1.5等腰三角形（第3课时等边三角形）（教学课件）数学新教材苏科版八年级上册

该初中数学课件聚焦等边三角形，涵盖概念、性质（各角60°）及判定定理（三个角相等或有一个60°的等腰三角形）。通过“等边三角形作为特殊等腰三角形”的问题导入，衔接等腰三角形知识，以问题链引导学生自主探索性质与判定。 其亮点在于以推理意识为核心，通过性质定理推导（如由等边对等角证三个角相等）和判定定理辨析（如例3选项判断）培养数学思维，结合符号语言表达（性质与判定的符号形式）和典例应用（如例4证明等边三角形）提升数学语言能力。课堂总结结构化梳理知识点，助力学生构建知识体系，教师可直接用于教学，提高课堂效率。

第1章 三角形 1.5等腰三角形 第3课时 等边三角形 学 习 目 标 1 2 理解等边三角形的概念 探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60° 3 探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形 等边三角形 新知探究 等边三角形： 三边都相等的三角形叫作等边三角形。 提分笔记 问题 新知探究 等边三角形是特殊的等腰三角形，它除了具有等腰三角形的一切性质，还具有哪些特殊的性质？ 如图，在△ABC中，AB = AC = BC。 由AB = AC，可知∠B = ∠C； 由BA = BC，可知∠C = ∠A。 ∴∠A = ∠B = ∠C = 60°。 A C B 新知探究 等边三角形的性质定理： 于是，我们得到等边三角形的性质定理： 等边三角形的各角都等于60°。 提分笔记 新知探究 符号语言：如图， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A = ∠B = ∠C = 60°。 提分笔记 A C B 思考 新知探究 学习了等腰三角形和等边三角形的概念之后，你能按边的相等情况对三角形进行分类吗？ 等腰三角形： 有两条边相等的三角形 不等边三角形： 三边都不相等的三角形 等边三角形： 三边都相等的三角形 探究 新知探究 等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°。 反之，当一个三角形的边、角具备哪些条件时，它就是等边三角形呢？ ( 1 ) 如图，在△ABC中，∠A = ∠B = ∠C。 ∵∠A = ∠B，∠B = ∠C， ∴AC = BC，AB = AC， ∴AB = BC = AC， ∴△ABC是等边三角形。 A C B 探究 新知探究 等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°。 反之，当一个三角形的边、角具备哪些条件时，它就是等边三角形呢？ ( 2 ) ① 如图，在△ABC中，AB = AC， ∠A = 60°； ∵AB = AC， ∴∠B = ∠C， ∵∠A = 60°， ∴∠B + ∠C = 180° - ∠A = 180° - 60° = 120°， ∴∠B = ∠C = 60° = ∠A， ∴由 ( 1 ) 中结论可知：△ABC是等边三角形； A C B 探究 新知探究 等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°。 反之，当一个三角形的边、角具备哪些条件时，它就是等边三角形呢？ ( 2 ) ② 如图，在△ABC中，AB = AC， ∠B = 60°； ∵AB = AC， ∴∠B = ∠C = 60°， ∴∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 60° - 60° = 60°， ∴∠A = ∠B = ∠C， ∴由 ( 1 ) 中结论可知：△ABC是等边三角形。 A C B 新知探究 如果一个三角形的三个角相等，那么它的三条边一定相等。 如果一个等腰三角形有一个角是60°，那么它的三个角一定相等。 新知探究 等边三角形的判定定理： 通过讨论，我们得到等边三角形的判定定理： ① 三个角都相等的三角形是等边三角形。 ② 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 提分笔记 新知探究 符号语言：如图， ① ∵∠A = ∠B = ∠C， ∴△ABC是等边三角形； ② ∵∠A = 60°，AB = AC， ∴△ABC是等边三角形； ∵∠B = 60°，AB = AC， ∴△ABC是等边三角形。 提分笔记 A C B 典例分析 例4 在等边三角形ABC中，DE // BC。求证：△ADE是等边三角形。 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A = ∠B = ∠C = 60° ( 等边三角形的性质定理 )。 ∵DE // BC， ∴∠ADE = ∠B = 60°，∠AED = ∠C = 60°。 ∴∠A = ∠ADE = ∠AED。 ∴△ADE是等边三角形 ( 等边三角形的判定定理 )。 A C B D E 题型探究 例1-1 如图，在等边△ABC中，AB = 4，BD是AC边上的高，点E在BC的延长线上，∠ACB = 2∠E，则BE的长为________。 根据定义求线段长 题型一 解：∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高， ∴BC = AC = AB = 4，CD = AC = 2， ∵∠ACB = ∠E + ∠CDE = 2∠E， ∴∠CDE = ∠E， ∴CE = CD = 2， ∴BE = BC + CE = 4 + 2 = 6。 A C B E D 6 题型探究 例1-2 如图，△ABC是等边三角形，在直线BC的下方有一点D，且DB = DC，连接AD交BC于点E。 ( 1 ) 求证：AD垂直平分BC； ( 2 ) 过点D作DF // AB，AC = 5，FC = 2，求DF的长。 根据定义求线段长 题型一 ( 1 ) 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB = AC， ∵DB = DC， ∴AD垂直平分BC； A C B E D F 题型探究 例1-2 如图，△ABC是等边三角形，在直线BC的下方有一点D，且DB = DC，连接AD交BC于点E。 ( 1 ) 求证：AD垂直平分BC； ( 2 ) 过点D作DF // AB，AC = 5，FC = 2，求DF的长。 根据定义求线段长 题型一 ( 2 ) 解：△ABC是等边三角形，AD垂直平分BC， ∴∠BAD = ∠CAD = ∠BAC， ∵DF // AB， ∴∠ADF = ∠BAD = ∠CAD， ∴DF = AF = AC - FC = 5 - 2 = 3。 A C B E D F 题型探究 例2 如图，△ABC是正三角形 ( 每个内角都相等 )。若l1 // l2，∠1 = 75°，则∠2的大小是________。 根据性质定理求角度 题型二 E F l1 l2 A B C 1 2 解：如图，设BC与l2交于点E，AC与l2交于点F， ∵△ABC是正三角形， ∴∠C = 60° ( 等边三角形的性质定理 )， ∵l1 // l2，∠1 = 75°， ∴∠AFE = ∠1 = 75°， ∴∠CEF = ∠AFE - ∠C = 15°， ∴∠2 = 180° - ∠CEF = 165°。 165° 题型探究 例3 根据下列条件，不能得到等边三角形的是（　　） A．有两个角是60°的三角形 B．有一个角是60°的等腰三角形 C．有两个角相等的等腰三角形 D．腰长和底边长相等的等腰三角形 根据判定定理进行辨析 题型三 C 题型探究 例4-1 如图，在四边形ABCD中，AD // BC，∠B = ∠D，点E在BA的延长线上，连接CE。若∠E = 60°，CE平分∠BCD， 求证：△BCE为等边三角形。 根据判定定理进行证明 题型四 证明：∵AD // BC，∴∠EAD = ∠B， ∵∠B =∠D，∴∠D = ∠EAD，∴BE // CD， ∴∠ECD = ∠E = 60°， 又∵CE平分∠BCD，∴∠BCE = ∠ECD = 60°， ∴∠B = 180° - ∠E - ∠∠BCE = 180° - 60° - 60° = 60°， ∴∠B = ∠E = ∠BCE， ∴△BCE为等边三角形 ( 等边三角形的判定定理 )。 E C B A D 题型探究 例4-2 已知如图，AB = AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E，且BE // AC。求证：△ABC是等边三角形。 根据判定定理进行证明 题型四 证明：∵AB = AC，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC，∠BAD = ∠CAD， ∵AB平分∠DAE， ∴∠BAE = ∠BAD = ∠CAD， ∵BE // AC，AE⊥BE，∴∠EAC = ∠E = 90°， ∴∠BAD = ∠CAD = ∠EAC = 30°， ∴∠BAC = 60°， ∴△ABC是等边三角形 ( 等边三角形的判定定理 )。 A C E D B 等边三角形：三边都相等的三角形叫作等边三角形。 等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。 等边三角形的判定定理： ① 三个角都相等的三角形是等边三角形。 ② 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 课 堂 总 结 感谢聆听! $