第7讲 等差数列求和（讲义）-2026-2027学年四年级上册数学人教版

【人教版】小学四年级上册奥数培优讲义·第7讲 等差数列求和 教学目标 1. 知识目标：认识数列、等差数列、首项、末项、项数、公差基础概念，牢记并灵活运用求和、求项数、求末项三大核心公式。 2. 能力目标：掌握 “判断 — 补全 — 计算” 标准解题三步法，能独立完成基础计算、图形计数、生活综合三类等差题型；提升观察归纳、配对建模数学思维。 3. 素养目标：结合时钟、图形、生活场景感受数学实用价值，养成规范分步书写、完整写答的答题习惯，培养主动思考、敢于质疑的学习习惯。 教学重点 1. 等差数列三大公式背诵与基础套用； 2. 项数计算公式，牢记末尾必须加 1，规避高频丢分点。 教学难点 1. 图形、复合型应用题中，快速提取首项、末项、公差； 2. 周期、昼夜类隐藏倍数生活题，读懂题意、区分条件。 前言 本节讲义在立足课本的基础上，对等差数列重难点进行引申拓展，有机渗透数形结合、配对求和等数学思想，训练观察、归纳、建模创新思维。通过拆解经典奥数真题，串联课本连续加法知识点，实现课内基础与竞赛题型一体化，大幅降低奥数学习难度。 本讲义分为三大板块： 经典范例 —— 通过解题思路与技巧点拨，领会核心原理，搭建标准解题思维模型； 巩固提升 —— 在经典范例基础上分层训练，强化解题步骤，熟练套用三大核心公式； 综合拓展 —— 融合生活、图形类综合题型，提升综合解题能力，积累考场解题经验。 朱熹曰：读书，始读，未知有疑；其次，则渐渐有疑；中则节节有疑。过了这一番，疑渐渐释，以至融会贯通，都无所疑，方始是学。期盼通过本讲的学习，让更多孩子的逻辑推理思维得到发展，数学计算核心素养稳步提升！ 一、知识梳理 等差数列问题的核心思路：把一串有规律的数字两两配对，将复杂连加转化为简单乘法，从变化的数列中锁定首项、末项、项数、公差4个不变量，依靠固定公式快速计算。 (一)基础概念 1. 数列：按固定顺序排成的一串数字，其中每一个数字叫做项； 2. 首项：数列最开头第一个数；末项：数列最后一个数；项数：数列数字总个数； 3. 等差数列：从第二项开始，后一项减前一项的差值永远不变，这个固定差值叫做公差。 举例： ① 1，2，3，4…100：首项 1，末项 100，公差 1（连续自然数） ② 1，3，5，7…99：首项 1，末项 99，公差 2（奇数数列） ③ 8，15，22，29…71：首项 8，末项 71，公差 7（间隔 7 的数列） (二)三大核心公式（解题基础） 等差数列求和公式：总和 =（首项 + 末项）× 项数 ÷ 2 公式来源：高斯巧算 1+2+…+100，首尾两两配对求和推导而来。 求项数公式：项数 =（末项 − 首项）÷ 公差 + 1 适用场景：已知首尾数字、公差，数字不连续，求数列一共有多少个数。 求末项公式：末项 = 首项 + 公差 ×（项数 − 1） 适用场景：已知开头数字、公差、总项数，求数列最后一个数字。 【配套记忆口诀】 等差求和两头加，乘以项数再除二； 求项先算首尾差，除以公差再加一； 求末公差乘项差，加上首项得答案。 (三)标准解题三步法 1. 判断：先观察数列，确认是否为等差数列； 2. 补全：缺少项数先算项数，缺少末项先算末项； 3. 计算：对应公式代入数值，分步算出总和。 (四)高频易错警示 1. 求项公式极易忘记末尾「+1」，少算 1 个数字； ❌错误示例：((31-11)÷1=20)（漏加 1，项数算错）； ✅正确示例：((31-11)÷1+1=21)。 2. 时钟、天数类生活题，注意区分半天 / 一昼夜（2 个 12 小时）； 3. 非等差数列不能直接套用三大公式； 4. 算式最后不要漏写单位、答句。 (五)常见5大题型 1. 连续自然数基础求和（公差 = 1） 2. 间隔数列求和（公差= 2、3、4 等任意数字） 3. 已知首项公差项数，先求末项再求和 4. 图形计数综合等差数列（多层图形、火柴计数） 5. 生活应用题型（时钟、分配、计数问题） 二、精讲精练 【经典范例 1】 【连续自然数等差数列求和】 计算：1+2+3+4+...+2026 【解题思路】数列依次加 1，公差为 1，连续自然数项数直接等于末项，直接代入求和公式。 【解析】 首项 = 1，末项 = 2026，项数 = 2026。 代入求和公式： 总和 = (1 + 2026) × 2026 ÷ 2 = 2053351 【提示】 全部连续自然数组成的数列，数字个数 = 末项，无需额外计算项数。 【口算小练】图书馆书架第一层 1 本书，第二层 2 本…… 第 45 层 45 本，书架一共放多少本书？ 解：首项 1，末项 45，项数 45 总和 =（本） 【经典范例 2】 【公差为 1，不连续自然数，先求项数再求和】 计算：11+12+13+...+31 【解析】 数列首项 = 11，末项 = 31，公差 = 1，首尾不相连，必须先计算项数。 ① 项数：(31 - 11) ÷ 1 + 1 = 21 ② 总和：(11 + 31) × 21 ÷ 2 = 441 【口算小练】体育课排队，从第 13 名到第 42 名同学报数，所有报数数字相加等于多少？ 解：首项 13，末项 42，项数 总和 = 【经典范例 3】 【公差不为 1，先求项数再求和】 计算：3+7+11+15+...+99 【解析】 数列首项 = 3，末项 = 99，公差 = 4，数字间隔不统一，第一步先算项数。 ① 项数：(99 - 3) ÷ 4 + 1 = 25 ② 总和：(3 + 99) × 25 ÷ 2 = 1275 【口算小练】小区楼道台阶，第 1 层台阶 3 级，每上一层多 4 级，到第 16 层一共有多少级台阶？ 首项 3，公差 4，项数 16，末项 () 总和 = 【经典范例 4】 【已知首项、公差、项数，先求末项再求和】 已知等差数列首项 25，公差 3，求前 40 项的和。 【解析】 题目未给出末项，需要先用末项公式算出最后一个数，再代入求和。 ① 末项：25 + 3 × (40 - 1) = 142 ② 总和：(25 + 142) × 40 ÷ 2 = 3340 【口算小练】花店第一天卖出 25 束花，之后每天多卖 3 束，连续卖 28 天，一共卖出多少束？ 末项 = 总和 = 三、拓展例题（图形、生活综合应用题） 【拓展例 1】 【等边三角形图形计数（双重等差数列）】 最小等边三角形面积 12 平方厘米，单层边长为 1 根火柴，完整图形一共 8 层（如下图）。 (1) 求最大三角形总面积；(2) 求搭建图形全部火柴总根数。 【解析】 （1）每层小三角形数量：1，3，5…15，构成等差数列，首项 1，末项 15，项数 8 三角形总个数 = (1 + 15) × 8 ÷ 2 = 64（个） 总面积：64 × 12 = 768（平方厘米） （2）每层所用火柴数量：3，6，9…24，构成等差数列，首项 3，末项 24，项数 8 火柴总数 = (3 + 24) × 8 ÷ 2 = 108（根） 答：最大三角形面积 768 平方厘米，整个图形一共使用 108 根火柴。 【拓展例 2】 【魔术变球生活实际应用】 盒子里原有 3 只乒乓球；第 n 次从盒中拿出 n 只球，每一只球变成 3 只后放回盒子，一共操作 10 次，求最后盒子里一共有多少只乒乓球？ 【解析】 1 只球变成 3 只，单次每只球会多出 2 只；第 n 次操作会多出 2n 只球。 ① 十次一共新增球数：2 × (1 + 2 + 3 + ... + 10) = 2 × [(1 + 10) × 10 ÷ 2] = 110（只） ② 加上原本盒子里的 3 只球：110 + 3 = 113（只） 综合列式：3 + 2 × (1 + 2 + 3 + ... + 10) = 113（只） 答：盒子里最后共有 113 只乒乓球。 四、巩固提升练习 （一）基础计算专项★（必做题，全部套用基础公式） 1.计算下列等差数列的和 (1) 1+2+3+...+50 (2) 2+4+6+...+100 (3) 1+4+7+...+100 (4) 5+12+19+...+103 2.等差数列首项 5，末项 93，公差 4，求这个数列的总和。 3.等差数列首项 13，公差 5，求前 30 项的和。 4.等差数列首项 7，末项 67，公差 5，求这个数列的总和。 5.一个等差数列首项 12，公差 4，求前 25 项的和。 （二）综合拓展练习★★（选做题，图形、生活综合题型） 1.时钟整点敲打对应钟点数，每半点敲 1 下，求时钟一昼夜总共敲打多少次？ 2.求 100 以内，除以 3 余 2 的所有整数的和。 3.在所有两位数中，十位数字大于个位数字的数一共有多少个？ 4.【劳动实践开放题・货架摆放】 超市整理零食货架，第一层放 5 盒饼干，往后每一层都比上一层多放 2 盒，一共摆放 12 层。 (1) 第 12 层有多少盒饼干？ (2) 货架上一共有多少盒饼干？ 5.【校园生活开放题・跳绳打卡】 小明坚持跳绳打卡，第 1 天跳 40 个，从第二天开始每天多跳 15 个，连续打卡 14 天。 (1) 第 14 天小明跳多少个？ (2) 14 天他一共跳了多少个？ (3) 如果小明计划打卡 30 天，第 30 天能跳多少个？（拔高拓展） 6.【数字规律开放题】★★★★ 求出 1～100 中所有 4 的倍数相加的总和。 五、巩固提升练习参考答案 （一）基础计算专项答案 1. (1) 项数：50，和：(1+50)×50÷2 = 1275 (2) 公差 2，项数：(100-2)÷2+1 = 50，和：(2+100)×50÷2 = 2550 (3) 公差 3，项数：(100-1)÷3+1 = 34，和：(1+100)×34÷2 = 1717 (4) 公差 7，项数：(103-5)÷7+1 = 15，和：(5+103)×15÷2 = 810 2. 项数：(93-5)÷4+1 = 23 总和：(5+93)×23÷2 = 1127 3. 末项：13 + 5 × (30-1) = 158 总和：(13+158)×30÷2 = 2565 4. 项数：(67-7)÷5+1 = 13 和：(7+67)×13÷2 = 481 5. 末项：12 + 4 × (25-1) = 108 和：(12+108)×25÷2 = 1500 （二）综合拓展练习答案 1. 一昼夜共 24 小时，分为白天、黑夜各 12 小时 12 小时整点敲打总和：(1+2+3+...+12)×2 = 78×2 = 156（下） 半点敲击：12 小时敲 12 下，一昼夜合计 12×2 = 24（下） 总敲打次数：156 + 24 = 180（次） 2. 100 以内除以 3 余 2 的数：2，5，8…98 首项 2，末项 98，公差 3 项数：(98-2)÷3+1 = 33 总和：(2+98)×33÷2 = 1650 3. 分类计数： 十位为 9：9 个；十位为 8：8 个；…… 十位为 1：1 个 数字总个数：1+2+3+...+9 = (1+9)×9÷2 = 45（个） 4.【劳动实践开放题・货架摆放】 超市整理零食货架，第一层放 5 盒饼干，往后每一层都比上一层多放 2 盒，一共摆放 12 层。 (1) 第 12 层有多少盒饼干？ (2) 货架上一共有多少盒饼干？ 完整解析 ①求末项：（盒） ②总和：（盒） 答：第 12 层 27 盒，全部共 192 盒。 5.【校园生活开放题・跳绳打卡】 小明坚持跳绳打卡，第 1 天跳 40 个，从第二天开始每天多跳 15 个，连续打卡 14 天。 (1) 第 14 天小明跳多少个？ (2) 14 天他一共跳了多少个？ (3) 如果小明计划打卡 30 天，第 30 天能跳多少个？（拔高拓展） 完整解析 (1) 末项：（个） (2) 总和：（个） (3)（个） 6.【数字规律开放题】 求出 1～100 中所有 4 的倍数相加的总和。 解析：4,8,12…100，首项 4，末项 100，公差 4 项数 = 总和 = 六、本讲知识小结 1. 核心工具：等差数列三大公式，熟记配套记忆口诀； 2. 解题顺序：先判断等差→缺项算项、缺末算末→代入求和； 3. 高频丢分点：项数公式漏 + 1、生活题忽略昼夜双倍、不写答句； 4. 题型区分：单纯计算题只用公式，图形、应用题需结合题意分析数列首末项。 七、课后实践小任务 【实践小任务：零花钱等差统计】 1.连续记录 7 天每日零花钱，整理成表格； 2.判断数据是否为等差数列： 若是：用三大公式计算 7 天总零花钱； 若不是：自主设定一组等差零花钱，再计算总和。 探究思考题 ①生活中还有哪些事物数量符合等差规律？举 2~3 个例子； ②计算项数公式为什么必须「（末项−首项） ÷ 公差 + 1」？结合自己记录的数据举例说明。 学科网（北京）股份有限公司 $