福建省福州高级中学2025-2026学年高二下学期第四学段考试数学试题

福州高级中学2025—2026学年第四学段考试 高二数学试题 试卷总分：150分 完卷时间：120分钟 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则（ ） A． B． C．4 D．8 3．已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，，且，则（ ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为，若函数，则的解析式不可能是（ ） A． B． C． D． 6．某AI导航机器人团队，调研5组不同避障阈值（单位：灵敏度）与路径规划耗时（单位：）得到的数据如下表： 避障阈值 9 9.5 10 10.5 11 规划耗时 11 8 6 5 由表中数据可知，规划耗时与避障阈值之间存在较强的线性相关关系，其经验回归方程是，则规划耗时数据5，6，8，，11的第75百分位数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．10.5 7．已知函数，（）满足，若函数与图象的所有交点为，，…，，则（ ） A．0 B． C． D． 8．已知函数（）的极大值点为，且（），则（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数（）的最小正周期为，则（ ） A． B． C．的图象关于点对称 D．在上的最小值为 10．下列命题正确的是（ ） A．随机变量~，当最大，则的取值为3 B．以模型去拟合一组数据时，为求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是，0.3 C．已知关于的回归方程为，则样本数据点的残差为2.2 D．若，，则事件，相互独立 11．已知，，，，，则（ ） A．当时， B．存在实数，使得 C．当时， D．对任意，都有 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线与函数的图象相切，则实数___________． 13．已知随机变量~，且，则展开式中各项系数之和为___________． 14．如图，粒子在四个容器，，，中移动，当在，，容器时，每隔一小时等可能地移动到相邻容器中；当在容器时，粒子停止移动．当前时刻，在容器中，设小时后，停止移动，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，底面，是的中点，点满足，，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16．（本小题满分15分）在中，角，，对应边分别是，，．已知，，成等差数列，且． （1）求的值； （2）若的外接圆半径为，求的面积． 17．（本小题满分15分）某企业使用新技术对某款芯片进行试生产．在试生产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，．第四道工序中智能自动检测正确率为，第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验． （1）求前三道工序后产品芯片的次品率； （2）求在第四道工序中芯片智能自动检测得到的产品合格率，并求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率； （3）某手机生产厂商获得了该新技术芯片的试用权，并在某款新型手机上使用．现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查．据统计，回访的100名用户中，使用未安装新技术芯片手机的有40人，其中对开机速度满意的有28人；使用安装新技术芯片手机的有60人，其中对开机速度满意的有57人．判断是否有99．9%的把握认为安装新技术芯片与用户对开机速度满意度有关？ 附： 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 18．（本小题满分17分）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，点在上． （1）求的方程； （2）设直线：与交于M、N两点． （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）若为平面上一点，且，求的最大值． 19．（本小题满分17分）设，是非空实数集，若对于集合中的任意一个元素，按照某种确定的对应关系：，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，则称为从到的一个联动．例如：，，：，，不是从到的一个联动；，，：，，是从到的一个联动． （1）若，，：，，是从到的一个联动，求的取值范围； （2）已知为常数且，若，，：，，是从到的一个联动，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $福州高级中学2025-2026学年高二第四学段考试 数学参考答案 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B B D B D ACD ABD ABC 52 64 15.(1)证明：连接MC交DB于点O,连接ON MD MO 1 因为M是AD的中点，AD=BC,ADIBC,所以BCOC2. PN 1 又PC=3PN,所以NC2, MO PN 从而，在平面PMC中，有OCNC 所以PM/ON, 3分 又PM4平面BDN,ONc平面BDN. 所以PM∥平面BDN. 5分 (注意：没有指出线不在面上扣1分) (2)解：因为PD⊥底面ABCD 以D为坐标原点，以DC,DP的方向为y轴、z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系D-2. 因为DA=DB=2,底面四边形ABCD为菱形， 所号得△1BD,△BDC为等达三角影.剥DQ@0,85.L0.Q号2.4小区-10)】 P(0,0,3) 7分 u吸-(0.灰-（0号2.西-@20.=(51)】 设m=(:,,24)为平面BDN的法向量， mDB=0 [x+y=0 则m-DN=0,即y+3a=0 可取m=(5,-3 9分 设=(：，，2)为平面PAB的法向量， 元：AB=0 2=0 则i:P=0,即-V3x+片+3，=0， 可取7=(5,0，) 11分 设平面PAB与平面BDN的夹角为B, cos0=m:列_22Wg 则 m313 2W13 设平面PAB与平面BDN的夹角的余弦值为13· 13分 ZA D B 16.解：(1)因为，b,c成等差数列，所以2b=a+C.1分 因为2sinA=sinC,由正弦定理可得2a=c,3分 3a b= 将其代入2b=a+c,可得2. 4分 3a 21a2 b2+c2-a2 2 +(2a)2-a2 cosA= =4。=7 2be 2× 3a x2a 6a2- 8 由余弦定理可得 2 7分 > CosA= (2)因为 8,且A∈(0，π) 所以 9分 R=4f5 设△ABC的外接圆半径为R,则15. a2Ra2Rsin4=2×45x8-】 -X 由正弦定理sinA 可得 11分 则c=2a=2.b=03 0=22. 13分 所以△ABC的面积2 S-Ibesind=xx2x15315 22 816 15分 17.解：(1)芯片的次品率为 月=1-0-A0-g0--1贸3-号. 2分 (2)设芯片智能自动检测合格为事件A,芯片为合格品为事件B, 17,113 由全概率公式 p=P4)=(0-B×10+P×101045i 5分 P例号品品 所 P(B4)= P(AB)71863 所以 P(A)101365 7分 (注意：没有设事件扣1分) (3)由数据可建立2×2列联表如下：（单位：人） 开机速度满意度 未安装 已安装 合计 不满意 12 3 15 满意 28 57 85 合计 40 60 100 9分 零假设H:安装新技术芯片与用户对开机速度满意度无关， 10分 根据列联表得： n(ad-be) 100×(12×57-28×3)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 40×60×15×85 100×600×600_200≈11.765>10.828 40×60×15×8517 13分 根据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立， 因此，有99.9%的把握认为安装新技术芯片与用户对开机速度满意度有关. 15分 (注意：没有列联表扣2分：没有零假设扣1分；卡方没有计算出结果扣1分：没有推断零假设不成立扣 1分) 18.解：(1)由椭圆C的左、右焦点分别为(1,0)，B(L,0),则c=1,1分 , 又椭圆C过点V 2 所之+3三1 又a2=b2+1, a2=4 故(b2=3 3分 x2 y2 =1 所以C的方程为4”3 4分 1 (2)(1)因为直线1，y=2+m 2 与椭圆交于M、N两点， 设MN两点坐标分别为：，乃)，(：，)】 43 1 y= 联立 2+m ,消去少，整理得x2+x+m2-3=0, 则A=m-4×(m-3列小0，解得-2<m<2. 则+=-m,x32=m2-3 7分 又ME=(-1-x,-y).ME=(1-x,-y) 项1++-.+号 则 4 左+上=1 又因为点M在椭圆上，即43， x1=1 x=1 x1=-1 x=-1 3 三一2yJ3 联立方程组，解得 2, 9分 1 由于点M y-2x+m 上，解得m=1,m=-2,m=-1,m=2,又因为-2<m<2, 所以m=±1」 11分 (i设线段MW的中点坐标为G(xo,a), @云三光+2=一m 2 2, 1 3m 所以。2。+m= 4, 所以 所以MW=1+kF-x=+FV+广-4 9r-4m--94㎡ 13分 又MP.P=O,则点P在以MN为直径的圆上， 而OP≤OG+GP,当且仅当0、G、P三点共线时等号成立， -oc 4 ,其中-2<m<2 15分 t设m=2cosa,a∈(0，)，则V4-m2=2sina,所以 i-网4--es+ma-Vsin(a-p) 0+p= 2时，1nx=V万 即OP的最大值为V万】 17分 0 F 19.解：(1)由题设少=r+2x+2=(c++1,x∈[-2,2] 因为x∈[-2，-刂，yel,2],x∈1,2]，y∈[，10] m=1或2<m≤10 所以m+2=1或2<m+2≤10 2分 m=1或2<m≤10 解得m=-l或m=-3域0<m≤8或-12≤m<-4 所以m=1或2<m≤8： 4分 (2)即=b(b-t-l旷在[0,2]上有唯一解， 设)=b(6-1-少，f()=(6-1-136-1-),5分 当b变化时/(b),∫'(b)变化如下 t+1 0, t+1 31+1 t+ t+1 t+1,+o0) 3 f'(b) 0 0 (b) 4(+1)3 y 27 7分 t*1z2 ①当3时，即t25时，0<1≤f(2)=20-} 1 0<t≤ 解得2或t≥2，所以125. 9分 +1<2<+1 ②当3 15e创-0- 0,--小-2g2刘 27,则 y=-4+》 1 2”在“2上是婚，在 上是减函数， 4(t+1)° 1 1=- 当且仅当2时y=0, 1 0<t< 1 t= 解得 2或t>2或2，所以2<t<5. 12分 4(1+1)月 t= ③当t+1=2时，需27，无解， 14分 4+>f=20-, 4(t+1) 1 -=tt= ④当t+1<2时，即t<1时，若27 (*)时，27，此时2代入 (*)不成立，所以无解， 4北+≤e4+<1sf0a 若27 时27 由②知无解， 16分 综上t>2. 17分