第17周 一次函数应用问题 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

该初中数学讲义通过知识框架系统梳理了一次函数应用问题的知识体系，将含参过定点、等直斜放代参计算及行程、费用等四类应用题类型按“知识梳理-问题策略”递进组织，用分类列表呈现各类问题的变量设定与函数模型构建方法。 讲义亮点在于“情境化问题链”设计，如游船逆流行驶与物品漂流的行程问题，引导学生通过变量设定建立函数模型，培养模型意识与推理能力。典型例题包含新定义“和谐函数”及分段函数与几何结合题，基础题巩固概念，综合题提升思维，助力学生自主复习，教师可据此实施分层教学。

2025年八上数学第17周《一次函数应用问题》 【知识梳理】 1. 含参过定点 2. 等直斜放，代参计算 3. 一次函数应用题类型及研究策略 ①行程问题：涉及路程、速度和时间的关系。通过设定变量，建立函数模型。 ②费用问题：包括购物费用、出租车费用等。根据单价、数量和固定费用建立函数表达式。 ③销售问题：涉及利润、成本和销量的关系。通过设定变量，建立利润函数。 ④方案设计问题：需要比较不同方案的优劣。 【课前热身】 1．（2024秋•鼓楼区期末）已知一次函数y＝kx+4（k为常数，k≠0），当x＜1时，y＞0，则k的取值范围是（　　） A．k＜﹣4 B．k≤﹣4 C．﹣4＜k＜0 D．﹣4≤k＜0 2．（2024秋•秦淮区期末）一次函数y＝kx+k（k≠0，k为常数）的图象经过点P，且函数值y随x增大而减小，则点P的坐标可能为（　　） A．（0，1） B．（﹣3，2） C．（3，3） D．（2，1） 3．（2024秋•南京期末）一次函数y＝kx+b中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则n的值为 　 　 ． x … m﹣1 m m+2 … y … n 2 4 … 4．（2023秋•玄武区期末）若点A（m﹣1，y1），B（m+1，y2），C（0，﹣4）在一次函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象上，且y1﹣y2＝5，则k•b的值为 　 　 ． 5．（2024秋•建邺区期末）—次函数y＝kx+b（k≠0）中两个变量x，y的部分对应值如表所示： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 7 5 3 1 ﹣1 … 那么关于x的不等式kx+b≥5的解集是 　 　 ． 6．（2024秋•鼓楼区期末）已知两个一次函数y1，y2与自变量x的部分对应值分别如下表： x … ﹣3 1 2 … y1 … ﹣1 3 4 … x … ﹣1 1 3 … y2 … 7 3 ﹣1 … 当x　 　 时，y1＞y2． 7．（2024秋•建邺区期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°．点P是边AB上的一个动点，若AP＝x，CP＝y，则y关于x的函数图象如图2所示．下列结论中所有正确结论的序号是 　 　 ． ①斜边AB的长度为15；②斜边上的高的长度为；③斜边上的中线的长度为；④Rt△ABC中∠C的角平分线的长度为． 8．（2023秋•秦淮区校级期末）如图，设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车原地返回．设x小时后两车间的距离为y千米，y关于x的函数关系如图所示，则乙车的速度为（　　） A．60千米/小时 B．70千米/小时 C．75千米/小时 D．80千米/小时 9．（2024秋•建邺区期末）一次函数的图象沿直线l翻折后与x轴重合，则直线l的函数表达式是　 　 ． 10．（2023秋•鼓楼区期末）要使一次函数y＝﹣3x+2的图象经过运动后过点（1，﹣7），则以下该函数图象的运动方式中，可行的是 　 　 （只填序号）． ①向下平移9个单位长度；②绕点（0，﹣1）旋转180°；③沿着经过点（2，0）且平行于y轴的直线翻折． 11．（2023秋•秦淮区期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点A．将该函数图象绕点A逆时针旋转45°，则得到的新图象的函数表达式为 　 　 ． 12．（2023秋•南京期末）若一个函数，对于自变量的不同取值范围，该函数有不同的表达式，则这样的函数称为“分段函数”．当x≥0时，y1＝kx+2；当x＜0时，y1＝kx﹣2，可以记作分段函数y1． （1）若k＝1时，画出y1与x之间的函数图象，并写出该函数两条不同类型的性质； （2）正比例函数y2＝2kx的图象与函数y1的图象的一个交点坐标为（﹣2，﹣4），当y1＞y2时，x的取值范围是 　 　 ； （3）已知点A（2，1），B（﹣1，﹣1），函数y1的图象与线段AB的交点个数随k的值的变化而变化，直接写出交点个数及对应的k的取值范围． 13．（2023秋•建邺区期末）用两种不同的方法比较代数式x+1和﹣x+3的大小． 【典型例题】 14．（2024秋•鼓楼区期末）【新定义】 一次函数y＝kx+b与一次函数y＝﹣kx﹣b称为一对和谐函数（其中k，b为常数，k≠0）．例如：y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1就是一对和谐函数． 【特殊化】 请以y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1这对和谐函数为例，完成以下两条结论： （1）这对和谐函数图象的交点坐标是 　 　 ； （2）可以发现这对称谐函数图象成轴对称，它们的对称轴是 　 　 ． 【一般化】 （3）请尝试证明一般情况下一对和谐函数y＝kx+b与y＝﹣kx﹣b（其中k，b为常数，k≠0）图象“成轴对称”的结论依然成立． 15．（2024•建邺区期末）一艘游船从A港逆流开往B港，游船在静水中的行驶速度为600m/min．出发2分钟后有一位游客的物品飘落在水面上，游客在游船出发5分钟后发现遗失物品，游船随即掉头寻找，并在找回物品之后掉头继续前往B港．游船距离A港的距离y（m）与行驶时间x（min）的关系如图所示． （1）水流的速度为 　 　 m/min； （2）求点A的坐标，并解释它的实际意义； （3）若游船在出发14min后到达B港，则A港与B港之间的距离为 　 　 m． 16．（2024秋•玄武区期末）快车、慢车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条笔直的公路匀速相向而行．快车到达乙地后休息一段时间，再以原速的倍原路返回甲地，快、慢两车恰好同时到达甲地．快车离甲地的距离y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的函数图象如图①所示． （1）甲、乙两地之间的距离为 　 　 km，慢车的速度为 　 　 km/h； （2）求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式； （3）设快、慢车两车之间的距离为s（单位：km），在图②中画出s与x之间的函数图象．（标明必要的数据） 17．（2024秋•建邺区期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P（x，y）（xy≠0）是平面内任意一点．过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点M和点N．若四边形PMON的周长为6，则点P叫做“周六点”．例如：如图中的P（2，﹣1）是一个“周六点”． （1）若D（m，2m+2）为“周六点”，求m的值； （2）点Q的坐标为（2，2），若点P是“周六点”，则PQ的最小值为　 　 ； A.B.1 C.D.2 （3）若一次函数y＝kx+k﹣4的图象上存在“周六点”，则k的取值范围是　 　 ． 18．（2024秋•秦淮区期末）甲、乙两地相距skm．慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发ah后快车也从甲地出发，沿同一路线匀速驶往乙地．两车同时到达乙地后，慢车立即保持原速，沿原路返回甲地．快车在乙地休息1h后，提速50%，沿原路匀速返回，又与慢车同时回到甲地．在整个行程中，慢车离甲地的距离y1（单位：km）与时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示． （1）在图中画出快车离甲地的距离y2（单位：km）与时间t之间的函数图象． （2）a＝ 　 　 ． （3）已知从甲地到乙地的路程中，距离乙地30km处有一个治安警亭． ①若s＝120，在整个行程中（不含行程终点甲地），t的值是多少时，两车与警亭的距离相等？ ②若两车相继路过该警亭的时间间隔不超过，则s的取值范围是 　 　 ． 19．（2023秋•建邺区期末）【概念学习】 对于平面直角坐标系xOy中的图形T和图形W，给出如下定义：M，N分别为图形T和图形W上任意一点，将M，N两点间距离的最小值称为图形T和图形W之间的“关联距离”，记作d（T，W）．例如，如图①，点P（1，2）与x轴之间的“关联距离”d（P，x轴）＝2． 【理解概念】 （1）如图②，已知点P（1，2）在边长为3的正方形OABC内，则d（P，正方形OABC）＝　 　 ． 【深入探索】 （2）如图③，在等边△ABC中，点A的坐标是（0，3），点B，C在x轴上，点Q是y轴上一点，若d（Q，△ABC）＝1，求点Q的坐标． 【拓展延伸】 （3）已知D（m，﹣2），E（m+2，﹣4），当﹣5≤m≤2时，对于每一个m，若线段DE和一次函数y＝kx﹣k（k是常数，k≠0）的图象之间的“关联距离”d（DE，直线y＝kx﹣k）＞0，则k的取值范围是 　 　 ． 【巩固练习】 20．（2023秋•南京期末）已知一次函数y＝kx﹣k+b，函数值y随自变量x的增大而增大，且k＜﹣b，则该函数的大致图象可以是（　　） A．B． C．D． 21．（2024秋•建邺区期末）点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在一次函数y＝x+3的图象上，且x1＜x2＜x3，下列说法中正确的是（　　） A．若x1x2＜0，则y2y3＞0 B．若x1x3＜0，则y1y2＜0 C．若x2x3＜0，则y1y2＜0 D．若x2x3＜0，则y1y2＞0 22．（2023秋•建邺区期末）已知一次函数y1＝k1x+b1与一次函数y2＝k2x+b2中，函数y1、y2与自变量x的部分对应值分别如表1、表2所示： 表1： 表2： x … ﹣6 ﹣4 ﹣3 … y1 … ﹣3 ﹣1 0 … x … ﹣2 ﹣1 1 … y2 … 0 ﹣1 ﹣3 … 则关于x的不等式k1（x﹣1）+b1＞k2x+b2的解集是 　 　 ． 23．（2024秋•南京期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），B（3，0），若一次函数y＝kx+2的图象与线段AB有交点，则k的取值范围是 　 　 ． 24．（2024•秦淮区期末）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数）的函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣2 0 1 … y … 2 ﹣2 ﹣4 … 则关于x的方程kx+b＝0的解为 　 　 ． 25．（2024秋•鼓楼区校级期末）已知一次函数y1＝kx+1和y2＝x﹣2，当x＜1时，y1＞y2，则k的取值范围是 　 　 ． 26．（2024秋•秦淮）如图，一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A，与x轴分别交于点B，C． （1）求点A的坐标； （2）结合图象，直接写出当y1≤y2时x的取值范围． 27．（2024秋•南京期末）如图，一次函数y1＝kx+b的图象分别与x轴、y轴交于点A（﹣6，0），B（0，3）． （1）求该函数的表达式； （2）若一次函数y2＝ax﹣2的图象与一次函数y1＝kx+b的图象交于点P（m，n）． ①当n＝2时，直接写出关于x的不等式kx+b＜ax﹣2的解集； ②若点P在第二象限，则a的取值范围是 　 　 ． 常数）的图象上，且y1﹣y2＝5，则k•b的值为 　10　 ． 【解答】解：∵点A（m﹣1，y1），B（m+1，y2）在一次函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象上， ∴y1＝k（m﹣1）+b，y2＝k（m+1）+b， ∴y1﹣y2＝k（m﹣1）+b﹣[k（m+1）+b]＝﹣2k＝5， ∴k． 又∵点C（0，﹣4）在一次函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象上， ∴b＝﹣4， ∴k•b（﹣4）＝10． 故答案为：10． 6．（2024秋•建邺区期末）—次函数y＝kx+b（k≠0）中两个变量x，y的部分对应值如表所示： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 7 5 3 1 ﹣1 … 那么关于x的不等式kx+b≥5的解集是 x≤﹣2　 ． 【解答】解：当x＝﹣2时y＝5， 根据表中数据可知函数值y随x的增大而减小， ∴不等式kx+b≥5的解等是x≤﹣2． 故答案为：x≤﹣2． 7．（2024秋•鼓楼区期末）已知两个一次函数y1，y2与自变量x的部分对应值分别如下表： x … ﹣3 1 2 … y1 … ﹣1 3 4 … x … ﹣1 1 3 … y2 … 7 3 ﹣1 … 当x　＞1　 时，y1＞y2． 【解答】解：∵点（1，3）和点（2，4）在一次函数y1＝k1x+b1的图象上， ∴ 得， 即一次函数y1＝x+2， ∵点（1，3）和点（3，﹣1）在一次函数 y2＝k2x+b2的图象上， ∴得， 即一次函数y2＝﹣2x+5， ∴y1＞y2时，x+2＞﹣2x+5， ∴x＞1． 故答案为：x＞1． 8．（2024秋•建邺区期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°．点P是边AB上的一个动点，若AP＝x，CP＝y，则y关于x的函数图象如图2所示．下列结论中所有正确结论的序号是 　①②④　 ． ①斜边AB的长度为15； ②斜边上的高的长度为； ③斜边上的中线的长度为； ④Rt△ABC中∠C的角平分线的长度为． 【解答】解：由图2可知，当x＝15时，y取得最大值，即y＝CB， ∴斜边AB的长度为15， 故①正确； 由图2可知，当x＝0时，y＝9，即AC＝9， ∴BC12， ∴斜边上的高的长度为：， 故②正确； ∵斜边AB的长度为15， ∴斜边上的中线为， 故③错误； ∵∠C的角平分线是一条线段， ∴Rt△ABC中∠C的角平分线的长度为． 故④正确； 故答案为：①②④． 9．（2024秋•建邺区期末）一次函数的图象沿直线l翻折后与x轴重合，则直线l的函数表达式是yx或y　 ． 【解答】解：设直线yx上一点为A（1，），A关于直线l的对称点为B， ∵A（1，）， ∴OA2， ∴B（2，0）， ∴AB的中点C为（，）， 设直线OC为y＝kx，则， 解得k， ∴直线OC为yx， 过点O作DO⊥OC，则直线OD为yx， ∴直线l的函数表达式是yx或y． 故答案为：yx或y． 解得， ∴直线L的解析式为：y＝3x+12． 故答案为：y＝3x+12． 12．（2023秋•南京期末）若一个函数，对于自变量的不同取值范围，该函数有不同的表达式，则这样的函数称为“分段函数”．当x≥0时，y1＝kx+2；当x＜0时，y1＝kx﹣2，可以记作分段函数y1． （1）若k＝1时，画出y1与x之间的函数图象，并写出该函数两条不同类型的性质； （2）正比例函数y2＝2kx的图象与函数y1的图象的一个交点坐标为（﹣2，﹣4），当y1＞y2时，x的取值范围是 x＜﹣2或0≤x＜2　 ； （3）已知点A（2，1），B（﹣1，﹣1），函数y1的图象与线段AB的交点个数随k的值的变化而变化，直接写出交点个数及对应的k的取值范围． 【解答】解：（1） 性质1：当x≥0时，y随x的增大而增大；性质2：当x≥0时，函数有最小值2． （2）将（﹣2，﹣4）代入y2＝2kx，则﹣4＝2k×（﹣2），k＝1， ∴分段函数， 当0≤x时，x+2＞2x，x＜2， 当x＜0时，x﹣2＞2x，x＜﹣2， 综上所述，当y1＞y2时，x＜﹣2或0≤x＜2． （3）将点A代入y1中，得出k， 将点B代入y1中，得出k＝﹣1， 当没有交点时，2k+2＞，﹣k﹣2＜﹣1，则k，k＞﹣1，即k， 当有1个交点时，，k且k≤﹣1不成立， ，成立， 当有两个交点时，，k，k≤﹣1，即k≤﹣1， 综上所述，当k，k≠0时，没有交点，当﹣1＜k时，1个交点，当k≤﹣1时，2个交点． 13．（2023秋•建邺区期末）用两种不同的方法比较代数式x+1和﹣x+3的大小． 【解答】解：方法一：作差法， x+1﹣（﹣x+3） ＝x+1+x﹣3 ＝2x﹣2， 当x＞1时，2x﹣2＞0，即x+1＞﹣x+3， 当x＝1时，2x﹣2＝0，即x+1＝﹣x+3， 当x＜1时，2x﹣2＜0，即x+1＜﹣x+3； 方法二：作比法， （1）， 当x＞1时，﹣（1）＞1，即x+1＞﹣x+3， 当x＝1时，﹣（1）＝1，即x+1＝﹣x+3， 当x＜1时，﹣（1）＜1，即x+1＜﹣x+3． 14．（2024秋•鼓楼区期末）【新定义】 一次函数y＝kx+b与一次函数y＝﹣kx﹣b称为一对和谐函数（其中k，b为常数，k≠0）．例如：y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1就是一对和谐函数． 【特殊化】 请以y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1这对和谐函数为例，完成以下两条结论： （1）这对和谐函数图象的交点坐标是 　（，0）　 ； （2）可以发现这对称谐函数图象成轴对称，它们的对称轴是 x轴　 ． 【一般化】 （3）请尝试证明一般情况下一对和谐函数y＝kx+b与y＝﹣kx﹣b（其中k，b为常数，k≠0）图象“成轴对称”的结论依然成立． 【解答】（1）解：由，得， ∴这对和谐函数图象的交点坐标是（，0）； 故答案为：（，0）； （2）解：可以发现这对称谐函数图象成轴对称，它们的对称轴是x轴， 故答案为：x轴； （3）证明：由，解得， ∴和谐函数y＝kx+b与y＝﹣kx﹣b（其中k，b为常数，k≠0）图象交于x轴上一点， ∵函数y＝kx+b交y轴于点（0，b），函数y＝﹣kx﹣b交y轴于点（0，﹣b）， ∴一般情况下一对和谐函数y＝kx+b与y＝﹣kx﹣b（其中k，b为常数，k≠0）图象“成轴对称”． 15．（2024秋•建邺区期末）一艘游船从A港逆流开往B港，游船在静水中的行驶速度为600m/min．出发2分钟后有一位游客的物品飘落在水面上，游客在游船出发5分钟后发现遗失物品，游船随即掉头寻找，并在找回物品之后掉头继续前往B港．游船距离A港的距离y（m）与行驶时间x（min）的关系如图所示． （1）水流的速度为 　100　 m/min； （2）求点A的坐标，并解释它的实际意义； （3）若游船在出发14min后到达B港，则A港与B港之间的距离为 　3400　 m． 【解答】解：（1）由图可得， 游船逆流速度为：2500÷5＝500（m/min）， ∵游船在静水中的行驶速度为600m/min． ∴水流速度为600﹣500＝100（m/min）， 故答案为：100； （2）设点A的横坐标为t， 当游船行驶2分钟时，行驶的路程为500×2＝1000（m）， 1000﹣100（t﹣2）＝2500﹣（600+100）（t﹣5）， 解得t＝8， 当t＝8时，点A的纵坐标为：1000﹣100（8﹣2）＝400， 即点P的坐标为（8，400），点P的实际意义：当游船行驶8分钟时，追上丢失的物品，此时离A港400m； （3）由（2）可得， A港与B港之间的距离为：400+500×（14﹣8） ＝400+500×6 ＝400+3000 ＝3400（m）， 故答案为：3400． 16．（2024秋•玄武区期末）快车、慢车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条笔直的公路匀速相向而行．快车到达乙地后休息一段时间，再以原速的倍原路返回甲地，快、慢两车恰好同时到达甲地．快车离甲地的距离y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的函数图象如图①所示． （1）甲、乙两地之间的距离为 　300　 km，慢车的速度为 　50　 km/h； （2）求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式； （3）设快、慢车两车之间的距离为s（单位：km），在图②中画出s与x之间的函数图象．（标明必要的数据） 【解答】解：（1）由图①可得， 甲、乙两地之间的距离为300km，慢车的速度为300÷6＝50（km/h）， 故答案为：300，50； （2）由图可得， 快车从甲到乙的速度为300÷3＝100（km/h）， 则快车从乙到甲的速度为100125（km/h）， ∴快车从乙到甲的时间为：300÷125（h）， ∴点A的横坐标为6， ∴点A的坐标为（，300）， 设线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y＝kx+b， ∵点A（，300），点B（6，0）在该函数图象上， ∴， 解得， 即线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y＝﹣125x+750； （3）当x＝3时，慢车行驶的路程为：50×3＝150（km）， 当x时，慢车行驶的路程为50180（km）， 图象如图所示． 17．（2024秋•建邺区期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P（x，y）（xy≠0）是平面内任意一点．过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点M和点N．若四边形PMON的周长为6，则点P叫做“周六点”．例如：如图中的P（2，﹣1）是一个“周六点”． （1）若D（m，2m+2）为“周六点”，求m的值； （2）点Q的坐标为（2，2），若点P是“周六点”，则PQ的最小值为A ； A. B.1 C. D.2 （3）若一次函数y＝kx+k﹣4的图象上存在“周六点”，则k的取值范围是k≥1或k＜﹣2　 ． 【解答】解：（1）∵D（m，2m+2）为“周六点”， ∴2（|m|+|2m+2|）＝6， ∴|m|+|2m+2|＝3， 当m＜﹣1时，则﹣m﹣2m﹣2＝3， 解得：m； 当﹣1≤m＜0时，则﹣m+2m+2＝3， 解得：m＝1（舍去）； 当m≥0时，则m+2m+2＝3， 解得：m； 综上所述，m的值为或； （2）∵点P是“周六点”， ∴|x|+|y|＝3， 当x＜0，y＞0时，y＝x+3， 过点Q（2，2）作直线y＝x+3的垂线，垂足为H，过点O作OK⊥直线y＝x+3于点K，如图， ∵OA＝OB＝3， ∴AB＝3， ∵OK⊥AB， ∴OKAB， ∵点P是直线y＝x+3上的动点， ∴QH是PQ的最小值， ∵Q（2，2）， ∴OQ的解析式为y＝x， ∴OQ∥AB， 则QH＝OK， ∴此时PQ的最小值为； 当x＞0，y＞0时，则y＝﹣x+3，如图，过点Q作QH⊥AB于点H，过点Q作QD⊥y轴于D，作QE⊥x轴于E， 则D（0，2），E（2，0），F（1，2），G（2，1）， ∴△QFG是等腰直角三角形，QF＝QG＝1， ∴QH， 此时PQ的最小值为； 当x＜0，y＜0时，则y＝﹣x﹣3，如图， 同理可得：PQ的最小值为； 当x＞0，y＜0时，则y＝x﹣3，如图， 同理可得：PQ的最小值为； 综上所述，PQ的最小值为， 故答案为：A． （3）由（2）知：点P（x，y）（xy≠0）是“周六点”时， 则点P的图象如图所示： ∵直线y＝kx+k﹣4＝k（x+1）﹣4，当x＝﹣1时，y＝﹣4， ∴直线y＝kx+k﹣4始终经过点P（﹣1，﹣4）， 当k＞0时，则k﹣4≥﹣3， ∴k≥1； 当k＜0时，则﹣3k+k﹣4＞0， ∴k＜﹣2； 故答案为：k≥1或k＜﹣2． 18．（2024秋•秦淮区期末）甲、乙两地相距skm．慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发ah后快车也从甲地出发，沿同一路线匀速驶往乙地．两车同时到达乙地后，慢车立即保持原速，沿原路返回甲地．快车在乙地休息1h后，提速50%，沿原路匀速返回，又与慢车同时回到甲地．在整个行程中，慢车离甲地的距离y1（单位：km）与时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示． （1）在图中画出快车离甲地的距离y2（单位：km）与时间t之间的函数图象． （2）a＝ 　0.5　 ． （3）已知从甲地到乙地的路程中，距离乙地30km处有一个治安警亭． ①若s＝120，在整个行程中（不含行程终点甲地），t的值是多少时，两车与警亭的距离相等？ ②若两车相继路过该警亭的时间间隔不超过，则s的取值范围是 s≥90　 ． 【解答】解：（1）如图，折线ABCD即为所求． （2）根据图形可知，快车去乙地时速度为v快，用时（2﹣a）小时，返回速度为1.5v快，用时1小时， ∴（2﹣a）•v快＝1×1.5v快， 解得a＝0.5， 故答案为：0.5． （3）①s＝120时， ∵v慢＝120÷2＝60（km/h）， ∴yOB＝60t， ∵返回时，v快＝60×2＝120（km/h）， ∴从甲地到乙地时，v快＝12080（km/h）， ∴yAB＝80（t）＝80t﹣40， yBD＝120﹣60（t﹣2）＝﹣60t+240， yCD＝120﹣120（t﹣3）＝﹣120r+480， 慢车从甲地到乙地时，yOB﹣90＝90﹣yAB， ∴60t﹣90＝90﹣（80t﹣40）， 解得t； 慢车、快车同时到达乙地时，t＝2； 慢车从乙地回甲地时，90﹣yBD＝30， ∴90﹣（﹣60t+240）＝30， 解得t＝3； 综上所述，t或2或3． ②根据题意可知v慢（km/h）， ∴yOBt，yBDt+2s， ∵返回时，v快s（km/h）， ∴从甲地到乙地时，v快＝ss（km/h）， ∴yABst，yCD＝﹣st+4s， 令yOB＝s﹣30，即t＝s﹣30， 解得tOB2； 令yAB＝s﹣30，即sts﹣30， 解得tAB2， 令yCD＝s﹣30，即﹣st+4s＝s﹣30， 解得tCD3， 令yBD＝s﹣30，即t+2s＝s﹣30， 解得tBD2， 根据题意可得， ，即， 解得， ∴s≥90， 故答案为：s≥90． 19．（2023秋•建邺区期末）【概念学习】 对于平面直角坐标系xOy中的图形T和图形W，给出如下定义：M，N分别为图形T和图形W上任意一点，将M，N两点间距离的最小值称为图形T和图形W之间的“关联距离”，记作d（T，W）．例如，如图①，点P（1，2）与x轴之间的“关联距离”d（P，x轴）＝2． 【理解概念】 （1）如图②，已知点P（1，2）在边长为3的正方形OABC内，则d（P，正方形OABC）＝　1　 ． 【深入探索】 （2）如图③，在等边△ABC中，点A的坐标是（0，3），点B，C在x轴上，点Q是y轴上一点，若d（Q，△ABC）＝1，求点Q的坐标． 【拓展延伸】 （3）已知D（m，﹣2），E（m+2，﹣4），当﹣5≤m≤2时，对于每一个m，若线段DE和一次函数y＝kx﹣k（k是常数，k≠0）的图象之间的“关联距离”d（DE，直线y＝kx﹣k）＞0，则k的取值范围是 　k且k≠0　 ． 【解答】解：（1）∵P（1，2）与边长为3的正方形OABC的边上的点的最小距离为1， ∴根据“关联距离”的定义得：d（P，正方形OABC）＝1， 故答案为：1； （2）当Q在A上方时，如图： ∵d（Q，△ABC）＝1， ∴AQ＝1， ∵A的坐标是（0，3）， ∴Q的坐标是（0，4）； 当Q在线段OA上时，过Q作QH⊥AC于H，如图： ∵d（Q，△ABC）＝1， ∴QH＝1， ∵△ABC是等边三角形，OA⊥BC， ∴∠QAH＝30°， ∴AQ＝2QH＝2， ∵A的坐标是（0，3）， ∴OQ＝1， ∴Q（0，1）； 当Q在BC下方时，如图： ∵d（Q，△ABC）＝1， ∴OQ＝1， ∴Q（0，﹣1）； 综上所述，Q的坐标为（0，4）或（0，1）或（0，﹣1）； （3）如图： 当x＝1时，y＝k×1﹣k＝0， ∴直线y＝kx﹣k过定点（1，0）， 当m＝﹣5时，D（﹣5，﹣2），E（﹣3，﹣4）， 当m＝2时，D'（2，﹣2），E'（4，﹣4）， 把D（﹣5，﹣2）代入y＝kx﹣k得：﹣2＝﹣5k﹣k， 解得k， 把E'（4，﹣4）代入y＝kx﹣k得：﹣4＝4k﹣k， 解得k， ∵线段DE和一次函数y＝kx﹣k（k是常数，k≠0）的图象之间的“关联距离”d（DE，直线y＝kx﹣k）＞0， ∴直线y＝kx﹣k与平行四边形DEE'D'无公共点， 由图可知，此时k且k≠0． 故答案为：k且k≠0． 20．（2023秋•南京期末）已知一次函数y＝kx﹣k+b，函数值y随自变量x的增大而增大，且k＜﹣b，则该函数的大致图象可以是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣k+b，函数值y随自变量x的增大而增大， ∴k＞0． ∵k＜﹣b， ∴b＜0． ∴﹣k+b＜0． ∴一次函数y＝kx﹣k+b的图象经过第一、三、四象限． 当y＝0时，kx﹣k+b＝0，此时x＝11． 故选：D． 21．（2024秋•建邺区期末）点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在一次函数y＝x+3的图象上，且x1＜x2＜x3，下列说法中正确的是（　　） A．若x1x2＜0，则y2y3＞0 B．若x1x3＜0，则y1y2＜0 C．若x2x3＜0，则y1y2＜0 D．若x2x3＜0，则y1y2＞0 【解答】解：令x＝0，得y＝3，令y＝0，得x＝﹣3， ∵k＝1， ∴y随x增大而增大， ∵x1＜x2＜x3， ∴y1＜y2＜y3， 选项A：∵x1x2＜0， ∴x1＜0＜x2＜x3， ∴y1＜3＜y2＜y3， 此时y2y3＞0， 故选项A正确，符合题意； 选项B：若x1x3＜0， 则x2即可大于0也可以小于0， 从图象可知当x1＝﹣3时，y1＝0， 此时y1y2＝0，与选项矛盾， 故选项B错误，不合题意； 选项C：若x2x3＜0， 则x1＜x2＜0＜x3， ∴y1＜y2＜3＜y3， 此时y1和y2符号并不确定， 故选项C错误，不合题意； 选项D：若x2x3＜0， 则x1＜x2＜0＜x3， ∴y1＜y2＜3＜y3， 此时y1和y2符号并不确定， 故选项D错误，不合题意； 故选：A． 22．（2023秋•秦淮区期末）如图，一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：把点P（﹣2，n）代入得，n（﹣2）3， ∴P（﹣2，3）， ∵一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，3）， ∴关于x，y的方程组的解是， 故选：B． 23．（2023秋•建邺区期末）已知一次函数y1＝k1x+b1与一次函数y2＝k2x+b2中，函数y1、y2与自变量x的部分对应值分别如表1、表2所示： 表1： x … ﹣6 ﹣4 ﹣3 … y1 … ﹣3 ﹣1 0 … 表2： x … ﹣2 ﹣1 1 … y2 … 0 ﹣1 ﹣3 … 则关于x的不等式k1（x﹣1）+b1＞k2x+b2的解集是 x＞﹣2　 ． 【解答】解：∵点（﹣4，﹣1）和（﹣3，0）在一次函数y1＝k1x+b1的图象上， ∴，解得， 即一次函数y1＝x+3， 令y3＝k1（x﹣1）+b1＝x﹣1+3＝x+2， ∵点（﹣2，0）和（﹣1，﹣1）在一次函数y2＝k2x+b2的图象上， ∴，解得， 即一次函数y2＝﹣x﹣2， 令x+2＝﹣x﹣2，得x＝﹣2， ∴关于x的不等式k1（x﹣1）+b1＞k2x+b2的解集是x＞﹣2， 故答案为：x＞﹣2． 24．（2024秋•玄武区期末）如图，一次函数y1＝kx﹣m（k、m是常数，且k≠0），y2＝﹣x+n的图象交于点P（3，2），则关于x的不等式（k+1）x＞m+n的解集为 x＞3　 ． 【解答】解：∵一次函数y1＝kx﹣m与y2＝﹣x+n的图象交于点P（3，2）， ∴当x＞3时，kx﹣m＞﹣x+n， ∴关于x的不等式（k+1）x＞m+n的解集为x＞3． 故答案为：x＞3． 25．（2024秋•南京期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），B（3，0），若一次函数y＝kx+2的图象与线段AB有交点，则k的取值范围是 k或k≥2　 ． 【解答】解：把A（﹣1，0）代入y＝kx+2得﹣k+2＝0， 解得k＝2； 把B（3，0）代入y＝kx+2得3k+2＝0， 解得k， ∴当一次函数y＝kx+2与线段AB只有一个交点时，k或k≥2． 即k的取值范围为k或k≥2． 故答案为：k或k≥2． 26．（2024秋•秦淮区期末）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数）的函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣2 0 1 … y … 2 ﹣2 ﹣4 … 则关于x的方程kx+b＝0的解为 x＝﹣1　 ． 【解答】解：由表格可知， 解得， ∴y＝﹣2x﹣2， 当y＝0，则﹣2x﹣2＝0， 解得x＝﹣1， ∴方程kx+b＝0的解为x＝﹣1， 故答案为：x＝﹣1． 27．（2024秋•鼓楼区校级期末）已知一次函数y1＝kx+1和y2＝x﹣2，当x＜1时，y1＞y2，则k的取值范围是 　﹣2≤k≤1且k≠0　 ． 【解答】解：如图， 当一次函数 y1＝kx+1 和y2＝x﹣2的图象平行时，符合题意， ∴k＝1， 如图，当x＝1，y2＝x﹣2＝1﹣2＝﹣1， ∴A（1，﹣1）， 当y1＝kx+1过A（1，﹣1）时， ∴k+1＝﹣1， 解得：k＝﹣2， ∵一次函数 y1＝kx+1， ∴k≠0， ∴当 x＜1时，y1＞y2，则k的取值范围是﹣2≤k≤1且k≠0， 故答案为：﹣2≤k≤1且k≠0． 26．（2024秋•秦淮区期末）如图，一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A，与x轴分别交于点B，C． （1）求点A的坐标； （2）结合图象，直接写出当y1≤y2时x的取值范围． 【解答】解：（1）由题意可得：， 解得， 所以点A坐标为（1，﹣3）． （2）根据图象可知，y1≤y2时，x的取值范围是x≥1． 27．（2024秋•南京期末）如图，一次函数y1＝kx+b的图象分别与x轴、y轴交于点A（﹣6，0），B（0，3）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $