学第二次月考试题）在平面直角坐标系中，点、、，则的面积为_____． 2．（2025~2026学年度第一学期期末抽测八年级数学试题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B在函数的图象上，当取最小值时，的面积为______． 3．（江苏省无锡市2025-2026学年八年级上学期期末数学模拟卷）一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且，则的值为___ ． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点、，若直线与线段有公共点，则a的范围为________． 5．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，已知，过A点的直线轴于点M，交直线于点N，点P是直线上的一个动点，连接，并以为直角边向其右侧作一个等腰，，当P点从O点运动到N点的过程中，点B的路径长为________；连接，求当P点在直线上运动的过程中，的最小值为________． 6．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点C的坐标为，点D的坐标为，则线段的最小值为_____． 迁移创新 1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）【概念认识】 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对于两点和，用以下方式定义两点间距离：已知点，点 【初步理解】（1）___________． （2）函数的图象如图①所示，是图象上一点，___________定值，___________定值两空均选填“是”或“不是” 【深入理解】（3）在图②中画出使的所有点围成的图形． （4）函数（为常数）； ①当时，若点是这个函数的图象上一动点，则使的所有点构成的线段长度为___________； ②若这个函数的图象上存在点使，直接写出k的取值范围． 【实际运用】（5）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图③，道路以为起点，先沿方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由） 2．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）在平面直角坐标系中，过点作垂直于轴的直线，将一次函数（，为常数，）图象位于直线l下方的部分沿直线l向上翻折，与原来在直线l上及上方图象组合，得到一个新的图象，这种变换称为“对称变换”，记作：，这种新的图象对应的函数叫做“形函数”，例如，如图1就是函数经过得到的“形函数”的图象． 问题一：认识“形函数” （1）填空：在图1的“形函数”中，当函数值时，的值为______； （2）已知：直线 ①如表是直线经过得到的“形函数”与的几组对应值． … 0 … … … 直接写出表格中的值是______； ②在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； 问题二：结合函数图象，解决问题：③当时，“形函数”值的取值范围是______； 问题三：反思延申④已知点，点，如果将直线经过得到的“形函数”的图象向右平移个单位，当“形函数”图象与线段有交点时，请直接写出的取值范围． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）综合与实践 【任务背景】17世纪，法国数学家费马提出费马原理，指出光在传播时总是选择耗时最短的路径（在均匀介质中即路径最短），并将最短路径思想推广至折射等领域． 【任务学习】证明反射路径最短 如图1，直线代表平面镜，点代表一实物，点代表眼睛，作实物C关于平面镜的对称点，连接，交平面镜于点E，连接，则为入射光线，为反射光线． 求证：最短．请在空白的横线上填写相应的内容． 如图，在平面镜上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在中，（三角形两边之和大于第三边）， 实物与点关于平面镜对称， 垂直平分， ______，（______）． ， ．（等量代换） 【任务解决】任务1：帮助将军求解最短行程 如图2，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点宿营，如果点到河边l的距离，点到河边l的距离，、两点间的横向水平距离，则将军每天走的路程之和最短是多少？ 任务2：尺规作图，开孔凿光 如图3，光线从点射出，经平面镜I反射后通过挡板上的小孔落到挡板上，已知挡板上的线段为反射光线投射到的区域范围，请你仅利用圆规和无刻度直尺在图中找出挡板上的小孔． 任务3：数形应用，解决问题 “数形结合”是一种重要的数学思想，通过把抽象的数量关系与直观的几何图形相结合，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化．例如：已知（数的形式），从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4，计算结果为斜边（图形形式）长度为5，如图4；同理计算（数的形式）可以看成直角边长度分别为、8，结果为斜边（图形形式）长度为，如图5． 请结合对本题材料的阅读理解解决下面问题： 已知点为一次函数图像上一点，且点在第一象限，则是否存在这样的点，使得代数式的值最小，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一次函数 5.3 一次函数的图象与性质 课标要点 1.会用描点法画一次函数、正比例函数图象，掌握两点作图法，识别图象为直线。 2.掌握k、b对一次函数y=kx+b图象增减性、与坐标轴交点、直线位置的影响，区分不同函数图象特征。 3.结合图象理解函数增减性，利用图象比较函数值、求自变量范围，解决简单数形结合问题。 学习重难点 重点： 1.一次函数图象的两点作图步骤，求直线与 x、y 轴交点坐标。 2.k、b的几何意义，函数增减性判断。 3.正比例函数与一次函数图象的平移关系。 难点： 1.根据k、b符号快速判断直线经过的象限。 2.函数图象平移规律应用，含参数一次函数图象分析。 知识点一 正比例函数的图象与性质 表达式 自变量的取值范围 全体实数 图象 形状 过原点的一条直线 k的取值 k＞0 k＜0 示意图 经过的位置 第一、三象限 第二、四象限 趋势 从左到右呈上升趋势 从左到右呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大， 即当， y随x增大而减小， 即当， 特别提醒 1）正比例函数图象的位置和增减性由k决定. 2）正比例函数中，|k|越大，直线越靠近y轴；|k|越小，直线越靠近x轴， 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏苏州·周测）点，，在正比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的性质，实数的比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．点在正比例函数图象上，直接代入函数表达式计算各点纵坐标，然后比较大小． 【详解】解：∵ 点A、B、C在函数 图象上， ∴ ， ， ． ∵ ， ∴ ． 故选：A． 2．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）关于正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象必经过点 B．图象经过第一、三象限 C．随的增大而增大 D．随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数图象的性质， 根据正比例函数中，则图象经过第二、四象限，判断B；再将代入关系式判断 A；然后根据，函数值 y 随 x 的增大而减小，判断C、D即可． 【详解】解：∵正比例函数中， ∴图象经过第二、四象限，故B错误； 当时，， ∴图象经过点，故A错误； ∵， ∴ y 随 x 的增大而减小， 故C错误，D正确． 故选：D． 3．（2025·吉林长春·中考真题）已知点、在同一正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点、在同一正比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴正比例函数的图象经过二、四象限，当时，当时， ∵， ∴，， ∴选项正确，选项错误， 故选：． 知识点二 一次函数的图象与性质 表达式 自变量的取值范围 全体实数 图象 形状 过(0，b)，的一条直线 k，b的 取值 k＞0 k＜0 b＞0 b＜0 b＞0 b＜0 示意图 经过的位置 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 趋势 从左向右看图象呈上升趋势 从左向右看图象呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大， 即当， y随x增大而减小， 即当， 特别提醒 一次函数中k，b的意义 （1）k的符号决定直线的倾斜方向和函数的增减性，当k＞0时，直线从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线从左向右下降，y随x的增大而减小 （2）直线与y轴交于点（0，b），所以b就是直线与y轴交点的纵坐标，b 叫做直线在y轴上的截距. 即学即练 1．（21-22八年级下·山东临沂·期末）函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据一次函数中和的符号即可判断函数图象经过的象限，从而得到答案． 【详解】解：∵对于一次函数，，， 函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 2．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与轴的交点为 B．函数值随自变量的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的图象与性质对各选项逐一判断即可． 【详解】解：对于一次函数，时，随的增大而增大， 当时，，即图象与轴交点为， 且时，图象经过第一、三、四象限， A选项：当时，，图象与轴交点为，故A错误，不符合题意； B选项：，随的增大而增大，故B错误，不符合题意； C选项：，，，即，故C正确，符合题意； D选项：，，图象经过第一、三、四象限，故D错误，不符合题意． 故选：C． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知点，都在直线上，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵直线中， ∴ y随x的增大而减小， ∵ ∴ ． 故选：C． 题型01 根据正比例函数解析式求其性质 解题贴士 对于正比例函数，只要知道比例系数k的正负，不需画出图像就能判断其图像的大致位置以及函数的增减性.反之，若知道正比例函数的增减性，也可以推断出函数的比例系数k的正负. 典｜例｜精｜析 例1．（24-25八年级下·云南德宏·期末）已知正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条射线 B．y随x的增大而减小 C．图象必经过点 D．图象经过第二、三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的图象及性质，根据正比例函数的图象及性质逐项判断即可． 【详解】解：A、正比例函数的图象是一条直线，故本选项的结论错误； B、y随x的增大而增大，故本选项的说法错误； C、当时，， ∴图象必经过点，故本选项的说法正确； D、图象经过第一、三象限，故本选项的说法错误． 故选：C 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·江西赣州·期末）关于函数，下列结论正确的是（    ） A．函数图象过点 B．函数图象经过第二、四象限 C．随的增大而增大 D．不论为何值，总有 【答案】C 【分析】此题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质，逐项分析判断． 【详解】A．当时，，函数图象经过点，而非，故A错误； B．正比例函数中，，图象经过第一、三象限，而非第二、四象限，故B错误； C．因，随的增大而增大，故C正确； D．当时，（如时，时），故D错误． 故选：C． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象是一条射线 B．图象必经过点 C．y随x的增大而减小 D．图象经过第一、三象限 【答案】D 【分析】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质．掌握正比例函数的性质是解题关键． 根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】解：A、正比例函数的图象是一条经过原点的直线，A选项错误； B、把代入，得，B选项错误； C、因为，所以y随x的增大而增大，C选项错误； D、 因为，所以图象经过第一、三象限， D选项正确． 故选D． 题型02 根据正比例函数图象判断比例系数的大小关系 解题贴士 正比例函数图像越陡峭，越靠近y轴，|k|越大.利用钟表法，从第一象限顺时针比较，比例系数依次变小. 典｜例｜精｜析 例2．（25-26八年级上·山西运城·期末）四个正比例函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据对于正比例函数，当时，图象经过第一、三象限，k越大，图象越靠近y轴；当时，图象经过第二、四象限，越大，图象越靠近y轴，然后根据函数图象可进行求解． 【详解】解：由图象可知： 的图象都经过第一、三象限，所以，且的图象更靠近y轴，所以； 的图象都经过第二、四象限，所以，且的图象更靠近y轴，所以，所以 综上所述：； 故选D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图表示光从空气进入水中的入水前与入水后的光路图，若按如图所示的方式建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的函数表达式分别为，，则下列关于与的说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的性质，函数值大小比较；由图象知，正比例函数图象在第二、四象限，则均为负数，当时，，由此即可确定答案． 【详解】解：由图象知，均为负数， 当时，， ∴， 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图：三个正比例函数的图像分别对应的解析式是①，②，③，则、、的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的图像．熟悉正比例函数的图像和性质是解题的关键．正比例函数的图像和性质：对于，当时，函数图像经过第二、四象限，随的增大而减小；当时，函数图像经过第一、三象限，随的增大而增大；并且越大，函数图像越陡． 【详解】解：∵正比例函数①、②的图像经过一、三象限，正比例函数③的图像经过二、四象限， ∴，，， ∵越大，正比例函数图像越陡， ∴． 故选：C． 题型03 判断正比例函数图象上的点 典｜例｜精｜析 例3．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）下列各点中，在正比例函数的图像上的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的图像．熟练掌握正比例函数的图像是解题的关键． 将点横坐标代入，求函数值，然后判断作答即可． 【详解】解：当时，，不在正比例函数的图像上，故A不符合要求； 当时，，在正比例函数的图像上，故B符合要求； 当时，，不在正比例函数的图像上，故C不符合要求； 当时，，不在正比例函数的图像上，故D不符合要求； 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）若正比例函数的图象经过点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，掌握正比例函数得性质是解题的关键． 把点代入正比例函数，然后求出的值即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， 故选：． 2．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）一个正比例函数的图象经过，两点，则m的值为（   ） A．2 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 设正比例函数的解析式为，由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出值，进而可得出正比例的解析式，再结合点的纵坐标，即可求出的值． 【详解】解：设正比例函数的解析式为：， ∵图象过， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式为：， 又∵函数图象过， ∴， 解得． 故选：A． 3．（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）若正比例函数的图象经过，则这个图象必经过（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义以及正比例函数上点的特点，设正比例函数为：，把代入求出正比例函数，然后根据选项一一验证即可． 【详解】解：设正比例函数为：， ∵正比例函数的图象经过 ∴， 解得：． ∴． ．把代入可得出，左边等于右边，则这个图象必经过点，故该选项符合题意； ．把代入可得出，左边不等于右边，则这个图象不经过点，故该选项不符合题意； ．把代入可得出，左边不等于右边，则这个图象不经过点，故该选项不符合题意； ．把代入可得出，左边不等于右边，则这个图象不经过点，故该选项不符合题意； 故选：A． 题型04 一次函数图象的综合判断 典｜例｜精｜析 例4．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数（为常数，）的图象不可能是（　） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数与正比例函数的图象与性质；根据一次函数的图象判断的正负，再判断正比例函数的图象是否正确即可． 【详解】解：根据一次函数的图象分析可得： A、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数为常数，的图象可知，一致，故此选项不符合题意； B、由一次函数图象可知，，，由正比例函数为常数，的图象可知，一致，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可知，，，由正比例函数为常数，的图象可知，矛盾，故此选项符合题意； D、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数为常数，的图象可知，一致，故此选项不符合题意； 故选：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·山西运城·期中）在下列图中，表示一次函数与正比例函数（其中为常数，且）的大致图象，其中不正确的是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质．根据一次函数的图象与系数的关系，由函数图象分析可得a、b的符号，进而可得的符号，结合的图象判断是否矛盾，即可得出答案． 【详解】解：A．由一次函数的图象可得，则，由正比例函数的图象得，不矛盾，故图象正确，不合题意； B．由一次函数的图象可得，则，由正比例函数的图象得，不矛盾，故图象正确，不合题意； C．由一次函数的图象可得，则，由正比例函数的图象得，不矛盾，故图象正确，不合题意； D．由一次函数的图象可得，则，由正比例函数的图象得，矛盾，故图象不正确，符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级上·陕西西安·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，函数与的图像大致是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质． 利用一次函数的图像和性质，分两种情况分析，再对每个选项进行判断，即可得到答案． 【详解】解：当时， 函数的图象经过第一、三象限，且经过原点， 函数的图象经过第一、三、四； 当时， 函数的图象经过第二、四象限，且经过原点， 函数的图象经过第一、二、三象限； A选项符合题意， 故选：A． 题型05正比例函数图象与象限问题 典｜例｜精｜析 例5．（24-25九年级上·广西玉林·期末）已知正比例函数，则它经过的象限是（   ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴正比例函数的图象经过第二、四象限， 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知函数是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数的概念和k的意义．根据正比例函数的概念以及比例系数k的意义，即可求解． 【详解】解：∵是正比例函数，且图象在第二、四象限内， ∴且， ∴． 故答案为：． 2．（23-24八年级下·江苏南通·阶段检测）已知正比例函数的图象经过第一、三象限，则m的值为_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查正比例函数的定义和性质，由正比例函数的性质求得的值是解题的关键，注意利用图象的位置进行取舍．由正比例函数的定义可求得的值，再由图象的位置进行取舍，可求得的值． 【详解】解：函数是正比例函数， ， 解得， 图象经过第一、三象限， ， ， ． 故答案为：2． 题型06 正比例函数图象与增减性问题 典｜例｜精｜析 例6．（24-25九年级上·福建厦门·阶段检测）已知点，都在正比例函数的图象上， 则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据正比例函数的随的增大而增大，即可解决问题． 【详解】解：∵正比例函数的比例系数是， ∴随的增大而增大， ∵点，都在正比例函数的图象上，， ∴， 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据题意可知，即可得出随的增大而增大． 【详解】解：，， 随的增大而增大， ， ∴经过一，三象限 ∴B符合条件，C，D不符合条件 ∵直线， ∴直线经过原点 点在x轴上，直线经过原点，但不经过故该选项A不符合， 故选：． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知点，是函数图象上的两个点，若，则___________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．根据正比例函数中，可知随的增大而减小，因为，所以，从而可得． 【详解】解：一次函数中， 随的增大而减小， ， ， ． 故答案为： ． 3．（24-25八年级上·安徽宣城·期末）已知正比例函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的性质，根据正比例函数，当时，y的值随x的值的增大而增大；当时，y的值随x的值的增大而减小解答即可． 【详解】解：∵正比例函数，y的值随x的值的增大而增大， ∴， 解得：． 故答案为：． 4（24-25八年级下·云南红河·期中）已知点，均在正比例函数的图象上，则a________b．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义． 根据正比例函数的定义，常数项为零，求出m的值，得到函数表达式，再根据一次函数的性质比较a和b的大小． 【详解】解：因为函数是正比例函数， 所以， 解得， 则函数为． 因为， 所以y随x的增大而减小， 又因为，所以． 故答案为：． 5．（21-22八年级上·上海·期末）已知关于的正比例函数．若值随值的增大而增大，则的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，掌握正比例函数中，当时随的增大而增大是解题的关键． 根据正比例函数的性质，当比例系数大于时，随的增大而增大． 【详解】解：∵正比例函数中，随的增大而增大， ∴，解得． 故答案为：． 题型07 画一次函数图象 典｜例｜精｜析 例7．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）已知，且是关于的正比例函数． (1)求与的函数关系式，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出该正比例函数的图像； (2)若，求函数的最小值． 【答案】(1)，图像见解析 (2) 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义与正比例函数的性质应用，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． （1）先根据正比例函数表达式的定义，列出关于的方程，且，确定函数表达式为，然后画出图像； （2）依据正比例函数的增减性“系数为负时，随的增大而减小”，在的条件下，找到的最大值为，代入函数求出的最小值为． 【详解】（1）解：，且是关于的正比例函数， ，， ， ， 函数的图像如下图： ． （2）中，随的增大而减小，且， 当时，函数有最小值，最小值为． 答：函数的最小值． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）已知一次函数的图像经过点． (1)求k的值； (2)在所给平面直角坐标系中，画出该函数的图像； (3)若，则的取值范围是______（直接写结果）． 【答案】(1)； (2)见详解； (3) 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，正确的求出函数解析式，画出函数图象，是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）描点，连线画出函数图象即可； （3）求出时的x的值，利用图象法确定取值范围即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点， ∴，解得：； （2）解：由（1）得，取 画图象如下： （3）由（1）知：， ∴当时，，解得：； 当时，，解得：， ∴当时， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·江西南昌·阶段检测）已知三个函数的解析式分别为，，． (1)如图，请在同一平面直角坐标系中画出三个函数的大致图象，并标记好函数； (2)仔细观察画出的函数图象，写出3条函数的图象特征． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了画正比例函数图象，正比例函数的性质； （1）根据题意画出三个正比例函数的图象，即可求解； （2）根据正比例函数的性质结合图象写出3条函数的图像特征即可求解． 【详解】（1）解：列表如下， … … … … … … … … 三个函数的大致图象，如图所示， （2）性质1，三个函数的函数值都随着的增大而增大； 性质2，三个函数的图象都经过； 性质3，三个函数的图象都经过一、三象限， 3．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知函数与． (1)画这两个函数的图象； (2)求这两个函数的图象交点的坐标； (3)当时，x的范围为________．（直接写结果） 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组、画一次函数图象以及利用函数图象确定不等式解集，解题的关键是掌握函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，方程组的解是两函数图象的交点坐标． （1）根据画函数图象的方法即可； （2）解二元一次方程组即可； （3）比较两个函数图象的位置，根据图象在上方时函数值比较大确定自变量的范围．； 【详解】（1）解：列表： 0 2 1 4 3 描点；连线；如图， （2）解：， 解得：， ∴两个函数的图象交点的坐标为； （3）解：∵一次函数与相交于交点， 观察图像可知，当时，， 故答案为：． 题型08 根据一次函数解析式求其性质 典｜例｜精｜析 例8．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列关于一次函数的说法中，正确的是（    ） A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴交于负半轴 C．图象与y轴的交点坐标是 D．y的值随x值的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象性质，根据一次函数的图象即可根据图象直接判断各选项． 【详解】解：A：对于， ∵， ∴y随x的增大而增大， 又∵， ∴其图象与y轴交于负半轴， 综上，该一次函数图象过图象经过第一、三、四象限，故A错误； B：令，则，解得， ∴一次函数图象与x轴交于正半轴，故B错误； C：令，则，则一次函数图象与y轴交于，故C错误； D：∵， ∴y的值随x值的增大而增大，故D正确； 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知一次函数，那么下列结论正确的是（    ） A．图像经过第一、二、四象限 B．随的增大而增大 C．当时， D．点在函数图像上 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握这些知识是解题的关键；根据一次函数的图象与性质可判断四个选项． 【详解】解：∵一次函数中，, ∴图像经过第一、二、四象限，随的增大而减小； 故选项A正确，选项B错误； 当时，，故选项D错误； 当时，，则当时，，故选项C错误； 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）对于一次函数，下列叙述正确的是（    ） A．当时，函数图象经过第一、二、三象限 B．当时，随x的增大而减小 C．函数图象一定经过点 D．当时，函数图象一定交于y轴的正半轴 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的性质，逐一分析即可得出答案，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：A、当时，， ， 当时，，图象经过一、三象限， 当时，，图象经过一、二、三象限， 当时，，图象经过一、三、四象限，故A不符合题意； B、当时，，函数随的增大而增大，故B不符合题意； C、将代入函数，得，即函数图象经过点，故C不符合题意； D、当时，，即图象与轴交于正半轴，故D符合题意； 故选：D． 题型09 一次函数图象与象限问题 解题贴士 典｜例｜精｜析 例9．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）若函数的图像经过第二、三、四象限，则函数的图像不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数的图像性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 由函数 的图像经过第二、三、四象限，可得 且 ，再分析函数 的图像所经过的象限即可． 【详解】解：∵函数 的图像经过第二、三、四象限， ∴ 且 ， ∴函数 中，，， 图像经过第二、三、四象限， 函数 的图像不经过第一象限． 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知一次函数，若随的增大而减小，则它的图象不经过第______象限． 【答案】一 【分析】本题考查了一次函数，解题关键是掌握一次函数的图象和性质：①当，y随x的增大而增大，若，则图象经过一、二、三、象限；若，则图象经过一、三、四象限②当时，y随x的增大而减小，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限．根据一次函数解析式和增减性判断即可． 【详解】解：一次函数，若随的增大而减小， ， 一次函数图象经过第二、四象限， ， 一次函数图象经过第三象限， 图象不经过第一象限， 故答案为：一． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·周测）一次函数的图象不经过第二象限，则m的范围是___________． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的性质：时图象经过第一，二，三象限；时图象经过第一，三，四象限；时图象经过第一，二，四象限；时经过第二，三，四象限．根据一次函数经过的象限得到，求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查根据一次函数经过的象限求参数的范围，求不等式组的解集，根据一次函数的图象过第一、三、四象限，得到，求不等式组的解集即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，解得； 故答案为：． 题型10 一次函数图象与增减性问题 典｜例｜精｜析 例10．（25-26八年级上·安徽六安·期中）直线经过和，若则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，理解一次函数的性质是解题的关键．由一次函数斜率，可知y随x的增大而减小，结合，即可得． 【详解】解：， ∴y随x的增大而减小，   又， ．   故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·河南濮阳·期末）下列3个函数：①；②；③，随着的增大，的变化情况相同的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与正比例函数的性质，对于一次函数（k为常数，）和正比例函数，当时，y 随x 的增大而增大，当时，y 随x 的增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：在中，随着的增大，增大， 在中，随着的增大，减小， 在中，随着的增大，增大， ∴随着的增大，的变化情况相同的是①③， 故选：B． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）若点和都在一次函数（k为常数）的图象上，且当时，，则的值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查一次函数的性质；由题意，当时，，函数y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：∵点和都在一次函数（k为常数）的图象上，且当时，， ∴函数y随x的增大而增大， ∴ ， ∴， ∵选项中，仅， ∴ k 的值可能是 3． 故选：D． 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）若一次函数的函数值随x的增大而增大，且函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是要熟练掌握一次函数图象与系数关系． 先根据函数y随x的增大而增大可确定，再由函数的图象不经过第二象限，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上或原点，即，进而可求出k的取值范围． 【详解】∵一次函数的函数值y随x的增大而增大， 且此函数的图象不经过第二象限， ，且， 解得． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）直线，函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限，则m的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了已知函数经过的象限求参数范围，根据一次函数增减性求参数，因为函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限，故，解出m的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵直线，函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限， ∴ 解得， 故答案为： 5．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）已知一次函数的图象上两点，，当时，有，那么的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．根据当时，有，可得，即可求解． 【详解】解：当时，有， 随的增大而减小， ， 解得：， 故答案为：． 题型11 与一次函数有关的最值问题 解题贴士 求一次函数的最值时，首先求出一次函数表达式及其自变量的取值范围，根据一次函数在自变量的取值范围内取最大值和最小值. 典｜例｜精｜析 例11．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）已知一次函数，当时，的最大值是__________． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数求最值． 由于，函数值随的增大而减小，当时，时，取得最大值．据此进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴函数值随的增大而减小， ∴当时，在时，取得最大值． 代入 得 ， 即当时，的最大值是． 故答案为： 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·河北保定·期中）已知关于x的一次函数．当时，函数有最大值7，则a的值为_______． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的单调性，分类讨论a的正负情况：当时，函数为增函数，最大值在区间右端点处取得；当时，函数为减函数，最大值在区间左端点处取得．分别代入求解a的值． 【详解】解：当时，函数为增函数，最大值在处， 代入得， 即， 解得； 当时，函数为减函数，最大值在处， 代入得， 即， 解得． 故答案为：1或． 2．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）已知一次函数，当时，函数有最小值，则k的值为_______ 【答案】5或 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．根据函数的增减性，再由x的取值范围得出时，或时，，分别代入函数解析式得出k的值即可． 【详解】解：当时，函数y随x的增大而增大， ∴当时，， ∴， 解得：； 当时，函数y随x的增大而减小， ∴当时，， ∴， 解得：； ∴k的值为5或． 故答案为：5或． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）一次函数，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为____________． 【答案】 或 【分析】本题考查一次函数的增减性和最值问题．根据一次函数的性质，当时，函数值随增大而增大；当时，函数值随增大而减小；当时，分两种情况讨论最大值与最小值的差，列方程求解即可． 【详解】当时，函数值随增大而增大， 当时， 最大值为， 最小值为， 差值为， 由题意，解得， 当时，函数值随增大而减小， 当时， 最大值为， 最小值为， 差值为， 由题意，解得， 综上可得的值为或． 故答案为：或． 题型12 与一次函数有关的开放性问题 典｜例｜精｜析 例12．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知函数，试写出一个一次函数使其图像与的图像没有公共点_______．（写出一个就行） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的性质，两个一次函数图像没有公共点的条件是它们平行，即斜率相同但截距不同，由此即可得出结果，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵函数的斜率为 2， ∴任何形如的一次函数都与它平行，从而没有公共点，例如， 故答案为：（答案不唯一）． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式（写出一个即可）_______________ ． （1）y随着x的增大而减小（2）图像经过点． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查待定系数法求函数表达式，解题的关键是对一次函数性质的熟练掌握． 根据一次函数的解析式的性质，确定k的取值范围，代入点即可写出一个符合条件的表达式． 【详解】解：设一次函数表达式为， 由条件（1）知， 由条件（2）知当时，即， 取，则，解得， 故函数为． 故答案为：．（答案不唯一） 2．（21-22八年级上·江苏无锡·阶段检测）（1）写出一个一次函数的表达式，使得它经过点（1，3）：______ （2）写出一个一次函数的表达式，使得y随x的增大而减小，且经过第一象限：_______________． 【答案】 y=2x+1（答案不唯一） y=−x+3（答案不唯一） 【分析】（1）根据要求写即可，只要写出的函数解析式过点(1，3)均可； （2）由题意及一次函数的性质，k<0，且b>0，满足这两个条件的一次函数解析式均可． 【详解】（1）y=2x+1 当x=1时，y=2+1=3 即所写的函数解析式满足条件 故答案为：y=2x+1（答案不唯一） （2）y=−x+3 故答案为：y=−x+3（答案不唯一） 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是关键，注意这里的答案都不唯一． 题型13 一次函数图象与平移问题 解题贴士 典｜例｜精｜析 例13．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）将直线向下平移6个单位长度，所得到的图象相应的函数表达式为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，解题的关键是掌握图象平移的规律． 根据一次函数图象的平移规律“上加下减”，向下平移时，函数表达式中的常数项减少平移的单位数． 【详解】解：将直线向下平移6个单位长度，得到的新函数表达式为， 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，直线沿y轴向上平移了2个单位长度后，该直线与坐标轴围成的三角形的面积增加了________． 【答案】4 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积的计算，理解平移规律，正确计算是解题的关键．计算原直线与坐标轴围成的三角形面积和平移后直线与坐标轴围成的三角形面积，再求面积之差． 【详解】解：原直线与轴交于点，与轴交于点， 该直线与坐标轴围成的三角形的面积为； 平移后直线与轴交于点，与轴交于点， 该直线与坐标轴围成的三角形的面积为． 故面积增加． 故答案为：4． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移个单位长度后恰好经过点，n的值为________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，待定系数法求函数解析式，先写出平移后一次函数的解析式，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移个单位长度后的函数解析式为 ， 将点代入得，即， 解得， 故答案为：4． 4．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)将一次函数的图象向左平移___________个单位长度恰好经过坐标原点． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，平移性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法求一次函数的解析式，即可作答． （2）先理解题意，设将一次函数的图象向左平移个单位长度恰好经过坐标原点，故，再把代入，解得，即可作答． 【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式为， 依题意，把点代入， 得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， 设将一次函数的图象向左平移个单位长度恰好经过坐标原点， ∴ 依题意，把代入， 得 解得， ∴一次函数的图象向左平移个单位长度恰好经过坐标原点． 题型14 一次函数图象与对称问题 解题贴士 典｜例｜精｜析 例14．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）将一次函数的图象以y轴为对称轴翻折，翻折后的图象函数表达式是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，坐标与图形变化—轴对称，设点为翻折后的函数图象上一点，则点是一次函数的图象上一点，再把代入中求出n关于m的函数关系式即可得到答案． 【详解】解：设点为翻折后的函数图象上一点，则点是一次函数的图象上一点， ∴， ∴翻折后的图象函数表达式是， 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·浙江台州·期末）若一次函数与一次函数的图象关于轴对称，则_____ 【答案】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点坐标，轴对称性质，待定系数法求函数解析式；由直线，知与x轴交于，与y轴交于，根据轴对称性质，直线经过点，，待定系数法求的值，即可求解． 【详解】解：直线，时，；时，； ∴直线与x轴交于，与y轴交于． ∴直线经过点，． ∴，解得， ∴． 故答案为：． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）已知直线． （1）该直线关于y轴对称的直线的函数解析式为______； （2）该直线关于x轴对称的直线的函数解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的对称变换，熟悉一次函数关于轴和轴的对称变换规律，是解题的关键．利用点关于坐标轴对称的性质求解对称直线表达式即可． 【详解】解：（1）关于轴对称时，点的对称点为， 代入原方程得，即． （2）直线关于轴对称时，其上任意一点的对称点为， 代入原方程得，即， 题型15 一次函数图象与旋转问题 典｜例｜精｜析 例15．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）一次函数的图象与轴的交点为，将该函数图象绕点逆时针旋转，得到一个新的函数图象，新的函数图象的函数表达式为________． 【答案】 【分析】先确定点A和点B的坐标，设一次函数图象绕点逆时针旋转后的直线为，过点作，垂足为点，过点作轴，轴，根据旋转可得，则，证明，则，即可得出，求出，再根据待定系数法求出新的函数图象的函数表达式． 【详解】解：对于函数，令，得，所以． 令，得，所以． 设一次函数图象绕点逆时针旋转后的直线为，过点作，垂足为点，过点作轴，轴， 根据旋转可得， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， 设新的函数图象的函数表达式为，代入，， 则， 解得：， ∴新的函数图象的函数表达式为． 故答案为：． 【点睛】该题考查了一次函数的解析式求解，一次函数与坐标轴交点，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与x轴，y轴分别交于点D，点C，两直线相交于点B．将直线绕点A逆时针旋转得到直线，则直线的表达式为________． 【答案】 【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，连接，绕点A逆时针旋转得到，绕点A逆时针旋转得到，连接，所在直线即为，过点作轴，判定出，从而得出，，进而得出的坐标，利用待定系数法求解函数解析式即可 【详解】解：直线与y轴交于点A， 令，，则， 直线与x轴，y轴分别交于点D，点C， 令，，令，， 则，， ， 直线绕点A逆时针旋转得到直线， 如图，连接，绕点A逆时针旋转得到，绕点A逆时针旋转得到，连接，所在直线即为，过点作轴， 则，轴， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ，轴， 设直线的解析式为， ，解得：， 则直线的表达式为， 故答案为： 【点睛】本题考查了根据旋转的性质求解，一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求解一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，准确作出辅助线，构造全等三角形为解题关键 2（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线绕点A顺时针旋转45度得到的新的直线的解析式为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的旋转，利用旋转的性质求出点的坐标是解题的关键； 首先分别令，，求出点A与点B的坐标，进而得到；然后利用旋转不变性，旋转前后的对应线段相等即可求得点的横坐标与纵坐标，进而得到线段中点的坐标，运用待定系数法求出直线的解析式． 【详解】解：把绕点A顺时针旋转得到，连接，设线段交绕点A顺时针旋转45度得到的直线于E， 则，， ∴， ∴， ∵， ∴E为线段的中点， ∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴令，则， 解得， 故. 令，则， 故点， ∴. ∵由旋转知，， ∴， ∵， ∴， ∴轴， ∴点 ∵，点E是点的中点， ∴， 设直线的解析式为， 把代入中， 得， 解得， ∴直线的解析式为． 故答案为：． 题型16 类比法探索新函数的图象与性质 典｜例｜精｜析 例16．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）小明在学习了一次函数的图象和性质之后，进一步研究的图象特征和性质． 列表： (1)完成表格并在平面直角坐标系中画出该函数图象； (2)观察（1）中所画函数图象，写出该函数的性质．（至少写两条） (3)①若，是函数的图象上两点，求、的值． ②若，是函数的图象上两点，且，直接写出b的范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①，；②或 【分析】本题考查了画一次函数图象，一次函数的性质，求一次函数的函数值； （1）根据解析式，完成表格，进而根据描点连线的方法画出函数图象，即可求解； （2）根据函数图象结合一次函数的性质，写出该函数的性质，即可求解； （3）①分别将或，分别代入解析式，即可求解； ②将代入解析式，求得的值，进而可得，观察函数图象，即可求解． 【详解】（1）解： 列表： 描点连线： （2）根据图象， ①当时，函数值取得最小值 ②当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； （3）①当时，， 当时， ②∵，是函数的图象上两点，且， ∴， 根据函数图象可得当时，或 ∴或 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）通过列表、描点、连线的方法可以画出函数图象，并利用函数图象研究函数的性质．对函数的图象与性质进行了探究． (1)当时， ①化简函数的表达式： 当时，__________， 当时，__________： ②在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； ③函数的图象可由的图象向_____平移__________个单位得到； (2)结合图象，关于函数的图象与性质，下列说法正确的有__________． A．图象经过第一、二象限 B．时，值随值的增大而增大 C．图象关于直线对称 D．若，当时， (3)对于任意的都满足关于的不等式，请直接写出实数的取值范围． 【答案】(1)①，；②图见解析；③右，0.5 (2)A、C、D (3) 【分析】本题考查的是两条直线相交问题，考查了用待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）①根据绝对值的代数意义去掉绝对值即可； ②根据一次函数的图象特征和自变量x的取值范围不同，确定三个点即可画出该函数图象； ③画出函数的图象，结合图象得出平移方式即可； （2）根据函数的图象进行性质判断即可； （3）根据题意画出图象，结合图象求出的图象过点时，a的值最大；过点时，a的值最小，即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，； ②当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 图象过点， 在平面直角坐标系中，画出此函数的图象： ③函数，当时，； 当时，； 当时，； 图象过点， 在平面直角坐标系中，画出此函数的图象： 由图可知，函数的图象可由的图象向右平移0.5个单位得到； （2）解：结合图象，函数的图象经过第一、二象限； 当时，， 解得：， ∴时，值随值的增大而增大；图象关于直线对称； 函数当时，有最小值为0， 若，当时，， 当时，， ∴若，当时，； 故说法正确的有：A、C、D； （3）解：当时，函数； 当时，函数， 把，代入， 解得：或； 把，代入， 解得：或； 结合上图，当的图象根据a的不同，在坐标系中左右平移时，对于任意的都满足关于x的不等式， 则的图象的两个临界情况分别是右侧分支经过点和左侧分支经过点， 即的图象过点时，a的值最大；过点时，a的值最小， 当时，对于任意的都满足关于x的不等式， ∴a的取值范围为． 2．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题： 【初步感知】 ________ ________ （1）补全表格中横线部分的数据，并在图所给的坐标系中画出函数的图像； 【探究性质】 （2）观察函数的图像，判断下列关于该函数性质的命题： 当时，的值随的值增大而减小；当时，；该函数存在最小值，最小值为；该函数图像是轴对称图形． 其中正确的是___________．（请写出所有正确命题的序号） （3）当时，求的取值范围； 【类比应用】 （4）在平面内构造，其中点，，，当函数的图像与的边有个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（）填表，画函数图像见解析；（）；（）的取值范围为；（）的取值范围为或． 【分析】本题考查了求一次函数的函数值和自变量的值，画一次函数图像，一次函数的性质，一次函数与几何图形综合等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （）当时，，当时，，然后填表，再根据画函数图像步骤画出图像即可； （）根据函数图像即可求解； （）当时，有最小值：，当时，有最大值，从而求出的取值范围； （）先求出解析式为，解析式为，解析式为，解析式为，然后找出临界点即可求出的取值范围． 【详解】解：（）当时，，当时，， ∴如表， 描点，连线，如图， （）根据图像可得当时，的值随的值增大而减小，原说法正确； 当时，，解得或，原说法错误； 该函数存在最大值，最大值为，原说法错误； 该函数图像是轴对称图形，原说法正确； 故选：； （）∵， ∴当时，有最小值：，当时，有最大值， ∴当时，的取值范围为； （）设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 同理解析式为， 如图，当在上时，此时函数的图像与的边有个公共点，则， 如图，当在上时，此时函数的图像与的边有个公共点，则， 由函数时，，即解析式为， 时，，即解析式为， 如图，当经过点时，即图像经过点，此时函数的图像与的边有个公共点， ∴，解得：； 如图，当经过点时，即图像经过点，此时函数的图像与的边有个公共点， ∴，解得：， ∴综上可得：的取值范围为或． 题型17 一次函数图象与坐标轴交点问题 典｜例｜精｜析 例17．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，一次函数的图象与x轴相交于点，与y轴相交于点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上的点满足函数解析式是解题的关键． 先将点A的坐标代入一次函数解析式求出参数，再求函数与轴交点的坐标． 【详解】解：点在上， ， ， ， 一次函数解析式为， 点在轴上令，则， ， 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，直线与x，y轴分别交于点A，B，以为底边在y轴右侧作等腰，将点C向左平移6个单位，使其对应点恰好落在直线上，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及平移，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，根据等腰三角形的性质可得出点C的纵坐标，代入可求出点的坐标，进而可求出点C的坐标． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为， ， 是以为底边的等腰三角形， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为. 当时，， 解得， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为，即， 故选： A． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）一次函数与坐标轴围成的三角形面积是________． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，结合一次函数的图象可以求出图象与x轴的交点以及y轴的交点，可求得图象与坐标轴所围成的三角形面积，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：∵在中， 令，则， ， 令，则， ∴次函数的图象可以求出图象与x轴的交点，与y轴的交点， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与矩形的边、分别交于点E、F，已知，，则的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据直线的解析式求出点E、F的坐标是解题的关键；根据直线的解析式求出点E、F的坐标，即可求出，，进而求出三角形的面积． 【详解】解：当时，， 解得， ∴点E的坐标是， ， ， ，点F的横坐标是4， ， ， 的面积， 故选：． 题型18 一次函数与几何综合 典｜例｜精｜析 例18．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，直线轴于点，直线轴于点，直线轴于点，…直线轴于点．函数的图象与直线，，…分别交于点，，，…；函数的图象与直线，，…分别交于点，，…，如果的面积记作，四边形的面积记作，四边形的面积记作…四边形的面积记作，那么的值为（   ） A．4050 B．4051 C．4052 D．4053 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的综合，读懂题意，根据直线解析式求出，的值是解题的关键，同时也要注意下标对应的关系． 根据直线解析式求出，的值，再根据直线与直线互相平行并判断出四边形是梯形，然后根据梯形的面积公式求出的表达式，然后把代入表达式进行计算即可得出解． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， ， ∵直线轴于点，直线轴于点， ∴，且与间的距离为1， ∴四边形是梯形， ， 当时，． 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知、，一次函数的图像为直线，点关于直线的对称点恰好落在的平分线上，则的值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图像与性质、点关于直线的对称点的性质、角平分线的性质、勾股定理等知识点．熟悉一次函数的图像与性质，点关于直线的对称点求解：利用“中点在对称轴上”和“连线与对称轴垂直”两个核心性质推导对称点坐标，角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，根据三角形面积和求边长，是解题的关键． 过点作于，设一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，连接和，首先证明，继而根据三角形面积相等得到，根据点关于直线的对称点为，得到，，再次根据三角形面积相等得到，继而得到的值． 【详解】解：过点作于，设一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，连接和，如图， ∵点在的角平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵一次函数， ∴，， ∵点关于直线的对称点为， ∴，，，， ∴，， 即，， ∴在中，， ∴， ∴， 故选：． 2．（21-22八年级上·江苏常州·期末）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，在y轴上有一点，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，设运动的时间为，连接．当运动到与全等时，t的值为（　　） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，理解全等三角形的判定定理是关键．由直线的函数解析式，令求点坐标，求点坐标；根据题意可知，，则，所以，则时间内移动了，可算出值． 【详解】解：对于直线， 当时，；当时，， ，， ， ∵当运动到与全等时 ∴，分为两种情况： ①当在上时，， ， 动点从点以每秒1个单位的速度沿轴向左移动2个单位，所需要的时间是2秒钟； ②当在的延长线上时，， 则，此时所需要的时间（秒）， 故选：D． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，是y轴上一点，点B在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，当点C落在x轴负半轴上时，点C的坐标为 __ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及坐标与图形变化-旋转，过点B作y轴的垂线，垂足为M，根据旋转的性质得出，据此可借助于点B的坐标表示出点C的坐标，最后求出的长即可解决问题． 【详解】解：过点B作y轴的垂线，垂足为M， 由旋转可知，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵点B在直线上， 则令点B的坐标为， 又∵点A坐标为， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知平面直角坐标系中有三点，若过点的直线将分成面积之比为两部分，则k的值______． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，求直线围成的图形面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 直线恒过点，与x轴交于点D，将分成两个小三角形，点D一定在线段上，分、两种情况求解，分别求出k的值． 【详解】解：设过点C的直线与x轴交于点D， ∵，， ∴， 当点为原点时，如图， ∵，， ∴，， ∴，符合要求， 此时直线过原点， ∴， 解得：； 当点在时，如图， 此时，， ∴，符合要求， 此时直线过和， ∴， ∴， 综上，k的值是或． 故答案为：． 基础通关 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）下列各点中，在正比例函数的图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断点是否在正比例函数图像上，可将点的横坐标代入函数解析式，计算对应的纵坐标，若与点的纵坐标相等，则该点在函数图像上，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、 ∵当时，，∴此点不在的图像上． B、∵当时，，∴此点不在的图像上． C、∵当时，，∴此点在的图像上． D、∵当时，，∴此点不在的图像上． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知油箱中有油25升，每小时耗油5升，则下列关于油箱中剩余油量（升）与时间（时）之间的函数图象正确的是选项中的（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意列出P与t之间的函数关系式，再结合实际求出t的取值范围，即可得解．本题主要考查了列一次函数关系式，以及一次函数的图像，解答实际问题时要注意自变量的取值范围，这是解题的关键． 【详解】解： ∵油箱中有油25升，每小时耗油5升， ∴剩余油量P（升）与耗油时间t（小时）之间的函数关系式为． 当时，； 当时，． ∴t的范围为． 故选：B． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知一次函数，当时，的最大值是（    ） A．2 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质．先由得到当时有最大值，再将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴当时，一次函数在有最大值， 即， 故选：C． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）若点，，在一次函数图像上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的增减性，当一次函数中时，随的增大而减小，通过比较三点横坐标的大小，结合增减性即可判断纵坐标的大小关系． 【详解】解：∵一次函数中， ∴随的增大而减小， ∵点、、的横坐标满足， ∴． 故选：D． 5．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．随的增大而增大 B．经过一、二、三象限 C．与轴的交点坐标为 D．可由向下平移6个单位得到 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质、图象平移规律及与坐标轴交点的求解，关键是熟练掌握一次函数的相关性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；、的符号共同决定图象经过的象限；与轴交点可通过令求解得到；图象平移遵循“上加下减”的规律． 【详解】解：对于选项A：在一次函数中，，根据一次函数性质，当时，随的增大而减小，故A选项错误； 对于选项B：∵，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故B选项错误； 对于选项C：令，则，解得， ∴该函数图象与轴的交点坐标为，故C选项正确； 对于选项D：向下平移6个单位得到的函数解析式为，而是由向上平移6个单位得到的，故D选项错误； 故选：C． 6．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）将直线y=2x沿y轴向上平移1个单位长度后得到的直线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的平移问题，依据一次函数图象沿y轴平移“上加下减”的原则求解即可． 【详解】解：将直线沿y轴向上平移1个单位长度后，所得直线解析式为， 故选：B 7．（2026八年级上·江苏·专题练习）把直线向上平移得到直线，直线经过点，且，则直线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键，设向上平移 d 个单位，则直线的解析式为，利用点在直线上和条件求解即可． 【详解】解：设向上平移d个单位得到， ∴ 直线的解析式为， ∵ 经过点， ∴，即， 又 ∵ ， ∴， ∴ 直线的解析式为， 故选： D． 8．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）在同一直角坐标系中，直线与直线可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的性质及一次函数的性质，根据正比例函数图象的位置确定a的取值范围，再根据图象与系数的关系确定一次函数的位置即可得出答案． 【详解】解：A项：由正比例函数图象得，则直线经过第一、二、四象限，所以该选项不符合题意； B项：由正比例函数图象得，则直线经过第二、三、四象限，所以该选项符合题意； C项：由正比例函数图象得，则直线经过第一、二、四象限，所以该选项不符合题意； D项：由正比例函数图象得，则直线经过第二、三、四象限，所以该选项不符合题意， 故选：B． 9．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）若点在第四象限，则正比例函数的图象经过（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的性质，各象限点的坐标特征；根据题意得出，进而根据正比例函数的性质，即可求解． 【详解】解：由点在第四象限可知，，， 则， 根据正比例函数图象的性质得，的图象经过第一、三象限． 故选：A． 10．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（  ） ①函数图象经过点；②图象不经过第二象限；③当时，随的增大而增大． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，在应用一次函数的性质的时候，常常与函数的图象相结合，借助函数的图象叙述函数的性质可以更直接、更具体．根据一次函数的增减性可得不满足③；根据一次函数图象与其系数的关系可得不满足①，不满足②，满足①②③． 【详解】解：A、在中，一次项系数小于0，则随的增大而减小，不符合③，不符合题意； B、在中，当时，，则该函数图象经过点，不符合①，不符合题意； C、在中，一次项系数大于0，常数项大于0，则该函数图象经过第一、二、三象限，不符合②，不符合题意； D、在中，一次项系数大于0，常数项小于0，则该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，且随的增大而增大，当时，，则该函数图象经过点，故该函数满足①②③，符合题意； 故选：D． 11．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）一次函数过点，若，则b的取值范围是___． 【答案】 【分析】求出时的函数值，根据增减性，求出的范围即可. 【详解】解：∵，， ∴函数值随着的增大而减小，当时，， ∵点在一次函数的图象上，且， ∴. 12．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）一次函数与x轴的交点坐标是___________． 【答案】 【分析】根据x轴上的点的纵坐标为0，可令，求出的值即可． 【详解】解：令，则， 解得， 所以一次函数与x轴的交点坐标是． 13．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）直线不经过第四象限，则k的取值范围为_____． 【答案】 【分析】本题考查了函数的图象，分和两种情况解答即可求解，掌握一次函数的图象是解题的关键． 【详解】解：当，即时，此时为直线， 此时直线经过一、二象限，与轴平行； 当，该函数为一次函数， ∵直线不经过第四象限， ∴直线经过一、二、三象限， ∴， ∴； 综上，的取值范围为， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，把一次函数的图象向上平移后得到直线，若直线经过点，则直线对应的函数表达式是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移性质以及利用待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握一次函数图象平移时斜率不变是解题的关键． 一次函数图象上下平移时，斜率保持不变，因此可设平移后的直线表达式为；再将已知点代入该表达式，求出的值，即可得到直线的函数表达式． 【详解】解：∵一次函数的图象向上平移得到直线， ∴设直线的函数表达式为， ∵直线经过点， ∴将，代入，得， ∴解得， ∴直线对应的函数表达式为， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图是四个正比例函数的图象，则，，，的大小关系是_____________； 【答案】/ 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握正比例函数的图象与性质． 先由正比例函数的图象与性质得到，，然后通过取点作垂线求解即可． 【详解】解：∵直线经过第一、三象限， ∴； ∵直线经过第二、四象限， ∴， 在直线上任取一点，过点作轴，交直线，轴于点， 设，则， ∵，且， ∴； 在直线上任取一点，过点作轴，交直线，轴于点， 设，则， ∵，且， ∴； ∴， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）现有条件：（1）函数随自变量的增大而减小；（2）图象经过点．请写出一个符合上述条件的一次函数的表达式：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一次函数的性质，当斜率时，函数值随自变量的增大而减小，再根据函数图象经过点，可求出函数表达式． 【详解】解：设一次函数为， 随的增大而减小， ，取，则， 将点代入得，， 解得， 函数表达式为，． 故答案为：（答案不唯一）． 17．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）（1）下列函数：①；②；③；④．其中，随的增大而减小的函数是______．（填序号）， （2）已知，是一次函数图像上的两点，若，则______．（填“”“”或“”） 【答案】 ②④ 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键． （1）根据一次函数的性质，当斜率时，y随x的增大而减小，分别判断各函数的斜率符号即可； （2）由于函数斜率为负，函数递减，故时，． 【详解】（1）对于一次函数，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． ①，；②，；③，；④．． 故y随x的增大而减小的函数是②④． 故答案为：②④ （2）函数的斜率，因此函数为减函数，即y随x的增大而减小． 已知，故． 故答案为： 素养提升 1．（江苏省无锡市宜兴市东氿中学2025-2026学年上学期八年级数学第二次月考试题）在平面直角坐标系中，点、、，则的面积为_____． 【答案】3 【分析】此题考查了一次函数和几何综合，一次函数的图象，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，连接，首先得到点在直线上，然后求出B，C所在直线表达式为，然后得到两条直线平行，然后得到直线，利用勾股定理求出，，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵ ∴点在直线上， 设、所在直线表达式为 ∴ 解得 ∴B，C所在直线表达式为 ∴直线和直线平行 ∵ ∴直线 ∵， ∴的面积为． 故答案为：3． 2．（2025~2026学年度第一学期期末抽测八年级数学试题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B在函数的图象上，当取最小值时，的面积为______． 【答案】1 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，垂线段最短，勾股定理，解题的关键在于找出取最小值时，点B所在位置． 根据垂线段最短可知，当垂直于函数的图象时，取最小值，利用一次函数特点及勾股定理求出，再结合三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：点A的坐标为，点B在函数的图象上， ， 根据垂线段最短可知，当垂直于函数的图象时，取最小值，如图所示： ，， ， ， ，则， 解得， 的面积为； 故答案为：． 3．（江苏省无锡市2025-2026学年八年级上学期期末数学模拟卷）一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且，则的值为___ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，根据一次函数与坐标轴的交点特征，求出点的坐标，利用建立方程求解． 【详解】解：一次函数 与 轴交于点， 令 ，得 ， 解得：， 点的坐标为 ， ，即点到原点的距离为， ， 即 ， 解得：， ． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点、，若直线与线段有公共点，则a的范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由题意可得平行于轴，求出在中，当时，，由此即可得出结果，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点、， ∴平行于轴， ∴在中，当时，， 解得， ∵直线与线段有公共点， ∴， 故答案为：． 5．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，已知，过A点的直线轴于点M，交直线于点N，点P是直线上的一个动点，连接，并以为直角边向其右侧作一个等腰，，当P点从O点运动到N点的过程中，点B的路径长为________；连接，求当P点在直线上运动的过程中，的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数上点坐标的特征，全等三角形的判定与性质，等腰三角形，勾股定理，利用转化思想找到点的运动轨迹，从而推出何时长度最短为解题关键． 过点A作，使得，连接，求出，推导出，继而证明，得到，则当点P从O运动到N时，点P的运动路径的长等于点B的运动路径的长，即可求出点B运动的路径长为；推出当垂直时，的值最小，最小为的长，求解即可． 【详解】解：第一个空：如图，过点A作，使得，连接， ∵，轴， ∴将代入，得 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当点P从O运动到N时，点P的运动路径的长等于点B的运动路径的长， ∴点B运动的路径长为． 第二个空：当时，的值最小，最小值为的长，如图 设直线的解析式为，将分别代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 令直线交x轴于点E， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：；． 6．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点C的坐标为，点D的坐标为，则线段的最小值为_____． 【答案】 【分析】作直线分别交轴、轴于点、，连接，利用一次函数的性质得到，，利用勾股定理得到，再证明点D在直线上，进而可得当时，线段有最小值，再利用等面积法求出此时的长，即可得出答案． 【详解】解：作直线分别交轴、轴于点、，连接， 当时，，解得； 当时，； ∴，， ∴，， ∴， 当时，， 又∵点D的坐标为， ∴点D在直线上， ∴当时，线段有最小值， ∵点C的坐标为，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、勾股定理、三角形面积公式、垂线段最短，证明点D在直线上是解题的关键． 迁移创新 1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）【概念认识】 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对于两点和，用以下方式定义两点间距离：已知点，点 【初步理解】 （1）___________． （2）函数的图象如图①所示，是图象上一点，___________定值，___________定值两空均选填“是”或“不是” 【深入理解】 （3）在图②中画出使的所有点围成的图形． （4）函数（为常数）； ①当时，若点是这个函数的图象上一动点，则使的所有点构成的线段长度为___________； ②若这个函数的图象上存在点使，直接写出k的取值范围． 【实际运用】 （5）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图③，道路以为起点，先沿方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由） 【答案】（1）5；（2）不是，是；（3）图见解析；（4）①，②或，（5）见解析 【分析】依据定义求解即可； 设，且，再依据定义求解即可； 根据新定义并结合可知：使的所有点围成的图形为正方形，据此画图即可； ①易得，设，则，再分类讨论，求出t的范围，即可得解； ②由知使的所有点围成的图形为正方形，则只要有满足的图象与正方形有交点，即存在点N使，据此求解即可； 以为原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，将函数的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为，过点作，垂足为，修建方案是：先沿方向修建到处，再沿方向修建到E处，可由证明结论即可． 【详解】解：（1）； 设，且， 则， 当时，， 当时，，不是定值； ；是定值； 根据新定义并结合可知：使的所有点围成的图形为正方形，如图所示；     ①当时，则， 设， 则， 当时，则， 解得， 此时； 当时，则， 解得， 此时； 当时，则， 解得，此时无解； 综上，当时，满足， 此时两个端点分别为、， 线段长度； ②， 这个函数的图象经过定点， 由图可知，只要满足的图象与正方形有交点，即存在点使， 代入点，得， 此时由图象可知当，均符合题意， ； 代入点得，， 解得， 此时由图象可知当，均符合题意； 综上，或； 如图，以为原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，将函数的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止， 设交点为，过点作，垂足为，修建方案是：先沿方向修建到处，再沿方向修建到E处． 理由：设过点E的直线与x轴相交于点在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线，与x轴相交于点 ， ，， 同理， ， ， 上述方案修建的道路最短． 2．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）在平面直角坐标系中，过点作垂直于轴的直线，将一次函数（，为常数，）图象位于直线l下方的部分沿直线l向上翻折，与原来在直线l上及上方图象组合，得到一个新的图象，这种变换称为“对称变换”，记作：，这种新的图象对应的函数叫做“形函数”，例如，如图1就是函数经过得到的“形函数”的图象． 问题一：认识“形函数” （1）填空：在图1的“形函数”中，当函数值时，的值为______； （2）已知：直线 ①如表是直线经过得到的“形函数”与的几组对应值． … 0 … … … 直接写出表格中的值是______； ②在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； 问题二：结合函数图象，解决问题： ③当时，“形函数”值的取值范围是______； 问题三：反思延申 ④已知点，点，如果将直线经过得到的“形函数”的图象向右平移个单位，当“形函数”图象与线段有交点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）或；（2）①；②见解析；③；④或． 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式及一次函数图像的平移，熟练掌握一次函数的图象与性质，利用数形结合的思想方法是解题的关键． （1）先得出时的函数解析式，把代入即可得答案； （2）①先求出，根据“对称变换”的定义，利用待定系数法得出时的函数解析式为，把代入即可求出的值； ②根据表格描点，画出图像即可； ③分别得出时，，时，，函数最小值为，由图像可知，时，函数取最小值，即可得答案； ④先得出当时，，时，，把，点，分别代入，求出值，即可得答案． 【详解】解：（1）∵函数经过得到的“形函数”的图象， ∴当时，函数的解析式为， ∴该“形函数”的解析式为， ∴当时，或． （2）①∵直线经过得到“形函数”， ∴当时，， ∴当时，函数解析式为， ∴时，， 设时的函数解析式为， ∵时，图像经过，， ∴， 解得：， ∴时的函数解析式为， ∴当时，， 解得：． 故答案为： ②该函数的图象如图所示． ③时，，时，， 由图像可知，时，函数取最小值， ∴当时，“形函数”值的取值范围是． ④∵将直线经过得到的“形函数”的图象向右平移个单位， ∴当时，， 当时，， 当经过点时，， 解得：， 当经过点时，， 解得：， ∴， 当经过点时，， 解得：， 当经过点时，， 解得：， ∴， 综上所述：的取值范围为或． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）综合与实践 【任务背景】17世纪，法国数学家费马提出费马原理，指出光在传播时总是选择耗时最短的路径（在均匀介质中即路径最短），并将最短路径思想推广至折射等领域． 【任务学习】证明反射路径最短 如图1，直线代表平面镜，点代表一实物，点代表眼睛，作实物C关于平面镜的对称点，连接，交平面镜于点E，连接，则为入射光线，为反射光线． 求证：最短．请在空白的横线上填写相应的内容． 如图，在平面镜上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在中，（三角形两边之和大于第三边）， 实物与点关于平面镜对称， 垂直平分， ______，（______）． ， ．（等量代换） 【任务解决】 任务1：帮助将军求解最短行程 如图2，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点宿营，如果点到河边l的距离，点到河边l的距离，、两点间的横向水平距离，则将军每天走的路程之和最短是多少？ 任务2：尺规作图，开孔凿光 如图3，光线从点射出，经平面镜I反射后通过挡板上的小孔落到挡板上，已知挡板上的线段为反射光线投射到的区域范围，请你仅利用圆规和无刻度直尺在图中找出挡板上的小孔． 任务3：数形应用，解决问题 “数形结合”是一种重要的数学思想，通过把抽象的数量关系与直观的几何图形相结合，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化．例如：已知（数的形式），从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4，计算结果为斜边（图形形式）长度为5，如图4；同理计算（数的形式）可以看成直角边长度分别为、8，结果为斜边（图形形式）长度为，如图5． 请结合对本题材料的阅读理解解决下面问题： 已知点为一次函数图像上一点，且点在第一象限，则是否存在这样的点，使得代数式的值最小，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】[任务学习] ，线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等；任务1：13；任务2：见解析；任务3： 【分析】本题考查轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、一次函数图象上点的坐标特征、完全平方公式的应用和平方根的定义等知识，熟练掌握轴对称性质求最短距离是解答的关键． [任务学习]根据线段垂直平分线的性质求解即可； 任务1：作A关于河边l的对称点，连接交河边l于点P，连接，，则线段的长是将军每天走的路程之和最短值，过B作于H，然后利用勾股定理，结合已知数值求解即可； 任务2：作C关于平面镜的对称点，连接，，分别交于，，则线段即为所求； 任务3：先根据一次函数图象上点的坐标特征得到，再根据题干中方法，取线段，在线段上取一点C，设，，构造，，使，且，，连接，根据勾股定理可得，当A、C、E共线时取等号，此时的值最小，即的值最小，最小值为的长度，过A作交延长线于F，然后利用勾股定理求解，然后解方程即可． 【详解】解：[任务学习] 如图，在平面镜上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在中，（三角形两边之和大于第三边）， 实物与点关于平面镜对称， 垂直平分， ，（线段垂直平分线的性质）． ， ．（等量代换） 故答案为：，线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等； 任务一：如图2，作A关于河边l的对称点，连接交河边l于点P，连接，， 则线段的长是将军每天走的路程之和最短值，过B作于H， 由题意，，， 在中，， ∴， 即将军每天走的路程之和最短值为13； 任务2：如图3，线段即为所求； 任务3：存在． ∵点为一次函数图像上一点，且点在第一象限， ∴，即，，， 如图，取线段，在线段上取一点C，设，，构造，，使，且，，连接， 则， ，， ∴，当A、C、E共线时取等号，此时的值最小，即的值最小，最小值为的长度， 过A作交延长线于F， 则，，， ∴， ∴的最小值为10． 即． 由得，则， 代入得， ∴， 两边平方,整理得, 再两边平方,整理得,即, ∴,解得,此时, ∴点P的坐标为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $