第1章 三角形 习题课件 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

该初中数学三角形单元复习课件系统梳理了全等三角形判定、等腰与直角三角形性质、角平分线及网格三角形等核心知识，通过各地期中期末及中考真题例题，将三角形全等条件、特殊三角形性质与动态问题、最短路径等应用串联，构建“概念-性质-应用”的完整知识网络。 其亮点在于分层设计与核心素养融合，基础题巩固全等判定（如SAS、ASA应用）培养推理意识，新定义“直角等腰线”题发展创新意识，尺规作图题提升几何直观。不同难度题目适配个性化复习，助力学生深化理解，教师可精准把握复习重点。

第1章 三角形 一、选择题(每小题3分,共24分.每小题只有一个选项是符合 题意的) 1. (2025江苏苏州吴江月考,★☆☆)如图,已知点A,D,C,F在同 一条直线上,AB=DE,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,还需要添加 一个条件是 ( ) A. ∠B=∠E　　    B. ∠BCA=∠F　　     C. BC∥EF　 　    D. ∠A=∠EDF A 解析    A.∵AB=DE,∠B=∠E,BC=EF,∴△ABC≌△DEF (SAS),故A符合题意; B.由AB=DE,BC=EF,∠BCA=∠F不能使△ABC≌△DEF成立, 故B不符合题意; C.∵BC∥EF,∴∠BCA=∠F,由AB=DE,BC=EF,∠BCA=∠F不 能使△ABC≌△DEF成立,故C不符合题意; D.由AB=DE,BC=EF,∠A=∠EDF不能使△ABC≌△DEF成立, 故D不符合题意. 2. (2024青海中考改编,★☆☆)如图,在Rt△ABC中,D是AC的 中点,∠BDC=60°,AC=6,则BC的长是 ( )   A. 3　　    B. 4　　    C. 5　　    D. 6 A 解析　∵点D是Rt△ABC斜边AC的中点,AC=6, ∴BD=CD=AD= AC=3, ∵∠BDC=60°,∴△BCD为等边三角形,∴BC=BD=3. 3. (2025江苏连云港期中,★☆☆)如图,正方形的网格中,∠1+ ∠2+∠3+∠4+∠5等于 ( )   A. 175°　　    B. 180°　　     C. 210°　　    D. 225° D 解析　如图,   易得△AOM≌△OEF(SAS), ∴∠1=∠EOF,∴∠1+∠5=90°, 易得△BON≌△ODF(SAS), ∴∠2=∠DOF, ∴∠2+∠4=90°, ∵∠3=45°, ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=90°+90°+45°=225°. 4. (★☆☆)如图,O是△ABC的三条角平分线的交点,连接OA, OB,OC,若△OAB,△OBC,△OAC的面积分别为S1,S2,S3,则下列 关系正确的是 ( )   A. S1>S2+S3　　 B. S1=S2+S3　　  C. S1<S2+S3　　 D. 无法确定 C 解析　如图,过O点作OD⊥AB于D,OE⊥BC于E,OF⊥AC于F, ∵O是△ABC的三条角平分线的交点,∴OD=OE=OF,∵S1=  AB·OD,S2+S3= BC·OE+ AC·OF= OD·(BC+AC),AB<BC+AC, ∴S1<S2+S3.   5. (★★☆)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,D为AB边上一点,且 AD=DC=BC,则∠B的度数为 ( )   A. 72°　　    B. 60°　　    C. 48°　　    D. 36° A 解析　设∠A=α,∵AD=DC,∴∠ACD=∠A=α, ∴∠BDC=∠ACD+∠A=2α,∵DC=BC,∴∠B=∠BDC=2α, ∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=∠ACD+∠BCD=α+∠BCD=2α,∴∠ BCD=α,∵∠B+∠BDC+∠BCD=180°,∴2α+2α+α=180°,解得α =36°,∴∠B=2α=72°. 6. (2025江苏镇江润州期末,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC, AB>BC,点D在边BC上,CD=2BD,点E,F在线段AD上,∠1=∠2= ∠BAC,若△ABC的面积为18,则△ACF与△BDE的面积之和 是　     ( ) A A. 6　　    B. 8　　 C. 9　　    D. 12 解析　∵∠1=∠2=∠BAC,∠1=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠ BAE+∠CAF,∠2=∠FCA+∠CAF,∴∠ABE=∠CAF,∠BAE= ∠FCA,∵在△ABE和△CAF中,  ∴△ABE≌△CAF(ASA),∴△ACF的面积=△ ABE的面积,∴△ACF与△BDE的面积之和=△ABE与△BDE 的面积之和,∵△ABC的面积为18,CD=2BD,∴△ABD的面积=  ×18=6,∴△ACF与△BDE的面积之和=△ABD的面积=6. 7. (2025江苏常州武进期末,★★☆)如图,四边形ABCD中,AC, BD为对角线,且AC=AB,∠ACD=∠ABD,AE⊥BD于点E,若BD= 6,CD=4,则DE的长为 ( )   A. 2　　    B. 1　　    C. 1.4　　    D. 1.6 B 解析　如图,过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F,∴∠AFC =90°,∵AE⊥BD,∴∠AFC=∠AED=∠AEB=90°,∵在△AFC和 △AEB中, ∴△AFC≌△AEB(AAS),∴AF=AE, CF=BE,∵在Rt△AFD和Rt△AED中,  ∴Rt△AFD≌Rt△AED(HL),∴DF=DE,∵CF=CD+DF, BE=BD-DE,∴CD+DF=BD-DE,∴2DE=BD-CD,∵BD=6,CD= 4,∴2DE=2,∴DE=1.   8. (2025江苏南京玄武期中,★★★)如图,BE和CE分别为△ ABC的内角的平分线和外角的平分线,BE⊥AC于点H,CF平分 ∠ACB交BE于点F,连接AE,则下列结论正确的有 ( ) ①∠ECF=90°;②AE=CE;③∠BFC=90°+ ∠BAC;④∠BAC=2 ∠BEC;⑤∠AEH=∠BCF.   D A. 2个　　    B. 3个　　     C. 4个　　    D. 5个 解析　∵CF平分∠ACB,CE平分∠ACD,∴∠ACF= ∠ACB, ∠ACE= ∠ACD,∴∠ECF=∠ACF+∠ACE= (∠ACB+∠ ACD)=90°,故①正确; ∵BE平分∠ABC,BE⊥AC,∴∠ABE=∠CBE,∠BHA=∠BHC= 90°,∴∠BAH+∠ABE=90°,∠ACB+∠EBC=90°,∴∠BAC=∠ BCA,∴AB=BC,∵BE⊥AC,∴AH=CH,∴EA=EC,故②正确; ∵∠BFC=180°-(∠FBC+∠FCB)=180°- (∠ABC+∠ACB)=18 0°- (180°-∠BAC)=90°+ ∠BAC,故③正确; 设∠ACE=∠ECD=x,∠ABE=∠EBC=y,则有  ∴∠BAC=2∠BEC,故④正确; ∵EA=EC,BE⊥AC, ∴∠AEB=∠BEC,∵∠FCH+∠ACE=90°,∠ACE+∠BEC=90°, ∴∠FCH=∠BEC=∠AEB,∵∠ACF=∠BCF, ∴∠AEH=∠BCF,故⑤正确. 综上,正确的有5个,故选D. 二、填空题(每小题3分,共24分) 9. (2025江苏镇江京口期末,★☆☆)在等腰△ABC中,AB=AC, ∠A=50°,则∠B=___________.     65°     解析　∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠A=50°,∴∠B=(180°-50°)÷2 =65°. 10. (2025江苏南通崇川期末,★☆☆)如图,在△ABC中,DE是 AC的垂直平分线,AC=6.若△ABD的周长为13,则△ABC的周 长为__________.       19     解析　∵DE是AC的垂直平分线,∴AD=DC, ∵AB+BD+AD=13,AC=6, ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=AB+BD+AD+AC=13+6=19. 11. (2025江苏南京期中,★☆☆)如图,△ABC的3个顶点分别 在小正方形的顶点(格点)上的三角形叫格点三角形.除格点△ ABC外,在网格中可画出与△ABC全等的格点三角形共有 _________个.       3 解析　如图,与△ABC全等的格点三角形是△DHG、△ BAE、△HDF,共3个.   12. 【学科特色·教材变式】(2025江苏南通如皋期中,★★☆) 如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,∠ABC,∠ACB的平分线相交 于点O,MN过点O,且MN∥BC,分别交AB,AC于点M,N,则△ AMN的周长为__________.       18     解析　∵BO平分∠ABC,∴∠ABO=∠OBC,∵MN∥BC,∴∠ MOB=∠OBC,∴∠ABO=∠MOB,∴BM=OM,同理可得CN= ON,∴△AMN的周长是AM+NM+AN=AM+OM+ON+AN=AM+ BM+CN+AN=AB+AC=10+8=18. 13. (★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D,E是BC 边上的点,连接AD,AE,作△ADE关于直线AE对称的△AD'E,连 接D'C,若BD=CD',则∠DAE=__________°.       60     解析　∵△ADE与△AD'E关于直线AE对称,∴AD=AD',∠ DAE=∠D'AE, ∵在△ABD和△ACD'中, ∴△ABD≌△ACD'(SSS), ∴∠BAD=∠CAD',∴∠DAD'=∠BAC=120°, ∴∠DAE=∠D'AE= ∠DAD'=60°. 14. (2025江苏南京秦淮期末,★★☆)如图,在△ABC中,S△ABC=21, ∠BAC的平分线AD交BC于点D,点E为AD的中点,连接BE,点 F为BE上一点,且BF=2EF.若S△DEF=2,则AB∶AC=___________.       4∶3     解析　∵BF=2EF,S△DEF=2,∴S△BDE=3S△DEF=3×2=6, ∵点E为AD的中点,∴S△ABD=2S△BDE=2×6=12, ∵S△ABC=21,∴S△ACD=21-12=9, 如图,过D作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,   ∵AD是∠BAC的平分线,∴DM=DN, ∴ = = = = ,即AB∶AC=4∶3. 15. (2025江苏南通如东月考,★★☆)如图,在等腰△ABC中,AB =AC=20,BC=32,△ABD是等边三角形,P是∠BAC的平分线上 一动点,连接PC,PD,则PC+PD的最小值为__________.       20     解析　如图,连接PB,∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,P是∠ BAC的平分线上一动点,∴AP所在直线为等腰△ABC的对称 轴,∴点B,点C关于AP对称,∴PB=PC,∴PC+PD=PB+PD≥BD, ∴PC+PD的最小值为BD的长,∵△ABD是等边三角形,∴BD= AB=20,∴PC+PD的最小值为20.   16. (2025江苏扬州仪征期中,★★★)如图,在四边形ABCD中, ∠DAB=∠ABC,AB=5 cm,AD=BC=3 cm,点E在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点F在线段BC上由点B向 点C运动.设运动时间为t(s),当△ADE与以B,E,F为顶点的三角 形全等时,点F的运动速度为_____________cm/s.       1或1.2     解析　设点F的运动速度为x cm/s,则AE=t cm,BE=(5-t)cm,BF= xt cm,∵∠DAB=∠ABC,∴当AD=BE,AE=BF时,根据“SAS” 可判定△ADE≌△BEF,故5-t=3,t=xt,解得t=2,x=1;当AD=BF, AE=BE时,根据“SAS”可判定△ADE≌△BFE,故xt=3,t=5-t, 解得t=2.5,x=1.2. 综上所述,点F的运动速度为1 cm/s或1.2 cm/s. 三、解答题(共72分) 17. (2024四川攀枝花中考,★☆☆)(6分)如图,AB∥CD,AE∥ CF,BF=DE.求证:AB=CD.   证明　∵AB∥CD,AE∥CF,∴∠B=∠D,∠AEB=∠CFD,∵BF =DE,∴BF+EF=DE+EF,∴BE=DF, ∵在△ABE与△CDF中,  ∴△ABE≌△CDF(ASA),∴AB=CD. 18. 【新考向·尺规作图】(2025江苏扬州宝应期中,★☆☆)(8 分)电信部门要修建一座电视信号发射塔P,按照设计要求,发 射塔P到两城镇A,B的距离必须相等,到两条高速公路m和n的 距离也必须相等.请在图中作出发射塔P的位置.(尺规作图,不 写作法,保留作图痕迹)   解析　如图,满足条件的点有两个,即P,P'.   19. (2024湖南长沙中考,★☆☆)(8分)如图,点C在线段AD上, AB=AD,∠B=∠D,BC=DE. (1)求证:△ABC≌△ADE. (2)若∠BAC=60°,求∠ACE的度数.   解析    (1)证明:在△ABC和△ADE中,  ∴△ABC≌△ADE(SAS). (2)由(1)知△ABC≌△ADE, ∴AC=AE,∠DAE=∠BAC=60°,∴∠AEC=∠ACE, ∵∠AEC+∠ACE=180°-∠DAE=120°,∴∠ACE=60°. 20. (2025北京顺义期末,★☆☆)(8分)如图,点P是∠AOB的平 分线上的一点,过点P作PC∥OA交OB于点C,PD⊥OA交OA于 点D. (1)求证:点C在线段OP的垂直平分线上. (2)若∠AOB=30°,OC=6,求PD的长.   解析    (1)证明:∵点P是∠AOB的平分线上的一点, ∴∠BOP=∠AOP, ∵PC∥OA,∴∠CPO=∠AOP,∴∠CPO=∠BOP, ∴OC=CP, ∴点C在线段OP的垂直平分线上. (2)如图,过点P作PH⊥OB于点H,   ∵OP平分∠AOB,PD⊥OA,∴PD=PH, ∵PC∥OA,∠AOB=30°,∴∠HCP=∠AOB=30°,∴PH= PC, 由(1)可知PC=OC=6,∴PH=3,∴PD=PH=3. 21. (2025江苏常州天宁期中,★★☆)(8分)如图,在△ABC中,点 D在AB上,且CD=CB,E为BD的中点,F为AC的中点,连接EF交 CD于点M,连接AM. (1)求证:EF= AC. (2)若EF⊥AC,求证:AM+DM=CB. 证明    (1)如图,连接CE, ∵CD=CB,E为BD的中点,∴CE⊥BD, ∵F为AC的中点,∴EF= AC. (2)∵EF⊥AC,F为AC的中点,∴EF垂直平分AC, ∴AM=CM,∵CD=DM+MC,∴CD=DM+AM, ∵BC=DC,∴AM+DM=CB. 22. (2025江苏苏州相城期中,★★☆)(10分)如图,在正方形 ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且CE=CF. (1)求证:BE=DF. (2)若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什 么? 解析    (1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴BC=DC,∠B=∠CDA=90°,∴∠CDF=90°, ∵在Rt△CBE和Rt△CDF中,  ∴Rt△CBE≌Rt△CDF(HL),∴BE=DF. (2)GE=BE+GD成立. 理由:∵△CBE≌△CDF,∴∠BCE=∠DCF, ∵∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°, ∴∠ECF=∠DCF+∠DCE=90°, ∵∠GCE=45°,∴∠GCF=∠ECF-∠GCE=45°=∠GCE, ∵在△ECG和△FCG中,  ∴△ECG≌△FCG(SAS),∴GE=GF, ∵GF=DF+DG,BE=DF,∴GE=BE+DG. 23. 【新考向·新定义题】(2025福建厦门思明期末,★★☆)(12 分)在直角三角形中,过一个锐角顶点的一条直线将直角三角 形分成一个直角三角形和一个等腰三角形,则称这条直线是 该直角三角形的“直角等腰线”. (1)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=22.5°,D在边BC上,且∠ CAD=2∠BAD,判断AD是不是Rt△ABC的“直角等腰线”,并 说明理由. (2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,BC=6.若AD为Rt△ABC 的“直角等腰线”,求点D到AB的距离.   解析    (1)AD是Rt△ABC的“直角等腰线”.理由如下: ∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=22.5°, ∴∠CAB=90°-22.5°=67.5°, ∵∠CAD=2∠BAD,∴∠DAB= ×67.5°=22.5°, ∴∠DAB=∠B,∴△ADB是等腰三角形, ∵△ACD是直角三角形, ∴AD是Rt△ABC的“直角等腰线”. (2)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,∴∠B=30°, ∵AD为Rt△ABC的“直角等腰线”,∴∠DAB=∠B=30°,∴∠ CAD=∠BAC-∠DAB=60°-30°=30°,∴∠CAD=∠DAB,过点D 作DE⊥AB,垂足为E(图略), ∴CD=DE,∴BC=CD+BD=DE+BD, ∵在Rt△BDE中,∠B=30°,∴DE= BD= BC= ×6=2. ∴点D到AB的距离为2. 24. (2025江苏淮安淮阴月考,★★★)(12分)如图,在等边△ ABC中,AB=AC=BC=6 cm,现有两点M,N分别从点A,B同时出 发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为 2 cm/s.当点N第一次回到点B时,点M,N同时停止运动,设运动 时间为t s. (1)当t为何值时,M,N两点重合? (2)当点M,N分别在AC,BA边上运动时,△AMN的形状会不断发 生变化. ①当t为何值时,△AMN是等边三角形? ②当t为何值时,△AMN是直角三角形? (3)若点M,N都在BC边上运动,当△AMN是以MN为底边的等腰 三角形时,求此时t的值.   解析    (1)由题意得点M运动的路程为t cm,点N运动的路程为 2t cm, ∵M,N两点重合,∴t+6=2t,解得t=6, ∴当t=6时,M,N两点重合. (2)①如图1,   由题意得AM=t cm,AN=(6-2t)cm, ∵∠A=60°,∴当AM=AN时,△AMN是等边三角形, ∴t=6-2t,解得t=2, ∴当t=2时,△AMN是等边三角形. ②当∠AMN=90°时,如图2,   由题意得AM=t cm,AN=(6-2t)cm, ∵∠A=60°,∴∠ANM=30°, ∴2AM=AN,即2t=6-2t,解得t= ; 当∠ANM=90°时,如图3,   ∵∠A=60°,∴∠AMN=30°, ∴2AN=AM,即2(6-2t)=t,解得t= . 综上所述,当t= 或 时,△AMN是直角三角形. (3)由(1)知6秒时M,N两点重合,恰好在C处, 如图4,△AMN是以MN为底边的等腰三角形, ∴AN=AM,∴∠AMN=∠ANM,∴∠AMC=∠ANB, ∵AB=AC,∴∠C=∠B, ∴△ACM≌△ABN(AAS),∴CM=BN, ∴t-6=18-2t,解得t=8, ∴当△AMN是以MN为底边的等腰三角形时,t的值为8. $