第4讲 智巧趣题 —— 图形覆盖与分割（讲义）-2026-2027学年四年级上册数学人教版

小学四年级上数学奥数讲义 第4讲 智巧趣题——图形覆盖与分割 学科领域： 数学 · 奥数思维 核心素养： 空间观念、几何直观、逻辑推理 一、 知识点概览 1. 题型概述 图形覆盖与分割属于经典智巧趣题，不依赖复杂计算，主要依靠观察、想象、动手分析与逻辑判断解题。本讲主要探讨两类经典的几何智巧问题： · 图形分割：将一个给定的图形，按照要求（通常是形状、大小完全相同）分成若干部分。 · 图形覆盖：使用规定形状的小图形（如多米诺骨牌），去完全盖住一个大图形，要求不重叠、无空隙。 2. 核心方法论 方法名称 适用场景 解题口诀 对称法 规则图形（正方形、长方形） 找对称轴，中心点，一刀切两半。 计数分析法 方格图分割 总格数 ÷ 份数 = 每份格数，先数后分。 染色分析法 覆盖可行性判断 黑白染色看差异，奇偶匹配定成败。 尝试拼摆法 不规则图形 动手画一画，排除错误方案。 二、 经典例题精讲 🔷 题型一：基础图形分割 【例1】正方形的四等分 题目：把一个大正方形分成形状相同、大小相等的 4 个图形，至少画出两种不同分法。 【解析思路】 正方形具有极强的对称性。 方法一（横竖中线）：连接对边中点，形成“十”字，得到4个小正方形。 方法二（对角线法）：连接两条对角线，形成“×”，得到4个等腰直角三角形。 方法三（条形分割）：沿水平或垂直方向画三条等距平行线，得到4个长方形。 【例2】长方形的二等分 题目：下图是一个由 8 个相同小方格组成的长方形，请将它分成形状、大小完全一样的 2 部分。 【解析思路】 中心对称原理：任意一个中心对称图形，过其对称中心的任意一条直线都能将其分成两个全等的部分。 操作：找到长方形的中心点，画一条直线（可以是折线或斜线），将图形分为各含 4 格的两部分，两部分形状、大小完全一致。 （参考答案） 🔷 题型二：图形覆盖与可行性判断 【例3】简单覆盖判断 题目：用 的长方形小纸片（多米诺骨牌的变体），去覆盖一个 的方格图形，能否做到无重叠、无空白全覆盖？ 【解析思路】 1. 算总数：大图形共有 格； 2. 算需求：每张小纸片占2格， ，理论数量匹配； 3. 看形状： 是直线型， 是矩形，可以横向、纵向摆放，通过旋转小纸片实现覆盖。 【答案】 可以全覆盖。将小纸片依次横向或纵向摆放，即可无重叠、无空隙盖住整个图形。 【例4】不规则图形分割 题目：把下图由 6 个小正方形拼成的“L”形或直线形图形，分成大小、形状都相同的 3 部分。 【解析思路】 1. 计数： 总小正方形数量6 个，平均分成 3 份，每份有 个小正方形。 2. 结论：每一份必须是由 2个相连小正方形 组成的 长方形。 3. 操作：沿着图形轮廓，依次截取两个格子为一组。 三、 拓展思维训练 ✨ 拓展例1：田字格进阶分割 题目：一个由 9 个相同小正方形组成的大正方形（ 方格），去掉角落 1 个小方格，将剩余 8 个方格分成形状、大小完全相同的 4 部分。 【深度解析】 ①计算：剩余 8 格， 。每份必须是 2 个格子。 ②难点：由于缺了一个角，无法用简单的直线分割。 ③巧解：利用“风车”或“L型”思维。虽然每份只有2格，但必须是相邻的。围绕中心格，向四个方向划分，每部分取中心格一侧的边格，形成4个完全相同的1×2长方形（可横可竖直线形）。 （参考答案，答案不唯一） ✨ 拓展例2：染色法判断覆盖（重难点） 题目：一个 的九宫格（共 9 个方格），使用 的长方形纸片覆盖，能否做到全覆盖、无重叠？ 【深度解析】 这是奥数中经典的 “染色法” 应用。 ①黑白染色：像国际象棋棋盘一样，将九宫格黑白相间染色。 的格子中，会有 5个黑格 和 4个白格（或相反，数量差1）。 ②分析纸片：任意放置一张 的纸片，它必然覆盖 1黑 + 1白。 ③矛盾点：如果要全覆盖，黑格数必须等于白格数。但这里 。 【答案】 不能。因为奇数格无法被 的偶数格纸片整除，每张纸片占据 2 格（偶数），无论如何摆放，都会剩余 1 格，染色后黑白数量不等。 ✨ 拓展例3：组合图形分割 题目：将由 12 个相同小方格组成的组合图形，平均分成 6 份。 【解析思路】 。核心思路依然是 “两两配对” 。无论图形如何曲折，只要能将相邻的两个格子划分为一组，且所有组形状一致即可。 解答 将图形两两划分，共分为 6 组，每组 2 个相连小方格，全部满足形状、大小一致。 📝四、基础练习 1. 分长方形：如何把一个长方形分成 4 个全等图形，画出两种不同分法。 2. 分6格长条：一个由 6 个小方格组成的长方形，平均分成 2 份，要求两部分形状、大小完全一样，请画出分割线。 3. 判断：用 的小长方形纸片，能否覆盖 的方格图（无重叠、无空白）？说明理由。 4. 将一个由8个正方形方格组成的图形分成4等份。 5. 覆盖判断：能否用 纸片覆盖 方格？ 🚀五、拓展练习 1. 挖洞九宫格：3×3 九宫格去掉中心 1 个方格，剩余 8 个方格，分成形状、大小相同的 2 部分。 2. 覆盖： 用 纸片能否覆盖 5 行 2 列的方格图？请说明原因。 3. 将由 10 个小方格组成的直线长方形，平均分成 5 份，每份大小、形状一致。 4. 一个不规则图形共 12 个小方格，要求分割为形状相同、大小相等的 4 部分，每部分有 3 个小方格，请尝试划分。 5. 逻辑辨析：奇数格的方格图形，一定不能用 的长方形纸片全覆盖，这句话是否正确吗？ 六、📝 基础练习参考答案 1. 分长方形：把一个长方形分成 4 个全等图形。（提示：可画“田”字或“米”字）。 2. 分6格长条：将 的长条平均分成 2 份。答案：中间一刀，每份 。 3. 可以。总格子数 格，，数量匹配；小纸片可横向、纵向摆放，能够完整覆盖。 4. 分8格图形：分成4份。答案：每份2格。 5. 覆盖判断：用 纸片覆盖 方格？答案：能（16格，偶数，且染色后黑白各8格）。 七、🚀 拓展练习参考答案 1. 挖洞九宫格： 去掉中心，分成 2 份。 答案：沿一条阶梯形折线（或“S”形线）分割，将剩余8格分成两个全等的“L”形（或“Z”形），每个含4格。例如： 第一部分：第1行前2格 + 第2行第1格 + 第3行第1格（组成L形） 第二部分：第1行第3格 + 第2行第3格 + 第3行后2格（旋转对称的L形） （具体分法不唯一，但必须是对称的折线分割。） 2. 覆盖：答案：能。5 行 2 列总格子： 格，，格子总数为偶数，能够用 纸片全覆盖。 3. 答案：10 个小方格排成一行，平均分成 5 份，每份 2 个连续小方格，依次划分即可。 4. 答案：总格子 12 格，分为 4 份，每份 3 格。结合图形轮廓，以 3 格为一个单元，按照对称 / 相邻原则划分，分法不唯一。 5. 逻辑辨析：奇数格的图形，一定不能用 纸片全覆盖吗？ · 答案：正确。因为 纸片必然盖住 2 个方格，覆盖的是偶数格，若干个偶数之和仍为偶数，不可能是奇数，因此一定不能全覆盖。。 💡 教学小贴士 · 动手操作：建议学生准备方格纸或七巧板，对于分割题，先画草图，再剪拼。 · 易错点：在“田字格去掉一角”的题目中，学生容易试图用直线分割，需引导其思考“不规则但全等”的图形。 · 染色法启蒙：这是小学奥数中非常高阶的技巧，不要求所有学生掌握证明，但应理解“黑白格数量不等则无法覆盖”的结论。 学科网（北京）股份有限公司 $