第03讲 一次函数的应用（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册《知识解读•题型专练》

本讲义聚焦一次函数的应用，系统梳理三大核心知识点，包括与行程问题（|k|对应速度、图象起点拐点终点意义）、销售利润问题（总利润等量关系、利用增减性求最值）、坐标轴交点（与一元一次方程的联系），构建从代数基础到实际应用的递进式学习支架。 资料以真实情境问题为载体，通过典例引领与变式训练的分层设计，培养学生抽象能力、模型意识和推理能力。课中助力教师高效授课，课后多样化练习帮助学生查漏补缺，提升用数学解决实际问题的能力。

第03讲 一次函数的应用 知识点1：一次函数与行程问题 知识点2：一次函数与销售利润问题 知识点3：一次函数与坐标轴的交点 1、行程问题中，一次函数中|k|通常对应行程问题中的速度 2、准确理解函数图象中出现的起点、拐点、终点的意义 1、常用等量关系：总利润=单件利润×数量 2、利用函数的增减性得到最大利润 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．求 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时, 1. 可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 ______________ ， 2. 直线 y=kx+b 交 x 轴于点_（0，）_______ , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标． 【题型1 一次函数与行程问题】 【典例1】一条笔直的公路上有三地，两地之间的路程为千米．甲从地出发匀速运往地，甲出发半小时后乙车从地出发匀速运往地，乙到达地停留半小时后按原路原速返回地．在两人行驶的过程中，甲、乙两人距地的路程(单位：千米)与甲行驶时间(单位：小时)之间的函数图象如图所示，请结合图象解决下列问题： (1)乙的速度为 千米/时，在图中括号内填入正确的数值； (2)求乙从地返回到地过程中与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在甲行驶过程中，乙出发多长时间，甲、乙两人相距千米？请直接写出答案． 【答案】(1)， (2) (3)乙出发小时或小时或 小时后，甲、乙两人相距千米 【分析】本题主要考查一次函数的应用，涉及到根据函数图象获取信息、求解速度、函数解析式以及根据两车距离求时间等知识点． （）首先，从图像可知，甲出发小时，乙行驶的时间是小时，此时乙距地千米，根据速度公式速度路程时间，可求乙的速度，然后，根据甲从地出发匀速运往地共用小时，甲行驶小时时，距离地的距离为千米，到的距离：(千米)，这就是括号内的数值； （）根据（）中所得及图象，得到时，乙距离地为千米，当乙返回地时，，距离地距离为，设乙车从公司返回到地过程中与之间的函数关系式为，待定系数即可解答； （）设乙出发小时后，甲、乙两人相距千米，分乙从到时，乙从返回过程中，根据题意列出等式，即可解答． 【详解】（1）解：由图可知：乙的速度为(千米/时)， 当甲从地出发匀速运往地共用小时， 甲行驶小时后，距离地的距离为千米， ∴到的距离：(千米)， ∴括号内数值为， 故答案为：，； （2）解：由（1）可知，乙的速度为千米/时，到的距离为千米， ∵两地之间的路程为千米， ∴两地之间的路程为千米， ∴乙从地出发匀速运往地的时间为（小时）， ∵甲出发半小时后乙车从地出发，乙到达地停留半小时后按原路原速返回地， ∴当时，；当时，， 设乙车从地返回到地过程中与之间的函数关系式为， 则， 解得， ∴所求的函数关系式为． （3）解：甲的速度：(千米/时)， 甲距地的距离， 设乙出发小时后，甲、乙两人相距千米，则甲出发小时， 第一种情况：乙从到时， 则， ， 当时，， 当时，， 第二种情况：乙从返回过程中， ， 综上，乙出发小时或小时或小时后，甲、乙两人相距千米． 【变式1】某学校体育队开展跑步训练，体育老师将队员分成男、女两组．两组队员从同一地点同向先后出发，女子组跑了时，男子组恰好跑了．此后两组队员开始匀速跑，直到终点．已知男子组匀速跑的速度为．男、女两组队员跑步的路程（单位：）与匀速跑的时间（单位：）的图象如图所示． (1)此次跑步训练的全程是________m． (2)求男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程． 【答案】(1)500 (2)315米 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数关系式是解题的关键： （1）用男子组的速度乘以时间再加上已经跑过的路程，进行求解即可； （2）求出函数关系式，联立两个解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：（米）， 故答案为：500； （2）女子组的速度为：，男子组队员跑步的路程：，女子组队员跑步的路程：， 联立： 解得： （米）， 男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程为315米． 【变式2】学校组织徒步活动，小甬从学校出发步行前往露营基地．出发小时后小甬到达离学校3千米的中途休息区，休息一段时间后按原速继续前往露营基地．小甬离开学校小时后，王老师驾车沿相同路线前往露营基地与小甬汇合，如图是他们离学校的路程与小甬从学校出发的时间的函数图象．已知王老师驾车的速度是小甬步行的速度的6倍． (1)求小甬步行的速度及王老师驾车的速度． (2)求王老师离学校的路程与小甬从学校出发的时间的函数表达式． (3)小甬从学校出发多少小时后被王老师追上？此时离学校多远？ 【答案】(1)小甬步行的速度为，王老师驾车的速度为 (2) (3)小甬从学校出发2小时后被王老师追上，此时离学校9千米 【分析】本题考查了一次函数的应用，路程速度时间的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数图象性质的运用，解题的关键是从实际问题中整理出一次函数模型． （1）根据出发小时后小甬到达离学校3千米的中途休息区和王老师驾车的速度是小甬步行的速度的6倍即可求出； （2）根据题意设，将代入解析式即可求解； （3）先求出小甬后半段的解析式，再联立即可求解． 【详解】（1）解：∵出发小时后小甬到达离学校3千米的中途休息区， ∴， ∵王老师驾车的速度是小甬步行的速度的6倍， ∴， 答：小甬步行的速度为，王老师驾车的速度为； （2）解：由（1）得，王老师驾车的速度为， ∴设，将代入，得 解得， ∴， 答：王老师离学校的路程与小甬从学校出发的时间的函数表达式为； （3）解：设小甬后半段的解析式为， ∵小甬步行的速度为， ∴， 由函数图象得，将代入中， 得 ， ∴， ∴ 解得， ∴， 答：小甬从学校出发2小时后被王老师追上，此时离学校9千米． 【变式3】A，B两地相距，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发，如图是甲，乙行驶路程随行驶时间变化的图象，请结合图象信息．解答下列问题： (1)填空：甲的速度为______； (2)分别求出，与之间的函数解析式； (3)在乙的行驶过程中，当为何值时，甲乙相距． 【答案】(1)60 (2)； (3)在乙的行驶过程中，当为或时，甲乙相距 【分析】（1）根据速度公式，结合图象进行求解即可； （2）根据甲的图象经过和，乙的图象经过和，利用待定系数法分别求解即可； （3）分乙在甲后面和乙在甲前面两种情况，根据解析式，列一元一次方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：甲的速度为； （2）解：∵甲的图象经过， ∴设与之间的函数解析式为， ∵甲的图象经过， ∴， 解得：， ∴与之间的函数解析式为； 设与之间的函数解析式为， ∵乙的图象经过和， ∴， 解得：， ∴与之间的函数解析式为． （3）解：当乙在甲后面时，， 解得：； 当乙在甲前面时，， 解得：， ∴当为或时，甲乙相距． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，涉及到待定系数法求一次函数解析式，求直线交点坐标等知识点，读懂题意，从所给图象中找到相关信息是解题的关键． 【题型2 一次函数与销售问题】 【典例2】双十二即将来临，某商超计划引进“广式糕点”和“京式糕点”两种礼盒，若购进3盒“广式糕点”礼盒和4盒“京式糕点”礼盒共需1420元，购进4盒“广式糕点”礼盒和3盒“京式糕点”礼盒共需1520元． (1)求每盒“广式糕点”礼盒和“京式糕点”礼盒的进价各是多少元？ (2)该商超计划用不超过5000元的资金购进两种礼盒共25盒，同时根据市场调研，“京式糕点”礼盒的进货数量应不超过“广式糕点”礼盒进货数量的2倍，若每盒“广式糕点”礼盒售价340元，每盒“京式糕点”礼盒售价250元（进价保持（1）中所求不变），且所有礼盒均能全部售出，请设计利润最大的进货方案，并求出最大利润． 【答案】(1) “广式糕点”进价260元，“京式糕点”进价160元 (2) 进9盒“广式糕点”，16盒“京式糕点”，最大利润2160元 【分析】本题考查二元一次方程组、一次函数的应用和一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设“广式糕点”礼盒进价为元，“京式糕点”礼盒进价为元，根据题意得到二元一次方程组并求解即可； （2）设购进“广式糕点”礼盒盒，则“京式糕点”礼盒购进盒，总利润为元，根据题意建立关于的一次函数关系式，根据的取值范围结合一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设“广式糕点”礼盒进价为元，“京式糕点”礼盒进价为元， 根据题意，得方程组： 解得， 答：“广式糕点”进价260元，“京式糕点”进价160元。 （2）解：设购进“广式糕点”礼盒盒，则“京式糕点”礼盒购进盒，总利润为元， 由题意得， ∵成本不超过5000元， ∴ 解得， ∵“京式糕点”数量不超过“广式糕点”数量的2倍， ∴， 解得，取， 又∵为整数，且， ∴的取值范围为， ∵， ， ∴随增大而减小， ∴当时，最大，（元），此时， 答：进9盒“广式糕点”，16盒“京式糕点”时利润最大，最大利润为2160元． 【变式1】某水果种植基地计划租几辆货车装运苹果和橘子共60吨（苹果和橘子都有）去外地销售，要求每辆货车只能装一种水果，且必须装满． 苹果 橘子 每辆车装载量（吨） 4 6 每吨获利（元） 1200 1500 (1)设装运苹果的货车有辆，装运橘子的货车有辆，则_____（用含的代数式表示）； (2)求总利润（元）与（辆）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，则应安排多少辆货车装运苹果才能获得最大利润，并求出最大利润． 【答案】(1) (2) (3)安排6辆货车运苹果，安排6辆货车运橘子，最大利润为元 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）根据货车装运苹果和橘子共60吨，列出函数关系即可求解； （2）根据，代入（1）的解析式，即可求解；自变量的取值范围同（1）； （3）根据装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，求得的范围，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设装运苹果的货车有x辆，装运橘子的货车有y辆， ∵每辆车装载量苹果4吨或橘子6吨， ∴， 即， ∵， 解得，且为3的倍数， ∴ ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：， ∴， 解得， ∵，且为3的倍数， ∴，且为3的倍数， ∵， ， ∴随增大而减小， ∴当，，此时最大，最大值为（元） 即安排6辆货车运苹果，安排6辆货车运橘子，最大利润为元． 【变式2】云南是我国玉米的主要生产省份之一，玉米种植面积和产量位居全国前列．经销商老王购进了一批花糯玉米和白糯拇指玉米进行销售，两种玉米的进价和售价如下 进价（元/斤） 售价（元/斤） 花糯玉米 a 6 白糯拇指玉米 b 8 已知老王购进40斤花糯玉米和10斤白糯拇指玉米共需200元；购进30斤花糯玉米和20斤白糯拇指玉米共需225元． (1)求a，b的值； (2)若老王购进两种玉米共320斤，其中白糯拇指玉米的进货量不超过花糯玉米进货量的3倍，且不低于花糯玉米进货量的，设购进花糯玉米x斤，则老王应该如何进货才能使全部售完后的销售利润y（元）最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)a的值为，b的值为6 (2)应该购进200斤花糯玉米，120斤白糯拇指玉米，才能使全部售完后的销售利润y（元）最大，最大利润为740元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式． （1）根据“老王购进40斤花糯玉米和10斤白糯拇指玉米共需200元；购进30斤花糯玉米和20斤白糯拇指玉米共需225元”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据“白糯拇指玉米的进货量不超过花糯玉米进货量的3倍，且不低于花糯玉米进货量的”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，利用总利润每斤白糯拇指玉米的销售利润购进白糯拇指玉米的数量每斤花糯玉米的销售利润购进花糯玉米的数量，可找出y关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：依题意得， 解得， 答：a的值为，b的值为6； （2）解：∵购进花糯玉米x斤， ∴购进白糯拇指玉米斤， 依题意得， 解得， ∵全部售完后的销售利润为y元， ∴， ∵， ∴y随x的增大而增大， 又∵， ∴当时，y取得最大值，最大值为，此时． 答：老王应该购进200斤花糯玉米，120斤白糯拇指玉米，才能使全部售完后的销售利润y（元）最大，最大利润为740元． 【变式3】冰墩墩，是年北京冬季奥运会的吉祥物、将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 销售价（元/个） (1)第一次小冬元购进了A，B两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个． (2)第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)购进A款玩偶个， B款玩偶个 (2)购进A款玩偶个，购进B款玩偶个时才能获得最大利润，最大利润是元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用， 对于（1），设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，根据题意可以列出相应的方程，然后求解即可； 对于（2），设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，利润为元，根据题意可求出，再根据网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，可以得出的取值范围，最后根据一次函数的性质，即可得到如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少． 【详解】（1）解：设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个， 由题意可得：， 解得：， （个）， 答：购进A款玩偶个，B款玩偶个； （2）解：设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，利润为元， 由题意可得：． ∵， 随的增大而增大． 网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半， ， 解得：， 当时，取得最大值，此时， （个）， 答：购进A款玩偶个，B款玩偶个时才能获得最大利润，最大利润是元． 【题型3 一次函数的新情景应用】 【典例3】在一定条件下，某种金属材料的电阻（单位：）与温度（单位：℃）存在函数关系，以下是不同温度时该金属材料电阻的数值： 温度t/℃ 0 4 8 12 16 … 电阻 … (1)依据表内数据，在平面直角坐标系中，描点，连线．推测电阻（单位：）与温度（单位：℃）在给定范围内符合的函数关系可能是 函数关系（填“正比例”或“一次”）； (2)根据上述判断，求该金属材料电阻与温度之间的函数关系式； (3)当温度达到20℃时，该金属材料电阻与温度仍符合此函数关系，现把该金属接入一个电路中，电路允许接入的最大电阻为，判断此时该金属材料的电阻是否会超出电路允许的最大电阻，并阐述理由． 【答案】(1)图象见解析，一次 (2) (3)此时该金属材料的电阻不会超出电路允许的最大电阻，见解析 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，正确理解题意，求出一次函数的解析式是解题的关键． （1）描点作图，即可通过图象判断； （2）利用待定系数法求解； （3）把代入函数解析式，求出电阻与比较即可． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，描点，连线，如图： 由图象可推测，电阻（单位：）与温度（单位：℃）符合一次函数的关系， 故答案为：一次； （2）解：设该金属材料电阻与温度之间的函数关系式为， 因为过点，即，所以， 又因为过点，即，解得， 所以该金属材料电阻与温度之间的函数关系式为． （3）在中， 当时，得， 因为，所以此时该金属材料的电阻不会超出电路允许的最大电阻． 【变式1】如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小颖用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为，双层部分的长度为，经测量得到如下数据： 单层部分的长度 … 6 8 10 12 … 双层部分的长度 … 77 76 75 74 … (1)求出关于的函数解析式，并求当时的值； (2)根据小明的身高和习惯，挎带的长度为时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度； (3)设挎带的长度为，求的取值范围． 【答案】(1)；当时， (2)此时单层部分的长度为 (3) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，熟悉掌握利用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数的解析式，再代入即可； （2）由挎带的长度为得到，把代入运算即可； （3）把和分别代入运算即可． 【详解】（1）解：根据题意设关于的函数解析式为， 分别把，和，代入可得：， 解得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，； （2）解：由题意可知：， 即， 解得， 答：此时单层部分的长度为． （3）解：当时，，则， 当时，， 解得， 则， 所以的取值范围为． 【变式2】水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究．在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，发现容器内盛水量与滴水时间存在函数关系，并得到如表的一组数据： 时间 0 5 15 20 … 盛水量 5 20 50 65 … (1)请根据表中信息在平面直角坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内盛水量与滴水时间，符合学习过的_____（选填“正比例”或“一次”）函数； (2)根据以上判断，求与之间的函数关系式； (3)推算该水龙头在这种漏水状态下一天（24小时）的漏水量． 【答案】(1)图见解析，一次 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数解析式、一次函数的图像，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）用描点法画出图象即可； （2）根据待定系数法进行解题； （3）令，代入解析式计算即可． 【详解】（1）解：关于的函数图象如图所示； 故答案为：一次； （2）解：设容器内盛水量与滴水时间之间的函数关系式为， ∵过点，即， ， 又∵过点， 即，解得：， ∴与之间的函数关系式为：； （3）解：当时，； 答：这个水龙头在这种漏水状态下一天的漏水量为． 【变式3】《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如表： 供水时间 0 2 4 6 8 箭尺读数 6 18 30 42 54 (1)如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； (2)请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式（写过程）； (3)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是，那么当箭尺读数为时是几点钟？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是． 【分析】本题考查了一次函数的应用、画函数图象，理解题意，正确求出函数关系式是解题的关键． （）根据表格中的数据先描点，再连线即可； （）由各点连线是一条直线，得出是的一次函数，再利用待定系数法求解即可； （）当时，得，解得，然后计算即可． 【详解】（1）解：描点并连线如图所示： ； （2）解：∵各点连线是一条直线， ∴是的一次函数， 设与之间的函数表达式为， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴， 当时，得， 解得， ∴， ∴与之间的函数表达式为； （3）解：当时，得， 解得， ∵经过小时后是， ∴如果本次实验记录的开始时间是，那么当箭尺读数为时是． 【题型4两直交点与二元一次方程组】 【典例4】如图，直线与直线交于点，那么关于x，y的二元一次方程组的解是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握两直线交点坐标与对应二元一次方程组解的关系是解题的关键． 根据一次函数与二元一次方程组的关系，两直线的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解，因此只需确定两直线交点的坐标即可． 【详解】解：直线与直线交于点 关于的二元一次方程组的解就是点坐标 方程组的解为， 故选：D． 【变式1】如图，观察直线与直线的图象，则二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图像与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 直接根据图象作答即可． 【详解】解：由图象可知直线与直线有公共点， ∴二元一次方程组的解为， 即二元一次方程组的解为， 故选：A． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象交点坐标与二元一次方程组解的关系． 将点代入，求出点坐标，则点的横纵坐标即为方程组的解． 【详解】解：由题意得将代入，则， ∴， ∴关于，的方程组的解为， 故答案为：． 【变式3】如图，函数与为常数，且的图象交于点，则关于，的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程的关系，根据函数图象的交点坐标，即可求出方程组的解． 【详解】解：∵函数与为常数，且的图象交于点， ∴关于，的方程组的解是， 故答案为：． 【题型5 求直线围成的图像面积】 【典例5】如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点． (1)求直线，的函数表达式． (2)若点在直线上，且的面积为10，求点的坐标． 【答案】(1)直线的函数表达式为，直线的函数表达式为 (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法，几何图形面积的计算是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到，设，由三角形面积的计算得到，解绝对值方程即可求解． 【详解】（1）解：直线：与轴交于点，与轴交于点， ∴， ∴直线的函数表达式为， 直线：与轴交于点， ∴， 解得，， ∴直线的函数表达式为； （2）解：直线：与轴交于点， ∴当时，， 解得，， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴设， ∴， ∴， 当时，，则； 当时，，则； ∴点的坐标为或． 【变式1】如图，与x轴交于点，与y轴交于点，点是的中点． (1)求点C的坐标； (2)在x轴上找一点D，使得， 求点D的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数的图象与坐标轴交点的特征，待定系数法求一次函数的解析式，熟悉掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据直线求出点和的坐标，根据点是的中点得到的坐标； （2）利用待定系数法确定求解直线的解析式为：，设点，则，根据三角形面积公式列式运算即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 则有：时，；时，； ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， （2）设直线的解析式为：，代入，可得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：； ∵，， ∴，， ∴， 设点，则， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，与轴交点为．且与正比例函数的图象交于点． (1)求一次函数的表达式． (2)若点在轴上且．求此时点的坐标； (3)若点在轴左侧的直线上，且的面积是10，求此时点坐标． 【答案】(1) (2)或． (3) 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，熟练掌握待定系数是解题关键． （1）首先利用待定系数法把代入正比例函数中，计算出m的值，进而得到C点坐标，再利用待定系数法把A、C两点坐标代入一次函数中，计算出k、b的值，进而得到一次函数解析式． （2）根据一次函数的解析式，得到点B的坐标，再根据，以及三角形的面积公式进行列式计算，即可作答． （3）设点P的坐标为，利用数形结合及的面积为10，以及三角形的面积公式进行列式计算，解得m的值，即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴， 即点C坐标为． ∵一次函数经过、点， ∴， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵一次函数与y轴交于点B， ∴， ∵点， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴上， ∴设， 则， 解得， 即， 故， ∴或． （3）解：∵点在轴左侧的直线上，且由（1）得直线的表达式为； ∵，， ∴， ∴点在第三象限， ∴设P的坐标为，且，连接 ∵的面积是10，，且由（2）得， ∴， ∴ ∴， ∴点P的坐标为． 【变式3】在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求一次函数的解析式； (2)求出一次函数的图象与轴、轴交点和的坐标； (3)若点在直线上，且的面积为5，求点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题考查一次函数的图象和几何变换，坐标与图形面积，熟练利用数形结合的方法解题是关键． （1）由平移的性质可得到，再将点代入解析式求解； （2）根据一次函数与坐标轴相交的特点去求解； （3），结合点，利用当的面积为5时，解立方程求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象由函数的图象平移得到， 一次函数为， 一次函数经过点， ， ， 一次函数为． （2）解：由题意得 当时，， 当时，， ， 图象与轴、轴的交点的坐标分别为，． （3）解：设 ， ， 解得：或， 当时，， 当时，， 或． 【题型6 一次函数与几何综合】 【典例6】如图，直线与x轴、y轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点在直线上，当时，求所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)点、，直线的解析式为 (2)点的坐标为或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数综合应用，待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握知识点的应用及分类讨论思想的应用． （1）由直线：得，当时，，当时，，则有点、，设直线的解析式为，然后把，代入即可求解； （2）由直线的解析式为得，当时，，当时，，则点，，则，求出，设，，求出的值即可； （3）根据，分两种情况讨论，当在的左侧时，以为直角边作等腰直角三角形，过点分别作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，证明得出，求得直线的解析式为，联立求得点，当在轴的右侧时，同理可得． 【详解】（1）解：由直线：得，当时，，当时，， ∴点、， 设直线的解析式为， 把，代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由直线的解析式为得，当时，，当时，， ∴点，， ∴， ∴， ∴， ∵为直线上一动点， ∴设， ∴， ∴，解得：， ∴点的坐标为或； （3）如图，当在的左侧时，以为直角边作等腰直角三角形，过点分别作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点， ∴， ∴ 又∵， ∴ 又∵、 ∴， ∴， ∴为与的交点， 设直线的解析式为，代入、 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得： ∴ 当在轴的右侧时，如图，在的右侧以为直角边作等腰直角三角形，过点作轴， 同理可得，直线的解析式为： 联立 解得： ∴ 综上所述，或 【变式1】如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求点，的坐标； (2)如果轴上有一动点，要使以为顶点的三角形构成等腰三角形，请探究并求出符合条件的所有点坐标． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或或或． 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，利用了数形结合及分类讨论的思想，掌握知识点的应用是解题的关键． （）当时，求出的值，当时，求出的值，即可得出两点的坐标； （）分当，且点在轴上时；当时，点位于轴右侧；当时，点位于轴右侧三种情况分析即可． 【详解】（1）解：由直线得， 当时，；当时，， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∴， 如图，当，且点在轴上时， ∴当点在点左侧时，， ∴此时点的坐标为； 当点在点右侧时，， ∴此时点的坐标为； 如图，当时，点位于轴右侧， ∴， ∴此时点的坐标为； 如图，当时，点位于轴右侧， 设，则，， ∴， ∴，解得：， ∴， 综上可得，点的坐标为或或或． 【变式2】如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当点C运动到或的位置时 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由得，根据，得，利用待定系数法即得直线的解析式为； （2）可得的面积，当时，，可得，，即得，当时，同理可得； （3）在中，，，，分两种情况①若，②若时，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得， ，， ， ， ， 把代入得： ，解得， 直线的解析式为； （2）解：，， 的面积， 当时，如图：    此时， ，即， ， 在中令，得， ∴， ∴， 当时，如图：    此时， ，即， ， 在中令，得， ∴， ∴， 综上所述，当点C运动到或的位置时，的面积被直线分成的两部分； （3）解：存在点，使与全等， 在中，，， ， ①若，过作交轴于，过作于，如图：   ，， ，， 设，则，，， 而， ， 解得或， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意，舍去， ∴， 同理可知，时， ，，， ， 同理可得， ②若时，如图：   ，， ， 在中，令得， ， 此时，，符合题意， ， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题． 【变式3】如图1，已知函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点M的坐标； ②连接，如图2，若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】本题考查一次函数的综合应用． （1）先由求得，。由点与点A关于轴对称可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式即可。 （2）①设，则：、，过点B作于点D，利用，进行求解即可； ②分点M在y轴的左侧和点M在y轴的右侧，两种情况进行讨论求解即可． 正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】（1）解：对于， 由得：， 由得：， 解得， ∴，， ∵点与点A关于轴对称， ∴ ， 设直线的函数解析式为， 则， 解得． ∴直线的函数解析式为； （2）解：①设， 则、， 如图1，过点作于点， ∴，， ∴， 解得， ∴，或；        ②如图，当点在轴的左侧时，∵点与点A关于轴对称, ∴， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴, ∴, ∴, 设，则, ，，， ， 解得． ． 当点在轴的右侧时，如图3， 同理可得， 综上，点的坐标为或．       一、单选题 1．随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．体重的小丽做了一个可行的“瘦身计划”，计划平均每天减掉天后的体重为，则与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的应用，理解数量关系并正确列式是关键． 根据体重减少的规律，初始体重减去每天减少的重量乘以天数，即可得到x天后的体重． 【详解】解：∵ 初始体重为，每天减重， ∴ x天后减重， ∴ 剩余体重， 故选：A． 2．购买一些笔记本，单价为5元，总价y（元）与购买笔记本的数量x（本）的函数关系式可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列函数关系式，根据总价单价数量的基本关系，直接建立函数关系式． 【详解】解：由题意，单价为5元/本，购买x本的总价y（元）应为单价乘以数量，即． 故选：A． 3．用篱笆围成一个如图所示的长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度为米．设边的长为米，边的长为米，则与之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意． 根据题意，结合长方形对边相等即可得与之间的函数关系式． 【详解】解：由已知可得，， ∴， 故选：D． 4．如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，如表为记录几次数据之后所列表格： 1 2 3 8 19 若不挂重物时，秤砣到秤纽的水平距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的运用，理解表格信息，掌握待定系数法是关键．根据表格信息，运用待定系数法得到解析式，由此即可求解． 【详解】解：秤砣到提纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系， ∴设，结合表格得到， 解得， ∴一次函数解析为， ∴当时，， ∴不挂重物时，秤跎到秤纽的水平距离是， 故选：B ． 5．弹簧的长度y（单位：）与所挂物体的质量x（单位：）的关系是一次函数，如图所示，此函数的图象经过，两点，则弹簧不挂物体时的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用，关键是设出函数关系式，利用待定系数法求出的值． 根据图象，设出直线解析式为，把，代入函数解析式，可得函数关系式为：，求直线与 y 轴交点即可． 【详解】解：设解析式为， 把，代入得：， 解得：， 则函数关系式为：， 当时，． 故选：B． 6．已知甲、乙两地相距，小明从甲地去乙地，小丽从乙地去甲地，图中分别表示小明、小丽两人离乙地的距离与时间的函数关系图象．设两人相遇在处，则处到甲地的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用，求得交点坐标是解题的关键． 根据题意分别求得的解析式，联立求得交点的坐标，进而求解即可． 【详解】解：设的解析式为，的解析式为 将点代入，点代入 则， 解得， ， 根据题意， 解得 则交点坐标为 ∴处到甲地的距离为． 故选A． 7．“这么近那么美，周末到河北”，河北某文旅公司推出野外宿营活动，有以下两种优惠方案．某团队有x人参加该活动，购票总花费为y元，这两种方案中y关于x的函数图象如图所示，则下列说法方案一：以团队为单位办理会员卡（会员卡花费a元），所有人都按半价优惠；方案二：所有人都按六折优惠，正确的是（   ） A． B．原票价为480元/人 C．方案二中y关于x的函数解析式为 D．当时，方案一比方案二优惠 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的应用．由方案一图象过可判断A错误；设原票价为m元/人，可得，解得，判断B错误；故方案二中y关于x的函数解析式为，判断C错误；由得，判断D正确． 【详解】解：由方案一图象过知，，故A错误，不符合题意； 设原票价为m元/人，由方案二知，2人购票需480元， ∴， 解得， ∴原票价为400元/人，故B错误，不符合题意； ∴方案二中y关于x的函数解析式为，故C错误，不符合题意； 由得， ∴当时，方案一比方案二优惠，故D正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题 8．一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后的总长度与所挂重物的质量满足一次函数关系，若挂上的物体后，弹簧总长为，当弹簧总长为时，所挂的物体重 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键，设出函数解析式，待定系数法求出函数解析式，进而求出时的自变量的值即可． 【详解】解：设，由题意，得：， 解得， ∴， ∴当时，； 故答案为：． 9．生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度与观察时间（天）的关系，画出如图所示的函数图象（轴），则该植物在第35天的高度为 cm． 【答案】13 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；由图象得出该植物高度与观察时间（天）的函数关系式，然后问题可求解． 【详解】解：由图象可设直线的解析式为，则把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，则，解得：， ∴点， ∴当时，则， 故答案为：13． 10．在物理中，我们通常使用滑轮来改变力的方向和大小．小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据绘制成图象（不计绳重和摩擦），如图，当物体的重力G为时，用该滑轮组拉物体，可省力 N． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，求解函数值，熟练的利用待定系数法求解函数解析式是解本题的关键． 设拉力F与重力G的函数解析式为，再把已知点的坐标代入计算即可；把代入（1）中的函数解析式求解F即可确定结果． 【详解】解：根据题意得：拉力F是重力G的一次函数， 设拉力F与重力G的函数解析式为， 则， 解得：， 拉力F与重力G的函数解析式为． 当时，， ∴省力， 故答案为：． 11．已知直线与直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组与一次函数，先求得交点坐标，再根据两条直线的交点的坐标即为由两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解，进行求解即可． 【详解】解：由题意，把代入，得：， ∴ 即直线与直线相交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是； 故答案为：． 三、解答题 12．如图，已知一次函数图像与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标． (2)求线段的长． (3)求直线与坐标轴围成的的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． （1）根据一次函数图像与x轴交于点A，与y轴交于点B可知，点的纵坐标为，点的横坐标为，分别代入一次函数表达式进行求解即可； （2）根据两点间的距离公式进行求解计算即可； （3）根据的长为点的横坐标的绝对值，的长为点的纵坐标的绝对值，利用直角三角形面积公式进行求解计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得，一次函数 当时，， 则点的坐标为； 当时，， 解得， 则点的坐标为 答：A，B两点的坐标为、； （2）解：由（1）知，A，B两点的坐标为、， 则 答：线段的长为； （3）解：由（1）知，A，B两点的坐标为、， 则、, 因此，直线与坐标轴围成的的面积为：． 答：直线与坐标轴围成的的面积为． 13．随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，甲所需费用为（元）且；乙所需费用为（元）且，，与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题． (1)分别求出，，b的值并说明他们的实际意义； (2)求在游乐场游玩多少次时，两者花费一样？费用是多少？ (3)洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？ 【答案】(1) (2)游玩8次，两者消费一样，费用160元 (3)乙 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解二元一次方程组，求一次函数关系式， （1）将点的坐标直接代入可得答案；再分别将点和代入可得答案，然后得出实际含义； （2）将两个函数关系式联立求出方程组的解即可； （3）根据（2）比较可得答案. 【详解】（1）解：观察图像可知直线经过点， ∴， 解得， ∴直线，的实际含义：每次收费20元； ∵一次函数经过点， ∴， ∴直线关系式为. ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线关系式为，b的实际含义：办优惠卡80元；实际含义：每次收费10元；相当于5折； （2）解：将两个函数关系式联立，得， 解得， ∴点， 所以在游乐场游玩8次时，两者花费一样，费用为160元； （3）解：按甲消费卡：次， 按乙消费卡：=16次， 因为， 所以选择乙消费卡. 14．成都2025年世界运动会期间，为展现智能科技与体育赛事的融合，组委会开展人形机器人模拟赛事项目竞速测试．两款人形机器人“蜀韵”和“锦风”参与测试，已知“蜀韵”和“锦风”同时从起点出发前往模拟赛事终点，与分别表示“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离与时间之间的关系，根据图象解答下列问题： (1)分别求出“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离与时间之间的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)当时，求“蜀韵”和“锦风”相距时的时间． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式以及根据函数关系式列方程求解是解题的关键． （1）对于“蜀韵”，其函数图象是过原点的直线，故设为正比例函数，代入已知点坐标求解；对于“锦风”，其函数图象是一次函数，设为，代入已知点坐标求解． （2）根据（1）中求出的两个函数关系式，分“锦风”在“蜀韵”前面和后面两种情况，列绝对值方程求解． 【详解】（1）解：设， ∵ 过点， ∴ ， 解得 ， ∴， 设， ∵ 过点， ∴ 解得，， ∴； （2）解：当时，分两种情况： 情况一： 即， 解得， 情况二：即， 解得， 答：“蜀韵”和“锦风”相距时的时间为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 一次函数的应用 知识点1：一次函数与行程问题 知识点2：一次函数与销售利润问题 知识点3：一次函数与坐标轴的交点 1、行程问题中，一次函数中|k|通常对应行程问题中的速度 2、准确理解函数图象中出现的起点、拐点、终点的意义 1、常用等量关系：总利润=单件利润×数量 2、利用函数的增减性得到最大利润 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．求 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时, 1. 可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 ______________ ， 2. 直线 y=kx+b 交 x 轴于点_（0，）_______ , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标． 【题型1 一次函数与行程问题】 【典例1】一条笔直的公路上有三地，两地之间的路程为千米．甲从地出发匀速运往地，甲出发半小时后乙车从地出发匀速运往地，乙到达地停留半小时后按原路原速返回地．在两人行驶的过程中，甲、乙两人距地的路程(单位：千米)与甲行驶时间(单位：小时)之间的函数图象如图所示，请结合图象解决下列问题： (1)乙的速度为 千米/时，在图中括号内填入正确的数值； (2)求乙从地返回到地过程中与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在甲行驶过程中，乙出发多长时间，甲、乙两人相距千米？请直接写出答案． 【变式1】某学校体育队开展跑步训练，体育老师将队员分成男、女两组．两组队员从同一地点同向先后出发，女子组跑了时，男子组恰好跑了．此后两组队员开始匀速跑，直到终点．已知男子组匀速跑的速度为．男、女两组队员跑步的路程（单位：）与匀速跑的时间（单位：）的图象如图所示． (1)此次跑步训练的全程是________m． (2)求男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程． 【变式2】学校组织徒步活动，小甬从学校出发步行前往露营基地．出发小时后小甬到达离学校3千米的中途休息区，休息一段时间后按原速继续前往露营基地．小甬离开学校小时后，王老师驾车沿相同路线前往露营基地与小甬汇合，如图是他们离学校的路程与小甬从学校出发的时间的函数图象．已知王老师驾车的速度是小甬步行的速度的6倍． (1)求小甬步行的速度及王老师驾车的速度． (2)求王老师离学校的路程与小甬从学校出发的时间的函数表达式． (3)小甬从学校出发多少小时后被王老师追上？此时离学校多远？ 【变式3】A，B两地相距，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发，如图是甲，乙行驶路程随行驶时间变化的图象，请结合图象信息．解答下列问题： (1)填空：甲的速度为______； (2)分别求出，与之间的函数解析式； (3)在乙的行驶过程中，当为何值时，甲乙相距． 【题型2 一次函数与销售问题】 【典例2】双十二即将来临，某商超计划引进“广式糕点”和“京式糕点”两种礼盒，若购进3盒“广式糕点”礼盒和4盒“京式糕点”礼盒共需1420元，购进4盒“广式糕点”礼盒和3盒“京式糕点”礼盒共需1520元． (1)求每盒“广式糕点”礼盒和“京式糕点”礼盒的进价各是多少元？ (2)该商超计划用不超过5000元的资金购进两种礼盒共25盒，同时根据市场调研，“京式糕点”礼盒的进货数量应不超过“广式糕点”礼盒进货数量的2倍，若每盒“广式糕点”礼盒售价340元，每盒“京式糕点”礼盒售价250元（进价保持（1）中所求不变），且所有礼盒均能全部售出，请设计利润最大的进货方案，并求出最大利润． 【变式1】某水果种植基地计划租几辆货车装运苹果和橘子共60吨（苹果和橘子都有）去外地销售，要求每辆货车只能装一种水果，且必须装满． 苹果 橘子 每辆车装载量（吨） 4 6 每吨获利（元） 1200 1500 (1)设装运苹果的货车有辆，装运橘子的货车有辆，则_____（用含的代数式表示）；(2)求总利润（元）与（辆）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，则应安排多少辆货车装运苹果才能获得最大利润，并求出最大利润． 【变式2】云南是我国玉米的主要生产省份之一，玉米种植面积和产量位居全国前列．经销商老王购进了一批花糯玉米和白糯拇指玉米进行销售，两种玉米的进价和售价如下 进价（元/斤） 售价（元/斤） 花糯玉米 a 6 白糯拇指玉米 b 8 已知老王购进40斤花糯玉米和10斤白糯拇指玉米共需200元；购进30斤花糯玉米和20斤白糯拇指玉米共需225元． (1)求a，b的值； (2)若老王购进两种玉米共320斤，其中白糯拇指玉米的进货量不超过花糯玉米进货量的3倍，且不低于花糯玉米进货量的，设购进花糯玉米x斤，则老王应该如何进货才能使全部售完后的销售利润y（元）最大？最大利润为多少元？ 【变式3】冰墩墩，是年北京冬季奥运会的吉祥物、将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 销售价（元/个） (1)第一次小冬元购进了A，B两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个． (2)第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【题型3 一次函数的新情景应用】 【典例3】在一定条件下，某种金属材料的电阻（单位：）与温度（单位：℃）存在函数关系，以下是不同温度时该金属材料电阻的数值： 温度t/℃ 0 4 8 12 16 … 电阻 … (1)依据表内数据，在平面直角坐标系中，描点，连线．推测电阻（单位：）与温度（单位：℃）在给定范围内符合的函数关系可能是 函数关系（填“正比例”或“一次”）； (2)根据上述判断，求该金属材料电阻与温度之间的函数关系式； (3)当温度达到20℃时，该金属材料电阻与温度仍符合此函数关系，现把该金属接入一个电路中，电路允许接入的最大电阻为，判断此时该金属材料的电阻是否会超出电路允许的最大电阻，并阐述理由． 【变式1】如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小颖用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为，双层部分的长度为，经测量得到如下数据： 单层部分的长度 … 6 8 10 12 … 双层部分的长度 … 77 76 75 74 … (1)求出关于的函数解析式，并求当时的值； (2)根据小明的身高和习惯，挎带的长度为时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度； (3)设挎带的长度为，求的取值范围． 【变式2】水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究．在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，发现容器内盛水量与滴水时间存在函数关系，并得到如表的一组数据： 时间 0 5 15 20 … 盛水量 5 20 50 65 … (1)请根据表中信息在平面直角坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内盛水量与滴水时间，符合学习过的_____（选填“正比例”或“一次”）函数； (2)根据以上判断，求与之间的函数关系式； (3)推算该水龙头在这种漏水状态下一天（24小时）的漏水量． 【变式3】《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如表： 供水时间 0 2 4 6 8 箭尺读数 6 18 30 42 54 (1)如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； (2)请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式（写过程）； (3)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是，那么当箭尺读数为时是几点钟？ 【题型4两直交点与二元一次方程组】 【典例4】如图，直线与直线交于点，那么关于x，y的二元一次方程组的解是（） A． B． C． D． 【变式1】如图，观察直线与直线的图象，则二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为 ． 【变式3】如图，函数与为常数，且的图象交于点，则关于，的方程组的解是 ． 【题型5 求直线围成的图像面积】 【典例5】如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点． (1)求直线，的函数表达式． (2)若点在直线上，且的面积为10，求点的坐标． 【变式1】如图，与x轴交于点，与y轴交于点，点是的中点． (1)求点C的坐标； (2)在x轴上找一点D，使得， 求点D的坐标． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，与轴交点为．且与正比例函数的图象交于点． (1)求一次函数的表达式． (2)若点在轴上且．求此时点的坐标； (3)若点在轴左侧的直线上，且的面积是10，求此时点坐标． 【变式3】在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求一次函数的解析式； (2)求出一次函数的图象与轴、轴交点和的坐标； (3)若点在直线上，且的面积为5，求点的坐标． 【题型6 一次函数与几何综合】 【典例6】如图，直线与x轴、y轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点在直线上，当时，求所有符合条件的点的坐标． 【变式1】如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求点，的坐标； (2)如果轴上有一动点，要使以为顶点的三角形构成等腰三角形，请探究并求出符合条件的所有点坐标． 【变式2】如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式3】如图1，已知函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点M的坐标； ②连接，如图2，若，求点P的坐标． 一、单选题 1．随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．体重的小丽做了一个可行的“瘦身计划”，计划平均每天减掉天后的体重为，则与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 2．购买一些笔记本，单价为5元，总价y（元）与购买笔记本的数量x（本）的函数关系式可以表示为（    ） A． B． C． D． 3．用篱笆围成一个如图所示的长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度为米．设边的长为米，边的长为米，则与之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 4．如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，如表为记录几次数据之后所列表格： 1 2 3 8 19 若不挂重物时，秤砣到秤纽的水平距离是（   ） A． B． C． D． 5．弹簧的长度y（单位：）与所挂物体的质量x（单位：）的关系是一次函数，如图所示，此函数的图象经过，两点，则弹簧不挂物体时的长度是（    ） A． B． C． D． 6．已知甲、乙两地相距，小明从甲地去乙地，小丽从乙地去甲地，图中分别表示小明、小丽两人离乙地的距离与时间的函数关系图象．设两人相遇在处，则处到甲地的距离为（   ） A． B． C． D． 7．“这么近那么美，周末到河北”，河北某文旅公司推出野外宿营活动，有以下两种优惠方案．某团队有x人参加该活动，购票总花费为y元，这两种方案中y关于x的函数图象如图所示，则下列说法方案一：以团队为单位办理会员卡（会员卡花费a元），所有人都按半价优惠；方案二：所有人都按六折优惠，正确的是（   ） A． B．原票价为480元/人 C．方案二中y关于x的函数解析式为 D．当时，方案一比方案二优惠 二、填空题 8．一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后的总长度与所挂重物的质量满足一次函数关系，若挂上的物体后，弹簧总长为，当弹簧总长为时，所挂的物体重 ． 9．生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度与观察时间（天）的关系，画出如图所示的函数图象（轴），则该植物在第35天的高度为 cm． 10．在物理中，我们通常使用滑轮来改变力的方向和大小．小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据绘制成图象（不计绳重和摩擦），如图，当物体的重力G为时，用该滑轮组拉物体，可省力 N． 11．已知直线与直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 三、解答题 12．如图，已知一次函数图像与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标． (2)求线段的长． (3)求直线与坐标轴围成的的面积． 13．随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，甲所需费用为（元）且；乙所需费用为（元）且，，与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题． (1)分别求出，，b的值并说明他们的实际意义； (2)求在游乐场游玩多少次时，两者花费一样？费用是多少？ (3)洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？ 14．成都2025年世界运动会期间，为展现智能科技与体育赛事的融合，组委会开展人形机器人模拟赛事项目竞速测试．两款人形机器人“蜀韵”和“锦风”参与测试，已知“蜀韵”和“锦风”同时从起点出发前往模拟赛事终点，与分别表示“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离与时间之间的关系，根据图象解答下列问题： (1)分别求出“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离与时间之间的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)当时，求“蜀韵”和“锦风”相距时的时间． 1 学科网（北京）股份有限公司 $