1.5 等腰三角形（第3课时 等边三角形）（课件）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备课系列（苏科版2024）

苏科版（2024）八年级数学上册 第一章 三角形 第3课时 等边三角形 1.5 等腰三角形 目录 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结与布置作业 课堂练习（分层练习） 01 学习目标 学习目标 1、掌握等边三角形三个内角相等且等于等于60°的性质； 2、经历等边三角形判定方法的讨论、发现、归纳、说理过程，体会分类讨论的思想。 3.掌握等边三角形的判定方法. 新课导入 等腰三角形的性质与判定有什么区别和联系？ 文字语言 图形语言 符号语言 等边对等角 等角对等边 ∴∠B＝∠C (等边对等角). A B C 在△ABC中， ∵AC＝AB (已知)， ∴AC＝AB(等角对等边). A B C 在△ABC中， ∵∠B＝∠C (已知)， 它们是互逆命题. 知识回顾 知识点讲解 定义与概念 三边都相等的三角形叫作等边三角形． 腰 腰 底边 如图，在等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC． 等边三角形是特殊的等腰三角形． A B C 等边三角形是特殊的等腰三角形，它除了具有等腰三角形的一切性质，还具有哪些特殊的性质？ 如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC． ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C． ∵BA＝BC， ∴∠C＝∠A. ∴∠A ＝∠B＝∠C＝60°. A B C 问题 定义与概念 等边三角形的各角都等于60°． 等边三角形的性质定理： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°. 符号语言： A B C 典型例题 例1.如图1.5-6，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，FD⊥ AB，计算△DEF各个内角的度数. 解题秘方：紧扣等边三角形的三个内角都等于60°，求角的度数. 经典例题 解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°. ∵ DE⊥AC，EF⊥BC，FD⊥AB， ∴∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°. ∴∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°. ∴∠EDF＝180°－∠ADE－∠FDB＝180°－30°－90°＝60°. 同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°.∴△DEF各个内角的度数都是60°. 知识点讲解 等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°．反过来，当一个三角形的边、角具备哪些条件时，它就是等边三角形呢？ 讨论 ∵∠B＝∠C，∴ AB＝AC . ∵∠A＝∠C，∴ AB＝BC . ∴AB＝AC＝BC. ∴△ABC是等边三角形. A B C 我们把两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”. 如果一个三角形的三个角相等，那么它的三条边一定相等. 等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°．反过来，当一个三角形的边、角具备哪些条件时，它就是等边三角形呢？ 若顶角是60°，则两个底角相等，也都是60°. 所以三个角都相等，△ABC是等边三角形. 若一个底角是60°，则另一个底角也是60°， 顶角也是60°. 所以三个角都相等，△ABC是 等边三角形. A B C 讨论 我们把两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”. 如果一个等腰三角形有一个角是60°，那么它的三个角一定相等. 定义与概念 等边三角形的判定定理1： 三个角都相等的三角形是等边三角形． 符号语言： ∵∠A＝∠B＝∠C ， ∴△ABC是等边三角形． A B C 定义与概念 等边三角形的判定定理2： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． A B C 符号语言： ∵AB＝AC ，∠A＝60° (或∠B＝60° 或∠C＝60°) ∴△ABC是等边三角形． 典型例题 例2 （课本例题）如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC． 求证：△ADE是等边三角形． A C B D E 证明：∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A＝∠B＝∠C＝60°(等边三角形的性质定理)． ∵ DE∥BC， ∴ ∠ADE＝∠B＝60°， ∠AED＝∠C＝60°． ∴ ∠A＝∠ADE＝∠AED． ∴ △ADE是等边三角形(等边三角形的判定定理)． 经典例题 例3.如图1.5-10，C为线段AB上一点，△ACM和△CBN都是等边三角形，AN，MC相交于点E，BM，CN相交于点F. 经典例题 求证：(1)AN＝MB； 解题秘方：要证AN＝MB，只需证△ACN≌△MCB； 证明：∵△ACM和△CBN都是等边三角形，∴ AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°. ∴∠ACM＋∠MCN＝∠BCN＋∠MCN，即∠ACN＝∠MCB. 在△ACN 和△MCB中， ∴△ACN≌△MCB(SAS)，∴ AN＝MB. (2)求证：△CEF是等边三角形. 解题秘方：根据已知条件，易求∠ECF＝60°，再证明△ECF 为等腰三角形即可. 例3.如图1.5-10，C为线段AB上一点，△ACM和△CBN都是等边三角形，AN，MC相交于点E，BM，CN相交于点F. 经典例题 证明：∵△ACN≌△MCB，∴∠ENC＝∠FBC. ∵∠ECN＝180°－∠ACM－∠NCB＝60°，∴∠ECN＝∠FCB. 在△ECN和△FCB中， ∴△ECN≌△FCB(ASA)，∴ CE＝CF. 又∵∠ECF＝60°，∴△CEF是等边三角形. 知识点讲解 B C A 用两个含30°角的三角板拼成的△ABC是等边三角形吗？ 方法1：∵ ∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∴ △ADE是等边三角形． 方法2：∵ AB＝AC，∠B＝60°， ∴ △ABC是等边三角形． 探究 B C A 在Rt△ABD中，30°角所对的直角边和斜边有什么关系？ D ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC． ∵BD＝CD＝BC， ∴BD＝CD＝AB． 探究 定义与概念 在直角三角形中、如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半． 符号语言： 在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∵∠A＝30°， ∴BC＝AB． A B C 30° 典型例题 例4.如图1.5-12，在Rt△ABC中 ，∠C＝90° ，AB边的垂直平分线MN交AB于点M，交BC于点N，且∠B＝15 ° ，AC＝4 cm，求BN的长. 经典例题 解：如图1.5 -12，连接AN. ∵ MN为AB边的垂直平分线， ∴ AN＝BN. ∴∠NAB＝∠B＝15°. ∴∠ANC＝∠B＋∠NAB＝30°. ∵∠C＝90°，∴ AN＝2AC=2×4＝8(cm). ∴ BN＝8 cm. 解题秘方：先构造含30°角的直角三角形，再利用含30°角的直角三角形的性质求线段长. 总结归纳 教你一招 1. 求某直角三角形的边长时，考虑构造含30°角的直角三角形. 2.若给出的是15 °角，则构造以15°角为底角的等腰三角形，其顶角处的外角为30°角. 课堂练习 知识点1 等边三角形的性质 1.［2025吉林松原期中］如图，平移图形①，与图形②可以 拼成一个等边三角形，则图中 的度数是( ) D A. B. C. D. 【解析】 可以拼成一个等边三角形， ， .故 选D. 基础题 30 2.［2025辽宁大连期中］如图，是等边三角形，点 ， ，分别在，，上，， ，则 ____ . 50 【解析】 是等边三角形， ， ， ， .故 答案为50. 31 3.［2025福建南平期中］如图，是等边的外角 内 部的一条射线，点关于的对称点为，连接, . （1）依题意补全图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； 【解】如图所示. （2）若 ，求 的度数. 【解】，关于对称，垂直平分， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， . 32 知识点2 等边三角形的判定 4.［2025江苏宿迁期末］下列条件中，不能判定 为等边三角形的是( ) B A. B. C. ， D. ， 【解析】 A ， ，， 是等边三角 形，故选项A不符合题意 B ， ，但与不一定等于 , 不一 定是等边三角形，故选项B符合题意 C ，， 是等边三角形,故选项C不符合题意 D ，， 是等边三角形,故选项D不符合题意 33 5.［2025江苏连云港调研］如图，一艘轮船由海平面上 地出发， 向南偏西 的方向行驶80海里到达地，再由地向北偏西 的 方向行驶80海里到达地，则， 两地相距____海里. 80 【解析】连接 点在点的南偏西 方向上，点在点 的北 偏西 方向上， .又， 为等边三角形， 海里. 34 6.［2025吉林长春期中］如图，在四边形中， ， ， ，点为上一点，连接，交于点 ， . （1）判断 的形状，并说明理由； 【解】是等边三角形.理由如下：， ， 为等边三角形， ， , ， , 是等边三角形. 35 （2）若，，则 的长为___. 5 【解析】连接交于点 ，如图. ，，垂直平分，平分 ， ，， ， 是等边三角形， ， .故答案为5. 36 知识点3 含 角的直角三角形的性质 7.［2025河南信阳期中］如图，在中， ， ， 的垂直 平分线交于点，交于点.若，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】连接，如图.是的垂直平分线， ， .又 ， ， .在直角三角形 中， .故选C. 37 8.［2025江西南昌期中］如图，在中， ， ， ，点从点出发以的速度向点运动，同时点从点 出发以的速度向点运动，运动的时间为 ，解决以下问题： （1）当为何值时， 为等边三角形? 【解】根据题意可得，， , ， ，, 为等 边三角形，，，， 当的值为2时， 为等边三 角形. （2）当为何值时， 为直角三角形? 【解】①当为直角时， ，， ， ；②当为直角时， ，， ， , 当的值为或3时， 为直角三角形. 38 9.如图，在等边三角形中，是边 上的一点，点在边 的延长线上. （1）若，为 的中点，求证： . 证明：是等边三角形， . 为的中点， . ， . ， ， . 提升题 （2）在（1）的条件下，过点作于点，当 时，求 的长. 解：， . ， ， . ， . ，， . 39 10. 如图，为等边三角形，直线 ，且经过点， 为直线上一动点，将一 角的顶点置于点 处，它的一边始终经过点， 另一边与直线交于点，与交于点 . 拓展题 （1）若恰好是的中点（如图①）， 求证： 是等边三角形； 证明： 直线，且为等边三角形，为 的中点， ，， , . ， ， ， ，， ， 易得 .又 ， 是等边三角形. 40 （2）若为直线 上任意一点（如图②），其他条件不变，上述（1）的结论是 否成立？请说明理由. 解：成立.理由：如图，在上取点，使 ，连接， ， 是等边三角形. , . ， ，， . 又,， ， ，又 ， 是等边三角形. 10. 如图，为等边三角形，直线 ，且经过点， 为直线上一动点，将一 角的顶点置于点 处，它的一边始终经过点， 另一边与直线交于点，与交于点 . 41 课堂小结 等边三角形的性质 等边三角形的三个内角都相等，并且每一 个角都等于60°. 等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”. 等边三角形的判定 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是 的等腰三角形是等边三角形 本节课同学们学到了什么？ 布置作业 作业题 教科书第49页练习 第1，2, 3题 1．如图，BD，CE是等边三角形ABC的中线．求∠1，∠2，∠3，∠4的度数． A C B D E 1 2 4 3 解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB ＝60°， ∵BD，CE是等边三角形ABC的中线. ∴BD是∠ABC的平分线，CE是∠ACB的平分线， ∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∠ECB＝∠ACB＝30°. ∴∠1＝∠2＝∠DBC＋∠ECB ＝ 60°. ∠3＝∠4＝180°－∠2＝180°－60°＝120°. 课本练习 2．如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是三边的中点，写出图中所有的等边三角形，并说明理由． A C B D E F 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝60°． ∵D，E，F分别是三边的中点， ∴AD＝DB＝AB，AF＝FC＝AC，BE＝EC＝BC. ∴AD＝DB＝AF＝FC＝BE＝EC． ∴△ADF，△DBE，△FEC是等边三角形． ∴DE＝DF＝EF， ∴△DEF是等边三角形． 3.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BD⊥AC，垂足为D．求证：CA＝4DA． 30° A B C D 证明：∵∠ABC＝90°， ∴∠A＋∠C＝90°． ∵BD⊥AC， ∴∠BDA＝90°． ∴∠A＋∠ABD＝90°． ∴∠ABD＝∠C＝30°． ∴CA＝2AB，AB＝2DA． ∴CA＝4DA． 感谢观看 $$